潘鳳文，弓棟梁，高 瑩?，寇亞林

1) 吉林大學汽車仿真與控制國家重點實驗室，長春 130025 2) 吉林大學汽車工程學院，長春 130025

鋰離子電池能夠提供較高的能量密度和比功率，沒有記憶效應，具有較低的自放電率和較長的可循環(huán)使用壽命，且后續(xù)回收過程中對環(huán)境污染相對較少，這些特性使其成為目前新能源汽車的重要動力源[1?3]. 但隨著鋰離子電池在新能源汽車中進一步廣泛而深入的使用，其可靠性和安全性正在受越來越嚴苛的考驗. 電池管理系統(tǒng)（Battery management system，BMS）的核心目標就是獲得表征鋰電池可用容量的SOC，保證電動車輛安全有效的運行，并通過降低電壓極限的不確定性來實現(xiàn)動力分配的優(yōu)化，從而延長電池的使用壽命[4?6].然而，目前鋰離子電池可用的測量是電流、電壓和溫度，SOC不能直接測量[7?8]. 因此，準確估計SOC對保證鋰電池的安全性和可靠性至關(guān)重要.

對于鋰離子電池SOC的估計方法，目前可大致分為兩類：無模型法（安時積分法、開路電壓法）和基于模型的方法[9?13]. 基于模型的SOC估計中，常用的建模方式有黑箱模型、電化學模型、等效電路模型等. 黑箱模型通常使用傳遞函數(shù)來描述電池的行為，無需重建其基本的物理化學過程，但是該模型應用場景受限，且模型精度不高. 電化學模型采用一組偏微分方程來構(gòu)建整個物理化學過程的“時?空”動態(tài)變化，該模型中大量復雜的電化學方程計算耗時長，主要用于優(yōu)化電池的物理設計和電池相關(guān)的設計參數(shù)，表征電能產(chǎn)生的基本機理等. 等效電路模型一般可分為Thevenin模型和阻抗模型兩大類. 這些基于電壓源，電阻和電容組合的模型具有直觀、實用和易于處理的特點，通常用于控制設計，且特別適合與其它電路或系統(tǒng)進行協(xié)同設計和協(xié)同仿真. Thevenin模型又可分為一階RC等效電路模型，考慮電壓滯后的增強自校正模型，以及二階和高階RC模型等.

在有關(guān)實時獲取電池SOC的文獻中，廣泛采用基于模型的SOC估計方法進行研究. 文獻[14]采用二階RC等效電路模型，結(jié)合安時積分法與基于模型的方法對鋰電池的SOC進行估計，其結(jié)果表明，該方法增強了對測量噪聲的魯棒性. 文獻[15]～[16]針對離散化的鋰離子電池二階RC等效電路模型，采用線性參變技術(shù)，設計了計算資源需求較少的SOC估計器，而且其所設計的估計器的穩(wěn)定性可由線性矩陣不等式（Linear matrix inequality，LMI）技術(shù)來分析驗證. 文獻[17]采用大電容二階RC電池模型，該模型可用狀態(tài)空間函數(shù)來表示，由大容量電容的電壓值和電容值來確定SOC. 并在此模型基礎(chǔ)上設計了對未知擾動和模型不確定性具有一定魯棒性的H∞濾波器；其所設計的H∞濾波器對SOC具有很好的估計性能. 文獻[18]采用與文獻[17]中相同的等效電路模型，相較于文獻[17]，文獻[18]中設計了能夠改善觀測器響應速度的H∞切換觀測器，進一步提升了對SOC的估計性能. 文獻[9]和[19]均采用電化學鋰離子電池模型，并基于該模型設計了用于估計SOC的具有常值增益的龍伯格非線性觀測器，以及一個改進的輸出雅可比矩陣加權(quán)增益的非線性觀測器，其中觀測器增益的設計均被轉(zhuǎn)化為了求解LMI問題.文獻[20]采用二階RC等效電路模型，把電池老化建模為加性故障，并對鋰離子電池模型進行了線性化，設計了基于H∞觀測器的故障估計器，從其仿真結(jié)果來看，所設計的故障估計器對干擾具有很好的魯棒性，同時對老化故障具有很強的追蹤能力. 文獻[21]采用與文獻[20]中相同的鋰離子電池模型，針對SOC的估計問題，采用LMI技術(shù)設計了基于H∞方法的非線性觀測器. 文獻[22]針對鋰離子電池SOC的估計誤差收斂問題，設計了三種基于LMI技術(shù)的魯棒龍伯格SOC觀測器，并分別與傳統(tǒng)的基于非線性等效電路模型的擴展卡爾曼濾波器進行對比，對比結(jié)果表明，其設計的兩種基于LMI的SOC觀測器與廣泛使用的擴展卡爾曼濾波器具有相近的性能，并且設計方法更為簡單. 文獻[23]～[24]均采用非線性分數(shù)階鋰離子電池模型對SOC進行估計，不同之處是前者采用二階RC等效電路模型，并基于SOC估計誤差動力學方程，運用LMI技術(shù)來設計SOC觀測器；后者采用基于阻抗模型和分數(shù)階卡爾曼濾波方法對SOC進行估計.

綜上可知，大多數(shù)文獻在鋰離子電池SOC估計中選擇與LMI技術(shù)相結(jié)合，這樣不僅可以簡化設計過程，而且也保證了SOC的估計準確性和一定的魯棒性. 然而，針對鋰離子電池模型參數(shù)隨溫度變動而產(chǎn)生攝動，進而影響SOC估計準確性的問題討論的并不多. 因此，本文在前述工作基礎(chǔ)之上，考慮電池溫度波動對模型參數(shù)的影響，把溫度對模型參數(shù)的影響方式建模為標稱電阻值和電池總?cè)萘康募有宰兞浚⒁暅囟茸兓癁橄到y(tǒng)的外部擾動. 然后，采用切線法對模型進行線性化. 繼而采用LMI技術(shù)設計了對SOC進行估計的魯棒H∞濾波器. 最后，采用四種不同類型的動態(tài)激勵電流，并與kalman濾波對SOC的估計進行對比，對所設計的SOC觀測器進行驗證.

1 鋰離子電池建模

鋰離子電池的動態(tài)特性高度依賴于它的工作條件，具有時變參數(shù)的二階RC等效電路模型可以足夠精確的來表征鋰電池系統(tǒng)特性，同時又相對簡單且計算量不大. 因此，本文主要采用二階RC等效電路模型.

1.1 電氣模型

表征鋰離子電池動態(tài)特性的二階RC等效電路模型如圖1所示.

圖1 等效電路模型Fig.1 Equivalent circuit model

根據(jù)基爾霍夫電壓定律，鋰離子電池的二階RC等效電路模型的動力學方程可表述為

式中：t代表時間，s；Uocv代表與SOC相關(guān)的開路電壓（其為SOC的函數(shù)），V；Ic為進入或離開電池正極的電流（放電時為正，充電時為負），A；R0為內(nèi)阻，Ω；R1和C1分別為電化學極化電阻（Ω）和電容（F）；R2和C2分別為濃差極化電阻（Ω）和電容（F）；U1和U2分別代表電化學極化電容C1和濃差極化電容C2的電壓，V；UT為端電壓，V.

1.2 電池荷電狀態(tài)模型

電池SOC的定義為可用容量（A·h）與電池的總?cè)萘康谋戎? 簡化的SOC估計模型如下：

式中，Q為電池總?cè)萘?，SOC0為電池的初始SOC.需要指出的是電池容量也會隨著溫度的升高而變化，從而影響SOC估計的準確性[13].

大量試驗表明，開路電壓Uocv與SOC在較大的工作區(qū)間內(nèi)均存在一定的線性關(guān)系（除了SOC非常高或非常低的情況，小于20%或大于80%）[14?15].因此，可以在特定的工作范圍采用SOC的線性函數(shù)來近似逼近開路電壓. 它們之間的函數(shù)關(guān)系具有以下形式：

式中：a和b為給定的常量.

那么根據(jù)公式（4），終端電壓UT與SOC的關(guān)系可表示為：

所選用的電池模型參數(shù)如下表1所示[20]. 該模型參數(shù)的獲取需要滿足以下的條件：（1）T=40 ℃，Ic=1 A，SOC=0.5；（2）電池模型的參數(shù)與溫度、SOC、以及電流的大小和方向均無關(guān).

表1 電池模型參數(shù)Table 1 Battery model parameters

上述條件假設非常嚴格，大量的實際實驗已表明：電池模型參數(shù)對于諸如溫度、SOC和充放電狀態(tài)以及電流等環(huán)境狀況的變化是很敏感的；其中，溫度對電池模型參數(shù)的影響最為顯著[16].

2 模型線性化

由于溫度對鋰離子電池的模型參數(shù)具有較大的影響，因此，本文將溫度對模型參數(shù)的影響方式建模為標稱電阻值和電池總?cè)萘康募有宰兞? 其具有如下形式：

式中：Rni(i=0,1,2)分別表示，，標稱阻值；ΔRi(i=0,1,2)表示由溫度變化而引起的阻值變化；R?i(i=0,1,2)表示由溫度變化而產(chǎn)生的最新阻值；表示由溫度變化引起的電池容量變化，表示由溫度變化產(chǎn)生的最新容量.

3 魯棒 SOC 估計器設計

針對線性化系統(tǒng)（15），設計一個漸近穩(wěn)定的H∞濾波器，實現(xiàn)對SOC的估計，使得傳遞函數(shù)（從外部擾動到SOC估計誤差）的H∞范數(shù)小于給定值，該濾波器具有以下狀態(tài)空間形式:

4 仿真實驗

通過在Matlab中求解優(yōu)化問題（29），獲得干擾抑制性能指標 γ =5.7274×10?5. 最終獲得所設計的魯棒H∞濾波器狀態(tài)空間矩陣分別為

仿真實驗中給電流輸入信號注入了能量為0.001的白噪聲，溫度變動用幅值為40的正弦函數(shù)進行模擬，仿真結(jié)果與kalman濾波對SOC的估計結(jié)果進行對比分析. 采用四種類型的動態(tài)測試進行仿真實驗驗證，其分別為 BJDST (Beijing Dynamic Stress Test)、FUDS (Federal Urban Driving Schedule)、US06 (US06 Highway Driving Schedule)以及 BJDST?FUDS?US06聯(lián)合駕駛時間表動態(tài)測試. 一個完整BJDST 循環(huán)是 916 s，一個完整 FUDS 循環(huán)是 1372 s，一個完整US06循環(huán)是600 s. 其完整循環(huán)時間歷程如下圖2，圖3所示.

圖2 BJDST，F(xiàn)UDS，US06動態(tài)測試時間歷程Fig.2 BJDST, FUDS, US06 dynamic test time history

圖3 BJDST?FUDS?US06聯(lián)合動態(tài)測試時間歷程Fig.3 BJDST?FUDS?US06 joint dynamic test time history

BJDST，F(xiàn)UDS和US06動態(tài)激勵下的基于H∞濾波的SOC估計和基于kalman濾波的SOC估計以及它們的SOC估計誤差時間歷程曲線如圖4～圖9所示. 其中藍色實線表示模型輸出，紅色實線表示H∞估計，綠色實線表示kalman估計.

圖4 BJDST 激勵的 SOC 估計Fig.4 SOC estimation excited by BJDST

圖5 BJDST 激勵的 SOC 估計誤差Fig.5 SOC estimation error excited by BJDST

圖6 FUDS 激勵的 SOC 估計Fig.6 SOC estimation excited by FUDS

圖7 FUDS 激勵的 SOC 估計誤差Fig.7 SOC estimation error excited by FUDS

圖8 US06激勵的 SOC 估計Fig.8 SOC estimation excited by US06

圖9 US06激勵的 SOC 估計誤差Fig.9 SOC estimation error excited by US06

從圖4中可以看出，在BJDST動態(tài)激勵下，基于魯棒H∞濾波器的SOC估計時間歷程曲線比基于kalman濾波的SOC估計時間歷程曲線更為接近模型輸出值. 圖5中BJDST動態(tài)激勵下的SOC估計誤差表明，基于魯棒H∞濾波器的SOC估計誤差波動幅值小于基于kalman濾波的SOC估計誤差波動幅值. 從表2中對應的均方根值對比結(jié)果可以看出，基于魯棒H∞濾波器的SOC估計比模型輸出大0.1%，而基于kalman濾波的SOC估計相較于模型輸出小0.27%. 基于魯棒H∞濾波器的SOC估計誤差均方根值是0.0019，明顯小于基于kalman濾波的SOC估計誤差均方根值0.0041. 圖4，圖5以及對應表2中的均方根值分析結(jié)果表明，即使在電流信號存在干擾，電池溫度持續(xù)波動并對模型參數(shù)產(chǎn)生一定影響的條件下，所設計的魯棒H∞濾波器依然能夠?qū)崿F(xiàn)對SOC的準確估計.

表2 SOC 估計及其估計誤差的均方根值Table 2 RMS value of SOC estimation and estimation error

四種不同類型動態(tài)激勵下的SOC估計，以及SOC 估計誤差的均方根值（Root mean square，RMS）如下表2所示.

BJDST?FUDS?US06聯(lián)合動態(tài)測試下的SOC估計及其估計誤差時間歷程曲線如下圖10～11所示.

圖10 BJDST?FUDS?US06激勵的 SOC 估計Fig.10 SOC estimation excited by BJDST?FUDS?US06

圖11 BJDST?FUDS?US06 US06激勵的 SOC 估計誤差Fig.11 SOC estimation error excited by BJDST?FUDS?US06

在FUDS動態(tài)激勵下，圖6中的SOC估計時間歷程曲線表明相較于基于kalman濾波的SOC估計，基于魯棒H∞濾波器的SOC估計與模型輸出較為接近. 圖7中的SOC估計誤差時間歷程曲線表明了基于魯棒H∞濾波器的SOC估計誤差波動幅值比基于kalman濾波的SOC估計誤差波動幅值要小. 從表2中FUDS動態(tài)測試下的均方根值可以看出，基于魯棒H∞濾波器的SOC估計的均方根值與模型輸出的均方根值近乎一致，而基于kalman濾波的SOC估計的均方根值相較于模型輸出的均方根值小0.21%. 基于kalman濾波的SOC估計誤差均方根值0.0036明顯大于基于魯棒H∞濾波器的SOC估計誤差均方根值0.0018. 圖6，圖7以及表2中相對應的FUDS激勵下的均方根值分析對比結(jié)果表明，所設計的H∞濾波器不僅具有很好的魯棒性，而且具有優(yōu)異的SOC估計性能.

在US06動態(tài)激勵下，圖8中的SOC時間歷程曲線和圖9中的SOC估計誤差時間歷程曲線表明，與基于kalman濾波的SOC估計相比，基于魯棒H∞濾波器的SOC估計更為接近模型輸出值.表2中對應的US06動態(tài)激勵下的均方根值對比結(jié)果表明，基于魯棒H∞濾波器的SOC估計的均方根值與模型輸出的均方根值幾近一致，而基于kalman濾波的SOC估計的均方根值比模型輸出的均方根值小0.1%. 基于魯棒H∞濾波器的SOC估計誤差均方根值是0.0019，明顯小于基于kalman濾波的SOC估計誤差均方根值0.0043. 仿真實驗與均方根值的對比結(jié)果表明，所設計的H∞濾波器具有更為優(yōu)異的SOC估計性能，同時具有很好的干擾抑制效果，即具有很強的魯棒性.

在BDST?FUDS?US06聯(lián)合動態(tài)測試下，圖10中接近10 h的時間歷程表明，H∞濾波和kalman濾波的時間歷程均比較接近于模型輸出結(jié)果. 從圖11中的SOC估計誤差時間歷程曲線中可以看出，H∞估計誤差比kalman濾波估計誤差具有更小的波動幅值. 表2中對應的 BDST?FUDS?US06聯(lián)合動態(tài)激勵下的均方根值表明，H∞濾波與模型輸出的均方根值均為0.3186，而kalman濾波比模型輸出的均方根值小0.35%. 基于kalman濾波的SOC估計誤差均方根值0.0033明顯大于基于魯棒H∞濾波器的SOC估計誤差均方根值0.0022. 仿真實驗與均方根值的對比結(jié)果表明，所設計的魯棒H∞濾波器不僅對外部擾動表現(xiàn)出了很好的魯棒性，而且能夠?qū)崿F(xiàn)對SOC的強跟蹤能力.

5 結(jié)論

本文采用LMI技術(shù)設計了用于SOC估計的魯棒H∞濾波器. 該濾波器的設計考慮了鋰離子電池模型參數(shù)隨溫度變化產(chǎn)生攝動影響SOC估計準確性的問題. 把電池溫度變化對模型參數(shù)的影響方式建模為標稱電阻值和電池總?cè)萘康募有宰兞?，并將電池溫度變化看作系統(tǒng)的外部擾動. 通過切線法對模型進行了線性化，并基于該線性化模型設計了估計SOC的觀測器. 最后，采用四種不同類型的動態(tài)電流激勵，并與kalman濾波對SOC的估計結(jié)果進行仿真對比，其結(jié)果表明所設計的魯棒H∞濾波器不僅具有優(yōu)異的SOC估計性能，而且對外部擾動表現(xiàn)出了很好的魯棒性.