孫 虎 (同濟(jì)大學(xué)附屬實驗中學(xué) 201805)

在基礎(chǔ)教育階段，學(xué)生除了要在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中掌握基本的數(shù)學(xué)知識，發(fā)展數(shù)感、符號意識、空間和數(shù)據(jù)分析觀念、運(yùn)算和推理能力、幾何直觀、模型思想以及應(yīng)用和創(chuàng)新意識等關(guān)鍵能力，還要養(yǎng)成數(shù)學(xué)地思考和表達(dá)問題的能力．[1]交流表達(dá)能力不僅是數(shù)學(xué)能力的構(gòu)成成分之一，而且對于思維能力、推理能力、問題解決能力等其他數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)具有輔助作用．[2]《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》就提出，學(xué)生要能夠在數(shù)學(xué)活動中清晰地表達(dá)自己的想法，要能在問題解決的過程中學(xué)會與他人合作交流[3]，為后續(xù)在高中階段發(fā)展數(shù)學(xué)建模和數(shù)據(jù)分析等核心素養(yǎng)及“用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界”做好準(zhǔn)備．

在實際的教學(xué)過程中，隨著年級的增加，學(xué)生的交流與表達(dá)熱情卻逐漸降低，這一現(xiàn)象的產(chǎn)生除了受到教學(xué)內(nèi)容難度增加的影響，還有教學(xué)策略方面的因素．在教學(xué)過程中，教師往往將學(xué)生的交流和表達(dá)放在課題引入和課堂小結(jié)階段，對學(xué)生表達(dá)內(nèi)容的關(guān)注也局限于內(nèi)容是否符合教學(xué)主題，表達(dá)方式是否流暢、清晰，常常忽視“教表達(dá)”對學(xué)生數(shù)學(xué)思維的提升作用．[4]這也導(dǎo)致了學(xué)生在向同伴闡述自己的觀點時常常會有“不知道怎么說”“想說的事情不能準(zhǔn)確地表達(dá)”以及“不知道對方是否明白我的意思”等困難的產(chǎn)生．[5]可見，對學(xué)生數(shù)學(xué)交流表達(dá)能力的培養(yǎng)，還需要在意識層面獲得足夠的重視，在實踐層面進(jìn)行深度的探索與優(yōu)化．

1 交流與表達(dá)能力的認(rèn)識

1.1 交流與表達(dá)能力的內(nèi)涵

數(shù)學(xué)交流就是指用數(shù)學(xué)的語言來傳遞信息和情感的過程．[2]良好的數(shù)學(xué)交流過程就是將自己習(xí)得和理解的數(shù)學(xué)知識、技能、思想方法以及情感態(tài)度等通過口頭或者書面的形式傳遞給對方的過程．在交流的形式上，數(shù)學(xué)交流既可以是人與人的交流，也可以是人與數(shù)學(xué)書籍等文字資料的交流，其本質(zhì)都是借助數(shù)學(xué)語言和符號來促進(jìn)數(shù)學(xué)思維的發(fā)展和數(shù)學(xué)知識的拓寬．在交流的特點上，與生活中的交流相比，數(shù)學(xué)交流的語言是一種更抽象、更準(zhǔn)確、更簡約以及更加形式化的專業(yè)語言，且以符號語言、文字語言和圖表語言為交流的載體．在交流的價值上，數(shù)學(xué)交流既是解決數(shù)學(xué)問題的前提,也是數(shù)學(xué)的最終歸宿.作為信息傳遞的方式，任何數(shù)學(xué)問題都需要通過交流來促進(jìn)理解，任何已經(jīng)解決的問題也都需要通過數(shù)學(xué)交流來進(jìn)行傳播．

1.2 交流與表達(dá)能力的數(shù)學(xué)學(xué)科價值

交流和表達(dá)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中分享觀點和澄清理解的一種重要方式．?dāng)?shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程就是多元表征符號系統(tǒng)的建構(gòu)過程，在數(shù)學(xué)教學(xué)的過程中，高質(zhì)量的交流與表達(dá)也會促進(jìn)數(shù)學(xué)表達(dá)的聽、說、讀、寫以及思維能力的發(fā)展．通過數(shù)學(xué)交流與表達(dá)，學(xué)生不僅能夠更深刻地理解數(shù)學(xué)，還能夠發(fā)展他們使用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)表達(dá)闡釋自己數(shù)學(xué)觀點的能力、解決復(fù)雜情境問題的能力、發(fā)展數(shù)學(xué)表達(dá)的專業(yè)語言體系，同時在交流的過程中養(yǎng)成批判思維與辯證思維．學(xué)生可以在交流的過程中反思、精煉、討論和修正數(shù)學(xué)觀點，與他人交流學(xué)習(xí)結(jié)果的過程，也是思維和推理邏輯更清晰的過程．

數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)實質(zhì)上就是數(shù)學(xué)語言的學(xué)習(xí)．?dāng)?shù)學(xué)理論幾乎都是由概念和命題組成的邏輯體系來表現(xiàn)．有觀點認(rèn)為，數(shù)學(xué)語言就是數(shù)學(xué)模型．[6]學(xué)生用數(shù)學(xué)語言表達(dá)客觀世界，實質(zhì)上就是將所學(xué)數(shù)學(xué)知識構(gòu)建數(shù)學(xué)模型應(yīng)用于外部世界，用數(shù)學(xué)模型刻畫客觀世界中研究對象的性質(zhì)、關(guān)系與規(guī)律．[4]特別是在大數(shù)據(jù)時代，借助模型對數(shù)據(jù)進(jìn)行分析和處理變得越來越重要，在這個過程中必然會促成數(shù)學(xué)思維和能力的發(fā)展．在代數(shù)方面表示、表達(dá)和交流數(shù)與符號的信息，在幾何方面描述實物或圖形運(yùn)動和變化的情況、描述物體的位置關(guān)系，在邏輯推理方面清晰、有條理地表達(dá)自己的思考過程等等都建立在良好交流與表達(dá)能力的基礎(chǔ)上，可見交流與表達(dá)能力的發(fā)展必然會影響數(shù)學(xué)能力的發(fā)展．

1.3 交流與表達(dá)能力的育人價值

通過數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，在數(shù)學(xué)表達(dá)能力方面，要能用數(shù)和符號來表達(dá)和交流信息，能選擇適當(dāng)?shù)某绦蚝头椒ń鉀Q問題，能清晰、有條理地表達(dá)和解釋自己的思考過程與問題解決的結(jié)果，能用文字、符號或圖表等清楚地表達(dá)解決問題的過程，并解釋結(jié)果的合理性；在數(shù)學(xué)交流能力方面，學(xué)生要能夠在與他人交流的過程中，運(yùn)用數(shù)學(xué)語言合乎邏輯地進(jìn)行討論與質(zhì)疑，學(xué)會與人合作，能與他人交流思維的過程和結(jié)果，認(rèn)識到數(shù)學(xué)是解決實際問題和進(jìn)行交流的重要工具．[3]在這些發(fā)展目標(biāo)中，尤其重視“清晰地表達(dá)自己的想法”和“學(xué)會與他人合作交流”能力的發(fā)展．

在以上交流與表達(dá)能力的育人價值及育人目標(biāo)中，包含了較為完整的目標(biāo)指向．結(jié)合我國的教學(xué)實際，對交流與表達(dá)素養(yǎng)的能力發(fā)展更加注重自我反思及與內(nèi)心的交流，同時較為注重交流與表達(dá)的條理性，一般會要求學(xué)生能夠有條理、清晰地表達(dá)自己的想法，還要能夠較好地理解他人的思考方法和結(jié)論并能夠針對他人所提的問題進(jìn)行反思．通過在交流與表達(dá)中傾聽、交流和思考，除了能夠促進(jìn)學(xué)生對知識的深度理解，還能夠在學(xué)習(xí)經(jīng)歷中獲得學(xué)習(xí)體驗．同時，通過在學(xué)習(xí)活動中獨(dú)立思考、展示交流和質(zhì)疑批判，還有助于學(xué)生交流能力的發(fā)展，形成終身受益的數(shù)學(xué)素養(yǎng)．

2 交流與表達(dá)能力培養(yǎng)的案例研究

2.1 在交流引導(dǎo)中促進(jìn)數(shù)學(xué)概念的理解

案例1在學(xué)習(xí)完二次函數(shù)圖象以后，有位學(xué)生找到筆者說出了心中的困惑．

生：老師您好，我們在尋找二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸交點的時候，是令ax2+bx+c=0，然后根據(jù)判別式的情況進(jìn)行研究．我的困惑是：當(dāng)二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸有一個公共點時，對應(yīng)的一元二次方程ax2+bx+c=0有兩個相等的實數(shù)根，為什么一個公共點可以對應(yīng)著兩個實數(shù)根？我們是不是應(yīng)該將前半句表述改為“當(dāng)二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸有兩個重復(fù)的點時”呢？

師：看樣子你已經(jīng)認(rèn)識到了二次函數(shù)的圖象和一元二次方程的根之間存在的深度聯(lián)系．那你覺得二次函數(shù)的圖象和一元二次方程的根之間有什么區(qū)別呢？

生：二次函數(shù)的圖象是由無數(shù)個x和對應(yīng)的y生成的點組成的，一元二次方程的根是確定的．

師：很好，這說明二次函數(shù)的值是由自變量決定的，從圖象上看就是y隨著x的取值不同而產(chǎn)生無數(shù)個點的過程，而且這是一個連續(xù)、動態(tài)的變化過程，而一元二次方程是靜態(tài)的．

生：我好像有點明白了，二次函數(shù)的圖象與x軸的交點是由自變量x的取值決定的，所以當(dāng)函數(shù)圖象與x軸有一個交點時只有一個對應(yīng)的自變量，所以看成一個點而不是兩個重復(fù)的點．

師：就是這個意思．

生：那為什么一元二次方程判別式等于零的時候就是兩個相等的實根，而不是一個實根呢？

師：如果把一元二次方程的兩個相等實根看成一個實根的話，你還能看出x-3=0和(x-3)2=0的差別嗎？

生：確實看不出它們的差別了，但是解一元二次方程的結(jié)果明明是同一個數(shù)……

師：其實我們在解高次方程的時候都是把方程化為幾個一次因式相乘的形式，上面的(x-3)2=0要看成兩個因式相乘的形式(x-3)(x-3)=0，這時候你會發(fā)現(xiàn)這個方程確實是有兩個相同的解的．

生：我明白了，這就類似于如果abc=0，則有a=0或b=0或c=0，他們是三個相同的根．

師：對的．

案例評析師生交流是教學(xué)過程中最常發(fā)生的場景，也是教師了解學(xué)生真實想法最寶貴的時機(jī)．在案例1中，當(dāng)教師遇到學(xué)生詢問問題時，先引導(dǎo)學(xué)生梳理與之相關(guān)的數(shù)學(xué)信息，在學(xué)生表述完他的想法以后，教師再用數(shù)學(xué)的語言對學(xué)生的表達(dá)內(nèi)容進(jìn)行轉(zhuǎn)述，在轉(zhuǎn)述的過程中讓學(xué)生自己尋找到問題解決的突破口．這一過程既鍛煉了學(xué)生用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)恼Z言表達(dá)數(shù)學(xué)的能力，同時，學(xué)生通過交流與表達(dá)完善了認(rèn)知體系中的相關(guān)數(shù)學(xué)概念，還暗示學(xué)生可以在產(chǎn)生問題的時候通過“自我問答”的方式解決問題，培養(yǎng)解決數(shù)學(xué)問題的自信心．

2.2 在同伴討論中體會數(shù)學(xué)的簡潔美

案例2在“畫線段的和、差、倍”的教學(xué)過程中，有一個活動環(huán)節(jié)是用尺規(guī)作圖尋找線段的中點，幾位學(xué)生之間發(fā)生了如下對話：

生A：那我以B為圓心作弧的時候再把半徑取長一點嘛！

生B：那你畫出來的圖的兩個交點就都靠近點A了，還怎么能找到中點？

圖1

生A：我不是你理解的那個意思(說著拿出一幅圖,如 圖1)，這樣不是也可以找到線段中點嘛．

生B：你這么畫倒也沒問題……

生C：線段既是軸對稱也是中心對稱圖形，你這樣畫是沒問題的，但是總感覺沒那么簡潔．

生A：難怪課本上這樣敘述，雖然我的作法也可以找到線段中點，但是比較繁瑣，原來課本上是直接給出了最簡潔的一種作圖方法．

案例評析學(xué)生之間每天都會發(fā)生很多與案例2類似的對話，這些對話可能是來源于靈機(jī)一動的靈感，也可能是來源于困惑許久的問題．同伴之間的討論與交流，不會有師生之間存在的天然隔閡，討論的問題可以更加深入，彼此的觀點可以在交流過程中得到充分交換．在案例2中，幾位學(xué)生討論了用尺規(guī)作圖的方法尋找線段的中點，通過對作圖方法的深度思考并與同伴進(jìn)行交流，發(fā)現(xiàn)了一些教材之外的方法，共同經(jīng)歷了作圖方法的優(yōu)化，體會到了數(shù)學(xué)學(xué)科中問題解決方法的“多樣美”和問題結(jié)果的“簡潔美”．

2.3 在教學(xué)引導(dǎo)中促進(jìn)思維品質(zhì)的提升

案例3在學(xué)習(xí)完“整式”一章后的一節(jié)習(xí)題課上，發(fā)生了如下一段對話：

師：對于“若m2-2m-1=0，則代數(shù)式2m4-4m3-4m的值是多少？”，我們可以怎樣思考？

生1：我覺得可以把代數(shù)式化為2m2(m2-2m)-4m，然后就可以將m2-2m=1代入，得到2m2-4m，從而得到代數(shù)式的值為2．

生2：我是將m2-2m-1=0化為m2=2m+1，然后代入代數(shù)式2m4-4m3-4m，得到2(2m+1)2-4m(2m+1)-4m，化簡得8m2+8m+2-8m2- 4m-4m，合并同類項之后直接得到代數(shù)式的值為2．

師：兩位同學(xué)都用了自己的方法獲得了正確的結(jié)果，大家看看他們選擇的方法有什么異同？

生3：生1將m2-2m當(dāng)成一個整體，不需要進(jìn)行很多運(yùn)算就可以解決問題，生2通過將m2-2m-1=0化為m2=2m+1，將代數(shù)式的次數(shù)逐漸降低來獲得結(jié)果．

生4：生1的方法需要先找到“整體”，但是并不是在所有問題中都能夠找到這個“整體”，生2的方法雖然看上去運(yùn)算較多，但是適用的情況更多，比較通用．

師：生3和生4都說出了兩位同學(xué)使用方法的內(nèi)涵，生1的方法是我們在后續(xù)學(xué)習(xí)過程中常用的“換元”的方法，使問題簡化，能夠更清晰地看出問題的真面目，生2的方法是在解決高次問題中常會接觸到的“降次”的方法，兩種方法各有優(yōu)勢，大家可以在后續(xù)的問題解決中繼續(xù)體會兩者的異同．

案例評析課堂教學(xué)過程中，師生群體交流是數(shù)學(xué)思維發(fā)展與能力培養(yǎng)的主要方式．案例3通過較為典型的“發(fā)問—反饋—追問—思辨—總結(jié)”的師生交流與表達(dá)方式，探尋多種問題解決方式的特點．在這一過程中，學(xué)生們通過展示問題解決的想法及方法獲得解決問題的成就感，通過思考同伴的表達(dá)發(fā)展思辨意識．教師在這一過程中通過引導(dǎo)學(xué)生思考和交流，在培養(yǎng)學(xué)生交流與表達(dá)能力的同時，也讓學(xué)生意識到數(shù)學(xué)問題可以從不同角度進(jìn)行思考，問題解決策略也有適用情境和特點，引導(dǎo)學(xué)生選擇自己擅長的方式解決問題，從而促進(jìn)學(xué)生思維品質(zhì)的提升．

3 交流與表達(dá)能力的培養(yǎng)策略

3.1 加強(qiáng)數(shù)學(xué)語言的教學(xué)

數(shù)學(xué)語言是數(shù)學(xué)交流與表達(dá)的工具，在交流與表達(dá)過程中正確使用數(shù)學(xué)語言是理解交流內(nèi)容和本質(zhì)的前提．由于數(shù)學(xué)語言具有簡潔性的特點，當(dāng)學(xué)生在閱讀數(shù)學(xué)概念、定理或證明過程時，首先需要了解出現(xiàn)的每個數(shù)學(xué)術(shù)語和數(shù)學(xué)符號的含義，數(shù)學(xué)語言發(fā)展水平低的學(xué)生可能存在信息接收不敏感，文字、符號和圖形等三種語言之間的轉(zhuǎn)換不流暢，利用數(shù)學(xué)語言進(jìn)行信息交換受阻等問題．

在教學(xué)過程中，教師可以通過加強(qiáng)數(shù)學(xué)詞匯意義的理解教學(xué)，比如揭示數(shù)學(xué)專有詞匯、符號和圖形的內(nèi)涵來促進(jìn)數(shù)學(xué)語言的發(fā)展．也可以通過加強(qiáng)三種數(shù)學(xué)語言的相互轉(zhuǎn)換教學(xué)，比如可以通過將“兩個數(shù)的平方的差等于這兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的乘積”這一數(shù)學(xué)概念的文字表述用符號語言和圖形語言進(jìn)行轉(zhuǎn)譯來促進(jìn)數(shù)學(xué)知識的內(nèi)化和數(shù)學(xué)語言的發(fā)展．對于一些特殊數(shù)學(xué)符號的教學(xué)，還可以通過介紹其引入的必要性來幫助學(xué)生自然地內(nèi)化相關(guān)知識．

3.2 引導(dǎo)學(xué)生積極表達(dá)

數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)離不開數(shù)學(xué)思想的交流，觀點與觀點的碰撞交流往往能夠迸發(fā)出對數(shù)學(xué)內(nèi)容更深層次的理解，而學(xué)生是否愿意交流則顯得很關(guān)鍵．課堂的數(shù)學(xué)交流一般是由教師發(fā)起并進(jìn)行引導(dǎo)，教師在數(shù)學(xué)交流過程中的作用至關(guān)重要，在引導(dǎo)的過程中，能否激發(fā)學(xué)生的表達(dá)興趣與欲望對交流的質(zhì)量有重要的影響．

在交流過程中，教師可以通過將最終的問題分拆為幾個難度逐級遞增的小問題來培養(yǎng)學(xué)生的成就感、激發(fā)學(xué)生的表達(dá)欲望．當(dāng)學(xué)生遇到表達(dá)困難時，可以及時對所提問題進(jìn)行解釋或者補(bǔ)充描述，鼓勵學(xué)生說出哪怕部分觀點和想法，也可以在提出問題以后給予學(xué)生足夠的交流和思考的時間．在交流表達(dá)的過程中，鼓勵學(xué)生及時地對同伴的交流內(nèi)容進(jìn)行補(bǔ)充與反饋，培養(yǎng)學(xué)生的自我效能和思辨意識．

3.3 豐富交流表達(dá)方式

數(shù)學(xué)交流與表達(dá)的形式比較多樣，既可以是生生之間的對話，也可以是師生之間的討論，甚至可以是與數(shù)學(xué)書面形式語言的交流．信息傳遞的方向可以是闡述自我觀點的輸出，也可以是對對方觀點聆聽的輸入．表達(dá)的方式既可以是口頭表達(dá),也可以是書面表達(dá)，以上種種豐富的表達(dá)形式為教師的教學(xué)提供了不同的選擇．

教師可以讓學(xué)生用自己喜歡的方式進(jìn)行數(shù)學(xué)交流．比如將思維過程用語言、算式、圖表等記錄下來進(jìn)行展示，或者在教學(xué)過程中通過小組合作的形式，選派小組代表進(jìn)行數(shù)學(xué)觀點的表述和交流，然后同伴進(jìn)行補(bǔ)充，還可以通過數(shù)學(xué)寫作的方式與別人交流自己在學(xué)習(xí)中的收獲，或者通過為學(xué)生提供表達(dá)的邏輯框架，讓學(xué)生的表達(dá)形式更加規(guī)范，并在此過程中提高表達(dá)的能力．

數(shù)學(xué)交流的目的是為了更好地理解數(shù)學(xué)，而理解數(shù)學(xué)的目的又是為了更好地交流，數(shù)學(xué)理解和數(shù)學(xué)交流之間是互為因果的關(guān)系．教師在教學(xué)過程中除了可以通過以上策略提高學(xué)生的表達(dá)能力，還可以通過為學(xué)生提供規(guī)范的表達(dá)示范——教師本身就是數(shù)學(xué)表達(dá)很好的榜樣，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注數(shù)學(xué)的多重表征以增加表達(dá)方式的選擇、加強(qiáng)數(shù)學(xué)閱讀指導(dǎo)以豐富和完善數(shù)學(xué)語言系統(tǒng)、關(guān)注學(xué)生語言表達(dá)過程中的缺陷以及時完善語言表達(dá)等方式，對初中生的交流與表達(dá)能力進(jìn)行培養(yǎng)．