吳奕誠 許行之 楊章梁 蘇飄飄

【摘 要】文章研究了亞音速不可壓來流中二元機翼氣動彈性系統(tǒng)顫振主動控制問題。采用俯仰方向含有多項式非線性模型建立氣動彈性動態(tài)方程，在非線性模型存在參數(shù)不確定性和陣風載荷的情況下，通過使用界限復合能量函數(shù)（BCEF）的方法，利用Lyapunov穩(wěn)定性理論進行帶有狀態(tài)約束的迭代學習控制律設(shè)計。仿真結(jié)果顯示，系統(tǒng)狀態(tài)變量和控制變量都能夠快速地達到穩(wěn)定狀態(tài)，表明所設(shè)計的控制律可以有效地實現(xiàn)對多項式非線性二元機翼顫振的抑制。

【關(guān)鍵詞】迭代學習控制;非線性控制系統(tǒng);顫振抑制;界限復合能量函數(shù)（BCEF）;陣風載荷

【中圖分類號】V215.3 【文獻標識碼】A 【文章編號】1674-0688（2021）04-0039-05

在一定的飛行條件下，含有結(jié)構(gòu)非線性的氣動彈性系統(tǒng)可能出現(xiàn)極限環(huán)振蕩甚至混沌等不穩(wěn)定現(xiàn)象[1]。文獻[2]對不同類型的翼段結(jié)構(gòu)非線性進行了深入的討論。非線性顫振主動控制問題主要針對的是連續(xù)的多項式非線性的研究[3-7]。文獻[8-9]對間隙、雙線性遲滯環(huán)等不連續(xù)非線性系統(tǒng)的顫振特性進行了分析。文獻[10]考慮了大展弦比機翼的幾何非線性的影響，并進行了氣動彈性分析。

目前，針對非線性顫振主動控制中所用到的控制策略主要包括處理氣動彈性系統(tǒng)中參數(shù)完全確定的反饋線性化方法[11]，以及解決當系統(tǒng)中存在參數(shù)不確定性時的自適應(yīng)控制方法[3-4]、局部反饋線性化[5-6]或全局反饋線性化[7]與自適應(yīng)控制理論相結(jié)合等方法。文獻[12]利用L1自適應(yīng)方法對包含有陣風載荷的非線性氣動彈性系統(tǒng)進行了分析，但其控制器的設(shè)計本質(zhì)上只是針對俯仰角的振動控制。文獻[13-14]基于二階滑?？刂频姆椒ㄔO(shè)計了一個不連續(xù)的控制律，實現(xiàn)消除不確定性和陣風干擾的作用，然而并未討論非線性系統(tǒng)狀態(tài)約束的問題。文獻[15-16]提出了一種新穎的迭代學習控制方法，該方法是在隊列條件下，通過使用界限復合能量函數(shù)（BCEF）的方法，所設(shè)計的控制器能夠滿足狀態(tài)約束，可以有效地處理非線性系統(tǒng)的參數(shù)和非參數(shù)不確定性問題。

本文針對多項式非線性二元機翼，并同時考慮非線性參數(shù)不確定性和陣風干擾，利用狀態(tài)約束迭代學習控制方法實現(xiàn)了非線性氣動彈性顫振的主動控制。

1 氣動彈性模型與控制問題

二元機翼模型如圖1所示，其運動方程[17-18]如下：

其中，h為沉浮位移;α為俯仰角;m為機翼質(zhì)量;b為機翼半弦長;Ia為機翼慣性矩;xa為彈性軸到機翼重心的無量綱距離;kh和ka（α）分別為沉浮方向和俯仰方向的剛度系數(shù);ch和ca分別為沉浮方向和俯仰方向的結(jié)構(gòu)阻尼系數(shù);L，M分別為氣動力和力矩。ka（α）表示俯仰方向含有多項式非線性剛度，其非線性函數(shù)如下：

準定常氣動力表達式如下：

其中，a為機翼彈性軸到中心的無量綱距離;ρ為密度;cla和cma分別為單位攻角對應(yīng)的升力系數(shù)和力矩系數(shù);clβ和cmβ分別為單位控制面偏轉(zhuǎn)角對應(yīng)的升力系數(shù)和力矩系數(shù);β為控制面偏轉(zhuǎn)角;U為來流速度。

由陣風引起的氣動力和力矩表達式如下：

此處，考慮到剛度的參數(shù)不確定性，公式（7）可以寫為 =g+θζ+Bβ+dg。（9）

其中，g是中包含已知參數(shù)的部分，θ是和非線性剛度相關(guān)的矩陣，ζ是不確定性參數(shù)的狀態(tài)變量，表示如下：

矩陣中各系數(shù)分別為系統(tǒng)參數(shù)的函數(shù)，具體如下：

2 控制律設(shè)計

引入迭代學習控制算法，選擇控制面偏轉(zhuǎn)角作為系統(tǒng)輸入u=? β（t），期望的狀態(tài)為xd=[hd αd? d? d]T，由于控制的目的是為了抑制系統(tǒng)的振動，因此取xd=[0 0 0 0]T，則系統(tǒng)的運動學模型可表示如下：

為了推導出迭代學習控制律，誤差動力學方程表示如下：

并滿足如下假設(shè)：

（1）存在一個有界李雅普諾夫函數(shù)（BLF）V和一個非負的K類函數(shù)γ，有這樣一個向量 ∈Rn，當|| ||→kb時，V→∞，這里|| ||為歐幾里得范數(shù)，并且g（，t）≤-γ（||||）。

（2）滿足隊列條件，也就是先前迭代的最終狀態(tài)成為當前迭代的初始狀態(tài)，即ei（0）=ei-1（T）。

本文采用的學習控制率為ILC迭代學習控制，其形式設(shè)計如下：

為了確定參數(shù)更新規(guī)律，同時保證公式（11）是漸進穩(wěn)定的，定義Lyapunov函數(shù)[14]：

為了便于分析，在第i次迭代時，引入非負的界限李雅普諾夫函數(shù)（BCEF），形式如下：

通過設(shè)計 ，利用李雅普諾夫穩(wěn)定性理論分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性，可以得到△Ei（T）≤- γ（||ei||）dτ，這意味著Ei（T）沿著迭代軸是單調(diào)遞減的，進而利用BCEF函數(shù)的導數(shù)可證明系統(tǒng)每次迭代時的有界性。最終，通過分析得到 ||ei||=0， t∈[0，T]，可見，系統(tǒng)狀態(tài)跟蹤誤差是收斂的。證明過程可參考文獻[14]。因此，有如下形式的參數(shù)更新規(guī)律：

3 算例分析

仿真過程中所用到的系統(tǒng)參數(shù)取值如下[16]：b=0.135 m，m=12.387 kg，Ia=0.065 kg·m2，xa=[0.087 3-（b+ab）]/

b，kh=2 884.4 N·m-1，ch=27.43 N·m-1·s-1，s=0.6 m，ρ=1.225 kg·m3，cla=6.28，clβ=3.358，cma=（0.5+a）cla，cmβ=-0.635，a=-0.684 7。非線性部分以四階多項式表示，其參數(shù)選為{Kaj}，=[6.8614 7.8480 663.288 7 65.275 2 -4992.794 4]，顫振控制器迭代學習增益取值為kb=0.35，p=1，λ=0.012。對于以上參數(shù)，選取速度為16 m·s-1，初始條件為h（0）=0.02m，α（0）=0.1rad，h（0）=α（0）=0。

設(shè)計過程中考慮陣風干擾，對于三角陣風，其表達式如下：

wG（τ）=2w0 （H（τ）-H（τ- ））+2w0（ -1）（H（τ-τG）-H（τ- ）） （19）

其中，H（·）表示單位階躍函數(shù)，τG=UtG/b，tG=0.5，w0=0.7。

正弦陣風和指數(shù)陣風干擾其表達式分別如下：

wG（τ）=w0sin（6πτ/τG）-（H（τ）-H（τ-τG）） （20）

wG（τ）=H（τ）w0（1-e ） （21）

其中，τG=UtG/b，tG=1.05，w0=0.07。

3種陣風干擾的速度分布如圖2所示。圖3為圖2所示的外部干擾下所對應(yīng)的系統(tǒng)開環(huán)響應(yīng)。從圖3（a）、（b）可以看出，在三角陣風干擾下，當U=10 m/s時，h、α收斂于零點，而從圖3（e）～（f）可以看出，當U=16 m/s時，在指數(shù)陣風和正弦陣風的作用下，系統(tǒng)在短暫的瞬態(tài)后，產(chǎn)生了極限環(huán)。這是由于當U=10 m/s，線性系統(tǒng)的極點為（-1.47±14.596i，-0.648 6±7.050 3i），系統(tǒng)是穩(wěn)定的;而當U=16 m/s時，系統(tǒng)極點為（-3.413 4±13.148 8i，0.892 2±12.200 5i），系統(tǒng)變得不穩(wěn)定了。

圖4為在三角陣風干擾下，w0=0.7，U=10 m/s時的系統(tǒng)閉環(huán)響應(yīng)。很顯然，在加入控制后h、α都收斂于零點，相比較于開環(huán)系統(tǒng)響應(yīng)的圖3（a）、（b），開環(huán)系統(tǒng)的收斂時間大約是7 s，而閉環(huán)系統(tǒng)的收斂時間大約是3 s，因此控制后的閉環(huán)系統(tǒng)有一個更快的響應(yīng)時間。圖5為在三角陣風干擾下，w0=2，U=16 m/s時的系統(tǒng)閉環(huán)響應(yīng)?？梢钥吹剑M管增大了陣風的強度，而俯仰方向的響應(yīng)在2 s內(nèi)就收斂到零，沉浮方向的響應(yīng)在大約2.5 s時收斂到零，這表明控制輸入的增益[b33 b44]T是隨著來流速度的增大而增加的，可見，此時控制面的控制效率提高了。圖6是在正弦陣風干擾下，系統(tǒng)的閉環(huán)響應(yīng)。從圖中可以發(fā)現(xiàn)，俯仰方向的振動在2 s內(nèi)就被抑制了，而沉浮方向的振動抑制用了大約3 s。指數(shù)陣風干擾下閉環(huán)系統(tǒng)的響應(yīng)如圖7所示?？梢钥吹剑到y(tǒng)的振動都被抑制了，響應(yīng)的收斂時間大約都在3 s內(nèi)。但從圖8卻看到，當w0的值增大到1時，指數(shù)陣風干擾的其他參數(shù)均不變，此時系統(tǒng)響應(yīng)盡管仍然收斂于穩(wěn)定狀態(tài)，但不再收斂于零了，俯仰方向的響應(yīng)收斂于穩(wěn)定狀態(tài)的平衡值大約是0.065 rad，而沉浮方向的響應(yīng)收斂的平衡值大約是-0.008 m。以上的分析表明，在考慮模型參數(shù)不確定性和指數(shù)陣風、正弦陣風及三角陣風的干擾下，所設(shè)計的控制器可以有效地實現(xiàn)對非線性顫振的抑制。

4 結(jié)論

通過使用界限Lyapunov函數(shù)（BLF）的方法設(shè)計控制器，不同于傳統(tǒng)的全局正定和徑向無界的Lyapunov函數(shù)（QLF），BLF會在參數(shù)接近一定的限定值時趨向于無限，通過確保BLF沿系統(tǒng)軌線的有界性，從而防止了違背約束條件，因此可以有效地處理非線性系統(tǒng)的參數(shù)和非參數(shù)不確定性問題，保證狀態(tài)跟蹤誤差達到一致收斂。

傳統(tǒng)的迭代學習控制過程需要相同的初始條件，即每次迭代開始都需要時間和狀態(tài)的重置，而本文所推導的迭代學習控制方法，其前提是基于隊列條件，它不同于重復控制（RC），僅需要時間上的重置，因此具有更廣泛的適用性。利用其控制思想，還可方便地推導出具有輸出約束的非線性迭代學習控制器。

參 考 文 獻

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