汪夢(mèng)甫　肖詩(shī)穎

摘 ? 要：提出了在模態(tài)測(cè)試的基礎(chǔ)上識(shí)別得到指數(shù)型非粘滯阻尼系統(tǒng)中阻尼系數(shù)矩陣的方法. 通過(guò)求解一個(gè)帶約束最優(yōu)化問(wèn)題，得到滿足系統(tǒng)特征方程的最優(yōu)修正阻尼系數(shù)矩陣. 考慮了實(shí)際模態(tài)測(cè)試中得到的模態(tài)參數(shù)的非完備性，可以利用有限的低階模態(tài)，較為準(zhǔn)確地識(shí)別出系統(tǒng)的阻尼系數(shù)矩陣，但隨著系統(tǒng)的非粘滯阻尼特性逐漸增強(qiáng)時(shí)，想要精確識(shí)別出阻尼系數(shù)矩陣所需要的模態(tài)數(shù)目會(huì)逐漸增加. 同時(shí)，進(jìn)一步考慮到模態(tài)測(cè)試中復(fù)模態(tài)的虛部受噪聲影響較大，提出了阻尼矩陣識(shí)別過(guò)程中對(duì)復(fù)模態(tài)虛部進(jìn)行更新的方法，使之滿足指數(shù)型阻尼系統(tǒng)特征方程，且利用上述方法得到的復(fù)模態(tài)虛部，能較為精確地識(shí)別出阻尼系數(shù)矩陣. 由于目前對(duì)松弛因子識(shí)別的研究較少，在模態(tài)更新方法的基礎(chǔ)上提出了不依賴于復(fù)模態(tài)虛部的松弛因子識(shí)別公式，并通過(guò)數(shù)值算例，驗(yàn)證了指數(shù)型非粘滯阻尼模型的阻尼識(shí)別方法及復(fù)模態(tài)更新方法的適用性和有效性，及松弛因子識(shí)別的準(zhǔn)確性. 最后通過(guò)懸臂梁的振動(dòng)測(cè)試進(jìn)行模態(tài)參數(shù)識(shí)別，并討論了指數(shù)阻尼模型的適用性和合理性.

關(guān)鍵詞：粘彈性;復(fù)模態(tài)分析;阻尼系數(shù);參數(shù)識(shí)別;拉普拉斯域

中圖分類號(hào)：TU311 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

Complex Modal Updating and Damping Matrix Recognition

of Exponentially Damping Systems

WANG Mengfu?，XIAO Shiying

（College of Civil Engineering，Hunan University，Changsha 410082，China）

Abstract：A method of identifying damping coefficient matrix in exponential non-viscous damping systems based on the modal test is proposed in this paper. By solving a constrained optimization problem，the optimal modified damping coefficient matrix satisfying the system characteristic equation is obtained;and considering the incompleteness of the modal parameters obtained in the actual mode test，the damping coefficient matrix of the system can be accurately identified by using the limited low-order modes. However，with the gradual enhancement of the non-viscous characteristics of the system，the number of modes needed to accurately identify the damping coefficient matrix gradually increases. Furthermore，a method of updating the imaginary part of the complex mode，which can be greatly affected by noise in the modal test，is proposed to satisfy the characteristic equation of the exponentially damping system in this paper;and as a result，the damping coefficient matrix can be accurately identified by using the updated complex-modal imaginary part. Due to the lack of research on the recognition of the relaxation parameter，an identification method of relaxation parameter which is independent of the imaginary part of complex mode is proposed based on the modal updating method. And then，through numerical studies，the applicability and effectiveness of the damping identification method and the complex modal correction method for the exponentially non-viscous damping model are verified，and the accuracy of relaxation factor recognition method is proved. Finally，the modal parameters of a cantilever beam are identified through the vibration test，and the applicability and rationality of the exponential damping model are discussed.

Key words：viscoelasticity;complex modal analysis;damping coefficients;parameter identification;Laplace domain

實(shí)際工程中振動(dòng)的發(fā)生通常不可避免，因此研究者們廣泛關(guān)注于如何通過(guò)結(jié)構(gòu)耗能（即阻尼）來(lái)進(jìn)行結(jié)構(gòu)減振. 但阻尼不能直接測(cè)量得到，而是根據(jù)假設(shè)的阻尼模型在宏觀上近似地表達(dá)，因此對(duì)阻尼模型的假設(shè)很大程度上影響著結(jié)構(gòu)動(dòng)力分析的準(zhǔn)確性和可靠性[1]. ?由于經(jīng)典粘滯阻尼模型自身存在不足，為了滿足工程界日益復(fù)雜的工程材料和結(jié)構(gòu)的需要，研究者們近年來(lái)提出了一些新的阻尼模型，最早由Biot[2]提出的卷積型非粘滯阻尼模型就是其中的一種. 該模型假設(shè)阻尼力不僅依賴于瞬時(shí)速度，而且與速度的時(shí)間歷程相關(guān)，數(shù)學(xué)表述為質(zhì)點(diǎn)速度與核函數(shù)的卷積[3]. 在Woodhouse、Adhikari等人[4-5]的進(jìn)一步發(fā)展下，卷積型非粘滯阻尼模型多年來(lái)得到了不同領(lǐng)域動(dòng)力分析的研究和應(yīng)用. 其中，作為卷積型阻尼模型的一個(gè)特例，指數(shù)阻尼模型在數(shù)學(xué)計(jì)算上較為簡(jiǎn)單，且能夠更加合理地表述阻尼的物理本質(zhì)，因此本文選擇對(duì)指數(shù)阻尼模型進(jìn)行研究.

結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的參數(shù)識(shí)別作為現(xiàn)代結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的反問(wèn)題之一，可以根據(jù)模態(tài)試驗(yàn)并結(jié)合理論分析來(lái)處理實(shí)際工程中的振動(dòng)問(wèn)題[6-8]. 然而此過(guò)程中，對(duì)阻尼矩陣的預(yù)估是難點(diǎn)，并且通常結(jié)構(gòu)阻尼值由經(jīng)驗(yàn)確定，并假定結(jié)構(gòu)各階模態(tài)阻尼比相同，這與實(shí)際情況不符[8]，因此有必要對(duì)結(jié)構(gòu)阻尼的識(shí)別進(jìn)行研究. 但目前的阻尼識(shí)別方法一般針對(duì)粘滯阻尼模型，對(duì)非粘滯阻尼模型阻尼識(shí)別的研究較少，國(guó)內(nèi)外主要有如下研究：Adhikari等[9]根據(jù)一階攝動(dòng)法，率先將復(fù)模態(tài)分析法擴(kuò)展到了指數(shù)型非粘滯阻尼模型的識(shí)別中去，然而該方法對(duì)模態(tài)參數(shù)識(shí)別的精度要求較高，且識(shí)別阻尼矩陣需要用到全模態(tài);潘玉華[10]在

Rayleigh阻尼模型的基礎(chǔ)上，提出了指數(shù)型比例阻尼模型，假設(shè)指數(shù)阻尼核函數(shù)的阻尼系數(shù)矩陣具有和Rayleigh阻尼相對(duì)應(yīng)的形式，并給出了相應(yīng)松弛因子的迭代計(jì)算方法;王禹[11]將阻尼矩陣分解法拓展到指數(shù)型非粘滯阻尼模型中，識(shí)別該模型的阻尼系數(shù)矩陣，該方法能夠在只獲得低階模態(tài)信息的情況下較為準(zhǔn)確地識(shí)別出阻尼系數(shù)矩陣.

在結(jié)構(gòu)參數(shù)識(shí)別過(guò)程中，通常需要依據(jù)一部分有限元模型分析值來(lái)識(shí)別所需要的真實(shí)值，但往往有限元理論分析結(jié)果與試驗(yàn)測(cè)量結(jié)果存在差異，因此可以依據(jù)試驗(yàn)結(jié)果對(duì)分析模型進(jìn)行更新，使得更新后的模型能更加精確地反應(yīng)結(jié)構(gòu)的動(dòng)力響應(yīng)[12]，從而提高結(jié)構(gòu)參數(shù)識(shí)別的準(zhǔn)確性.

基于以上研究背景，本文研究了在模態(tài)測(cè)試的基礎(chǔ)上對(duì)指數(shù)型阻尼模型中進(jìn)行阻尼系數(shù)矩陣識(shí)別及復(fù)模態(tài)更新的方法，并在此基礎(chǔ)上提出了新的松弛因子識(shí)別公式.

4 ? 數(shù)值算例分析

4.1 ? 案例1：模態(tài)參數(shù)精確時(shí)識(shí)別阻尼系數(shù)矩陣

為了驗(yàn)證本文提出的阻尼識(shí)別方法的適用性和有效性，利用文獻(xiàn)[11]中的7自由度系統(tǒng)進(jìn)行模擬計(jì)算. 該系統(tǒng)質(zhì)量矩陣、剛度矩陣和阻尼系數(shù)矩陣真實(shí)值分別為：

其中，μ為松弛因子. 假定分析阻尼系數(shù)矩陣CA = 0，權(quán)矩陣取為WC = diag（1 ?1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ?1），運(yùn)用式（28）識(shí)別指數(shù)型阻尼系數(shù)矩陣C. 松弛因子μ可被表示為[16]：

μ = ? ? ? ? ? ? ? （67）

式中：Tmin表示最高階無(wú)阻尼固有頻率所對(duì)應(yīng)的周期，這樣結(jié)構(gòu)的阻尼機(jī)制可以由γ的取值來(lái)控制，γ越小，阻尼機(jī)制就越接近于粘滯阻尼[16]. 下面分別取γ=0.002、0.2、2三種情況識(shí)別阻尼系數(shù)矩陣，具體阻尼系數(shù)識(shí)別值見(jiàn)表 1，表1中僅給出了阻尼系數(shù)矩陣對(duì)角線上的值的大小.

從表1中可看出，本文提出的方法能較好地識(shí)別出阻尼系數(shù)矩陣，但隨著γ的增大，系統(tǒng)的非粘滯阻尼特性逐漸增強(qiáng)時(shí)，想要精確識(shí)別出阻尼系數(shù)矩陣所需要的模態(tài)數(shù)目逐漸增加;當(dāng)γ增加到2時(shí)，需要取得全模態(tài)才能精確識(shí)別出阻尼系數(shù)矩陣.

當(dāng)γ取值較大時(shí)，對(duì)阻尼系數(shù)矩陣識(shí)別誤差較大且所需模態(tài)數(shù)較多的原因，認(rèn)為和文中識(shí)別公式（28）中的廣義逆矩陣（W 1/2

C ? ψ）+有關(guān). 通過(guò)MATLAB多次計(jì)算可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)γ值增大，矩陣ψ的條件數(shù)也逐漸增大，求廣義逆矩陣時(shí)精度難以提高，從而誤差變大. γ值一定時(shí)，隨著選取的模態(tài)階數(shù)增加，矩陣ψ的條件數(shù)減小，從而精度越高.

按文獻(xiàn)[11]的識(shí)別方法對(duì)阻尼系數(shù)矩陣進(jìn)行識(shí)別的結(jié)果見(jiàn)表2. 表2中給出的是能較為精確地得到阻尼系數(shù)矩陣所需的最小模態(tài)階數(shù)，以及在該模態(tài)階數(shù)下的阻尼矩陣識(shí)別情況. 將表1與表2的結(jié)果進(jìn)行比較，可以看出，在不同的取值以及不同的模態(tài)階數(shù)下，文獻(xiàn)[11]方法的識(shí)別精度均要高于本文的識(shí)別方法.

取文獻(xiàn)[17]中含指數(shù)阻尼的軸向振動(dòng)懸臂桿模型作為算例，分析兩種方法在對(duì)不同自由度下阻尼矩陣進(jìn)行識(shí)別的耗時(shí)情況. 該懸臂桿模型如圖1所示.

該懸臂桿單元質(zhì)量矩陣和單元?jiǎng)偠染仃嚪謩e為：

本文中該懸臂桿參數(shù)取為：ρ = 7.8 × 103 kg/m3為桿件密度;A = 6.25 × 10-4 m2為桿件截面面積;E = 2.1 × 1011 N/m3為彈性模量;L = 4 m為桿長(zhǎng);Le = L/n為每個(gè)桿單元的長(zhǎng)度;n為懸臂桿劃分的單元數(shù)目. 系統(tǒng)的阻尼系數(shù)矩陣設(shè)為C = α0 M + α1 K，其中系數(shù) α0 和α1取為：

α0 ?= 2ξ，α1 ?= 2ξ

式中：阻尼比ξ取0.05，第j階無(wú)阻尼固有頻率為ωj = π. 松弛因子μ按式（67）計(jì)算，其中γ取為1.

分別取n=10、20、40和80四種情況，按本文提出的方法和文獻(xiàn)[11]的識(shí)別方法取全模態(tài)識(shí)別阻尼系數(shù)矩陣C所需要的時(shí)間見(jiàn)表3. 從表3中可以看出，由于文獻(xiàn)[11]的識(shí)別過(guò)程涉及了大量的循環(huán)運(yùn)算，若結(jié)構(gòu)的自由度數(shù)較多，在利用MATLAB進(jìn)行求解時(shí)會(huì)耗時(shí)較長(zhǎng);在本文的方法中，結(jié)構(gòu)的自由度取值對(duì)運(yùn)算時(shí)間影響相對(duì)而言不大. 因此，在自由度較少的情況下，利用文獻(xiàn)[11]提出的阻尼系數(shù)矩陣識(shí)別方法可以得到更好的結(jié)果;在結(jié)構(gòu)自由度數(shù)較多時(shí)，如果有運(yùn)算時(shí)間上的需求，采用本文提出的方法則更有效率.

4.2 ? 案例2：復(fù)模態(tài)虛部更新后識(shí)別阻尼系數(shù)矩陣

取案例1中的7自由度系統(tǒng)作為算例進(jìn)行分析，取γ=0.02. 現(xiàn)給復(fù)模態(tài)虛部添加均值為0、標(biāo)準(zhǔn)差為0.1%的噪聲，復(fù)模態(tài)實(shí)部取為精確值，更新前阻尼矩陣的識(shí)別情況見(jiàn)表4.從表4中可以發(fā)現(xiàn)，只有取全模態(tài)進(jìn)行識(shí)別時(shí)，才能得到較為準(zhǔn)確的阻尼系數(shù)矩陣，但仍不是精確值;若取的模態(tài)值不全，即使是前六階，在該噪聲下的結(jié)果仍完全失真，數(shù)據(jù)失效顯著. 可以看出復(fù)模態(tài)虛部的準(zhǔn)確度對(duì)識(shí)別結(jié)果能造成影響.

按本文提出的復(fù)模態(tài)更新方法，對(duì)復(fù)模態(tài)虛部值進(jìn)行更新后，識(shí)別得到的阻尼系數(shù)矩陣對(duì)角線上數(shù)值見(jiàn)表5. 從表5中可看出，在對(duì)復(fù)模態(tài)虛部進(jìn)行更新后，精確識(shí)別出阻尼系數(shù)矩陣所需要的模態(tài)數(shù)目增加了，取得全模態(tài)便能精確識(shí)別出指數(shù)阻尼系數(shù)矩陣;對(duì)復(fù)模態(tài)進(jìn)行更新后可以排除噪聲對(duì)復(fù)模態(tài)虛部的干擾，反映出本文提出的復(fù)模態(tài)虛部計(jì)算公式（52）能滿足阻尼矩陣識(shí)別的需要.

4.3 ? 案例3：對(duì)松弛因子的識(shí)別

取案例1中的7自由度系統(tǒng)研究松弛因子識(shí)別式（64）～（66）的準(zhǔn)確性. 當(dāng)γ值較小時(shí)，如γ=0.002，該系統(tǒng)更接近于粘滯阻尼系統(tǒng)，按不同方式識(shí)別得到的γ值見(jiàn)圖2. 從圖2中可以看出，這3種識(shí)別公式均能較好地識(shí)別出松弛因子，按式（65）（66）獲得的松弛因子更接近原始值.

當(dāng)γ值較大時(shí)，如γ=2，此時(shí)該體系的阻尼機(jī)制表現(xiàn)為明顯的非粘滯阻尼特性，按不同方式識(shí)別得到的γ值見(jiàn)圖3.從圖3中可以看出，這3種識(shí)別公式也均能較好地識(shí)別出松弛因子，按式（65）獲得的松弛因子更接近原始值.

5 ? 試驗(yàn)分析

本小節(jié)將對(duì)一根混凝土懸臂梁構(gòu)件進(jìn)行錘擊振動(dòng)測(cè)試試驗(yàn)，對(duì)本文提出的阻尼系數(shù)矩陣方法進(jìn)行研究，并討論指數(shù)阻尼模型的適用性.

5.1 ? 試驗(yàn)概況

該懸臂梁試件配筋和尺寸信息如圖4所示. 試件采用C35普通混凝土，水泥采用42.5級(jí)普通硅酸鹽水泥. 縱筋采用HRB400級(jí)鋼筋，抗拉強(qiáng)度設(shè)計(jì)值為360 MPa，彈性模量為200 GPa;箍筋采用HPB300級(jí)光圓鋼筋，抗拉強(qiáng)度設(shè)計(jì)值為270 MPa.

該試件的參數(shù)為：密度ρ=2.41×103 kg/m3，截面積A=0.04 m2，彈性模量E=3.06×1010 N/m2，梁長(zhǎng)L=0.2 m.

振動(dòng)試驗(yàn)數(shù)據(jù)采集設(shè)備采用比利時(shí)公司的LMS錘擊測(cè)振系統(tǒng). 振動(dòng)測(cè)試前，將懸臂梁沿梁身均勻取10個(gè)錘擊作用點(diǎn)，并在頂部粘貼加速度傳感器. 錘擊法振動(dòng)測(cè)試試驗(yàn)示意圖見(jiàn)圖5. 測(cè)試時(shí)，用力錘依次對(duì)所標(biāo)記的10個(gè)測(cè)點(diǎn)進(jìn)行錘擊，利用數(shù)據(jù)采集儀記錄下每次錘擊時(shí)的力傳感器信號(hào)及加速度響應(yīng)信號(hào)，并計(jì)算得到每個(gè)錘擊點(diǎn)的頻響函數(shù)平均值. 本章的試驗(yàn)完成于湖南大學(xué)結(jié)構(gòu)實(shí)驗(yàn)室.

利用試件實(shí)測(cè)頻響函數(shù)曲線，在LMS.Test.Lab軟件上進(jìn)行分析，使用最小二乘復(fù)指數(shù)法 （LSCE） 可以估計(jì)出試件的頻率、阻尼比，并可以計(jì)算出相應(yīng)模態(tài)振型.

5.2 ? 結(jié)構(gòu)阻尼系數(shù)識(shí)別

首先將該試件質(zhì)量矩陣與剛度矩陣按有限元法進(jìn)行建模，只研究試件振動(dòng)方向上的平動(dòng)自由度，可以得到所需的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣分析值，均為10×10方陣. 按照文獻(xiàn)[18]提出的迭代算法，對(duì)分析質(zhì)量矩陣與分析剛度矩陣進(jìn)行修正，可得該試件修正后的質(zhì)量矩陣M和剛度矩陣K. 利用識(shí)別得到的前五階模態(tài)參數(shù)及修正后的質(zhì)量矩陣M和剛度矩陣K識(shí)別松弛因子μ. 按公式（65）計(jì)算得到的μ=145.868 s-1.

接下來(lái)按本文提出的復(fù)模態(tài)更新方法對(duì)該試驗(yàn)梁進(jìn)行復(fù)模態(tài)虛部的更新，并進(jìn)行指數(shù)阻尼系數(shù)矩陣識(shí)別，識(shí)別得到的阻尼系數(shù)矩陣如圖6所示. 由圖6可以看出，該識(shí)別出的阻尼矩陣的阻尼系數(shù)分布不是很明顯，可能與試驗(yàn)?zāi)B(tài)測(cè)量誤差有關(guān).

懸臂梁試件的前三階固有頻率及阻尼比分別按指數(shù)型非粘滯阻尼模型和Rayleigh阻尼模型的識(shí)別結(jié)果見(jiàn)表6.

從表6中可以看出，通過(guò)文中提出的方法按這兩種阻尼模型識(shí)別的固有頻率均接近試驗(yàn)實(shí)測(cè)值，但識(shí)別得到的阻尼比與實(shí)測(cè)值有差別. 試驗(yàn)測(cè)量得到的阻尼比為按單模態(tài)識(shí)別得到的各測(cè)點(diǎn)的每階模態(tài)平均值，而按這兩種阻尼模型識(shí)別得到的阻尼比為按整體模態(tài)計(jì)算分析的結(jié)果，從而帶來(lái)識(shí)別誤差. 與按指數(shù)阻尼模型計(jì)算得到的阻尼比相比，該試驗(yàn)梁采用Rayleigh阻尼模型計(jì)算出的第三階阻尼比與試驗(yàn)實(shí)測(cè)值相差較大，遠(yuǎn)大于實(shí)測(cè)值，這種誤差能顯著影響結(jié)構(gòu)的動(dòng)力特性. 指數(shù)阻尼模型由于參數(shù)松弛因子的存在，可以更為合理地?cái)M合結(jié)構(gòu)的阻尼特性.

6 ? 結(jié) ? 論

1）本文提出了指數(shù)阻尼系統(tǒng)中對(duì)阻尼系數(shù)矩陣識(shí)別的方法，通過(guò)求解一個(gè)帶約束的優(yōu)化問(wèn)題，利用權(quán)函數(shù)矩陣及初始分析阻尼矩陣，獲得滿足系統(tǒng)特征方程的阻尼系數(shù)矩陣;該方法不需要測(cè)得全模態(tài)，可以獲得比較高的識(shí)別精度，但隨著系統(tǒng)的非粘滯阻尼特性逐漸增強(qiáng)時(shí)，想要精確識(shí)別出阻尼系數(shù)矩陣所需要的模態(tài)數(shù)目會(huì)逐漸增加;當(dāng)非粘滯阻尼特性足夠大時(shí)，最后可能需要取得全模態(tài)才能精確識(shí)別出阻尼系數(shù)矩陣.

2）針對(duì)試驗(yàn)噪聲對(duì)測(cè)量得到的復(fù)模態(tài)虛部精度的影響，本文提出了對(duì)復(fù)模態(tài)虛部進(jìn)行更新的方法，使之滿足指數(shù)型阻尼系統(tǒng)特征方程;通過(guò)算例分析，將更新前后識(shí)別得到的阻尼系數(shù)矩陣進(jìn)行對(duì)比，可以看出，提出的阻尼系數(shù)矩陣識(shí)別公式對(duì)噪聲較為敏感，且復(fù)模態(tài)虛部的準(zhǔn)確度對(duì)阻尼矩陣識(shí)別結(jié)果影響較大;采用更新后的復(fù)模態(tài)虛部表達(dá)式可以排除阻尼矩陣識(shí)別過(guò)程中噪聲對(duì)復(fù)模態(tài)虛部的影響，且能有效地識(shí)別出阻尼系數(shù)矩陣;但在對(duì)復(fù)模態(tài)進(jìn)行更新后，在相同模態(tài)階數(shù)下對(duì)阻尼系數(shù)矩陣的識(shí)別精度降低了，并且精確識(shí)別所需的模態(tài)階數(shù)較多，不使用全模態(tài)時(shí)識(shí)別精度較差，目前的更新方法可以進(jìn)一步改進(jìn).

3）由于目前對(duì)松弛因子識(shí)別方法的研究較少，且有一定使用限制，本文提出了不依賴于復(fù)模態(tài)虛部的3種松弛因子識(shí)別公式，通過(guò)算例分析表明這3種公式均能較高精度地識(shí)別出松弛因子，能夠滿足結(jié)構(gòu)分析的需要.

4）通過(guò)對(duì)普通C35混凝土懸臂梁進(jìn)行錘擊振動(dòng)測(cè)試，并按本文提出的方法進(jìn)行模態(tài)參數(shù)識(shí)別，將采用Rayleigh阻尼模型和本文采用的指數(shù)型非粘滯阻尼模型識(shí)別得到的阻尼比和基本頻率進(jìn)行對(duì)比，可發(fā)現(xiàn)識(shí)別得到的固有頻率接近試驗(yàn)實(shí)測(cè)值，但阻尼比與實(shí)測(cè)值有差別，采用Rayleigh阻尼模型時(shí)第三階阻尼比出現(xiàn)了很大的誤差. 指數(shù)阻尼模型更能準(zhǔn)確合理地描述兩根混凝土懸臂梁的阻尼性能.

參考文獻(xiàn)

[1] ? ?李劍清. 用隨機(jī)衰減法評(píng)估建筑結(jié)構(gòu)的阻尼[D]. ?武漢：華中科技大學(xué)，2003：1—15.

LI J Q. Estimating the damping of building structures by random decrement technique[D]. ?Wuhan：Huazhong University of Science and Technology，2003：1—15. （In Chinese）

[2] ? ?BIOT M A. Variational principles in irreversible thermodynamics with application to viscoelasticity[J]. ?Physical Review，1955，97（6）：1463—1469.

[3] ? ?WAGNER N，ADHIKARI S. Symmetric state-space method for a class of nonviscously damped systems[J]. ?AIAA Journal，2003，41（5）：951—956.

[4] ? ?WOODHOUSE J. Linear damping models for structural vibration[J]. ?Journal of Sound and Vibration，1998，215（3）：547—569.

[5] ? ?ADHIKARI S. Dynamics of nonviscously damped linear systems[J]. ?Journal of Engineering Mechanics，2002，128（3）：328—339.

[6] ? ?趙艷，潘嘉寧，王振宇，等. 風(fēng)力機(jī)啟停機(jī)過(guò)程中的振動(dòng)特征分析[J]. ?湖南大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2019，46（3）：82—89.

ZHAO Y，PAN J N，WANG Z Y，et al. Analysis of wind turbine vibration characteristics during startup and shutdown process[J]. ?Journal of Hunan University （Natural Sciences），2019，46（3）：82—89. （In Chinese）

[7] ? ?陳桂平，文桂林，崔中，等. 高速磨床主軸模態(tài)測(cè)試與分析研究[J]. ?湖南大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2010，37（4）：22—26.

CHEN G P，WEN G L，CUI Z，et al. Modal testing and analysis of the main shaft for high-speed grinder[J]. ?Journal of Hunan University （Natural Sciences），2010，37（4）：22—26. （In Chinese）

[8] ? ?林凡偉. 輕木-混凝土混合結(jié)構(gòu)振動(dòng)臺(tái)試驗(yàn)阻尼識(shí)別研究[D]. ?上海：同濟(jì)大學(xué)，2008：1—8.

LIN F W. Research on damping identifying of shake table test for wood-concrete hybrid structure[D]. ?Shanghai：Tongji University，2008：1—8. （In Chinese）

[9] ? ?ADHIKARI S，WAGNER N. Analysis of asymmetric nonviscously damped linear dynamic systems[J]. ?Journal of Applied Mechanics，2003，70（6）：885—893.

[10] ?潘玉華. 指數(shù)型阻尼模型及其在鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)動(dòng)力分析中的應(yīng)用[D]. ?北京：北京交通大學(xué)，2013：78—99.

PAN Y H. Exponential damping model and its applications to dynamic analysis of reinforced concrete structures[D]. ?Beijing：Beijing Jiaotong University，2013：78—99. （In Chinese）

[11] ?王禹. 指數(shù)型非粘滯阻尼模型參數(shù)識(shí)別的理論與試驗(yàn)研究[D]. ?哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)，2017：8—37.

WANG Y. Theoretical and experimental research on parameter identification of exponential non- viscous damping model[D]. ?Harbin：Harbin Institute of Technology，2017：8—37. （In Chinese）

[12] ?蔣家尚，袁永新. 基于復(fù)模態(tài)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的粘性阻尼矩陣的修正[J]. ?振動(dòng)與沖擊，2007，26（5）：74—76.

JIANG J S，YUAN Y X. Updating of viscous damping matrix based on incomplete complex modal data measured[J]. ?Journal of Vibration and Shock，2007，26（5）：74—76. （In Chinese）

[13] ?孔翠芳，戴華. 用不完全模態(tài)試驗(yàn)數(shù)據(jù)修正粘性阻尼矩陣[J]. ?振動(dòng)工程學(xué)報(bào)，2005，18（1）：85—90.

KONG C F，DAI H. Updating of the viscous damping matrix from incomplete modal experimental data[J]. ?Journal of Vibration Engineering，2005，18（1）：85—90. （In Chinese）

[14] ?HALEVI Y，KENIGSBUCH R. Model updating of the complex modeshapes and the damping matrix[J]. ?Inverse Problems in Engineering，2000，8（2）：143—162.

[15] ?ADHIKARI S. Damping models for structural vibration[D]. ?Cambridge：University of Cambridge，2000：61—183.

[16] ?沈洪宇. 卷積型阻尼模型參數(shù)識(shí)別與結(jié)構(gòu)響應(yīng)的理論與試驗(yàn)研究[D]. ?哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)，2010：34—40.

SHEN H Y. Theoretical and experimental research on parameter identification and time-history analysis of a convolutionary damped system[D]. ?Harbin：Harbin Institute of Technology，2010：34—40. （In Chinese）

[17] ?ADHIKARI S，WAGNER N. Direct time-domain integration method for exponentially damped linear systems[J]. ?Computers & Structures，2004，82（29/30）：2453—2461.

[18] ?劉皞，李超. 用自由度不完整的振型數(shù)據(jù)修正質(zhì)量矩陣與剛度矩陣[J]. ?應(yīng)用數(shù)學(xué)與計(jì)算數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2012，26（4）：472—480.

LIU H，LI C. Update mass and stiffness matrices using incomplete measured modal data[J]. ?Communication on Applied Mathematics and Computation，2012，26（4）：472—480. （In Chinese）