頻率在30～300 GHz的毫米波通信因?yàn)榫哂袠O大的帶寬優(yōu)勢，成為目前無線通信領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)之一.毫米波通信系統(tǒng)可搭配大規(guī)模多輸入多輸出(multiple input multiple output, MIMO)技術(shù)，通過使用成百上千的天線顯著提升系統(tǒng)的頻譜效率和能效[1].其中，大規(guī)模MIMO系統(tǒng)以波束成形技術(shù)獲得的高增益克服毫米波通信系統(tǒng)的高路徑損耗問題.

基于小規(guī)模MIMO系統(tǒng)開發(fā)的傳統(tǒng)波束成形方案在大規(guī)模MIMO系統(tǒng)中將面臨高成本、高功耗的問題.該問題的一種解決方案是使用混合結(jié)構(gòu)的波束成形系統(tǒng).混合結(jié)構(gòu)波束成形系統(tǒng)包含低維度的數(shù)字預(yù)編碼器和高維度的模擬預(yù)編碼器，通過使用數(shù)量遠(yuǎn)少于天線數(shù)的射頻鏈來實(shí)現(xiàn)成本和功耗的有效降低[2-3].在實(shí)際應(yīng)用中，模擬預(yù)編碼器一般由有限精度的相移器組成，其恒模約束導(dǎo)致混合波束成形的最優(yōu)化設(shè)計(jì)問題難以直接解決.通常采用基于碼本的搜索方法來設(shè)計(jì)模擬預(yù)編碼器.理論上最佳的模擬預(yù)編碼器可通過窮盡搜索法(exhaustive search algorithm, ESA)來得到，但因其搜索復(fù)雜度與相移器的量化位數(shù)和射頻鏈數(shù)呈指數(shù)關(guān)系，無法在實(shí)際中應(yīng)用.

在模擬預(yù)編碼器的設(shè)計(jì)問題上，目前已有一些基于碼本的低復(fù)雜度搜索的研究.例如，Wang等提出一種基于多分辨率碼本的低復(fù)雜度方案，以自適應(yīng)方式細(xì)化模擬波束形成矢量[4].Hur等則采用乒乓抽樣策略結(jié)合多級碼本來降低搜索復(fù)雜度[5].文[6]使用類似Turbo策略的波束成形方案以減少搜索復(fù)雜性.文[7]提出了交叉熵最優(yōu)化(cross-entropy optimization,CEO)搜索方法，能夠以遠(yuǎn)低于ESA的搜索復(fù)雜度獲得不低于98%的最佳數(shù)據(jù)可達(dá)率.但是文[7]中的傳統(tǒng)CEO算法沒有充分利用已知的信道狀態(tài)信息(channel state information, CSI)，并且在概率更新時(shí)沒有考慮數(shù)據(jù)可達(dá)率的大小，收斂速度還有待提高.在文[7]的基礎(chǔ)上，本文提出兩種改進(jìn)的自適應(yīng)CEO算法，通過非均勻的初始化概率分配策略和與數(shù)據(jù)可達(dá)率相關(guān)的概率更新策略有效提升CEO算法的收斂速度.

1 毫米波大規(guī)模MIMO系統(tǒng)模型

點(diǎn)對點(diǎn)毫米波大規(guī)模MIMO下行傳輸系統(tǒng)如圖1所示.基站和移動(dòng)端都采用混合預(yù)編碼結(jié)構(gòu)，其中基站的天線數(shù)和射頻鏈路數(shù)分別為Nt和Mt，移動(dòng)端的天線數(shù)和射頻鏈路數(shù)分別為Nr和Mr，系統(tǒng)支持同時(shí)傳輸D路數(shù)據(jù).受到功耗和成本約束，一般移動(dòng)端天線數(shù)遠(yuǎn)少于基站天線數(shù)，基站和移動(dòng)端的天線數(shù)、射頻鏈路數(shù)和數(shù)據(jù)流數(shù)量滿足D≤Mt≤Nt和D≤Mr≤Nr.

圖1 點(diǎn)對點(diǎn)毫米波大規(guī)模MIMO通信系統(tǒng)模型Fig.1 Point to point mmWave massive MIMO system

在發(fā)射端，數(shù)據(jù)流s∈D×1依次經(jīng)過數(shù)字預(yù)編碼器G∈Mt×D和模擬預(yù)編碼器F∈Nt×Mt處理后進(jìn)入信道.發(fā)射信號可表示為

x=FGs.

(1)

(2)

(3)

其中：ρ為發(fā)射功率，H∈Nr×Nt表示信道矩陣，n∈Nr×1為加性高斯白噪聲，其元素滿足復(fù)高斯分布CN(0,σ2).

為了表征毫米波信道的低秩特性，采用Saleh-Valenzuela信道模型[7-8]，其信道矩陣可以表示為

(4)

其中：Lc是散射簇的數(shù)量，每個(gè)簇包含Lp個(gè)傳輸路徑.βc,p～CN(0,1)表示第c個(gè)散射簇中第p個(gè)路徑的復(fù)增益，θc,p和φc,p則分別是該路徑的發(fā)射方位角和到達(dá)方位角.gt(θ)與gr(φ)分別表示發(fā)射端和接收端天線陣列響應(yīng)向量，當(dāng)采用均勻線性陣列時(shí)，天線陣列響應(yīng)向量可表示為

(5)

其中：λ為電磁波波長，d是相鄰天線單元的間隔，N為天線單元的數(shù)量，θ表示天線陣列的發(fā)射角或到達(dá)角，(·)T表示矩陣的轉(zhuǎn)置.

令M∈Mr×D和W∈Nr×Mr分別表示接收端的數(shù)字組合器和模擬組合器，經(jīng)過信號處理后的估測信號可以表示為

(6)

對于毫米波大規(guī)模MIMO系統(tǒng)，在發(fā)射端獲得CSI對預(yù)編碼器設(shè)計(jì)至關(guān)重要，該信息可以通過文[9-10]所提方法來獲得.和文[6-7]類似，本文假設(shè)發(fā)射端和接收端均已獲得準(zhǔn)確的CSI，聚焦于發(fā)射端模擬預(yù)編碼器和接收端模擬組合器的聯(lián)合最優(yōu)化設(shè)計(jì)，但不包括基帶數(shù)字預(yù)編碼器的設(shè)計(jì).

2 模擬波束成形

2.1 碼本設(shè)計(jì)

實(shí)際模擬預(yù)編碼器由有限精度的相移器組成，常用設(shè)計(jì)方法是基于碼本的波束成形方案，即預(yù)編碼器由預(yù)先設(shè)計(jì)好的碼本中的導(dǎo)向向量組成.我們選擇離散傅里葉變換(discrete Fourier transform, DFT)碼本作為模擬波束成形碼本，因?yàn)镈FT碼本具有以下特點(diǎn)：①不同向量之間是無關(guān)的；②全部向量的線性組合可以合成任意導(dǎo)向向量集張成的向量空間.傳統(tǒng)的M維DFT矩陣的第k列可表示為

(7)

其中：AM(:,k)表示矩陣AM的第k個(gè)列向量.比較式(7)和(5)，不失一般性，當(dāng)M為偶數(shù)時(shí)可得到如下關(guān)系:

(8)

式(8)表明，DFT矩陣與一組對方向角正弦值均勻采樣的導(dǎo)向向量集合對應(yīng).令式(7)的M分別取值Nt和Nr，可分別得到發(fā)射端和接收端的模擬波束成形碼本F{ANt(:,1),…,ANt(:,Nt)}和W{ANr(:,1),…,ANr(:,Nr)}.

2.2 模擬預(yù)編碼器設(shè)計(jì)問題

從發(fā)射端碼本F提取Mt個(gè)向量即可得到模擬預(yù)編碼器F.同理，模擬組合器W由接收端碼本W(wǎng)的Mr個(gè)向量組成.當(dāng)給定F和W，基站射頻端到移動(dòng)射頻端之間的數(shù)據(jù)可達(dá)率[6-7]可以表示為

(9)

其中：Rz=σ2WHW為噪聲相關(guān)矩陣，|·|表示矩陣的行列式.本文聯(lián)合設(shè)計(jì){F,W}使得數(shù)據(jù)可達(dá)率R(F,W)最大化：

(10)

W(:,j)∈W,1≤j≤Mr.

注意到式(10)中F(:,i),1≤i≤Mt和W(:,j),1≤j≤Mr都可以由相應(yīng)的量化相位確定.設(shè)發(fā)射端碼本F對應(yīng)的相位集為Θ={θ1,…,θNt}，接收端碼本W(wǎng)對應(yīng)的相位集為={φ1,…,φNr}.F和W可以進(jìn)一步表示為

(11)

(12)

3 自適應(yīng)加權(quán)CEO算法

3.1 傳統(tǒng)CEO算法

CEO算法的核心是參數(shù)化概率分布的迭代調(diào)整，逐步提升獲得最佳解的概率.問題(12)中，首先要建立用于生成候選解ω{a,b}的參數(shù)化概率分布.發(fā)射端產(chǎn)生一個(gè)隨機(jī)樣本a的簡單方法是從Θ中獨(dú)立的抽取假設(shè)服從Nt點(diǎn)離散概率分布{p1n,…,pNtn}，其中pμn,1≤μ≤Nt,1≤n≤Mt表示集合Θ中第μ個(gè)量化相位被選中為的概率，即事件發(fā)生的概率.通過概率矩陣P{pμn}∈Nt×Mt，可得到為每個(gè)相移器分配量化相位的方法.發(fā)射端的參數(shù)化概率分布記為

(13)

(14)

P(ω;Λ)P(a;P)×P(b;Q).

(15)

傳統(tǒng)CEO算法解決問題(12)包含以下步驟[7]：

①以均勻分布的方式初始化概率矩陣Λ.

②基于給定的概率分布，隨機(jī)產(chǎn)生K組候選解，計(jì)算每組解的數(shù)據(jù)可達(dá)率.對數(shù)據(jù)可達(dá)率降序排列后，選取前KE個(gè)解做為精英解.

③以均勻分布方式對精英解重新分配概率.

④通過平滑操作對概率矩陣進(jìn)行更新.

⑤重復(fù)步驟②③④，當(dāng)算法收斂時(shí)將以足夠高的概率得到最佳解.

傳統(tǒng)CEO算法可以獲得非常接近ESA算法的最佳解[7]，但還存在一些不足.首先，步驟①的均勻概率分布策略沒有充分利用已知的CSI.利用CSI，可以預(yù)先判斷哪些發(fā)射角和接收角更有利于信號的傳輸.通過特定機(jī)制對碼本中量化相位進(jìn)行非均勻概率初始化，可以在一開始就得到“較好”的解，從而提升CEO算法的收斂速度.其次，步驟③中，傳統(tǒng)CEO算法使用均勻分布策略對精英解重新分配概率，忽略了數(shù)據(jù)可達(dá)率大小的信息.直觀來講，更高的數(shù)據(jù)可達(dá)率對應(yīng)的解應(yīng)該賦予更大的概率.此外在步驟②中，精英解僅從當(dāng)前K個(gè)樣本中產(chǎn)生，未綜合考慮歷史迭代過程中的精英解信息，前后迭代的弱相關(guān)性會(huì)造成在CEO算法迭代過程中性能的波動(dòng).為了克服以上傳統(tǒng)CEO算法的不足，我們提出了自適應(yīng)加權(quán)CEO算法來提高算法的收斂速度.

3.2 自適應(yīng)加權(quán)CEO算法

先對信道矩陣進(jìn)行分析并建立相位與概率大小的關(guān)系.基于發(fā)射端碼本ANt、接收端碼本ANr和信道矩陣H，定義角度域的信道矩陣Ha為

(16)

注意到發(fā)射端天線陣列在ANt波束成形作用下，將產(chǎn)生Nt個(gè)中心角位于{θ1,…,θNt}的波束圖.接收端天線陣列在ANr波束成形作用下，將產(chǎn)生Nr個(gè)中心角位于{φ1,…,φNr}的波束圖.式(16)可以解讀如下：角度域信道矩陣Ha∈Nr×Nt的第(i,j)個(gè)元素的模表示當(dāng)發(fā)射端使用第j個(gè)導(dǎo)向向量，同時(shí)接收端使用第i個(gè)導(dǎo)向向量進(jìn)行波束成形時(shí)的信道增益.圖2為Nr×Nt=16×64天線陣列的毫米波信道角度域增益的示意圖.

顯然，與大的角度域信道增益值所對應(yīng)的波束成形向量更有利于信號傳輸，反之亦然.基于以上分析，我們提出根據(jù)角度域信道增益的大小，對碼本中不同的導(dǎo)向向量賦予不同的初始概率，提升CEO算法的收斂速度.具體方案如下：

①根據(jù)式(16)計(jì)算角度域信道矩陣Ha.

②記錄每個(gè)發(fā)射端波束所對應(yīng)的最大角度域信道增益(接收端遍歷全部波束)于向量t：

(17)

其中：|·|∞表示最大模.

圖2 角度域信道增益示意圖Fig.2 Illustration of angular domain channel gain

③記錄每個(gè)接收端波束所對應(yīng)的最大角度域信道增益(發(fā)射端遍歷全部波束)于向量r：

(18)

④計(jì)算發(fā)射端碼本向量的初始概率矩陣P(0)和接收端碼本向量的初始概率矩陣Q(0)：

(19)

(20)

另一方面，3.1節(jié)中傳統(tǒng)CEO算法的步驟③中，精英樣本僅從本次迭代的隨機(jī)樣本中產(chǎn)生，并分配均勻化的概率.這樣既忽略了精英樣本數(shù)據(jù)可達(dá)率大小的信息，也沒有充分利用歷史迭代的精英樣本信息.不同精英樣本所對應(yīng)的數(shù)據(jù)可達(dá)率有大小區(qū)別，更大的數(shù)據(jù)率可達(dá)率應(yīng)分配更高的概率.為了充分利用全部隨機(jī)試驗(yàn)的信息，我們提出一個(gè)全局精英樣本概念：將本次迭代產(chǎn)生的樣本和前面全部歷史迭代產(chǎn)生的樣本匯總后降序排序，按比例提取前面幾個(gè)對應(yīng)數(shù)據(jù)率最大的樣本作為全局精英樣本.每個(gè)全局精英樣本的概率與其數(shù)據(jù)可達(dá)率的大小成比例關(guān)系，即根據(jù)數(shù)據(jù)可達(dá)率進(jìn)行加權(quán).全局精英樣本策略可以改善由隨機(jī)性造成CEO算法在迭代過程中性能波動(dòng)問題.我們提出的自適應(yīng)加權(quán)CEO算法包含了非均勻初始化概率以及基于數(shù)據(jù)率大小的全局精英解概率更新方案，其算法流程歸納于自適應(yīng)加權(quán)CEO算法:

④更新概率矩陣P(i)和Q(i)

(21)

(22)

⑤平滑概率矩陣[7]

(23)

其中：0<α<1是平滑常數(shù).

■ 輸出最佳解(a*,b*).

3.3 復(fù)雜度分析

4 模擬仿真

考慮線性陣列尺寸為Nt×Nr=64×16的毫米波MIMO系統(tǒng)，天線單元間隔為半波長.發(fā)射端和接收端的射頻鏈路和傳輸?shù)臄?shù)據(jù)流為Mr=Mt=D=2.SV信道模型參數(shù)設(shè)置如下：散射簇的數(shù)量Lc=5，每個(gè)簇包含的傳輸路徑數(shù)Lp=10，角度擴(kuò)展為10度，每個(gè)簇的中心角在[0,2π]均勻分布，簇內(nèi)路徑的角度服從截?cái)嗬绽狗植?發(fā)射端和接收端均使用DFT碼本.信噪比為0 dB.所有模擬結(jié)果均為5 000次蒙特卡羅試驗(yàn)的平均.

首先，研究不同樣本數(shù)K下兩種CEO算法的收斂性能.圖3顯示了兩種CEO算法的數(shù)據(jù)可達(dá)率隨迭代次數(shù)的變化關(guān)系，圖中標(biāo)注“CEO”和“ACEO”分別表示傳統(tǒng)CEO算法和我們所提的自適應(yīng)加權(quán)CEO算法.一般而言，樣本數(shù)K代表了CEO算法在每次迭代時(shí)對解空間的搜索能力，過小的K，會(huì)容易讓CEO算法收斂到局部最佳解，如傳統(tǒng)CEO算法中K=200和K=400的情況.只有足夠大的K，才能保證CEO算法收斂到全局最佳解，如傳統(tǒng)CEO算法中K=1 000和K=1 200的情況.但是對于我們所提出的自適應(yīng)加權(quán)CEO算法而言，由于事先對信道分析得到不同量化相位對應(yīng)的波束成形向量與信道的匹配情況，通過初始概率矩陣的仔細(xì)設(shè)計(jì)，可以一開始從“好”的候選解繼續(xù)迭代搜索，在樣本數(shù)很小的情況下，也可以很快收斂到全局最佳解，如自適應(yīng)加權(quán)CEO算法中K=200和K=300的情況.

為了比較所提算法在計(jì)算復(fù)雜度上的優(yōu)勢，圖4給出了兩種CEO算法的性能與計(jì)算量的關(guān)系曲線，其中橫坐標(biāo)為計(jì)算式(9)數(shù)據(jù)可達(dá)率的次數(shù).從圖中可以看出，傳統(tǒng)CEO算法收斂到最佳解所需累計(jì)樣本實(shí)現(xiàn)次數(shù)約為5×104，自適應(yīng)加權(quán)CEO算法達(dá)到相同性能所需累計(jì)樣本實(shí)現(xiàn)次數(shù)僅為5×103.這說明在解決毫米波MIMO系統(tǒng)的混合預(yù)編器設(shè)計(jì)問題上，我們所提自適應(yīng)加權(quán)CEO算法相較于傳統(tǒng)CEO算法有極大的計(jì)算復(fù)雜度的優(yōu)勢.

圖3 不同樣本數(shù)K下兩種CEO算法的性能 圖4 兩種CEO算法的計(jì)算復(fù)雜度比較Fig.3 Effect of the sample size K on Fig.4 Comparison of the complexities two CEO algorithms of two CEO algorithms

5 結(jié)論

混合波束成形技術(shù)通過減少射頻鏈的數(shù)量，被認(rèn)為是促進(jìn)毫米波大規(guī)模MIMO系統(tǒng)的實(shí)際部署的一種經(jīng)濟(jì)有效的替代方法.本研究的重點(diǎn)是基于碼本的聯(lián)合模擬波束成形最優(yōu)化設(shè)計(jì).為了解決傳統(tǒng)方法過高復(fù)雜度的問題，我們提出了一種基于自適應(yīng)交叉熵最優(yōu)化的混合預(yù)編碼方案.仿真結(jié)果表明，該算法在較低的復(fù)雜度下可獲得接近最優(yōu)的性能.