劉亞妮, 馮進(jìn)鈐, 沈曉娜, 李玉婷, 王迎宵

(西安工程大學(xué) 理學(xué)院, 西安 710048)

近年來, 碰撞振動系統(tǒng)的研究已引起人們廣泛關(guān)注. Holmes[1]通過彈跳小球?qū)嶒?yàn), 證明了碰撞振動系統(tǒng)中分岔和混沌運(yùn)動的存在性； 文獻(xiàn)[2]針對一類彈性碰撞振動系統(tǒng)的分岔控制問題, 提出了一種分岔預(yù)測及控制方法; 文獻(xiàn)[3]研究了分段光滑碰撞振動系統(tǒng)的吸引域結(jié)構(gòu)變化機(jī)理; 文獻(xiàn)[4]研究了碰撞振動系統(tǒng)中的混沌控制, 從而提高了碰撞振動系統(tǒng)的工作效率.

形狀記憶合金(SMA)是一種特殊材料, 具有形狀記憶和偽彈性等效應(yīng). 基于這些特性, Tanaka[5]建立并分析了一維增量型本構(gòu)模型; Lagoudas等[6]提出了一種用于SMA偽彈性響應(yīng)的簡化材料模型; 周博等[7-8]給出了形狀記憶因子的概念, 并分別從細(xì)觀力學(xué)角度以及宏觀力學(xué)角度建立了SMA各種相變行為之間的形狀記憶演化方程； Savi等[9]研究了形狀記憶雙桿桁架的動態(tài)響應(yīng); 張清泉等[10]研究了受軸向載荷的形狀記憶合金梁的動力穩(wěn)定性與混沌運(yùn)動. 但上述關(guān)于SMA的研究均未考慮其遲滯環(huán)特性. 文獻(xiàn)[11]分析了SMA的應(yīng)力應(yīng)變遲滯環(huán)特性; 文獻(xiàn)[12-13]分別建立了受Gauss噪聲激勵的振動模型以及形狀記憶合金簡支梁在受軸向簡諧激勵和橫向白噪聲激勵時的振動模型; 文獻(xiàn)[14-16]研究了平面內(nèi)隨機(jī)激勵的巨型磁致伸縮薄膜形狀的記憶合金復(fù)合材料板的非線性動力學(xué)特性和最優(yōu)控制, 以及磁形狀記憶合金(MSMA)梁在軸向隨機(jī)激勵作用下的非線性動力學(xué)特性和最優(yōu)控制. 在實(shí)際工程中, 形狀記憶合金梁通常受雙邊剛性約束的影響. 基于此, 本文以具有雙邊約束的形狀記憶合金梁模型為研究對象, 利用Melnikov方法得到系統(tǒng)產(chǎn)生混沌的必要條件, 所得結(jié)果可用于形狀記憶合金梁的混沌控制.

1 雙邊約束形狀記憶合金梁模型

平均密度為ρ、 高度為H、 長度為l、 橫截面寬度為b的簡支形狀記憶合金梁模型如圖1所示, 在其基底層的上方和下方均粘著厚度相同的形狀記憶合金層, 其中基底層的厚度為d. 該形狀記憶合金梁受軸向諧和激勵J=j0+jcos(Ωt), 其動力學(xué)方程為

(1)

其中B為合金梁的橫截面積,N為其彎矩,w為其橫向位移,a為線性阻尼.

該梁受軸向諧和激勵時的振動方程為

(2)

其中

圖1 簡支形狀記憶合金梁模型

圖2 形狀記憶合金梁在雙邊約束下的截面

形狀記憶合金梁在雙邊約束下的截面如圖2所示, 其中形狀記憶合金梁左右兩側(cè)的約束均為一U形槽. 在該約束條件下, 系統(tǒng)(2)的運(yùn)動方程為

(3)

(4)

其中R為碰撞恢復(fù)系數(shù), 一般描述為R=1-ξr0, +表示碰撞前的時刻, -表示碰撞后的時刻，g為線性剛度系數(shù),δ為非線性剛度系數(shù),τ為阻尼系數(shù),ζ為負(fù)阻尼系數(shù),f為諧和激勵幅值.

2 未擾系統(tǒng)的同宿軌

令式(4)中ξ=0, 得到未擾系統(tǒng)方程

(5)

(6)

Hamilton函數(shù)為

(7)

圖3 未擾系統(tǒng)(5)的軌線

當(dāng)g=2.0,δ=2.0,h=1時, Hamilton量取不同值時未擾系統(tǒng)(5)的軌線如圖3所示, 其中實(shí)線表示鞍點(diǎn)S的2條同宿軌.

根據(jù)H(m,n)=0, 推導(dǎo)出未擾系統(tǒng)同宿軌為

(mh(t),nh(t))T=

(8)

其中

T±表示同宿軌到達(dá)約束面的時間.

3 Melnikov函數(shù)

利用Melnikov理論[17-18], 系統(tǒng)(4)的Melnikov函數(shù)可表示為

(9)

簡化為

M(t0)=ζU1+τU2+fU3+r0U4,

(10)

其中

令

則

U3=2sin(ωt0)[sin(ωT0)W1-cos(ωT0)W2],

利用Melnikov理論, 系統(tǒng)(3)出現(xiàn)Smale馬蹄混沌的必要條件為

(11)

4 數(shù)值模擬

為驗(yàn)證解析結(jié)果式(11)的正確性, 考慮不同約束位置情況下諧和力以及碰撞恢復(fù)系數(shù)對該系統(tǒng)混沌運(yùn)動的影響. 令系統(tǒng)參數(shù)g=2.0,ω=2.2,δ=2.0,τ=0.15,ζ=0.015,ξ=0.1, 當(dāng)式(11)取等號,h=1.0,1.1,1.2時, 系統(tǒng)的Melnikov臨界線如圖4所示, 其中線下為可能的混沌區(qū)域, 線上為非混沌區(qū)域. 由圖4可見,h越大系統(tǒng)產(chǎn)生混沌解所需的碰撞恢復(fù)參數(shù)r0越大, 且臨界值f隨r0的增大而增大, 即較大的諧和力可促進(jìn)混沌產(chǎn)生.r0越大系統(tǒng)損耗的能量越大, 更大的諧和力有助于2個勢阱間的躍遷運(yùn)動, 預(yù)示混沌運(yùn)動的發(fā)生. 基于式(11)的臨界條件, 當(dāng)h=1.0,r0=2.0時, 得到臨界值f≈4.1.

為驗(yàn)證上述結(jié)論的正確性, 在圖4臨界值下方取點(diǎn)A(4.0,2.0), 繪制在A點(diǎn)參數(shù)條件下系統(tǒng)的相圖(圖5中曲線)和Poincaré截面圖(圖5中黑點(diǎn)), 其中圖5(A)初值(m,n)T=(-0.01,-0.01)T, 圖5(B)初值(m,n)T=(0.01,0.01)T. 由圖5可見, 在A點(diǎn)參數(shù)條件下, 系統(tǒng)做穩(wěn)定的周期3運(yùn)動, 對應(yīng)的最大Lyapunov指數(shù)λ≈-0.12, 表明系統(tǒng)在該參數(shù)條件下做非混沌運(yùn)動.

圖4 Smale馬蹄混沌生成的臨界線

圖5 f=4.0時系統(tǒng)(3)的相圖和Poincaré截面圖

在圖4臨界值上方取點(diǎn)B(7.0,2.0), 繪制在B點(diǎn)參數(shù)條件下系統(tǒng)的相圖(圖6中灰線)和Poincaré截面圖(圖6中黑點(diǎn)), 其中圖6(A)初值(m,n)T=(-0.01,-0.01)T, 圖6(B)初值(m,n)T=(0.01,0.01)T. 由圖6可見, 在B點(diǎn)參數(shù)條件下, 系統(tǒng)運(yùn)動雜亂無序, 對應(yīng)的最大Lyapunov指數(shù)λ≈0.26, 表明系統(tǒng)在該參數(shù)條件下做混沌運(yùn)動.

為進(jìn)一步研究h與r0對系統(tǒng)運(yùn)動狀態(tài)的影響, 當(dāng)f=7.0,h=1.0,1.1,1.2時, 系統(tǒng)最大Lyapunov指數(shù)隨r0的變化曲線如圖7所示. 由圖7可見, 隨著r0的增大, 最大Lyapunov指數(shù)由大于0逐漸變?yōu)樾∮?, 表明增大碰撞參數(shù)可抑制系統(tǒng)生成混沌. 在3個不同約束值中,h=1.1的曲線波動幅度較小, 其他兩條曲線波動幅度較大, 表明約束值不同, 對系統(tǒng)混沌生成的影響也不同.

圖6 f=7.0時系統(tǒng)(3)的相圖和Poincaré截面圖

圖7 不同h值下最大Lyapunov指數(shù)隨r0的變化曲線

綜上, 本文基于非光滑系統(tǒng)的Melnikov方法, 研究了在軸向諧和激勵下雙邊約束簡支形狀記憶合金梁的混沌運(yùn)動, 得到系統(tǒng)具有混沌解的必要條件, 并利用數(shù)值仿真方法驗(yàn)證了該解析結(jié)果的有效性和正確性. 研究結(jié)果表明, 當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)取特定值時, 諧和激勵幅值越大, 系統(tǒng)越容易做混沌運(yùn)動, 但增大碰撞恢復(fù)系數(shù)可抑制混沌產(chǎn)生.