（海軍大連艦艇學院 大連 116018）

1 引言

在高技術(shù)條件下的局部海戰(zhàn)中，戰(zhàn)場的態(tài)勢千變?nèi)f化，艦空導彈防空作戰(zhàn)需要在短時間內(nèi)進行決策。基于目標空襲體系的不斷變化，對目標盡早攔截是艦空導彈防空作戰(zhàn)的的指導性原則之一，及時釋放占用的火力通道數(shù)量，力爭為后續(xù)目標創(chuàng)造更多的射擊機會［1］。

正確靈活地選擇導彈的發(fā)射時機，可提高艦空導彈的射擊效果，是研究艦空導彈防空作戰(zhàn)的關(guān)鍵問題之一，也是研究艦空導彈轉(zhuǎn)火射擊問題的理論依據(jù)。目前，艦空導彈發(fā)射時機的確定主要是采取按發(fā)射區(qū)時間窗口的方式進行規(guī)劃，將其規(guī)劃在一個時間區(qū)間內(nèi)，但按照時間窗口規(guī)劃發(fā)射時機只是定性描述。由于艦空導彈毀傷概率影響因素的復(fù)雜性，通常情況下艦空導彈發(fā)射時機的提前與其毀傷目標概率的增加是相互矛盾的。在艦空導彈防空作戰(zhàn)中，如何確定艦空導彈的發(fā)射時機，使其在毀傷目標概率和發(fā)射時機之間取得較好的平衡，是艦空導彈取得預(yù)期作戰(zhàn)效果的關(guān)鍵因素。在不同艦空導彈發(fā)射時機確定中，如何使得毀傷目標盡可能早、毀傷目標概率達到預(yù)期值是艦空導彈發(fā)射時機優(yōu)化的難題，發(fā)射時機確定效果好，能夠起到快速打擊、充分發(fā)揮火力強度的效果，如果發(fā)射時機確定效果差，不僅達不到對目標的打擊效果，同時還會影響艦空導彈轉(zhuǎn)火射擊能力，從而貽誤戰(zhàn)機，因此建立不同艦空導彈的發(fā)射時機優(yōu)化理論是提高其防空作戰(zhàn)靈活性和快速性的有效途徑。

2 艦空導彈射擊提前系數(shù)及先期毀傷原則

2.1 艦空導彈的毀傷特性

根據(jù)典型的艦空導彈的彈道特性，可得艦空導彈毀傷空中目標概率曲線，見圖1。

圖1 艦空導彈對典型目標毀傷概率曲線

其中：Dsy、Dsj表示艦空導彈殺傷區(qū)遠界、近界的斜距在水平面上的投影；Dsmax表示艦空導彈單發(fā)最大毀傷概率下的殺傷區(qū)斜距在水平面上投影；在最大毀傷概率射程下艦空導彈單發(fā)毀傷概率為Pmax，來襲目標到達該點的瞬時稱為最大毀傷瞬時tsmax；tsy表示艦空導彈到達殺傷區(qū)遠界Dsy的瞬時，稱為最早毀傷瞬時，相應(yīng)的毀傷概率稱為最早毀傷概率。依據(jù)艦空導彈先期毀傷目標準則，通常不會將毀傷時機規(guī)劃到最大毀傷瞬時tsmax之后，則首發(fā)毀傷瞬時應(yīng)被規(guī)劃在區(qū)間[tsy，tsmax]內(nèi)。

2.2 艦空導彈的射擊提前系數(shù)的定義

射擊提前系數(shù)是用于決定艦空導彈的預(yù)期毀傷瞬時的，假設(shè)射擊提前系數(shù)為α∈[0，1]，其上下邊界分別對應(yīng)發(fā)射單元的最早毀傷瞬時和最大毀傷瞬時，α越大，表示毀傷時機越早［2］。設(shè)某次射擊的毀傷瞬時為ths，則，即ths=α·tsy+(1-α)·tsmax。

式中：tsmax為最大毀傷瞬時，來襲目標到達該點，艦空導彈毀傷概率最大；tsy為來襲目標到達艦空導彈殺傷區(qū)遠界的時刻，稱為最早毀傷瞬時。

2.3 射擊瞬時、毀傷瞬時及飛行時間之間的關(guān)系

假設(shè)目標勻速直線飛行的情況下，記某瞬時tsj、ths分別為艦空導彈對目標的射擊瞬時和毀傷瞬時；為在毀傷瞬時為ths時艦空導彈殺傷目標所需要的飛行時間。當艦空導彈彈道特性與來襲目標運動模型及初始狀態(tài)一定時，艦空導彈理論彈道任一點的艦空導彈飛行時間都是可求的，且有。

在艦空導彈任意射擊瞬時t，一旦求得艦空導彈的毀傷瞬時ths，由即可求得該艦空導彈的射擊瞬時。當α∈[0，1]時，α越大，表示毀傷時機越早；α越小，表明艦空導彈的毀傷概率越高。

2.4 先期毀傷原則下的射擊提前系數(shù)取值范圍

為α確定一個恰當?shù)娜≈?，即決定了艦空導彈的對來襲目標的發(fā)射時機。當α=0時，相當于最大毀傷概率下的艦空導彈射擊；當α=1時，相當于最早毀傷時機下的艦空導彈對目標進行射擊。前者可能降低艦空導彈最大攔截次數(shù)，后者可能損失艦空導彈的殺傷概率。

如對艦空導彈發(fā)射時機不加以限制的情況下，根據(jù)艦空導彈射擊提前系數(shù)的定義，其取值范圍為α∈[0，1]，其左右邊界分別對應(yīng)艦空導彈最大毀傷概率下的毀傷瞬時和最早毀傷時機下的毀傷瞬時。

3 艦空導彈發(fā)射時機優(yōu)化模型

3.1 發(fā)射時機優(yōu)化的數(shù)學模型

1）目標函數(shù)

基于先期毀傷的艦空導彈射擊時機優(yōu)化是指在保證艦空導彈滿足對目標的期望毀傷概率的前提下，能夠盡早實施導彈發(fā)射，此種條件下艦空導彈發(fā)射時機優(yōu)化的數(shù)學模型為

2）模型相關(guān)說明

當多型艦空導彈對目標進行攔截時，即i＞1時，在αi∈[αjk，1]范圍內(nèi)，當有許多組α=(α1，…，αm)滿足期望毀傷。每一組α=(α1，…，αm)都有相應(yīng)的一組射擊瞬時t=(t1，…，tm)與之對應(yīng)，即對應(yīng)毀傷概率分布律權(quán)重γ=(γ1，…，γm)和毀傷概率分布Q=(Q1，...，Qm)。

式中：Q(αi)=Q(ti)，i=1，…，m，為艦空導彈毀傷概率Pi(αi)的概率分布；γ(αi)=γ(ti)，i=1，…，m，稱為艦空導彈毀傷概率分布Q(ti)的權(quán)重系數(shù)。

3.2 毀傷概率的分布函數(shù)和概率分布

設(shè)m個不同型號的艦空導彈武器系統(tǒng)對同一目標進行攔截時，其毀傷概率的計算方法與連射或齊射n發(fā)導彈殺傷單個目標的概率計算方法相同，在毀傷瞬時規(guī)劃在區(qū)間[tsy，tsmax]內(nèi)的約束下，艦空導彈的毀傷概率P(t，α)具有下列性質(zhì)：一是艦空導彈能在預(yù)期毀傷瞬時之前，能對目標達成最大毀傷概率射擊，即在射擊提前系數(shù)不變時，對目標的毀傷概率是隨毀傷瞬時增大的一個非減函數(shù)；二是艦空導彈能在預(yù)期毀傷瞬時之前，能對目標達成最大毀傷概率射擊，即在射擊瞬時一定時，對目標的毀傷概率是各型艦空導彈射擊提前系數(shù)的單調(diào)、連續(xù)遞降函數(shù)。在任一組能夠滿足毀傷概率不小于預(yù)期毀傷概率的前提下的射擊提前系數(shù)α=(α1，…，αm)，均有與之相對應(yīng)的射擊瞬時t=(t1，…，tm)，為每一型艦空導彈的射擊提前系數(shù)αi計算得到一個恰當值，就決定了所有艦空導彈的射擊時機，也就完成了艦空導彈射擊時機的優(yōu)化分配任務(wù)，從而將艦空導彈發(fā)射時機問題轉(zhuǎn)化為射擊提前系數(shù)αi的計算與取值。艦空導彈毀傷目標概率的分布函數(shù)與概率分布可用下式表示：

毀傷概率P(t)的分布函數(shù)為E(P(t))=E(t)，其值由可以由下式計算得到：

根據(jù)上式可以求得毀傷概率P(t)的概率分布Q(P(t))=Q(t)。

3.3 毀傷概率分布律權(quán)重系數(shù)

艦空導彈的發(fā)射時機不同，其對目標的毀傷概率也不相同，根據(jù)艦空導彈毀傷目標概率相關(guān)計算和火力分配的基本原則，要求對目標的最大毀傷概率至少達到對目標的預(yù)期毀傷概率，即。當最大毀傷概率等于預(yù)期毀傷概率，則可以使得αi=αjk；若最大毀傷概率大于預(yù)期毀傷概率，則必須要對來襲目標的最小毀傷概率和預(yù)期毀傷概率二者之間的關(guān)系進行分析。

本文研究艦空導彈發(fā)射時機優(yōu)化的基本準則是力爭先期毀傷，盡可能期望艦空導彈較早的毀傷目標，這就要求艦空導彈發(fā)射時機目標函數(shù)中的毀傷概率的分布律的權(quán)重越大，因此給出如下權(quán)重函數(shù)γ(t)。

式中：λ為在毀傷瞬時與毀傷概率曲線中的斜率，并同時過點(tch，0)的直線；tch為艦空導彈預(yù)期毀傷瞬時；t為艦空導彈的實際毀傷瞬時。

4 發(fā)射時機優(yōu)化模型的蟻群算求解

蟻群算法是一種新的進化算法，近年來應(yīng)用領(lǐng)域迅速擴展，如控制天然氣的分流、優(yōu)化工作計劃和市場戰(zhàn)略評估等，其應(yīng)用已經(jīng)取得了引人矚目的成果，在軍事領(lǐng)域上同樣具有廣闊的應(yīng)用前景［3-5］。例如，文獻［6］提出了一種將遺傳算法和螞蟻算法相結(jié)合的混合式算法，首先用遺傳算法在全局搜索出一組粗糙的最優(yōu)解，以此作為蟻群算法的初值，再利用螞蟻算法的實施程序，最終求出最優(yōu)解，通過算例分析證明，運用該方法獲取的最優(yōu)目標分配問題，能夠滿足大型水面艦艇編隊防空的目標分配問題。文獻［7］提出了一種基于解算連續(xù)空間優(yōu)化問題的改進螞蟻算法，構(gòu)造了與蟻群轉(zhuǎn)移概率有關(guān)聯(lián)的評價函數(shù)，將每條最優(yōu)路徑上余留的信息數(shù)量限制在某個固定區(qū)間，能夠更快地尋求到連續(xù)空間優(yōu)化問題的精確最優(yōu)解。本文提出一種基于網(wǎng)格劃分的連續(xù)域蟻群算法進行結(jié)算，網(wǎng)格是直接搜索中的重要概念，因為它描述了對搜索空間的一種規(guī)則抽樣。實際上，是指將變量區(qū)域利用網(wǎng)格劃分的方式實現(xiàn)網(wǎng)格化，從而在網(wǎng)格點上求取目標函數(shù)和約束函數(shù)，對于滿足約束條件的網(wǎng)格點，比較解與目標函數(shù)值之間的數(shù)量差，從中選出較優(yōu)者，并把該點當做一次迭代的結(jié)果；繼續(xù)進行循環(huán)計算更新，直到滿足條件為止。

4.1 發(fā)射時機優(yōu)化模型的應(yīng)用實現(xiàn)

為了方便采用基于網(wǎng)格劃分的連續(xù)域螞蟻算法解決艦空導彈發(fā)射時機的優(yōu)化問題，發(fā)射時機優(yōu)化模型可以采用艦空導彈殺傷目標的時間函數(shù)進行描述。

式中，ti∈[tsy，tjk]?[tsy，tsmax]，i=1，2，...，n，tjk由下式計算。

艦空導彈射擊提前系數(shù)和發(fā)射時間分別由下式計算。

式（9）中，Tfi(ti)為艦空導彈i在瞬時ti彈目遭遇時導彈的飛行時間。

由式（6）描述的艦空導彈發(fā)射時機優(yōu)化模型可知，是以時間t為變量進行描述的函數(shù)形式，則模型的約束條件為變量的連續(xù)遞增函數(shù)。因此，基于網(wǎng)格劃分思想的搜索窗口的產(chǎn)生及信息素更新的具體實現(xiàn)包括初始搜索、全程搜索、窗口更新三個步驟。

4.2 初始搜索

利用蟻群算法求解的變量應(yīng)為艦空導彈毀傷目標的時刻ti，設(shè)其搜索窗口為TiNc=[TsyNc，TsmaxNc]，其中，Nc為具體的循環(huán)次數(shù)，即搜索窗口的更新次數(shù)，取值為[0，∞]。采用網(wǎng)格策略搜索，第一次的搜索窗口為Ti0=[Tsy0，Tsmax0]?[tsy，tjk]，i=1，2，…，m。初始搜索窗口的右端點可以取變量的最大值tjk，即Tsmax0=tjk；設(shè)置網(wǎng)格寬度為Δt，即限定算法的搜索精度，記N為搜索窗口的網(wǎng)格數(shù)量，通常使N·Δt遠小于 min{tjk-tsy，i=1，2，…，n}，這樣就能使得初始搜索窗口的寬度保持在Tsmax0-Tsy0=N·Δt，搜索范圍的左端點可以記為Tsy0=Tsmax0-N·Δt，而每個窗口包含N+1個網(wǎng)格節(jié)點［8～10］。

4.3 全程搜索

將每個變量進行N等份，即將變量區(qū)間進行網(wǎng)格化，從而在n維空間中構(gòu)成了(N+1)×n個點的網(wǎng)格形式，每只螞蟻從第1列至第n列的網(wǎng)格點中依次選擇一個點來完成一個解的構(gòu)建，并根據(jù)各網(wǎng)格點留下的不同信息量，用以影響其余螞蟻的移動路徑［11］。基于此能夠完成參數(shù)空間的構(gòu)設(shè)。

如圖2所示，狀態(tài)空間所示的狀態(tài)為()1，2，4，…，3，此種狀態(tài)條件下對應(yīng)的解為

圖2 連續(xù)優(yōu)化問題的狀態(tài)空間解

螞蟻選擇第i(i=1，2，…，n)列上的一個點時，是根據(jù)N+1個點的信息素分布情況進行隨機選擇的，從第一級到第N級之間的狀態(tài)選擇概率為

式中，t為螞蟻算法的運行時刻，將螞蟻構(gòu)建出一個完整的解記為一個時刻；τij(t)為第i列第j個節(jié)點的信息量，其更新公式為

式中：f為目標函數(shù)值，ρ為揮發(fā)系數(shù)，Q為常數(shù)。

假設(shè)某組窗口下的循環(huán)次數(shù)為C，螞蟻的數(shù)量為M只，M只螞蟻中每一只都能形成一個解，首先判斷式（6）約束條件是否滿足，對滿足約束條件的解計算目標函數(shù)值才有意義，M只螞蟻經(jīng)過C次循環(huán)之后，就可以得到該組網(wǎng)格搜索窗口下的最優(yōu)解，記為to=(t1o，t2o，…，tno)。

4.4 搜索窗口更新

5 實例分析

某艦艇編隊分別配置了三種型號的艦空導彈，對空中多批次目標進行攔截，以對一個目標進行攔截為例來規(guī)劃各型艦空導彈的發(fā)射時機，以此來驗證上述發(fā)射時機優(yōu)化模型和蟻群算法的實現(xiàn)。如三型艦空導彈均能對來襲目標進行攔截，根據(jù)最早毀傷時刻的先后為依據(jù)進行編號，D1為1#艦空導彈、D2為2#艦空導彈、D3為3#艦空導彈。規(guī)定在D=12km時，毀傷自然時T=0，各型艦空導彈對來襲目標的最早、最大毀傷概率對應(yīng)的射程和毀傷瞬時用DL、DM、tL、tM表示，見表1。

表1 最早、最大毀傷概率對應(yīng)的射程和毀傷瞬時

各型艦空導彈對來襲目標的毀傷概率曲線和導彈飛行時間曲線如圖3、圖4所示。

圖3 各型艦空導彈毀傷概率曲線

圖4 各型艦空導彈飛行時間曲線

通過以上分析可以得出，艦空導彈對于目標的期望的殺傷概率與不同的毀傷瞬時的情況下，可以采用本文提出的改進式蟻群算法，分別計算出各型艦空導彈武器系統(tǒng)最優(yōu)的發(fā)射時刻、毀傷瞬時和射擊提前系數(shù)。下面分不同情況進行分析論證，以不同的期望毀傷瞬時和預(yù)期的毀傷概率為想定條件，提出三種想定情況，采用基于改進的蟻群算法優(yōu)化艦空導彈的發(fā)射時機。

情況1：預(yù)期毀傷瞬時為20s之前，以不小于預(yù)期的毀傷概率0.85攔截來襲目標。將目標分配給D2、D3，毀傷時刻t2=15.2s、t3=20s，射擊提前系數(shù)α2=0.4696、α3=0，發(fā)射時機，毀傷概率P2=0.6594、P3=0.5596、P*=0.85。

情況2：預(yù)期毀傷瞬時為18s之前，以不小于預(yù)期的毀傷概率0.9攔截來襲目標。將目標分配給D1、D3，毀傷時刻t1=6.5s、t3=17.8s，射擊提前系數(shù)α1=0.2168、α3=0.3667，發(fā)射時機，毀傷概率P1=0.5827、P3=0.7604、P*=0.9。

情況3：預(yù)期毀傷瞬時為18s之前，以不小于預(yù)期的毀傷概率0.95攔截來襲目標。將目標分配給D1、D2、D3，毀傷時刻t1=4.6s、t2=16.5s、t3=16.2s，射擊提前系數(shù)α1=0.4457、α2=0.2723、α3=0.6333，發(fā)射時機，毀傷概率 P1=0.5035、P2=0.7583、P3=0.6506、P*=0.95。

蟻群算法參數(shù)設(shè)置：蟻群信息素揮發(fā)系數(shù)為0.2，搜索精度為0.1s，常數(shù)Q=1，信息素初始值為1，蟻群中螞蟻的數(shù)量為10個，搜索循環(huán)的次數(shù)設(shè)為10，滿足條件算法停止的次數(shù)為3。情況3中蟻群算法的螞蟻數(shù)量為20，算法循環(huán)次數(shù)為20，其他參數(shù)不變。

通過上述分析可見，當將來襲目標分配至D1、D2、D3毀傷概率特性相差較大的艦空導彈時，在能夠滿足預(yù)先給定毀傷概率的基礎(chǔ)上，對于毀傷概率傷概率較大的艦空導彈來講應(yīng)盡量提前其射擊時機，而對于毀傷概率較小的艦空導彈來講應(yīng)保證盡可能高的毀傷概率時發(fā)射導彈。在發(fā)射時機相同的情況下，對于殺傷概率曲線變化較緩的艦空導彈應(yīng)優(yōu)先發(fā)射。

6 結(jié)語

本文立足于艦空導彈防空作戰(zhàn)的特點，提出了基于先期毀傷原則的艦空導彈發(fā)射時機的優(yōu)化準則，同時引入了與“先期毀傷”相關(guān)的“射擊提前系數(shù)”這一參數(shù)及其計算方法，并明確了先期毀傷原則下的射擊提前系數(shù)的取值范圍?；谙绕跉枷虢⒘伺灴諏棸l(fā)射時機優(yōu)化模型，重點論證了艦空導彈毀傷概率的分布概率及權(quán)重函數(shù)，提出基于網(wǎng)格劃分的連續(xù)域蟻群算法對艦空導彈發(fā)射時機優(yōu)化模型進行解算的方法，采用此方法對艦空導彈的發(fā)射時機進行實時優(yōu)化，既能做到較早毀傷目標，減少火力通道占用時間，又能保證以預(yù)期毀傷概率殺傷目標，取得預(yù)期的作戰(zhàn)效果。