陸志強，牟小涵

（同濟大學(xué)機械與能源工程學(xué)院，上海201804）

傳統(tǒng)的生產(chǎn)調(diào)度模型通常假設(shè)設(shè)備一直可用［1-2］，但在實際生產(chǎn)中，設(shè)備會隨著使用逐漸老化。對此，常采用預(yù)防性維護來提高設(shè)備可靠度，降低因設(shè)備故障帶來的生產(chǎn)損失。然而，過多或過少的維護，都會對生產(chǎn)效益產(chǎn)生不良影響。因此，考慮生產(chǎn)和維護的相互影響，聯(lián)合優(yōu)化二者，才有更高的實用價值。

近年來，生產(chǎn)調(diào)度和維護計劃的集成問題逐漸成為制造領(lǐng)域研究的熱點［3］。針對單機調(diào)度，Cassady 等［4］建立了單機調(diào)度與預(yù)防性維護的集成模型；蔣志高等［5］首次提出虛擬維護的概念，解決了加工時間可變的單機調(diào)度與維護問題；Cui等［6］研究了具有柔性預(yù)防性維護周期的單機調(diào)度問題。流水車間調(diào)度中，Allaoui 等［7］假設(shè)設(shè)備必須在周期T 內(nèi)預(yù)防性維護一次；Miyata 等［8］提出維護級別的概念，并設(shè)計了有效的啟發(fā)式算法；陸志強等［9］研究了流水線調(diào)度與維護集成模型的魯棒性，并提出了三階段啟發(fā)式算法。

然而，上述文獻都忽略了質(zhì)量在生產(chǎn)調(diào)度與維護計劃二者集成問題中的影響。為了提高經(jīng)濟效益，還要注意到因設(shè)備老化導(dǎo)致的產(chǎn)品質(zhì)量劣化帶來的損失。Hadidi等［10］對生產(chǎn)計劃、調(diào)度、維護和質(zhì)量的相關(guān)性模型和集成模型進行了綜述；Pandey等［11］針對單機系統(tǒng)，開發(fā)了一個聯(lián)合優(yōu)化生產(chǎn)計劃、維護策略和質(zhì)量控制的模型；Jamshidi 等［12］提出了一個混合整數(shù)非線性模型來優(yōu)化質(zhì)量、維護、提前/延誤和中斷的成本。質(zhì)量和設(shè)備的影響是相互的，工件質(zhì)量的退化也會影響設(shè)備的退化狀態(tài)，例如汽車裝配線上由于來料質(zhì)量缺陷引起的定位工具的故障［13］。這兩者的耦合關(guān)系，使得設(shè)備間產(chǎn)生隨機依賴性。隨機依賴性多見于生產(chǎn)計劃、維護與質(zhì)量控制的集成研究中［14-16］，在生產(chǎn)調(diào)度、維護和質(zhì)量三者之間的集成研究中則十分罕見。

綜上所述，生產(chǎn)調(diào)度、維護與質(zhì)量的集成研究較少，已有的集成文獻也很少考慮隨機依賴性。因此，本文針對串行流水線系統(tǒng)，考慮以質(zhì)量衰退工件為媒介的設(shè)備間的隨機依賴性，同時結(jié)合現(xiàn)代多品種和中小批量的生產(chǎn)特點，引入批量流概念，分批生產(chǎn)和傳輸［17］，建立生產(chǎn)調(diào)度和預(yù)防性維護的聯(lián)合優(yōu)化模型。

1 問題描述及數(shù)學(xué)建模

1.1 問題描述與假設(shè)

考慮一個串行流水線系統(tǒng)，在其調(diào)度期內(nèi)，共有n個加工批次，需按照相同的工藝路線依次通過m臺設(shè)備進行加工。每個加工批次可等量分成若干個子批次，每個子批次在一臺設(shè)備上加工完成即可作為獨立的轉(zhuǎn)移批量轉(zhuǎn)移到下一臺設(shè)備，使得同一加工批次的前后工序交叉進行，減少設(shè)備的空閑時間，加快工件在設(shè)備間的流動。每臺設(shè)備加工完一個子批次后進行一次設(shè)備檢測，同時所有產(chǎn)品在系統(tǒng)末端進行質(zhì)量檢測，合格品用于滿足需求，不合格品則需要返工。隨著生產(chǎn)運行，各設(shè)備會隨著使用逐漸發(fā)生退化，相應(yīng)的加工工件的質(zhì)量也會隨之下降，設(shè)備間存在隨機依賴性。為保證系統(tǒng)的有效輸出，需要制定合適的維護策略。為了更清晰地描述研究問題，給出如下假設(shè)：

（1）在任一時刻，一臺設(shè)備只可加工一個子批次，且一個子批次也僅能在一臺設(shè)備上進行加工，不同加工批次的子批次不可交叉生產(chǎn)。

（2）考慮劃分子批次產(chǎn)生的能耗成本，各加工批次劃分的最大子批次數(shù)為2。

（3）所有工件均在零時刻到達，且設(shè)備在零時刻均可用。

（4）設(shè)備分為受控和失控兩個狀態(tài)。當(dāng)設(shè)備處于受控狀態(tài)時，其生產(chǎn)的產(chǎn)品均合格，當(dāng)設(shè)備的退化狀態(tài)超過給定的失效閾值時，設(shè)備將失控，產(chǎn)生質(zhì)量失效，開始以恒定的百分比產(chǎn)生不合格品。

（5）只有通過檢測才能發(fā)現(xiàn)設(shè)備的退化狀態(tài)，檢測時間忽略不計。若設(shè)備狀態(tài)超過其給定的失效閾值，則進行大修，使得設(shè)備修復(fù)如新。否則，以預(yù)防性維護閾值為決策方式，超過它則進行預(yù)防性維護，設(shè)備修復(fù)非新，不考慮設(shè)備的隨機失效。

（6）質(zhì)量檢測僅在系統(tǒng)末端進行，對不合格品只考慮返工成本，不占用所研究系統(tǒng)的生產(chǎn)能力。

1.2 符號定義

模型中用到的參數(shù)及相應(yīng)定義如表1所示。

1.3 問題建模

（1） 維護策略模型

使用Gamma 過程來對設(shè)備的退化狀態(tài)進行建模。令Dk(t)表示設(shè)備Mk在役齡t時的退化狀態(tài)，則設(shè)備退化狀態(tài)Dk(t)在一段時間ι 內(nèi)的非負增量ΔDk(t)服從Gamma 分布Ga( x|αk( t )，βk)，其概率密度函數(shù)為

設(shè)備每加工完一個子批次后進行狀態(tài)檢測并實施相應(yīng)的維護。若設(shè)備處于失控狀態(tài)，則剛加工的子批次需在系統(tǒng)末端進行質(zhì)量篩查。若設(shè)備處于受控狀態(tài)，則對應(yīng)的子批次無需進行檢測。但為了防止在下一個子批次加工期間出現(xiàn)質(zhì)量失效，采用預(yù)測維護策略，將下一批次加工期間的預(yù)測失效概率作為預(yù)防性維護閾值?？紤]到每臺設(shè)備設(shè)立不同的維護閾值會使得求解難度隨著系統(tǒng)內(nèi)設(shè)備數(shù)的增加而上升，因而假設(shè)所有設(shè)備都采用相同的預(yù)防性維護閾值Lpm。則在加工第o 個子批次中的預(yù)測失效概率可以表示為

若F[o]，k≥Lpm，則設(shè)備Mk需在生產(chǎn)第o 個子批次前執(zhí)行預(yù)防性維護。維護后，設(shè)備Mk的退化狀態(tài)Dk有所改善，修復(fù)后設(shè)備的退化狀態(tài)D'k遵循區(qū)間[0，Dk]的Beta分布，其概率密度函數(shù)為

式中：uk和vk可通過極大似然估計從歷史數(shù)據(jù)中獲??；1{?}是示性函數(shù)；A 為真時1{A}=1，A為 假時1{A}=0。

表1 模型參數(shù)及其定義Tab.1 The definition of model parameters

來料質(zhì)量和設(shè)備退化的相互關(guān)系導(dǎo)致設(shè)備間的隨機依賴性，使用加速因子so，k'，k(so，k'，k≥0)來描述第o個子批次從上游設(shè)備Mk'輸出對下游設(shè)備Mk退化的影響，若so，k'，k=0，則表示設(shè)備Mk'和Mk之間互不影響；否則設(shè)備Mk'的失控將加速設(shè)備Mk退化。使用Gamma 過程的形狀函數(shù)來對該種隨機依賴性建模，則有

式中：akt是基準形狀函數(shù)；回歸函數(shù)ρo，k'(t)為上游設(shè)備是否失控的判斷變量，其表達式可以寫成

（2） 批量流調(diào)度與維護決策的集成模型

約束（1）～（2）表示加工批次和加工位置的一一對應(yīng)關(guān)系。約束（3）確定各設(shè)備按加工順序的單位加工時間。約束（4）～（5）確定了按加工順序的子批次數(shù)量及加工批次的大小。約束（6）～（13）為子批次加工時間的約束，當(dāng)需要維護時通過右移策略進行重調(diào)度，求得實際加工時間Sw，[o]，k。約束（14）～（15）為變量的取值約束。

（3） 目標函數(shù)計算

同時優(yōu)化時間和成本兩個目標。時間相關(guān)的優(yōu)化目標為最小化完工時間的期望值，即f1=Ew(Cmax)。Cmax為最后一個產(chǎn)品的實際結(jié)束時間。

成本相關(guān)的優(yōu)化目標為最小化能耗成本、維護成本及質(zhì)量成本的期望值之和。劃分子批次會產(chǎn)生設(shè)備準備能耗和傳輸能耗，能耗成本EC計算為

式中：ω1+ω2=1。f?1和f?2為單一目標最優(yōu)值，即分別求解最小完工時間的期望值及最小相關(guān)成本值。

2 算法設(shè)計

本模型的求解是NP難問題，對此，設(shè)計了改進的差分進化算法。采用實值編碼，n表示加工批次數(shù)，編碼長度為(n+1)，前n個編碼用于確定加工批次的順序及是否劃分批量，取值范圍為(0，2)。整數(shù)部分用來確定是否劃分批次；小數(shù)部分按升序排列加工批次的順序。第(n+1)個編碼表示維護閾值的大小，取值范圍為(0，1)。給出一個實例來詳細說明解碼過程，如圖1所示。

接下來對算法求解步驟進行詳細描述：

（1）種群X(t)={XI(t)|I=1，2，...，Imax}初始化，Imax為種群中的個體數(shù)量，計算種群的適應(yīng)度值，找到最優(yōu)值對應(yīng)的個體X?(t)，適應(yīng)度值f(X(t))通過蒙特卡洛仿真方法計算得到。

（2）變異操作

為了提高求解精度與加快收斂速度，利用鯨魚算法［18］的搜索機制來進行變異。同時，考慮到標準鯨魚算法存在容易陷入局部最優(yōu)、收斂精度低的問題，引入了柯西變異算子［19］和非線性變化收斂因子［20］。

圖1 解碼過程示意圖Fig.1 Schematic diagram of the decoding process

式中：N為收斂因子基準常量；t為當(dāng)前迭代次數(shù)；tmax為最大迭代次數(shù)；μ∈(1tmax，1)為非線性調(diào)整系數(shù)。

（3）交叉操作

變異操作結(jié)束后，采用二項式交叉，表達式如下：

式中：XMu，I(t+1)交叉后的個體；CR是交叉概率；Mu(t+1)={XMu，I(t+1)|I=1，2，...，Imax}為 交 叉后的種群。

（4）變異和交叉結(jié)束后，通過選擇決定子代個體是否進入下一代。

（5）設(shè)置迭代上限作為算法終止條件，輸出求解結(jié)果，否則返回步驟（2）。算法流程如圖2所示。

3 算例分析

3.1 改進的差分進化算法與標準進化算法比較

考慮m={3，5，8}，n={10，30，50}共9 種問題規(guī)模，表2給出了設(shè)備退化過程相關(guān)的參數(shù)，該生產(chǎn)系統(tǒng)的成本參數(shù)和時間參數(shù)如表3 所示，假設(shè)加工時間pj，k服從[1，3]的均勻分布，加工批次大小qj服從[20，100]的均勻分布，權(quán)重因子ω1=ω2=0.5。

由于目標函數(shù)由系統(tǒng)多次仿真的期望值表示，因此需要確定仿真的抽樣樣本數(shù)。通過選取4個具有不同決策變量的測試實例通過大量仿真來確定合理的樣本數(shù)量。根據(jù)最終的實驗結(jié)果，仿真樣本量確定為50。

表2 各設(shè)備的退化與維護參數(shù)Tab.2 Parameters of different machines

圖2 改進的差分算法流程Fig.2 The improved differential evolution algorithm flow

表3 其他成本和時間參數(shù)Tab.3 Cost and time parameters in production

在改進的差分進化算法（IDE）中，將種群大小設(shè)置為30，將最大迭代次數(shù)設(shè)置為50，并將交叉因子CR設(shè)置為0.4，標準差分進化算法（DE）變異因子設(shè)置為0.5，其余參數(shù)與IDE 相同。確定所有參數(shù)后，對算例進行求解，繪制各規(guī)模算例下的IDE迭代曲線，如圖3所示，IDE與DE的求解結(jié)果對比如圖4所示。從圖3 可以看出，IDE 算法具有收斂性，對中小規(guī)模的算例求解效果較好，而且由于仿真計算時間的限制，該算法也不適用于更大規(guī)模問題的求解。從圖4 可以看出，IDE 相較于DE 的求解結(jié)果較優(yōu)，在設(shè)備數(shù)較少和規(guī)模小時求解效果更好。

圖3 改進的差分進化算法的迭代曲線Fig.3 Iterative curve of improved differential evolution algorithm

3.2 與其他維護模型比較

記上文已建立的模型為P0；不考慮預(yù)防性維護僅考慮大修的維護模型記為P1；每次檢查后都進行一次預(yù)防性維護或者大修的維護模型記為P2 以及忽略設(shè)備間的隨機依賴性，單獨求解每臺設(shè)備的最優(yōu)維護閾值的維護模型記為P3，將這幾種維護模型進行比較，其對比結(jié)果如表4所示。

由表4 可以看出模型P0 的求解結(jié)果是最優(yōu)的。通過對比發(fā)現(xiàn)，隨著設(shè)備的增多，P0 的大修成本占總成本的比例增加，這是因為設(shè)備越多，設(shè)備間的隨機依賴關(guān)系可能使得下游設(shè)備的退化加速，造成設(shè)備失效的同時產(chǎn)生不合格品，返工成本的占比增加也側(cè)面印證了這一點。P1 的總維護成本高于P0 的總維護成本，說明安排預(yù)防性維護能夠降低維護成本；此外，P1的返工成本遠大于P0的返工成本，這是由于設(shè)備失效次數(shù)增多導(dǎo)致不合格品數(shù)量增加。P2的總維護成本總是高于P0 的總維護成本表明過度維護也會增加維護成本。P3的求解結(jié)果僅次于P0，說明忽視設(shè)備間的隨機依賴性也會使得求解效果不佳。

圖4 改進的差分進化算法與標準差分進化算法的求解結(jié)果Fig.4 The results of the improved differential evolution algorithm and the differential evolution algorithm

3.3 與其他生產(chǎn)模型比較

將不進行劃分批次的模型記為P4；將單獨決策模型，即先確定生產(chǎn)順序及批次劃分，再制定維護策略的模型記為P5，把二者的求解結(jié)果與P0的求解結(jié)果進行對比，如表5所示。

表4 不同維護模型下的結(jié)果Tab.4 The results obtained under different maintenance models

由表5可以發(fā)現(xiàn)，P5的求解結(jié)果次優(yōu)于P0的求解結(jié)果，表明了集成模型較單獨決策模型的優(yōu)越性。P4的質(zhì)量成本遠大于P0的質(zhì)量成本，原因是不劃分批次的情況下，由于批次加工無法中斷，且批次較大，設(shè)備在加工中失效的次數(shù)增多，相應(yīng)的不合格品的數(shù)量也隨之增加。選取一個5×10的算例分析批次劃分次數(shù)對模型求解結(jié)果的影響，如圖5所示，可以看出，隨著批次劃分次數(shù)的增多，期望完工時間不規(guī)律變化，此外，維護成本呈增加的趨勢、質(zhì)量成本呈下降趨勢，但總成本是趨于減小的，說明適量選擇劃分批次次數(shù)才能同時優(yōu)化總成本和期望完工時間。

表5 不同生產(chǎn)模型下的結(jié)果Tab.5 The results obtained under different production models

圖5 批次劃分次數(shù)對求解結(jié)果的影響Fig.5 Influence of splitting times on the result

4 結(jié)語

本文考慮產(chǎn)品質(zhì)量與設(shè)備退化狀態(tài)之間的相互影響，以最小化完工時間和成本為目標，建立了考慮設(shè)備間隨機依賴性的生產(chǎn)調(diào)度與維護的集成模型。此外，還引入了批量流的概念，通過算例分析得知適量劃分批次可以優(yōu)化總成本和期望完工時間。設(shè)計改進的差分進化算法對模型進行求解，數(shù)值實驗的結(jié)果表明，該模型可有效規(guī)劃生產(chǎn)排程、進行維護決策；并通過對比試驗顯示了該集成模型較單獨決策模型的優(yōu)越性。

本文以“批次在設(shè)備上加工完成”這一事件來觸發(fā)設(shè)備的檢測，存在檢測后不進行維護的情況，即設(shè)備檢測較為頻繁，未來研究可以考慮對檢測計劃進行研究，以節(jié)省檢測成本。此外，還可以考慮每臺設(shè)備的加工順序不同的狀況，不等量分批的情形，以及引入機會維護的可能。