曹宏舉， 郭巧麗

(1.大連外國語大學 軟件學院，遼寧 大連116044； 2.大連東軟信息學院 計算機科學與技術系，遼寧 大連116026)

1 引 言

線性代數是理工、經管類等專業(yè)學生必修的重要數學基礎課，并且現在線性代數已經滲透到工程、經濟、信息、社會等各個領域[1].但因為線性代數本身計算復雜、高度抽象、邏輯性強、概念多和結論多等特點，再加上傳統(tǒng)教學重計算、重推理、輕應用，導致課程枯燥乏味，學生學習時往往不知道該課程的用處.這就使得學生不知為何學、不知學有何用，從而喪失了學習的興趣和動力，最終學生認為課程難學、老師認為課程難教.在教育部號召“金課”的背景下，如何打破學與用之間的壁壘，為學生打開一扇窗，讓學生在陰暗枯燥的學習暗室內可以看到窗外繁盛的應用之花，正是本文要討論的內容.

2 強化線性代數應用教學的必要性

(i)激發(fā)學生學習內在能動性的需要.傳統(tǒng)的線性代數教學忽視了應用的教學，導致學生要么在“將來肯定能用的上”的自我安慰中悶頭學習，要么在“學這何用”的質疑中放棄[2].通過強化應用教學，可以讓學生更好地了解到線性代數的應用，可以激發(fā)學生的學習熱情和興趣，從而實現“要我學”到“我要學”的轉變.

(ii)提升教師自身教學水平的需要.如果授課教師長時間按照傳統(tǒng)教學方式講解傳統(tǒng)的教學內容，會使得自己的教學內容和教學方式與時代越來越脫節(jié)，這無益于提升自己的教學水平、改善教學效果、完成“立德樹人”的根本任務.反之，如果老師能夠充分認識到加強應用教學的重要性，積極尋找相關應用的切入點，既可以更新自己的知識結構，使自己的知識獲得源頭活水，也能夠更好地充實教學內容、提升教學水平、改善教學效果.

(iii)打造“金課”、破除“水課”的需要.2018年11月，教育部高教司吳巖司長提出了“金課”的標準，即高階性、創(chuàng)新性、挑戰(zhàn)度[3].高階性就是知識能力素質的有機融合，是要培養(yǎng)學生解決復雜問題的綜合能力和高級思維；創(chuàng)新性是指課程內容要反映前沿性和時代性，教學形式呈現先進性和互動性，學習結果具有探究性和個性化；挑戰(zhàn)度是指課程要有一定難度，需要跳一跳才能夠得著，老師備課和學生課下有較高要求.通過強化線性代數的應用教學，特別是和現代工程技術相關的應用，可以更好地擠壓課程的水分、提高課程的含金量.

(iv)落實學院人才培養(yǎng)目標的需要.因為筆者教授的學生均為我校軟件學院學生，所以線性代數教學改革服務于學院的辦學定位和人才培養(yǎng)目標.我院面向東北亞區(qū)域經濟發(fā)展和軟件行業(yè)，以行業(yè)需求為導向、以工程實際為背景、以工程技術為主線，構建了“基本技能培養(yǎng)、專業(yè)技能培訓、綜合技能培育”上下貫通的多層次實踐教學體系，同時具備外語院校語言優(yōu)勢和IT企業(yè)資源綜合優(yōu)勢，著重培養(yǎng)兼具中國情懷和國際化視野的“計算機+外語”應用型人才.通過強化線性代數的應用教學，一方面可以讓學生了解線性代數的工程實際背景，讓他們較深入地了解線性代數應用和工程技術的緊密關系，達到培養(yǎng)基本技能、培訓專業(yè)技能和培育綜合技能的目標；另一方面，加強線性代數的應用教學，也可以為學生從事工程技術的學習和工作奠定必要的數學基礎.

3 強化線性代數應用教學的實踐

3.1 強化線性代數應用教學的原則

基于強化線性代數應用教學的必要性分析，立足我院實際，我們積極穩(wěn)妥地開展相關實踐，并借鑒了李大潛院士在[4]中提出的將數學建模思想融入數學類主干課程的意見，堅持以下原則：

(i)線性代數為主、相關應用為輔的原則.順利完成線性代數的教學任務、保證線性代數的教學效果，是進行相關教學改革的出發(fā)點和落腳點.強化線性代數的應用教學，是這些改革的一個切入點，不能用線性代數的應用教學代替線性代數教學，防止應用喧賓奪主，否則只會過度增加學生的學習負擔，最終使學生線性代數基礎知識和線性代數應用兩個方面都掌握不好.

(ii)自然、有效、簡潔的原則.教學時選用的線性代數的應用應該不需要太多的鋪陳，通過簡短的介紹，就可以讓應用與線性代數相關知識自然、有效地結合.這種水到渠成的結合，可以讓學生輕松地感受到線性代數知識和相關應用之間的銜接，從而使學生體驗到線性代數知識在實際中的廣泛應用.

(iii)碎片化的原則.強化線性代數的應用教學，不追求這些應用自成體系、自我完善，選擇線性代數的有關知識，進行碎片化的應用講解，利用這些應用增加相關知識的趣味性和實用性.

3.2 強化線性代數應用教學的內容選擇

線性代數中有很多知識點都有極強的應用背景，在準備線性代數的應用素材時，我們參閱了大量的教材和論文，并從中進行精心選擇，匯總如表1所示.

表1 線性代數知識及其應用

(續(xù)表1)

表1中8、10、11、13、14，涉及到的線性代數知識比較綜合，具有一定的挑戰(zhàn)性，需要略微鋪陳或推導；其余的應用涉及到的線性代數的知識都較為簡單，對學生來說挑戰(zhàn)性不太大，相關應用可以在講課時作為例題講解，不需要額外花費太多時間.

3.3 強化線性代數應用與數學建模的區(qū)別

需要說明的是，本文所說的強化線性代數應用與數學建模有很多的不同：

(i)過程不同.數學建模，是根據實際問題建立數學模型，對數學模型進行求解，然后根據結果去解決實際問題，每一個環(huán)節(jié)都需要過渡和訓練；強化線性代數應用，是針對線性代數的某些知識點，通過強化應用以增加有關知識的趣味性，讓學生更好地學習到有關知識，這些知識點和應用之間的銜接較為簡單、直接，不需要或者不需要太多鋪陳和訓練.

(ii)目的不同.數學建模，是為了訓練學生分析實際問題、建立數學模型、利用數學知識進行相關計算和根據計算結果去解決實際問題的能力；強化線性代數應用，則是為了讓學生更好地掌握線性代數中的相關知識點，把數學應用作為更好地完成教學目標的輔助手段.

(iii)要求不同.數學建模，作為一個完整的過程，每個環(huán)節(jié)都必須讓學生得到較為系統(tǒng)的訓練，使學生通過學習數學建?？梢垣@得一定的分析問題和解決問題的能力；強化線性代數應用，是為了增加有關知識點的實用性和趣味性，因此對于應用的要求較為靈活.

4 調查與反饋

為了貫徹教育部有關“金課”標準的要求，也為了增加學生對工程實際背景的了解、培養(yǎng)學生的工程技術素養(yǎng)，在筆者進行的教學實踐中，表1中標號為2、8、11、13、14的應用都是相關班級必講的內容；表1中標號為10的應用因為較復雜，在教學過程中，是作為素材提供給學生，供學生自學；表1中列舉的其余應用，我們所使用的教材[5]中已經詳細給出了講解，因此我們會根據具體情況，有選擇性地進行講解.課程結束時，對加強線性代數應用的教與學的情況進行了調查.共計發(fā)放調查問卷153份，回收問卷127份，均為有效問卷.

4.1 強化線性代數應用教學的必要性認知調查

為了解學生對于線性代數應用教學的必要性認知，設計了三個問題，問題及調查結果如表2所示，表中數字是選擇該選項的學生的占比，后文表格中數字同理.

表2 強化線性代數應用教學的必要性認知的問題設置及調查結果

以上問題表明:相當高比例(89.8%)的同學對線性代數的應用性抱有懷疑或疑惑的態(tài)度，如果老師不及時增加線性代數應用的教學，隨著學習難度的加大、知識的累計和問題的疊加，學生學習線性代數的內在動力必然會逐漸受到打擊.此外，大部分同學也希望在課程的學習過程中能夠涉及到一些線性代數的應用，同時他們又不希望給自己帶來太大壓力.

4.2 線性代數應用的自學情況調查

為了解學生對于線性代數應用的自學情況，設計了四個問題，問題及調查結果如表3所示.

表3 線性代數應用的自學情況的問題設置及調查結果

以上問題表明：學生在學習線性代數應用時，對課堂教學存在一定的依賴性.這就要求老師要結合學生的實際需求和接受能力，在內容選擇、講解方式等方面進行更精心的準備.

4.3 強化線性代數應用的教學情況調查

為了解學生對于線性代數應用教學情況的體會，設計了四個問題，問題及調查結果如表4所示.

表4 強化線性代數應用的教學情況問題設置及調查結果

以上問題表明：通過線性代數應用的教學，學生對于線性代數應用的認知得到了進一步提高，同時也提高了學生學習線性代數的興趣.因此，99.2%的學生對于我們加強線性代數應用的教學改革持肯定態(tài)度.

關于“就我們講的線性代數的應用的數量，你的感覺是”，需要說明的是：鑒于筆者著重講解的為表1中的標號為2、8、11、13、14的應用，屬于難度較大的應用，特別是奇異值分解(表1中的標號為14)，有41.7%的同學認為它在這五個應用中是最難的；而最小二乘法(表1中的標號為8)，因為筆者是從微積分的角度切入，過渡到線性代數，學生接受起來較為容易，因此有66.1%的同學認為它是最簡單的(排名第一)，同時也有33.1%的同學表示最感興趣(排名第一).由此可見，在講解線性代數應用時，既要考慮“金課”的標準，同時也要考慮學生的基礎和接受程度，另外任課教師講解有關內容時也要注意方式和方法.

5 調查綜合分析

本論文設計的調查問卷涵蓋了強化線性代數應用教學的必要性、教學各個環(huán)節(jié)和教學效果等多方面的問題，主要反映出來的問題有：

(i)對應用教學的必要性認知和學習主動性之間的差異

問題 盡管93.7%的同學認為有必要加強線性代數應用的教學，并且55.9%的同學也反應通過加強線性代數應用的教學，可以提高自己的學習興趣，但如果只把材料提供給學生，完全讓學生自學，就會有56.7%的學生不能自學相關內容.

措施 一方面需要注意通過布置學習任務、設置學習小組等方式，督促學生完成一些相對簡單的應用的學習；另一方面，任課教師可以在課堂上對一些應用進行點題、指導或詳細講解等多種方式進行學習引領.經過教和學兩方面努力，進一步提升學生的自學能力、幫助學生打開線性代數的應用之門.

(ii)“金課”標準和學生接受能力之間的差異

問題 從“金課”的標準上講，講授線性代數的應用需要一定的難度；考慮到學生的接受能力和數學基礎等因素，如果講的線性代數的應用太難，又會讓學生望而生畏，反而進一步打擊了學生學習的信心和興趣.如奇異值分解，本來是線性代數的一個很重要的應用，但從講解的效果看，相對于41.7%的學生的接受能力和基礎而言，還是有些偏難.

措施 任課老師要平衡好“金課”標準和學生的接受能力，防止二者之間出現難以逾越的鴻溝，要讓老師的講解和相關素材的提供能夠架起一座溝通之橋，使學生通過一定的努力即可以完成相關應用，讓學生能夠在線性代數基礎知識和線性代數應用兩方面都有收獲.

6 下一步設想

強化線性代數應用是我們推進線性代數教學改革、增加線性代數課程含金量、強化課程工程實際背景的一個嘗試.根據調查問卷、個別訪談以及課堂觀察等渠道獲得的信息，可以從以下三個方面進行繼續(xù)探索：

(i)實施翻轉課堂.因為線性代數的應用范圍較廣，再加上線性代數課時、班型等方面的限制，所以完全依賴課堂講解來推進線性代數應用的教學非常不現實.考慮到學生在數學基礎和接受能力等方面的差異，同時為了督導學生學習相關應用，可以實施翻轉課堂，即：由教師提供一些有關線性代數應用的課題或學習指導，讓學生組成學習小組，小組成員之間相互配合、分工協(xié)作，在課前完成相關應用的主要學習，老師在課堂上再進行必要補充、檢測或完善.

(ii)開展數學實驗.線性代數的計算較多，特別是涉及到矩陣的初等變換，對此，在確保學生已經基本掌握相關計算的前提下，可以適當減少不必要的繁瑣計算；通過例題等方式直觀展示一些結論，適當減少理論推導；引導學生利用MATLAB等軟件進行科學計算，對有關知識進行驗證或歸納.這樣做的優(yōu)點是[15]：一方面能節(jié)省課堂教學時間，讓老師有更多的時間講解線性代數的應用；另一方面也能讓學生從復雜的數學計算中解脫出來，從而更有精力和心情去了解線性代數的應用.此外，熟練操作MATLAB軟件，也是現代工程領域的必備素養(yǎng)之一，通過把線性代數和MATLAB相結合，也能培養(yǎng)學生的工程技術素養(yǎng).

(iii)探索教學內容.任課教師要發(fā)揮團隊優(yōu)勢，多方面搜集、整理和研習線性代數的相關應用，特別是與自己研究方向有關的一些簡單應用.通過給學生介紹貼近工程實際、體現工程技術的線性代數應用的素材，讓學生從中了解到線性代數與前沿科技的銜接，激發(fā)學生的興趣、訓練學生的基礎，教師甚至可以從中發(fā)現具有一定研究能力的學生，并將其吸納到自己的研究團隊，提升學生的創(chuàng)新能力.

7 結 論

在線性代數教學過程中增加有關知識的應用的講解，是我們貫徹教育部倡導的“金課”標準的一個嘗試，也是執(zhí)行我院的發(fā)展定位和人才培養(yǎng)目標的一個舉措.教學實踐表明，這項教學實驗不僅契合了學生了解線性代數應用的需求，而且可以提高學生的學習興趣，達到了我們預設的目標.但一方面需要照顧到課時、學生的數學基礎、學習興趣和課余時間等諸多限制，另一方面需要根據“金課”標準，確定素材的選擇、講解的難度、應用的深度等，如何平衡這兩方面的需求，也需要在后續(xù)教學實踐中不斷完善.

致謝作者非常感謝相關參考文獻對本文的啟發(fā)以及審稿專家提出的寶貴意見.