陳星 薛瀟博 張升康 馬余全 費(fèi)鵬 姜元 葛軍?

1) (北京無線電計(jì)量測(cè)試研究所, 計(jì)量與校準(zhǔn)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 北京 100854)

2) (北京信息科技大學(xué)理學(xué)院, 北京 100192)

1 引 言

自旋軌道耦合是粒子自旋內(nèi)稟自由度和軌道自由度之間的相互作用, 在原子分子物理、量子光學(xué)和凝聚態(tài)物理中誘導(dǎo)產(chǎn)生了許多重要的物理現(xiàn)象[1-3].冷原子系統(tǒng)可以實(shí)現(xiàn)原子及其相互作用的精確操控, 是研究凝聚態(tài)系統(tǒng)及復(fù)雜物理系統(tǒng)的理想平臺(tái).雖然原子是中性的且沒有電極和磁極, 但仍可利用激光與原子的相互作用, 在超冷原子中實(shí)現(xiàn)人造自旋軌道耦合, 最早美國國家標(biāo)準(zhǔn)與技術(shù)研究院Speilman 研究組[4]在超冷玻色氣體中實(shí)現(xiàn)了一維自旋軌道耦合, 山西大學(xué)Zhang 研究組[5]和美國麻省理工學(xué)院Zwierlein 研究組[6]均實(shí)現(xiàn)了一維自旋軌道耦合費(fèi)米氣體, 山西大學(xué)Zhang 研究組[7]進(jìn)一步實(shí)現(xiàn)了二維自旋軌道耦合費(fèi)米氣體, 中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)的研究組[8]在超冷玻色氣體中實(shí)現(xiàn)了二維自旋軌道耦合, 這些突破為研究自旋軌道耦合系統(tǒng)提供了新的思路.

自旋軌道耦合系統(tǒng)的研究展現(xiàn)了許多新的物理現(xiàn)象[9-33].研究發(fā)現(xiàn), 自旋軌道耦合費(fèi)米系統(tǒng)有很多新奇的量子態(tài), 例如拓?fù)涑鲬B(tài)、Fulde-Ferell(FF)態(tài)等[9-16].考慮塞曼場時(shí), 自旋軌道耦合和塞曼場共同作用誘導(dǎo)產(chǎn)生了非平庸的拓?fù)湎郲17-22].少體系統(tǒng)的研究為多體系統(tǒng)探索提供了直觀的物理圖像[23-33].二維自旋軌道耦合兩體系統(tǒng)研究預(yù)示了多體系統(tǒng)可能出現(xiàn)FF 配對(duì)態(tài)[23].Rashba 自旋軌道耦合兩體精確解揭示了一種新的束縛態(tài)Rashbon, 在弱相互作用下仍能誘導(dǎo)粒子從弱配對(duì)態(tài)到玻色愛因斯坦凝聚態(tài)轉(zhuǎn)變[24,25].在強(qiáng)相互作用下, 諧振子阱中自旋軌道耦合兩體精確解發(fā)現(xiàn)反宇稱態(tài)是玻色系統(tǒng)基態(tài)的重要組成部分[26]等.該類研究為進(jìn)一步探索多體系統(tǒng)物理現(xiàn)象奠定了基礎(chǔ).

本文研究了在一維環(huán)阱中, 具有自旋軌道耦合和塞曼場的兩體相互作用費(fèi)米模型.在冷原子系統(tǒng)中, 通過激光耦合173Yb 原子的兩個(gè)超精細(xì)基態(tài),實(shí)現(xiàn)了有效的一維自旋軌道耦合和塞曼相互作用的兩分量費(fèi)米系統(tǒng)[34].同時(shí), 通過在另外兩個(gè)方向上施加強(qiáng)勢(shì)阱囚禁可以得到有效的一維原子相互作用[35].對(duì)于兩體問題, 通常可以將兩原子坐標(biāo)轉(zhuǎn)換為質(zhì)心和相對(duì)坐標(biāo).質(zhì)心運(yùn)動(dòng)不依賴于粒子間相互作用, 質(zhì)心動(dòng)量為守恒量, 可以在不同質(zhì)心動(dòng)量空間分析能譜.通過將質(zhì)心和相對(duì)運(yùn)動(dòng)分開, 許多兩體系統(tǒng)能夠被約化為單體問題[36].

本文研究的兩體費(fèi)米系統(tǒng), 由于相對(duì)運(yùn)動(dòng)與質(zhì)心運(yùn)動(dòng)耦合使得精確求解更為困難.本文利用平面波展開法, 獲得了解析的本征能量和本征態(tài), 實(shí)現(xiàn)了兩體費(fèi)米系統(tǒng)隨著自旋軌道耦合、塞曼相互作用和接觸相互作用系數(shù)變化時(shí)物理性質(zhì)的精確研究.

2 費(fèi)米子模型

在環(huán)阱中, 考慮一個(gè)具有自旋軌道耦合、塞曼相互作用和粒子間接觸相互作用的費(fèi)米系統(tǒng), 哈密頓量表示為

兩體費(fèi)米系統(tǒng)的波函數(shù)表示為

將哈密頓量(1)和波函數(shù)(2)代入薛定諤方程兩體費(fèi)米系統(tǒng)的方程約化為Hψ(x1,x2)=Eψ(x1,x2) , 其中,

其中,σ和表示自 旋↑或↓且;ψ(x1,x2)=(ψ↑↑(x1,x2),ψ↑↓(x1,x2),ψ↓↑(x1,x2),ψ↓↓(x1,x2))T.

在環(huán)阱中, 兩體費(fèi)米系統(tǒng)的波函數(shù)需滿足周期性邊界條件, 表示為

由于自旋軌道耦合和塞曼相互作用, 自旋分量不再是好量子數(shù), 不能在某一個(gè)自旋分量空間僅求解波函數(shù)的坐標(biāo)部分, 而需要同時(shí)考慮自旋分量與坐標(biāo)之間的耦合, 考慮所有自旋態(tài)時(shí)的本征波函數(shù).

3 質(zhì)心和相對(duì)坐標(biāo)空間

引 入 質(zhì) 心 坐 標(biāo)X=(x1+x2)/2 和 相 對(duì) 坐 標(biāo)x=x1-x2, 哈密頓量(3)重新表示為

將本征波函數(shù)用平面波展開, 表示為

其中A是歸一化系數(shù),K為總動(dòng)量,k是相對(duì)動(dòng)量的平面波分量.取σ和σ′表示自旋↑或↓, 波函數(shù)每一個(gè)分量ψσσ′(K,k) 表示不同自旋態(tài)時(shí)平面波的展開系數(shù).通過求解薛定諤方程, 獲得ψσσ′(K,k) 的解析表達(dá)式, 以下將簡寫為.

求解波函數(shù)之前, 首先通過周期性邊界條件獲得波函數(shù)中K和k的范圍.將ψ(X,x) 中的X和x變換到x1,x2, 獲得波函數(shù)ψ(x1,x2) 表達(dá)式, 依據(jù)周期性邊界條件(4)式, 總動(dòng)量K和相對(duì)動(dòng)量分量k需滿足

(6)式中的K和k分別用Kn和表示, 其中n和n′是整數(shù),n表示了總動(dòng)量的量子數(shù), 而n′描述了相對(duì)動(dòng)量分量的量子數(shù).從(7b)式得出,與總動(dòng)量量子數(shù)n的奇偶有關(guān), 是一系列離散的數(shù)值.對(duì)于給定的n, 即給定總動(dòng)量Kn, 相應(yīng)的本征能量E表示為En.

其中

從ψs的方程式(9a)推得本征能量的自洽方程,表示為

通過數(shù)值求解(11)式的自洽方程, 獲得了兩體費(fèi)米模型精確的本征能量En.由方程(11)可得出,本征能量關(guān)于±Kn是簡并的, 以下分析以Kn ＞0為代表.將解出的本征能量代入方程(9a)和方程(9b)中, 獲得精確的ψs和ψa.同時(shí),ψ↑↓和ψ↓↑通過ψs和ψa推出, 另外兩個(gè)分量ψ↑↑和ψ↓↓通過ψ↑↓和ψ↓↑獲得, 歸一化后得到精確的波函數(shù).通過精確的本征能量和波函數(shù), 實(shí)現(xiàn)了兩體費(fèi)米系統(tǒng)物理特性的精確研究.

4 結(jié)果與討論

針對(duì)不同的自旋軌道耦合、塞曼相互作用和接觸相互作用系數(shù), 本文分析了兩體費(fèi)米系統(tǒng)的基態(tài)能譜和動(dòng)量分布.取 ? =1 ,m=1 和L=1.總動(dòng)量Kn是好量子數(shù), 可以用n表征.當(dāng)n=0 和n=1 ,總動(dòng)量分別為K0=0 和K1=2π.

首先, 考慮僅有接觸相互作用的費(fèi)米系統(tǒng), 即當(dāng)α=0 和β=0 時(shí), 本征能量的自洽方程(11)式約化為

通過簡化得到

根據(jù)該式可得

考慮僅具有自旋軌道耦合的費(fèi)米相互作用系統(tǒng).即當(dāng)β=0 , 本征能量的自洽方程(11)式約化為

由(14)式可得, 當(dāng)g→0 , 本征能量約化為單粒子的本征能量.給定g=1 , 圖1 給出了當(dāng)n=0 時(shí), 在總動(dòng)量K0=0 空間, 最低能量E0隨著自旋軌道耦合系數(shù)α變化的圖像.隨著α的增大, 本征能量逐漸變小.圖1 中的插圖給出了能量E0+α2隨著α增加而周期性的變化.在無塞曼相互作用情況下, 研究發(fā)現(xiàn)自旋軌道耦合項(xiàng)通過幺正變換, 能夠變換到周期性邊界條件中,展現(xiàn)出周期性地依賴于自旋軌道耦合系數(shù)[37].

考慮具有自旋軌道耦合和塞曼相互作用的費(fèi)米系統(tǒng), 對(duì)于不同的Kn, 本征能量En通過數(shù)值求解自洽方程(11)式獲得.特別地, 對(duì)于K0=0 , 本征能量的自洽方程(11)式可以約化為

從該式可得, 當(dāng)相互作用g→0 時(shí), 本征能量趨于

圖1 最低能量 E 0 隨著自旋軌道耦合參量 α的變化.插圖為 E 0+α2 隨 α 的變化, n =0 , g =1 ,β =0Fig.1.The lowest energy E 0 versus spin-orbit coupling parameter α.Insert is E 0+α2 versus α.n =0 , g =1 ,β =0.

圖2 給出了在較弱相互作用g=1 和α=1.2π條件下, 隨著塞曼相互作用系數(shù)β變化, 在不同總動(dòng)量Kn空間中最低能量En變化的圖像.如圖2 所示, 隨著塞曼相互作用β增大, 能量En逐漸減小,在兩個(gè)總動(dòng)量空間的最低能級(jí)間發(fā)生了能級(jí)交叉.當(dāng)β較小時(shí),E0＜E1, 如取β=π 時(shí), 兩體費(fèi)米系統(tǒng)基態(tài)能量為E0, 基態(tài)的總動(dòng)量為K0.當(dāng)β足夠大時(shí), 相反地,E1＜E0, 如取β=2π 時(shí),E1＜E0, 兩體費(fèi)米系統(tǒng)基態(tài)能量為E1, 基態(tài)的總動(dòng)量為K1.綜上所述, 隨著β的增加, 兩體費(fèi)米系統(tǒng)的基態(tài)從K0轉(zhuǎn)移至K1空間.通過增加塞曼相互作用強(qiáng)度,系統(tǒng)基態(tài)從質(zhì)心靜止轉(zhuǎn)移到了質(zhì)心運(yùn)動(dòng)的狀態(tài).

圖2 在弱相互作用條件下最低能量 E 0 和 E 1 隨塞曼系數(shù)β 的變化, g =1 ,α=1.2πFig.2.The lowest energies E 0 and E 1 versus Zeeman interaction parameter β in the weak interaction condition.g =1 , α =1.2π.

圖3 能量 E 0 和 E 1 隨著接觸相互作用g 的變化, α =1.2π (a) β =0 ; (b) β =π ; (c)β =2πFig.3.The energies E 0 and E 1 versus contact interaction parameter g, α =1.2π : (a) β =0 ; (b) β =π ; (c) β =2π.

圖3 給出了在任意相互作用強(qiáng)度g下本征能量En的變化.橫坐標(biāo)表示費(fèi)米子間的相互作用系數(shù), 從負(fù)到正表示從吸引相互作用到排斥相互作用.給定自旋軌道耦合系數(shù)α=1.2π , 圖3(a)—圖3(c)對(duì)比了不同塞曼相互作用強(qiáng)度β時(shí), 能量En隨粒子間相互作用系數(shù)g的變化.圖3(a)呈現(xiàn)了在無塞曼相互作用(β=0 )情況下, 能量E0總是小于E1, 即基態(tài)的總動(dòng)量始終為零.考慮塞曼相互作用時(shí), 圖3(b)和圖3(c)均呈現(xiàn)了能級(jí)交叉現(xiàn)象.在圖3(b)中, 當(dāng)塞曼相互作用系數(shù)β=π 時(shí), 在強(qiáng)吸引相互作用下基態(tài)能量為E0, 強(qiáng)排斥下為E1, 而在圖2 中, 相同β時(shí)在弱排斥作用下基態(tài)能量為E0,與強(qiáng)排斥下不同.類似地, 圖3(c)呈現(xiàn)了β=2π 時(shí)本征能量的圖像, 強(qiáng)吸引下基態(tài)能量為E0, 強(qiáng)排斥下為E1, 對(duì)比圖2 中在弱排斥作用下基態(tài)能量仍為E1.綜上所述, 具有塞曼相互作用時(shí), 兩體費(fèi)米系統(tǒng)能夠在強(qiáng)相互作用下呈現(xiàn)和弱相互作用下不同的基態(tài)特性.隨著相互作用從吸引到排斥轉(zhuǎn)變,具有塞曼相互作用的費(fèi)米系統(tǒng)基態(tài)能量從E0轉(zhuǎn)變到E1, 基態(tài)總動(dòng)量從零變到有限值.

為了直觀理解基態(tài)的性質(zhì), 我們討論了無接觸相互作用(g=0 )時(shí), 單費(fèi)米子的本征能量和本征態(tài).單粒子哈密頓量為不考慮自旋軌道耦合和塞曼相互作用(α=0 ,β=0 )時(shí), 單費(fèi)米子能譜不依賴于自旋, 基態(tài)動(dòng)量p0=0.兩個(gè)費(fèi)米子分別占據(jù)不同自旋態(tài)的最低能級(jí), 此時(shí)總動(dòng)量為零.

僅有自旋軌道耦合(β=0 )系統(tǒng), 單粒子本征能量為, 自旋軌道耦合項(xiàng)是動(dòng)量p0的線性項(xiàng),←和→代表σx的自旋態(tài).在自由空間 時(shí), 單 粒 子 基 態(tài) 從p0=0 轉(zhuǎn) 變 到 有 限 動(dòng) 量 值p0,±=±α, 符號(hào)取決于自旋分量.同時(shí)改變動(dòng)量和自旋 (p0→-p0和σx →-σx), 哈密頓量保持不變,系統(tǒng)具有Z2對(duì)稱性, 此時(shí)系統(tǒng)基態(tài)為兩個(gè)簡并態(tài),動(dòng)量值相等但符號(hào)相反.因此, 當(dāng)自旋軌道耦合占主導(dǎo)時(shí), 兩費(fèi)米子占據(jù)兩個(gè)簡并基態(tài), 總動(dòng)量為零.在周期性邊界條件下, 動(dòng)量為一系列離散值p0=2πn0,n0為整數(shù), 此時(shí)基態(tài)動(dòng)量取與±α最相近 的 值, 即|p0±α|最 小.當(dāng)-π+2πn0＜α ＜π+2πn0, 基 態(tài) 相 應(yīng) 的 動(dòng) 量 為p0,±=±2πn0.當(dāng)α=0.2π , 則有n0=0 , 基態(tài)為p0=0.當(dāng)α=1.2π ,則有n0=1 , 基態(tài)為p0,±=±2π.

圖4 單粒子能級(jí)e—和e+ (a) α =0.2π , β =0.1π ; (b) α =1.2π , β =π ; (c) α =1.2π ,β =2πFig.4.The single particle eigenenergies with two branches e— and e+: (a) α =0.2π , β =0.1π ; (b) α =1.2π , β =π ; (c) α =1.2π ,β =2π.

最后, 考慮具有塞曼相互作用和自旋軌道耦合的費(fèi)米子系統(tǒng).僅考慮塞曼相互作用(α=0 )時(shí),自旋向上和自旋向下的單粒子能譜發(fā)生劈裂, 產(chǎn)生能隙, 且能隙的大小與塞曼相互作用的系數(shù)β有關(guān).當(dāng)β為正時(shí), 自旋向下的費(fèi)米子能級(jí)降低, 且最低能級(jí)仍處于p0=0 , 而自旋向上的能級(jí)升高, 多體費(fèi)米系統(tǒng)將先填充自旋向下的費(fèi)米子能級(jí), 再填充自旋向上的能級(jí), 因此多體費(fèi)米系統(tǒng)基態(tài)的總動(dòng)量由所填充的能級(jí)決定.考慮兩費(fèi)米子基態(tài), 一個(gè) 費(fèi) 米 子 將 填 充 最 低 能 級(jí)p0=0 , 另 一 個(gè) 填 充的態(tài), 此時(shí)總動(dòng)量為有限值.當(dāng)塞曼效應(yīng)占主導(dǎo)時(shí), 兩費(fèi)米子的總動(dòng)量為有限值.考慮塞曼相互作用和自旋軌道耦合作用, 單粒子本征能量為在自由空間時(shí), 當(dāng)α2＞β時(shí), 自旋軌道耦合效應(yīng)占主導(dǎo)作用時(shí), 單粒子基態(tài)是簡并的, 相應(yīng)的動(dòng)量為(β/α)2].隨著β的增大, 兩個(gè)極小值p0,±逐漸靠近,當(dāng)β=α2時(shí), 這兩個(gè)極小值融合為單個(gè)最小值p0=0.當(dāng)β＞α2時(shí), 塞曼相互作用占主導(dǎo)作用, 基態(tài)p0=0 , 相應(yīng)的基態(tài)能量為在周期性邊界條件下, 類似地, 動(dòng)量僅能取離散值p0= 2 πn0.當(dāng)自旋軌道耦合占主導(dǎo)作用時(shí), 需滿足條件, 兩體費(fèi)米子能夠處于簡并基態(tài), 此時(shí)基態(tài)對(duì)應(yīng)的動(dòng)量為p0,±=±2πn0.當(dāng)塞曼相互作用占主導(dǎo)時(shí), 則有基態(tài)動(dòng)量為p0=0 , 次低能級(jí)的動(dòng)量例如, 當(dāng)n0=1 時(shí), 依據(jù)推出β＞α2-π2, 令βc=α2-π2.當(dāng)β＜βc, 自旋軌道耦合為主導(dǎo)作用, 兩體費(fèi)米子占據(jù)兩個(gè)簡并基態(tài), 總動(dòng)量為零.當(dāng)β＞βc, 塞曼相互作用為主導(dǎo)作用, 兩體費(fèi)米子依次填充最低能級(jí)、零動(dòng)量和有限動(dòng)量的能級(jí), 總動(dòng)量為有限值.

圖4 給出了不同自旋軌道耦合和塞曼相互作用參量時(shí)的單粒子能級(jí)結(jié)構(gòu).圖4(a)是自旋軌道耦 合和 塞 曼相 互 作用 參量 較 小(α=0.2π 和β=0.1π)時(shí)的能級(jí)結(jié)構(gòu)圖.可以看出, 能譜上下分支最低能級(jí)均為p0=0 , 兩體無相互作用費(fèi)米子占據(jù) 這 兩 個(gè) 態(tài).考 慮α=1.2π , 則 有n0=1 , 此 時(shí)βc=0.44π2≈4.34.圖4(b)是自旋軌道耦合和塞曼 相 互作用參 量 較大時(shí)(α=1.2π 和β=π＜βc)的能級(jí)圖, 兩體無相互作用費(fèi)米子占據(jù)的兩個(gè)簡并基態(tài), 兩個(gè)動(dòng)量取p0±=±2π , 對(duì)應(yīng)的總動(dòng)量仍為零.圖4(c)是塞曼相互作用更大時(shí)(α=1.2π和β=2π＞βc)的能級(jí)圖, 兩體無相互作用費(fèi)米子占據(jù)的兩個(gè)最低能級(jí), 基態(tài)動(dòng)量為p0=0 , 次之為對(duì)應(yīng)的總動(dòng)量為有限值.當(dāng)塞曼相互作用增大時(shí), 總動(dòng)量從零轉(zhuǎn)變到有限值, 單粒子分析很好地解釋了圖2 中弱排斥相互作用時(shí)基態(tài)轉(zhuǎn)變特性.

兩體費(fèi)米系統(tǒng)的動(dòng)量分布可以表示為

圖5 對(duì)于不同的 α 和 β , 基態(tài)的動(dòng)量分布,g =1Fig.5.The momentum distributions of ground states for different α and β , g =1.

其中,ψ(p1,p2)由ψ(x1,x2) 的傅里葉變換而來.圖5給出了在較弱相互作用時(shí)對(duì)于不同自旋軌道耦合α和塞曼相互作用β下基態(tài)的動(dòng)量分布, 且自旋軌道耦合與塞曼相互作用系數(shù)取值與圖4 中一致.因?yàn)閚(p1)=n(p2) , 這里以n(p1) 作 為代表.當(dāng)α=0.2π和β=0.1π 時(shí), 粒子動(dòng)量分布集中于p=0.當(dāng)α=1.2π 和β=π 時(shí), 動(dòng)量分布出現(xiàn)兩個(gè)峰, 為p=±2π.當(dāng)α=1.2π 和β=2π 時(shí), 動(dòng)量分布出現(xiàn)兩個(gè)峰, 為p=0 和p=2π.圖5 是在弱排斥作用情況下的基態(tài)動(dòng)量分布, 與圖4 中無相互作用情況下, 兩費(fèi)米子動(dòng)量分布的分析一致.通過單粒子能譜分析和動(dòng)量分布研究, 直觀地理解了隨著塞曼相互作用變化, 費(fèi)米子系統(tǒng)基態(tài)的轉(zhuǎn)變過程, 為理解多體系統(tǒng)的物理現(xiàn)象提供了基礎(chǔ).

5 結(jié) 論

本文解析求解了環(huán)阱中具有自旋軌道耦合、塞曼作用和接觸相互作用的兩體費(fèi)米系統(tǒng).研究發(fā)現(xiàn): 首先, 僅考慮自旋軌道耦合作用時(shí), 隨著自旋軌道耦合系數(shù)增加, 本征能量將降低, 主要依賴于與自旋軌道耦合相關(guān)的常數(shù)項(xiàng).同時(shí), 不考慮上述常數(shù)項(xiàng)時(shí), 本征能量周期性地依賴于自旋軌道耦合系數(shù).進(jìn)一步地, 考慮自旋軌道耦合和塞曼場作用,隨著塞曼相互作用增大, 不同總動(dòng)量空間的最低能量均有降低, 并且在這些最低能級(jí)間發(fā)生了能級(jí)交叉, 基態(tài)從零轉(zhuǎn)變到有限值動(dòng)量空間.最后, 隨著兩體接觸相互作用從吸引到排斥的變化, 無塞曼作用時(shí)基態(tài)總動(dòng)量始終為零, 考慮塞曼作用時(shí), 基態(tài)總動(dòng)量從零轉(zhuǎn)變?yōu)橛邢拗?通過單粒子能譜分析,發(fā)現(xiàn)在塞曼相互作用為主導(dǎo)時(shí), 塞曼能級(jí)劈裂引起了基態(tài)的這種轉(zhuǎn)變.兩體費(fèi)米系統(tǒng)的解析解展現(xiàn)了豐富的物理現(xiàn)象, 是研究多體系統(tǒng)的基礎(chǔ).在本研究基礎(chǔ)上, 未來可以進(jìn)一步研究多體相互作用費(fèi)米系統(tǒng)、雜核系統(tǒng)、光晶格勢(shì)阱系統(tǒng)、多旋量費(fèi)米系統(tǒng)的物理圖像.