方 力陳春花周 文楊子輝汪建業(yè)

1（中國(guó)科學(xué)院合肥物質(zhì)科學(xué)研究院 合肥230031）

2（中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué) 合肥230027）

隨著航天技術(shù)的發(fā)展和太空探索的深入，空間資源的探索及開(kāi)發(fā)也成為大國(guó)競(jìng)爭(zhēng)的重要領(lǐng)域［1］。先進(jìn)電源技術(shù)是實(shí)現(xiàn)深空探測(cè)任務(wù)的關(guān)鍵因素，小型空間反應(yīng)堆則是最有前景的解決方案之一［2］。自1950年代以來(lái)，美國(guó)和俄羅斯（前蘇聯(lián)）相繼開(kāi)展小型空間反應(yīng)堆的研究工作［3］，分別提出了SNAP-10A、Kilopower、ROMASHK、BUK、TOPAZ［4］等 電源。由美國(guó)提出的Kilopower是世界各國(guó)研發(fā)的空間核反應(yīng)堆電源中的佼佼者［5］。

由于空間堆的特殊性，對(duì)其堆芯體積和質(zhì)量的優(yōu)化有著極高的設(shè)計(jì)價(jià)值［6］。目前常用的優(yōu)化模式仍然是以設(shè)計(jì)人員的經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)，同時(shí)結(jié)合大量的搜索計(jì)算。但由于堆芯系統(tǒng)自身的復(fù)雜性、參數(shù)之間的強(qiáng)耦合性等因素，人工求解過(guò)程非常低效耗時(shí)，且不易獲得全局最優(yōu)解［7］。與依靠人工經(jīng)驗(yàn)的優(yōu)化設(shè)計(jì)相比，現(xiàn)代啟發(fā)式搜索方法非常適合求解高度復(fù)雜的非凸、不可導(dǎo)、非線性的優(yōu)化問(wèn)題［8］，如遺傳算法、粒子群算法、模擬退火算法等，已被國(guó)內(nèi)外廣泛應(yīng)用于堆芯設(shè)計(jì)優(yōu)化領(lǐng)域［9?11］。然而，研究發(fā)現(xiàn)上述算法仍然存在參數(shù)敏感和收斂性差的問(wèn)題。差分進(jìn)化（Differential Evolution，DE）算法作為一種非常有潛力的優(yōu)化算法，由于其參數(shù)敏感性低、易實(shí)現(xiàn)、收斂快、魯棒性強(qiáng)等特點(diǎn)［12］，而被廣泛應(yīng)用。Sacco等［13］將DE算法應(yīng)用于反應(yīng)堆堆芯設(shè)計(jì)問(wèn)題，取得了良好的效果。本文基于DE算法，針對(duì)空間堆堆芯優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題，為了增強(qiáng)其尋優(yōu)能力，平衡全局和局部搜索能力，提出了一種自適應(yīng)的參數(shù)動(dòng)態(tài)調(diào)整策略，同時(shí)結(jié)合SuperMC軟件平臺(tái)［14］，將其應(yīng)用到空間堆優(yōu)化領(lǐng)域，以實(shí)現(xiàn)高效低成本的堆芯優(yōu)化設(shè)計(jì)。

1 自適應(yīng)DE算法

1.1 經(jīng)典DE算法流程

DE算法是由Storn和Price于1995年首次提出的一種啟發(fā)式進(jìn)化算法［12］，通過(guò)模擬生物進(jìn)化的機(jī)制，達(dá)到種群尋優(yōu)的目的，具有控制參數(shù)少、易實(shí)現(xiàn)、魯棒性強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)。主要包含初始化、變異、交叉、選擇這些操作，其控制參數(shù)包括進(jìn)化代數(shù)（G）、種群規(guī)模（NP）、差分權(quán)重（F）和交叉概率（CR）。經(jīng)典DE算法流程（如圖1）簡(jiǎn)單介紹如下：

圖1 經(jīng)典DE算法流程圖Fig.1 Flow chart of the classic DE algorithm

1）種群初始化

隨機(jī)生成在求解空間內(nèi)的NP個(gè)D維的個(gè)體：

式中：i∈NP，j∈D，low和up分別表示下限值和上限值。

2）變異操作

式中：F表示差分權(quán)重表示種群中的不同個(gè)體。

3）交叉操作

對(duì)臨時(shí)個(gè)體和原始個(gè)體之間進(jìn)行交叉操作，通過(guò)CR與（0，1）范圍內(nèi)的隨機(jī)數(shù)ri進(jìn)行比較，得到變異個(gè)體：

式中：CR表示交叉概率，CR∈(0，1)。

4）選擇操作

比較變異個(gè)體和原始個(gè)體的適應(yīng)度，保留適應(yīng)度更好的個(gè)體作為下一代：

式中：f表示目標(biāo)函數(shù)。

1.2 自適應(yīng)的DE算法

在空間堆堆芯優(yōu)化問(wèn)題中，重點(diǎn)在于優(yōu)化得到的設(shè)計(jì)方案是否足夠優(yōu)秀，如何平衡全局和局部搜索能力，加強(qiáng)算法的尋優(yōu)能力是一個(gè)重要問(wèn)題。在遵循算法前中期側(cè)重全局搜索能力，后期側(cè)重局部搜索能力的思想下，本文提出了針對(duì)不同進(jìn)化階段特點(diǎn)設(shè)計(jì)的自適應(yīng)機(jī)制，使得算法在不同的階段采用特定的控制參數(shù)，實(shí)現(xiàn)控制參數(shù)的動(dòng)態(tài)調(diào)整，以平衡算法的全局和局部搜索能力，提高算法的尋優(yōu)性能?？紤]DE算法的兩個(gè)主要參數(shù)交叉概率CR和差分權(quán)重F，差分權(quán)重作為最敏感的參數(shù)，決定了子代與父代差異性大小，直接影響算法的搜索能力。故選擇差分權(quán)重作為動(dòng)態(tài)調(diào)整的參數(shù)，摒棄原始算法的定值處理，在算法中引入一種新的動(dòng)態(tài)自適應(yīng)性函數(shù)，其表達(dá)式為：

式中：F表示第G代的差分權(quán)重值；Fmin表示最小差分權(quán)重值；ΔF表示差分權(quán)重的變化范圍；G表示當(dāng)前進(jìn)化的代數(shù)；Gmax表示總進(jìn)化代數(shù)。

選用此函數(shù)作為動(dòng)態(tài)自適應(yīng)性函數(shù)主要基于以下考慮：首先滿足最起碼的單調(diào)遞減性，保證差分權(quán)重整體減小的趨勢(shì)，在算法的初始階段，選用較大的差分權(quán)重值，注重其全局搜索能力，在進(jìn)化后期，選用較小的差分權(quán)重值，注重其局部搜索能力。其次，此函數(shù)在定義域內(nèi)為凸函數(shù)，更符合優(yōu)化的前中期注重全局搜索能力，優(yōu)化的后期注重局部搜索能力的整體優(yōu)化思想。

與此同時(shí)，參數(shù)的取值也很重要。研究發(fā)現(xiàn)［15］，當(dāng)差分權(quán)重F∈（0.4，0.95）和交叉概率CR∈（0.1，0.8）時(shí)，算法表現(xiàn)更好，其中交叉概率CR首選0.5，結(jié)合對(duì)差分權(quán)重F動(dòng)態(tài)調(diào)整的策略和自適應(yīng)性函數(shù)，我們選取最小差分權(quán)重值Fmin為0.4，差分權(quán)重的變化范圍ΔF為0.55。

此外，在空間堆堆芯優(yōu)化問(wèn)題中不可避免地存在約束問(wèn)題。在約束處理方面，主要考慮的是設(shè)計(jì)方案的keff是否滿足設(shè)計(jì)要求，本文采用將約束違反情況作為單獨(dú)項(xiàng)考慮［16］，約束處理的策略主要基于以下三條原則：

a）在父代和子代同時(shí)違反keff約束時(shí)，選擇違反約束程度更小的個(gè)體；

b）在父代和子代其中只有一方違反keff約束時(shí)，選擇未違反約束的個(gè)體；

c）在父代和子代均未違反keff約束時(shí)，選擇目標(biāo)函數(shù)值更小的個(gè)體。

算法偽代碼如下所示：

1.3 算法的驗(yàn)證

為了驗(yàn)證算法的優(yōu)化能力與穩(wěn)定性，選擇優(yōu)化問(wèn)題常用的標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)Rastrigin函數(shù)作為測(cè)試函數(shù)［17］，其二維測(cè)試函數(shù)表達(dá)式為：

選取具有兩個(gè)獨(dú)立變量的Rastrigin函數(shù)圖形，以方便可視化，函數(shù)圖像如圖2所示。

觀察函數(shù)圖像可以發(fā)現(xiàn)，該函數(shù)有非常多的局部極小點(diǎn)，而全局僅有一個(gè)極小值點(diǎn)，極小值點(diǎn)是（0，0），該處的函數(shù)值為0，我們?cè)O(shè)置種群大小為30，最大進(jìn)化代數(shù)為30，分別采用經(jīng)典的DE算法和自適應(yīng)的DE算法進(jìn)行20次實(shí)驗(yàn)計(jì)算，對(duì)比兩者求解的結(jié)果，結(jié)果對(duì)比如表1所示。

圖2 二維Rastrigin函數(shù)圖像Fig.2 Image of two-dimensional Rastrigin function

表1 優(yōu)化結(jié)果對(duì)比Table 1 Comparison of optimization results

通過(guò)結(jié)果對(duì)比，可以發(fā)現(xiàn)，在種群規(guī)模和進(jìn)化代數(shù)相同的情況下，自適應(yīng)DE算法的最優(yōu)解、平均解和最差解表現(xiàn)都更好，顯然自適應(yīng)的DE算法在尋優(yōu)能力方面表現(xiàn)的更加優(yōu)秀。

2 Kilopower堆芯優(yōu)化

2.1 優(yōu)化問(wèn)題設(shè)計(jì)

Kilopower空間堆是由美國(guó)提出的目前最簡(jiǎn)潔且可行性最高的反應(yīng)堆概念之一，目前存在4.3 kW、13.0 kW、21.7 kW等幾種不同熱功率的堆芯模型，不同功率的堆芯僅在體積、質(zhì)量和熱管排布上有所區(qū)別。本文采用體積、質(zhì)量最小的4.3 kW Kilopower反應(yīng)堆作為優(yōu)化模型，理論上來(lái)說(shuō)，它對(duì)結(jié)構(gòu)參數(shù)更為敏感，優(yōu)化難度也更大。該反應(yīng)堆是在低功率下運(yùn)行的，其燃料、熱管、反射層、屏蔽是一體化的，熱量導(dǎo)出的要求也很低，故在本優(yōu)化設(shè)計(jì)中暫未考慮熱工方面的問(wèn)題。反應(yīng)堆采用的是富集度為93%的高濃縮鈾，燃料采用的是鈾鉬合金，反射層采用的是BeO，在正常運(yùn)行狀態(tài)下，堆芯的keff=1.012 5±0.000 5［18］。模型整體如圖3所示。

圖3 反應(yīng)堆模型尺寸Fig.3 Reactor model size

以此模型為基礎(chǔ)進(jìn)行優(yōu)化研究。在保證空間堆堆芯整體幾何形狀不變的情況下，以保證keff滿足設(shè)計(jì)條件為約束條件，優(yōu)化空間堆堆芯各部件的尺寸，優(yōu)化目標(biāo)是降低空間堆堆芯的整體質(zhì)量。

在堆芯優(yōu)化問(wèn)題的設(shè)計(jì)中，主要需要注意以下方面：

1）優(yōu)化變量

在堆芯設(shè)計(jì)優(yōu)化的問(wèn)題中，變量為各個(gè)堆芯部件的關(guān)鍵尺寸參數(shù)。主要的優(yōu)化參數(shù)有燃料棒長(zhǎng)度、燃料棒半徑、上下反射層厚度、反射層半徑。

2）目標(biāo)函數(shù)

針對(duì)堆芯優(yōu)化問(wèn)題，采用堆芯各部件的總質(zhì)量作為目標(biāo)函數(shù)。

式中：mi表示堆芯各部件的質(zhì)量。

3）約束條件

在約束處理方面，主要考慮的是堆芯的keff，一方面，優(yōu)化后堆芯設(shè)計(jì)的keff不低于原始設(shè)計(jì)值，另一方面，在控制棒完全插入堆芯時(shí)，能克服其剩余反應(yīng)性，保證足夠的停堆裕度。因此將keff介于1.012 5～1.020 0作為優(yōu)化過(guò)程中的約束條件。

結(jié)合堆芯優(yōu)化問(wèn)題和自適應(yīng)的DE算法，堆芯優(yōu)化的整體流程如下：

步驟1：在求解空間內(nèi)隨機(jī)生成堆芯的關(guān)鍵尺寸參數(shù)；

步驟2：根據(jù)關(guān)鍵尺寸參數(shù)生成相應(yīng)的物理模型，調(diào)用SuperMC軟件進(jìn)行中子輸運(yùn)計(jì)算得到該堆芯設(shè)計(jì)模型keff，記錄其是否違反約束以及違反程度；

步驟3：通過(guò)物理模型，計(jì)算該堆芯設(shè)計(jì)方案的目標(biāo)函數(shù)值；

步驟4：通過(guò)父代變異和交叉操作生成子代方案的關(guān)鍵尺寸參數(shù)，重復(fù)步驟2、步驟3，評(píng)價(jià)子代堆芯設(shè)計(jì)方案，并選擇父子兩代中更加優(yōu)秀的設(shè)計(jì)方法保留；

步驟5：重復(fù)步驟4，如此反復(fù)完成指定的進(jìn)化代數(shù)，選擇最后一代中最優(yōu)秀的方案作為最終的堆芯設(shè)計(jì)方案。

2.2 優(yōu)化結(jié)果

基于以上堆芯優(yōu)化方案，在自適應(yīng)的DE算法下，進(jìn)行4次優(yōu)化驗(yàn)證，優(yōu)化結(jié)果如表2所示。

從表2的優(yōu)化結(jié)果可以看出：自適應(yīng)的DE算法對(duì)Kilopower的堆芯優(yōu)化效果明顯，在4組優(yōu)化試驗(yàn)中，均能保證在keff滿足約束和堆芯幾何形狀不變的情況下，有效降低堆芯的質(zhì)量。其中優(yōu)化效果最好的是No.4，優(yōu)化后的堆芯質(zhì)量為82.9 kg，與原始設(shè)計(jì)相比，減重38.2%，優(yōu)化效果顯著。

表2 空間堆堆芯優(yōu)化結(jié)果Table 2 Space reactor core optimization results

選取優(yōu)化結(jié)果最好的No.4，其優(yōu)化曲線如圖4所示。

整個(gè)優(yōu)化過(guò)程，設(shè)置的種群大小為30，最大進(jìn)化代數(shù)為30，整個(gè)搜索過(guò)程計(jì)算930個(gè)模型，通過(guò)優(yōu)化曲線我們可以觀察到，當(dāng)優(yōu)化進(jìn)行到第10代左右時(shí)，已基本呈現(xiàn)收斂。

圖4 優(yōu)化曲線Fig.4 Optimization curve

下面對(duì)No.4組進(jìn)行詳細(xì)分析，優(yōu)化前后關(guān)鍵尺寸參數(shù)對(duì)比如表3所示。

優(yōu)化前后各部件質(zhì)量對(duì)比如表4所示。

表3 堆芯關(guān)鍵尺寸優(yōu)化結(jié)果對(duì)比Table 3 Comparison of optimization results of critical dimensions of reactor core

表4 反應(yīng)堆質(zhì)量?jī)?yōu)化結(jié)果對(duì)比Table 4 Comparison of reactor quality optimization results

對(duì)比優(yōu)化前后的堆芯模型，優(yōu)化前堆芯質(zhì)量為134.2 kg，優(yōu)化后的質(zhì)量為82.9 kg，減重38.2%，優(yōu)化效果明顯。詳細(xì)分析各部件質(zhì)量，發(fā)現(xiàn)燃料的質(zhì)量由原始設(shè)計(jì)的32.9 kg增加到38.0 kg，反射層由原始的72.5 kg降低到16.1 kg，從物理學(xué)角度分析，增加燃料質(zhì)量可以增加堆芯在裂變反應(yīng)中產(chǎn)生的中子數(shù)量，而減少反射層厚度能降低中子通過(guò)反射層返回堆芯的概率，最終使keff滿足設(shè)計(jì)要求。

3 結(jié)語(yǔ)

本文基于經(jīng)典DE算法，提出了一種自適應(yīng)的DE算法，并將其應(yīng)用于空間堆的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中。以堆芯整體幾何形狀保持不變?yōu)榍疤?，以堆芯質(zhì)量最小為優(yōu)化目標(biāo)，以堆芯keff滿足設(shè)計(jì)要求為約束條件，對(duì)Kilopower空間堆的堆芯參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)。優(yōu)化后堆芯總質(zhì)量相比原設(shè)計(jì)堆芯總質(zhì)量減重38.2%，這初步證明了自適應(yīng)DE算法在空間堆設(shè)計(jì)中的正確性和有效性，可節(jié)省大量的時(shí)間和人力成本，也為反應(yīng)堆的設(shè)計(jì)提供了重要參考。同時(shí)，后續(xù)仍需對(duì)該算法進(jìn)一步改進(jìn)，以提升其在更復(fù)雜設(shè)計(jì)中的適用性。

致謝感謝中國(guó)科學(xué)院合肥物質(zhì)科學(xué)研究院老師們的悉心指導(dǎo)以及同學(xué)們的幫助。