王海玲

(廈門大學(xué)嘉庚學(xué)院 信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，福建 漳州363105)

1 引 言

離散數(shù)學(xué)既有集合論、圖論等數(shù)學(xué)理論知識(shí)，又有數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)、數(shù)據(jù)庫、算法等計(jì)算機(jī)應(yīng)用知識(shí)，還有培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)思維的邏輯知識(shí)，可以看作是連接數(shù)學(xué)、計(jì)算機(jī)、邏輯思維之間非常重要的紐帶，因此，其課程所體現(xiàn)出來的思想與方法已深入到各個(gè)學(xué)科.尤其隨著互聯(lián)網(wǎng)的發(fā)展，面對(duì)各行各業(yè)涌現(xiàn)出來的各種各樣的數(shù)據(jù)，既有結(jié)構(gòu)化的，又有非結(jié)構(gòu)化的，還有半結(jié)構(gòu)化的；既有離散型的，又有連續(xù)型的，還有混合型的.如何研究看似“形式散亂”的數(shù)據(jù)內(nèi)部規(guī)律，如何通過計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)連續(xù)變量建立起來的數(shù)學(xué)模型，在日常生活和科學(xué)研究中，變得越來越重要.因此，近些年，離散數(shù)學(xué)涌現(xiàn)出來的教學(xué)改革、教學(xué)方法以及用離散數(shù)學(xué)的思想進(jìn)行數(shù)學(xué)建模的文獻(xiàn)也比較多[1-5].

但是，現(xiàn)在很多應(yīng)用型大學(xué)為培養(yǎng)“一專多能”復(fù)合型人才，鼓勵(lì)學(xué)生跨專業(yè)選修課程，選修課、技能課程、雙創(chuàng)學(xué)分等比例加大，對(duì)傳統(tǒng)的基礎(chǔ)學(xué)科有一定的沖擊.以廈門大學(xué)嘉庚學(xué)院為例，原來的信息與計(jì)算科學(xué)專業(yè)離散數(shù)學(xué)是一學(xué)期68+48學(xué)時(shí)(其中48學(xué)時(shí)為圖論部分，單獨(dú)開設(shè))；后來將圖論并入離散數(shù)學(xué)，仍然開設(shè)一學(xué)期，課時(shí)為68學(xué)時(shí)；再后來，將離散數(shù)學(xué)課時(shí)改為48學(xué)時(shí)，講授內(nèi)容仍然跟之前一樣多.面對(duì)這么重要的課程，其課時(shí)愈來愈少，甚至有的學(xué)校將其變?yōu)檫x修課程的現(xiàn)象，必然要求一線教師進(jìn)行思考：與時(shí)俱進(jìn)，如何優(yōu)化教學(xué)內(nèi)容，注重知識(shí)滲透；調(diào)整教學(xué)方法，如何打破傳統(tǒng)教學(xué)“壁壘”，避免“一言堂”；重塑培養(yǎng)目標(biāo)，如何從知識(shí)目標(biāo)、能力目標(biāo)、素質(zhì)目標(biāo)三個(gè)維度量化考核指標(biāo)，以期讓學(xué)生獲得必備的數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)思維、系統(tǒng)的數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)計(jì)算、多學(xué)科交叉綜合應(yīng)用、邏輯推理和抽象思維能力、良好的科學(xué)思維素質(zhì)、獨(dú)立思考、勇于批判的理性精神及團(tuán)結(jié)合作等目標(biāo).

BOPPPS教學(xué)模式是以有效教學(xué)設(shè)計(jì)著稱的一種廣泛應(yīng)用于北美高校的教學(xué)模式，是以認(rèn)知理論和建構(gòu)思想為立足點(diǎn)，以學(xué)生為中心點(diǎn)的一種教學(xué)理念.課堂教學(xué)過程采取模塊化分解，強(qiáng)調(diào)學(xué)生的參與意識(shí)及課程反饋結(jié)果，將課堂教學(xué)環(huán)節(jié)分為6個(gè)階段[6]：① Bridge-in：精心設(shè)計(jì)課堂引入；②Objective：設(shè)置學(xué)習(xí)目標(biāo)和教學(xué)目標(biāo)；③Pre-test：課前知識(shí)檢測(cè)；④Participatory Learning：變課堂教學(xué)為以學(xué)生為中心的參與式學(xué)習(xí)；⑤Post-test：課后測(cè)驗(yàn)學(xué)習(xí)效果和教學(xué)效果；⑥Summary：對(duì)課堂內(nèi)容及時(shí)梳理與總結(jié).每個(gè)環(huán)節(jié)均為獨(dú)立模塊，但前后又互相銜接，構(gòu)成完整教學(xué)過程.

BOPPPS教學(xué)模式由于其靈活的教學(xué)組織形式，在各個(gè)專業(yè)各個(gè)課程都有很強(qiáng)的實(shí)用性和可操作性.以問題為驅(qū)動(dòng)式的BOPPPS課堂教學(xué)，不僅能拉近師生、生生之間的距離，而且能有效實(shí)現(xiàn)“生生互動(dòng)、師生互動(dòng)”，因此，越來越受教師和學(xué)生歡迎.本文結(jié)合《離散數(shù)學(xué)》的學(xué)科特點(diǎn)，運(yùn)用BOPPPS教學(xué)模式，有效提高教學(xué)質(zhì)量，實(shí)現(xiàn)從“教”向“育”轉(zhuǎn)變.

2 教學(xué)改革探索與實(shí)踐

由于離散數(shù)學(xué)涉及的內(nèi)容十分廣泛，而且概念多，章節(jié)跳躍性強(qiáng)，前后章節(jié)知識(shí)點(diǎn)聯(lián)系性弱等特點(diǎn)，因此每部分講解的方式都要“因地制宜”，不能千篇一律.以數(shù)學(xué)知識(shí)為代表的圖論為例，它能通過構(gòu)造點(diǎn)線關(guān)系將實(shí)際復(fù)雜的問題簡(jiǎn)單化處理，打破傳統(tǒng)數(shù)學(xué)思維特點(diǎn).因此，在課堂教學(xué)組織過程中，必須“求異創(chuàng)新”，打破傳統(tǒng)教學(xué)束縛，以圖論中最短路徑問題為授課內(nèi)容，傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)方式為：最短路徑定義—最短路思想—最短路算法流程—例題講解—課堂練習(xí)—課后作業(yè).采取BOPPPS教學(xué)模式設(shè)計(jì)如下：

(i)趣味引入，調(diào)動(dòng)學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，導(dǎo)入主題，是開啟BOPPPS有效教學(xué)的前提.

興趣是學(xué)習(xí)的原動(dòng)力，新穎的開頭既要像“磁鐵”一樣深深吸引學(xué)生專注課堂學(xué)習(xí)，提高學(xué)習(xí)興趣；又要像“魚鉤”一樣勾起學(xué)生強(qiáng)烈的學(xué)習(xí)欲望，激發(fā)好奇心.因此，在講最短路徑概念之前，先設(shè)置一個(gè)開放性的題目，以學(xué)校外賣配送為例，假如你是一名快遞員，如何規(guī)劃你所行駛的路線，使得能在顧客指定時(shí)間送達(dá)的同時(shí)，走的路程盡可能短且送的貨物盡可能多？

(ii)明確課堂教學(xué)目標(biāo)和學(xué)習(xí)目標(biāo)，是BOPPPS有效教學(xué)的保障，也是衡量主題導(dǎo)入效果的一把尺子.

受傳統(tǒng)教育教學(xué)的影響，當(dāng)前的課程教學(xué)普遍留在為“應(yīng)試”而設(shè)置的教與學(xué)的框架內(nèi).“課程的重點(diǎn)是什么，哪些內(nèi)容哪些章節(jié)期末一定會(huì)考，哪些內(nèi)容不考，哪些抽象難懂的定理不講，不講的不考……”，教師講解的是教學(xué)大綱規(guī)定的教學(xué)內(nèi)容與任務(wù)，教材之外的知識(shí)一概不講；而學(xué)生的學(xué)習(xí)則是完全被動(dòng)地接受了既定教材和課本的知識(shí)，學(xué)生的學(xué)習(xí)過多的依賴“課本”，老師過多的追求“準(zhǔn)確率”，學(xué)生過高的追求“通過率”.這樣的應(yīng)試教育的結(jié)果，學(xué)生僅僅成為“聽課”者或者“看課”者或者“觀賞”者或者“旁觀”者，而不是真正的學(xué)習(xí)者.與大數(shù)據(jù)、人工智能、互聯(lián)網(wǎng)廣泛應(yīng)用的今天，學(xué)習(xí)的內(nèi)容一定要“具有生活價(jià)值”的觀念相離甚遠(yuǎn).

因此，教師在授課過程中，一定要明確教學(xué)目標(biāo)和學(xué)習(xí)目標(biāo)，要明確告訴學(xué)生完成知識(shí)學(xué)習(xí)后如何分析問題？如何求解問題？求解什么樣的問題？求解到什么程度？等等.減少“了解”、“理解”、“掌握”等不確定性詞語的使用[7].另外，明確的學(xué)習(xí)目標(biāo)還必須具備5W要素：Who，Under what condition，Will do what，How well ，Why.即：學(xué)習(xí)對(duì)象是誰，在什么條件下學(xué)，將學(xué)到什么，怎樣學(xué)好，為什么學(xué).如表1.

表1 最短路徑5W要求設(shè)計(jì)

(iii)課前知識(shí)檢測(cè)，了解學(xué)生課前預(yù)習(xí)、已有知識(shí)與具備條件等情況，進(jìn)而調(diào)控課堂節(jié)奏，是BOPPPS有效教學(xué)的根本，也是課程目標(biāo)能否實(shí)現(xiàn)的試金石.

本課程借助于課堂派進(jìn)行線上線下混合式教學(xué)，課前在課堂派備課區(qū)設(shè)置一些開放性的題目，一般以選擇題、問卷題、判斷題、填空題等形式開放作答，如：①你認(rèn)為的最短路徑指的什么？路程最短？時(shí)間最少？費(fèi)用最少？還是都可以？②生活中，哪些地方會(huì)用到最短路徑？根據(jù)學(xué)生的回答情況，一方面可以事先了解學(xué)生的既有知識(shí)、興趣愛好與具備條件，另一方面可以在授課過程中有的放矢，適當(dāng)調(diào)整授課內(nèi)容的深度、廣度與進(jìn)度，把握課堂節(jié)奏，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生聚焦課程設(shè)定目標(biāo).

(iv)以問題為驅(qū)動(dòng)的參與式學(xué)習(xí)是BOPPPS有效教學(xué)的核心，是推進(jìn)課前知識(shí)檢測(cè)效果順利進(jìn)行的催化劑.

以電子交易量巨大的“6.18”或者“雙十一”為例，假設(shè)某快遞集散中心要給6000個(gè)客戶配送貨物，已知該集散中心只有10個(gè)快遞員，配送的客戶的位置已知，問：如何規(guī)劃快遞員的配送路線使得能既在每個(gè)客戶指定的時(shí)間送達(dá)的同時(shí)，又能一次性送更多的貨物，而且返回集散地的時(shí)間又是最短？

按“最鄰近地區(qū)” 的要求為學(xué)生搭建思路框架，將客戶的位置聚成10類，引導(dǎo)學(xué)生探索嘗試，運(yùn)用圖形構(gòu)建、推理構(gòu)建、公式構(gòu)建、思維構(gòu)建、問題構(gòu)建五種教學(xué)策略，啟迪學(xué)生開拓思路，引導(dǎo)學(xué)生嘗試自我建構(gòu)或者小組形式建構(gòu)新的解題方法及解題思路，并嘗試構(gòu)建新問題，開展以問題為驅(qū)動(dòng)，以學(xué)生為中心的探究式課堂.打破局限于教材的限制，鼓勵(lì)學(xué)生發(fā)散思維，最大程度發(fā)掘?qū)W生最感興趣的東西.最后通過課堂內(nèi)外、師生之間、生生之間的合作、交流和討論，完成知識(shí)的學(xué)習(xí)、吸收與轉(zhuǎn)化.

在以問題為驅(qū)動(dòng)的整個(gè)探究式課堂中，不僅改變了學(xué)生被動(dòng)聽課現(xiàn)象，而且教師還可以從中引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)自主學(xué)習(xí)，教會(huì)學(xué)生在琳瑯滿目的各種信息中，在聯(lián)系緊密的紛繁復(fù)雜的世界中尋找生活的價(jià)值意義，真正實(shí)現(xiàn)從“教”向“育”轉(zhuǎn)變、從“教”向“導(dǎo)”[8]轉(zhuǎn)變.讓學(xué)生學(xué)會(huì)從浩瀚的知識(shí)海洋中“大浪淘沙”，獲取有益的知識(shí)，形成智慧，最終實(shí)現(xiàn)“會(huì)學(xué)”，進(jìn)而到“慧學(xué)”.

(v)通過設(shè)置與前測(cè)“遙相呼應(yīng)”的題目檢測(cè)學(xué)生的學(xué)習(xí)效果和教師的教學(xué)效果，是BOPPPS有效教學(xué)的關(guān)鍵，也是參與式學(xué)習(xí)效果的升華劑.

模塊知識(shí)學(xué)習(xí)結(jié)束后，可將一個(gè)復(fù)雜知識(shí)拆分，通過設(shè)置選擇題、判斷題、簡(jiǎn)答題、問卷調(diào)查題的形式進(jìn)行與前測(cè)問題相呼應(yīng)，對(duì)模塊知識(shí)進(jìn)行總結(jié)反饋.例如：如果你現(xiàn)在不是快遞員，而是老板，想在X城市新建若干個(gè)快遞收發(fā)中心，你會(huì)怎樣選擇位置？通過后測(cè)，一則可以檢驗(yàn)學(xué)生學(xué)習(xí)的效果，二則可以衡量教師教學(xué)效果，三則可以進(jìn)行可行性分析，從而調(diào)整后續(xù)教學(xué)活動(dòng).

(vi)對(duì)課堂內(nèi)容及時(shí)梳理與總結(jié)，構(gòu)建知識(shí)框架，是BOPPPS有效教學(xué)的靈魂，起到承前啟后作用.

課堂內(nèi)容結(jié)束后，要及時(shí)對(duì)所學(xué)內(nèi)容梳理與總結(jié)，借助于脈絡(luò)清晰的思維導(dǎo)圖、魚骨圖等形式，幫助學(xué)生形成良好的知識(shí)結(jié)構(gòu)，讓學(xué)生明確離散數(shù)學(xué)在后續(xù)專業(yè)的地位，從而“撥開云霧見青天”.如圖1為BOPPPS有效教學(xué)模式環(huán)環(huán)相扣的閉環(huán)圖.

圖1 BOPPPS教學(xué)模式閉環(huán)圖

3 教學(xué)效果

美國的威廉·亞瑟·沃德曾說過：“平凡的老師告知，認(rèn)真的老師解釋，優(yōu)秀的老師演繹，偉大的老師啟發(fā).”通過近兩年BOPPPS模式離散數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐，學(xué)生參與課堂的積極性、學(xué)生對(duì)授課老師的認(rèn)同度、學(xué)生的學(xué)習(xí)成績及解決實(shí)際問題的能力都有明顯提高！圖2是17、18級(jí)計(jì)算機(jī)、軟件、信息與計(jì)算科學(xué)專業(yè)的學(xué)生對(duì)課堂教學(xué)的真實(shí)評(píng)價(jià)圖！從圖中可以看出，學(xué)生非常認(rèn)可該授課模式.圖3是信息與計(jì)算科學(xué)教學(xué)改革后17、18級(jí)學(xué)生與教學(xué)改革前15、16級(jí)學(xué)生成績對(duì)比圖，從圖中可以看出，教學(xué)改革后，學(xué)生的不及格率大幅減少，平均分、高分人數(shù)和優(yōu)秀率大幅提高，改革效果非常好.圖4是學(xué)生學(xué)以致用掌握能力問卷調(diào)查圖，讓學(xué)生選出最擅長最感興趣的問題進(jìn)行求解，從圖中可以看出，通過以問題為驅(qū)動(dòng)的參與式學(xué)習(xí)，學(xué)生學(xué)習(xí)積極性很高，解決問題的能力得到鍛煉！改革效果良好！

離散數(shù)學(xué)(18信息)Q1老師教學(xué)很認(rèn)真,對(duì)學(xué)生很好,給老師點(diǎn)贊.離散數(shù)學(xué)(18信息)Q1好離散數(shù)學(xué)(18信息)Q1例題講解很詳細(xì)離散數(shù)學(xué)(18計(jì)算機(jī))(1班)Q1教學(xué)態(tài)度認(rèn)真離散數(shù)學(xué)(18計(jì)算機(jī))(1班)Q1認(rèn)真負(fù)責(zé)離散數(shù)學(xué)(18計(jì)算機(jī))(1班)Q1老師很好,很耐心離散數(shù)學(xué)(17信息)Q1有自己的獨(dú)特方法及對(duì)學(xué)生掌握程度有豐富理解離散數(shù)學(xué)(17信息)Q1老師課上講解很詳細(xì)離散數(shù)學(xué)(17信息)Q1教學(xué)認(rèn)真離散數(shù)學(xué)(17信息)Q2讓學(xué)生實(shí)踐離散數(shù)學(xué)(17軟件)(1班)Q1非常優(yōu)秀!離散數(shù)學(xué)(17軟件)(1班)Q1教學(xué)認(rèn)真,上課很好, 人很好,氣氛好離散數(shù)學(xué)(17軟件)(1班)Q1講課清晰離散數(shù)學(xué)(17軟件)(1班)Q2我們繼續(xù)好好學(xué)習(xí)天天向上離散數(shù)學(xué)(17軟件)(1班)Q1上課超級(jí)認(rèn)真講的很詳細(xì)離散數(shù)學(xué)(17軟件)(1班)Q1好離散數(shù)學(xué)(17軟件)(1班)Q1更好學(xué)習(xí)離散數(shù)學(xué)離散數(shù)學(xué)(17軟件)(1班)Q1很棒離散數(shù)學(xué)(17軟件)(1班)Q1上課積極跟學(xué)生互動(dòng),提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣離散數(shù)學(xué)(17軟件)(1班)Q1教學(xué)認(rèn)真離散數(shù)學(xué)(17軟件)(1班)Q1有效引導(dǎo)學(xué)生參與課堂學(xué)習(xí)離散數(shù)學(xué)(17軟件)(1班)Q2都很好離散數(shù)學(xué)(17軟件)(1班)Q2對(duì)于學(xué)生來說,良好的上課氛圍,課下的活動(dòng)教學(xué),相結(jié)合才是當(dāng)今應(yīng)有的教學(xué)模式

圖2 學(xué)生真實(shí)評(píng)價(jià)情況圖

圖3 改革前后教學(xué)效果對(duì)比圖

圖4 學(xué)生學(xué)以致用掌握問卷調(diào)查情況統(tǒng)計(jì)

4 結(jié) 論

基于BOPPPS模式的離散數(shù)學(xué)課堂教學(xué)設(shè)計(jì)，改變了傳統(tǒng)“滿堂灌”授課方式和“重理論輕實(shí)踐”教學(xué)觀念，充分調(diào)動(dòng)了學(xué)生參與課堂的積極性，課堂氛圍良好.課堂外，借助于校企合作平臺(tái)，引入雙創(chuàng)教育、項(xiàng)目驅(qū)動(dòng)等，引導(dǎo)學(xué)生大膽思考與實(shí)踐，并鼓勵(lì)學(xué)生發(fā)表相關(guān)論文、申請(qǐng)專利、參與項(xiàng)目開發(fā)、學(xué)科競(jìng)賽等，學(xué)生的課內(nèi)外學(xué)習(xí)氛圍和學(xué)習(xí)熱情充分調(diào)動(dòng)起來！學(xué)生成績和動(dòng)手實(shí)踐能力明顯提高，改革效果良好！

致謝作者非常感謝相關(guān)文獻(xiàn)對(duì)本文的啟發(fā)以及審稿專家提出的寶貴意見.