葛存飛，劉慶龍，徐志強(qiáng)，陳 榴

（1.杭州中能汽輪動(dòng)力有限公司汽輪機(jī)研究所，杭州 310018；2.無錫市厚德自動(dòng)化儀表有限公司，江蘇江陰 214413；3.上海理工大學(xué)能源與動(dòng)力工程學(xué)院，上海 200093）

葉輪機(jī)械是能源轉(zhuǎn)化為電力最重要的動(dòng)力機(jī)械，葉片作為實(shí)現(xiàn)動(dòng)能轉(zhuǎn)化為機(jī)械能的重要做功部件，其安全性關(guān)系到整個(gè)葉輪機(jī)械的順利運(yùn)行。葉片長期運(yùn)行在極為復(fù)雜的工作條件下，并承受氣流沖擊以及旋轉(zhuǎn)機(jī)械振動(dòng)等一系列力，因此葉片的振動(dòng)安全性分析一直是葉片設(shè)計(jì)研發(fā)的難題之一。在蒸汽輪機(jī)中，特別是低壓級(jí)組中的長扭葉片設(shè)計(jì)最為復(fù)雜。從國內(nèi)數(shù)據(jù)看，末級(jí)葉片損壞占葉片故障統(tǒng)計(jì)總數(shù)的52.94%，其中60%～80%的葉片損壞的原因是振動(dòng)疲勞損傷或者斷裂，因此研究長扭葉片振動(dòng)安全性能尤為重要。

葉片激振力是指使葉片產(chǎn)生振動(dòng)的脈沖氣流力等的作用力。研究激振力就是研究其發(fā)生機(jī)制，通過分析其大小和頻率，進(jìn)而得到葉片振動(dòng)疲勞特性。葉輪機(jī)械內(nèi)部流動(dòng)本質(zhì)上是三維非定常復(fù)雜流動(dòng)，非定常作用將直接在葉片上產(chǎn)生非定常負(fù)荷，引起葉片振動(dòng)。早期的非定常研究主要依靠試驗(yàn)和理論，很多學(xué)者把試驗(yàn)結(jié)果與理論進(jìn)行了對(duì)比，發(fā)現(xiàn)了試驗(yàn)得到的結(jié)果與當(dāng)時(shí)的一元理論相去甚遠(yuǎn)［1］。隨著氣動(dòng)理論的完善和計(jì)算流體力學(xué)（CFD）的發(fā)展，很多學(xué)者通過理論分析和數(shù)值模擬的方法對(duì)葉片非定常的受力進(jìn)行分析研究［2-6］，并且得出了很多具有工程意義的結(jié)論。

目前，對(duì)于葉片受力的研究著重在各種不同的因素影響下的葉片振動(dòng)激振力計(jì)算方法的研究［7］。但是這些計(jì)算方法只能得到非定常激振力的頻率，卻無法準(zhǔn)確得到非定常激振力的數(shù)值。在理論推導(dǎo)中一般采用放大系數(shù)等的經(jīng)驗(yàn)參數(shù)來估算。工程應(yīng)用中針對(duì)具體葉片具體機(jī)組，經(jīng)驗(yàn)參數(shù)波動(dòng)較大，導(dǎo)致沒法得到精確結(jié)果。特別是末級(jí)扭葉片，受到排氣管或者排缸的徑向排汽結(jié)構(gòu)影響較大，末級(jí)扭葉片的研發(fā)通常需要攜帶排缸進(jìn)行三維非定常分析［8］。這項(xiàng)數(shù)值分析任務(wù)需要末級(jí)動(dòng)靜整圈葉柵和排缸耦合建模，規(guī)模龐大，研發(fā)工作可能需要幾個(gè)月甚至幾年，在實(shí)際設(shè)計(jì)研發(fā)中很少采用。多數(shù)研發(fā)和校核工作是在理論計(jì)算結(jié)合定常分析的基礎(chǔ)上進(jìn)行的，所以確定性較差，對(duì)葉片疲勞壽命評(píng)估較為吃力。因此，有效地預(yù)估汽輪機(jī)中的非定常激振力特性，對(duì)提高汽輪機(jī)葉片的優(yōu)化設(shè)計(jì)具有重要的意義。本文在結(jié)合 TBR（transient blade row）［9］計(jì)算和定常 FFT（fast fourier transformation）變換的基礎(chǔ)上，提出了一種有效的非定常激振力的計(jì)算方法。

1 分析方法和理論

末級(jí)動(dòng)葉受到的激振力有很多種，末級(jí)來說一般不存在部分進(jìn)汽，故除開由于加工制造和安裝裝配引起的周向結(jié)構(gòu)不均勻以外，影響末級(jí)最大的兩個(gè)激振力因素是靜葉噴嘴出口的尾跡不均勻和排缸徑向排汽導(dǎo)致的周向不均勻。由于大功率發(fā)電用汽輪機(jī)的末級(jí)動(dòng)葉片頻率基本上低于150 Hz。若靜葉噴嘴只數(shù)為60只，則靜葉噴嘴出口尾跡的不均勻激振力頻率至少應(yīng)該為50 Hz×60＝3 000 Hz。該頻率遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于150 Hz，因此靜葉噴嘴出口高頻激振力對(duì)末級(jí)影響很小。對(duì)于末級(jí)來說，主要的研究對(duì)象著重于排缸結(jié)構(gòu)引起的周向不均勻。

凝汽式汽輪機(jī)的背壓一般由凝汽器來維持穩(wěn)定。排缸一般都設(shè)計(jì)為徑向排汽，導(dǎo)致排缸在周向的靠近排汽位置側(cè)壓力較低，相應(yīng)的另外一側(cè)壓力較高。末級(jí)動(dòng)葉片在一個(gè)旋轉(zhuǎn)周期內(nèi)將會(huì)經(jīng)歷一次壓力震蕩，每個(gè)旋轉(zhuǎn)周期所經(jīng)歷的壓力震蕩一致，因此引入傅里葉變換。傅里葉變換的思想可以簡述為，如果一個(gè)時(shí)域中的周期性函數(shù)，則可以轉(zhuǎn)化為一個(gè)繞著中心旋轉(zhuǎn)的柱坐標(biāo)系上的頻域函數(shù)。其中的θ角即該頻域函數(shù)的相位角，其旋轉(zhuǎn)的時(shí)間函數(shù)t自變量轉(zhuǎn)變?yōu)棣?，任何一個(gè)滿足狄里赫萊條件的周期性函數(shù)可以用傅里葉級(jí)數(shù)進(jìn)行展開。

傅里葉變換公式：

傅里葉變換實(shí)質(zhì)是時(shí)域轉(zhuǎn)化為頻域函數(shù)的過程，將原來關(guān)于時(shí)間t的時(shí)域函數(shù)f（t）轉(zhuǎn)變?yōu)轭l率ω的頻域函數(shù)F（ω）。

傅里葉逆變換公式：

傅里葉逆變換的實(shí)質(zhì)是頻域轉(zhuǎn)化為時(shí)域函數(shù)的過程。

在末級(jí)動(dòng)靜葉片與排缸組成的系統(tǒng)中，排缸對(duì)末級(jí)動(dòng)葉的影響主要體現(xiàn)在壓力周向不均勻性。在末級(jí)扭葉片的激振力分析中引入傅里葉逆變換的思想：采用三維定常方法得到排缸參數(shù)（主要是壓力）沿周向分布，通過傅里葉逆變換，將動(dòng)葉出口周向壓力分布轉(zhuǎn)化為關(guān)于時(shí)間的壓力脈動(dòng)函數(shù)，作為單流道出口邊界條件，實(shí)現(xiàn)單流道模擬整圈排缸對(duì)動(dòng)葉片的影響。末級(jí)動(dòng)葉出口壓力隨時(shí)間的參數(shù)脈動(dòng)是以汽輪機(jī)旋轉(zhuǎn)一周為周期而且實(shí)際運(yùn)行連續(xù)，可劃分為有限個(gè)單調(diào)區(qū)間（圈數(shù)），壓力函數(shù)為有限值，且絕對(duì)可積，滿足狄里赫萊條件。

將末級(jí)動(dòng)葉出口壓力P，沿周向按傅里葉級(jí)數(shù)展開，則有

式中：ω是旋轉(zhuǎn)角速度；ˉP是末級(jí)動(dòng)葉出口壓力整圈按時(shí)間的平均值；k是末級(jí)動(dòng)葉出口壓力脈動(dòng)階次；PK是第k階末級(jí)動(dòng)葉出口壓力值；φK是排汽壓力值的相位角。

動(dòng)葉出口壓力脈動(dòng)變?yōu)闀r(shí)域函數(shù)后，結(jié)合TBR（transient blade row）方法，利用單流道，采用非定常方法計(jì)算背壓不均勻性對(duì)動(dòng)葉流場的影響，而不再使用動(dòng)靜葉只數(shù)的最小公倍數(shù)流道，令網(wǎng)格規(guī)模成倍縮減，計(jì)算量大幅降低，計(jì)算效率增加。

2 計(jì)算流程和實(shí)例

圖1給出了計(jì)算流程圖。動(dòng)葉出口壓力周向分布，需要通過整圈加排缸的三維定常耦合計(jì)算獲得。相對(duì)于非定常的耦合計(jì)算，其計(jì)算量及所需的計(jì)算資源都較少。一般的非定常計(jì)算需要多個(gè)時(shí)間步，除去前面參數(shù)波動(dòng)未趨于穩(wěn)定的時(shí)間步以外，至少需要5～6個(gè)穩(wěn)定周期，而每個(gè)周期都需要多個(gè)時(shí)間步來計(jì)算。楊杰等［10］研究兩級(jí)渦輪葉片的定常與非定常比較發(fā)現(xiàn)，同樣的網(wǎng)格和計(jì)算域，非定常綜合成本大約是定常計(jì)算成本的176倍。按照一般的非定常耦合計(jì)算，本文計(jì)算的綜合成本可能超過200倍。而采用本文提出的在定常FFT變換的基礎(chǔ)上結(jié)合TBR計(jì)算，則可以節(jié)約大量的時(shí)間和綜合成本。

圖1 計(jì)算流程框圖

以某汽輪機(jī)組N50-8.83的末級(jí)葉片激振力計(jì)算為例，其末級(jí)葉片長度是668 mm，設(shè)計(jì)排汽壓力為8 kPa。假定定常計(jì)算結(jié)果經(jīng)過FFT變換以后，整圈動(dòng)葉出口壓力隨時(shí)間的脈動(dòng)函數(shù)P只有傅里葉一階級(jí)數(shù)，高階級(jí)數(shù)均為零。此時(shí)由于僅有一個(gè)Sin函數(shù)，其相位只與起始位置有關(guān)，而和其他波形沒有關(guān)系，故可令ψ1＝0，且可以假定脈動(dòng)幅值p1為的1%。則有

圖2展示了作為P的壓力脈動(dòng)隨時(shí)間的變化圖表，實(shí)際應(yīng)用中分離出來末級(jí)出口壓力可能存在二階甚至高階級(jí)數(shù)，可以查看幅值大小確定影響，如果影響較小適當(dāng)予以忽略。

圖2 壓力-時(shí)間脈動(dòng)

將式（4）的壓力值放入單流道的模型中作為出口條件，末級(jí)進(jìn)出口參數(shù)展示在表1中。其單流道模型，僅有一個(gè)動(dòng)靜葉組流道，網(wǎng)格規(guī)模通過無關(guān)性驗(yàn)證。靜葉片模型網(wǎng)格n數(shù)為20萬，動(dòng)葉網(wǎng)格數(shù)為25萬。計(jì)算采用SST（shear stress transport）湍流模型，二階迎風(fēng)空間格式計(jì)算，瞬態(tài)流場分析采用TBR模塊，瞬態(tài)計(jì)算時(shí)間步長為1e-5 s。

表1 末級(jí)邊界條件及非定常計(jì)算總時(shí)

3 結(jié)果分析

整個(gè)瞬態(tài)計(jì)算耗費(fèi)資源見表2，可以看到對(duì)瞬態(tài)來說，由于僅采用單流道，其內(nèi)存和CPU使用量，運(yùn)算總時(shí)間比較少，綜合成本下降較快。以綜合成本計(jì)算（計(jì)算總和成本為CPU內(nèi)存和時(shí)間乘積），單流道TBR計(jì)算資源是全環(huán)非定常計(jì)算的2.3‰，不計(jì)內(nèi)存資源，計(jì)算速度提升約8倍。

表2 末級(jí)單流道瞬態(tài)計(jì)算資源消耗

通對(duì)瞬態(tài)計(jì)算的結(jié)果進(jìn)行后處理，提取壓力已經(jīng)穩(wěn)定的一個(gè)周期進(jìn)行分析。圖3給出了4個(gè)不同時(shí)刻的動(dòng)葉壓力云圖?？梢园l(fā)現(xiàn)在t＝0.025 s時(shí)刻，壓力均勻，出口面型底壓力出現(xiàn)了低壓區(qū)域，可能是瞬時(shí)出現(xiàn)了一定的回流。而在t＝0.027 5 s時(shí)入口面型底出現(xiàn)壓力峰值區(qū)域，呈長條形出現(xiàn)在壓力面的頭緣附近，其出氣邊型底壓力提升到背壓平均值上下。

圖3 不同時(shí)刻的動(dòng)葉表面壓力云圖

在t＝0.03 s時(shí)刻，壓力峰值區(qū)域向葉片吸力面移動(dòng)，尾緣附近出現(xiàn)同圖3（a）的小壓力情況，而在t＝0.032 5 s時(shí)刻，型底背壓出現(xiàn)壓力峰值，甚至其大小超過了入口壓力，可能是背壓調(diào)整和越過尾跡區(qū)域后突變引起的?？梢詮膸讉€(gè)圖中看到：壓力隨時(shí)間的變化呈周期性且變化較為明顯。瞬態(tài)葉片的受力和穩(wěn)態(tài)受力結(jié)果很不一樣，因此分析葉片詳細(xì)受力的時(shí)候必須通過瞬態(tài)流場計(jì)算再結(jié)合瞬態(tài)結(jié)構(gòu)分析才能得到最接近真實(shí)的結(jié)果。

為了更好地說明葉片受力隨時(shí)間的變化，對(duì)葉片表面力做FFT變換。在耦合計(jì)算中，直接提取葉片表面壓力隨時(shí)間的變化數(shù)值導(dǎo)入瞬態(tài)結(jié)構(gòu)分析中。在本文中由于不再具體進(jìn)行瞬態(tài)結(jié)構(gòu)耦合分析，直接提取了葉片表面力（Force）作為研究對(duì)象。葉片表面力其實(shí)分為3個(gè)分量，本文提取了其中2個(gè)z和y、z向是軸向力，y是切向力（周向力）。圖4展示了2個(gè)方向力隨著時(shí)間的變化，其中圖4（a）顯示了葉片的軸向受力，僅提取了其中一個(gè)時(shí)間周期。可以看到：葉片受力的周期性比較明顯，且幅值也相應(yīng)變化。圖4（c）顯示的結(jié)果幾乎與圖4（a）相同，唯一區(qū)別是幅值和相位有所差別。圖4（b）和圖4（d）分別顯示了軸向和周向受力葉片的FFT變換圖，其縱坐標(biāo)是振幅（magnitude）。這兩圖中橫坐標(biāo)0 Hz位置均出現(xiàn)非常高的幅值，可認(rèn)為這就是葉片受力的傅里葉展開后的第0階級(jí)數(shù)的幅值，即葉片受力的時(shí)間平均值。Fz的時(shí)間平均值約為33 N，F(xiàn)y的時(shí)間平均值約為51 N。同時(shí)在0～200 Hz之間出現(xiàn)了一個(gè)較小的峰值，其頻率在50～100之間?？烧J(rèn)為這個(gè)是由于背壓變化引起的傅里葉級(jí)數(shù)，但由于背壓變化可能影響級(jí)前壓力和靜葉的出口壓力分布，因此其產(chǎn)生的對(duì)葉片表面受力的激振頻率可能發(fā)生遷移。

圖4 軸向和周向葉片表面力及FFT變換

由于本次模擬的背壓一階幅值僅取了1%，其振幅較小。剩余兩個(gè)較大的峰值出現(xiàn)在1 000 Hz和2 000 Hz附近，這應(yīng)該是由于靜葉噴嘴出口的尾跡不均勻?qū)е碌膭?dòng)葉壓力脈動(dòng)頻率，由于背壓脈動(dòng)導(dǎo)致了高階倍數(shù)頻率的出現(xiàn)。不過這個(gè)頻率距離葉片的固有頻率相去甚遠(yuǎn)，不能激發(fā)葉片共振。

背壓頻域變化的加入導(dǎo)致了原有動(dòng)葉片受力發(fā)生改變，且可能在動(dòng)靜葉片之間也出現(xiàn)了壓力波動(dòng)，因此對(duì)于該問題還需要進(jìn)行更加詳細(xì)的分析。本文方法已被驗(yàn)證是可行的，且計(jì)算時(shí)間和占用的系統(tǒng)資源遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于傳統(tǒng)的非定常計(jì)算。

4 結(jié)論

1）FFT將空間轉(zhuǎn)換到時(shí)間，使定常數(shù)據(jù)可用于非定常計(jì)算。

2）利用FFT變換結(jié)合TBR方法實(shí)現(xiàn)瞬態(tài)單流道非定常計(jì)算方法模擬實(shí)際問題是可行的，TBR方法的計(jì)算綜合成本是全環(huán)非定常計(jì)算的2.3‰，不計(jì)內(nèi)存消耗，計(jì)算速度提升約8倍。

3）通過實(shí)例驗(yàn)證了該方法的可行性和效率，并給出了計(jì)算結(jié)果。結(jié)果表明：其背壓壓力波動(dòng)的存在影響了靜葉噴嘴出口壓力脈動(dòng)大小和頻率。