左君謠 鄭東健

(1.河海大學(xué) 水文水資源與水利工程科學(xué)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,南京 210098;2.河海大學(xué) 水利水電學(xué)院,南京 210098)

滲流量安全監(jiān)控指標(biāo)是分析大壩滲流安全狀況的重要參數(shù).當(dāng)滲流量超過(guò)相應(yīng)測(cè)點(diǎn)監(jiān)控指標(biāo)時(shí),常意味著大壩防滲體系工作狀況出現(xiàn)異常.如溝后面板堆石壩潰壩前的明顯異?，F(xiàn)象就是滲流量異常[1];株樹(shù)橋和三板溪面板堆石壩混凝土面板開(kāi)裂破壞在滲流量測(cè)值變化上也有明顯反映[2-3].因此,針對(duì)面板堆石壩工程,擬定滲流量監(jiān)控指標(biāo)對(duì)及時(shí)掌握面板堆石壩防滲體系工作狀況,確保大壩安全有重要意義.目前滲流量安全監(jiān)控指標(biāo)擬定常用方法有置信區(qū)間法、典型小概率法和數(shù)值模擬分析法等.其中典型小概率法確定的指標(biāo),具有操作簡(jiǎn)單、便于實(shí)際運(yùn)用的優(yōu)勢(shì),常為首選方法.如陳紅梅采用典型小概率法擬定大壩滲漏量安全監(jiān)控指標(biāo),通過(guò)比較實(shí)測(cè)值與指標(biāo)值來(lái)反映壩體和壩基抗?jié)B性能的好壞[4].但是運(yùn)用典型小概率法確定監(jiān)控指標(biāo)時(shí),需要檢驗(yàn)滲流量等監(jiān)測(cè)量是否服從某種概率統(tǒng)計(jì)分布,如常用的正態(tài)分布、對(duì)數(shù)正態(tài)分布、極值分布等等.當(dāng)找不到滿足的概率統(tǒng)計(jì)分布時(shí),典型小概率法將難以擬定監(jiān)測(cè)量的監(jiān)控值.

面板堆石壩的滲流量受面板、板間縫、周邊縫和基礎(chǔ)等各部分防滲體系工作性態(tài)以及水位、溫度、降雨等多種復(fù)雜因素影響,滲漏量測(cè)值常不滿足上述常用概率統(tǒng)計(jì)分布.因此,如何確定監(jiān)測(cè)量的統(tǒng)計(jì)分布函數(shù),成為典型小概率法擬定監(jiān)控指標(biāo)的關(guān)鍵.叢培江[5]應(yīng)用最大熵原理,研究了確定監(jiān)測(cè)量概率分布密度函數(shù)的方法,擬定了大壩水平位移監(jiān)控指標(biāo),但最大熵法需要求解復(fù)雜非線性函數(shù),計(jì)算困難;虞鴻等[6]利用威布爾分布替代傳統(tǒng)的正態(tài)分布,取得了理想的效果,但模型參數(shù)求取過(guò)程復(fù)雜;聶兵兵[7]基于極值理論,研究了大壩變形監(jiān)控指標(biāo)擬定方法,并用實(shí)例驗(yàn)證了該方法的可行性和有效性,但模型選擇復(fù)雜和閾值確定受主觀影響大.實(shí)際上,由矩問(wèn)題理論可知,通過(guò)分析監(jiān)測(cè)量的各階矩可以估計(jì)其概率分布函數(shù).如鄭祖康提出了一種混合矩法估計(jì)法,分布函數(shù)可由[0,1]上的多項(xiàng)式表示或逼近[8].馬鴻杰等討論了當(dāng)分布函數(shù)經(jīng)過(guò)特定變換后,可以采用局部多項(xiàng)式進(jìn)行逼近,使用非參數(shù)分布的泛函估計(jì),建立了分布函數(shù)的強(qiáng)相合估計(jì)[9].但這些分布函數(shù)的多項(xiàng)式矩估計(jì)方法,一般要求有較大樣本.對(duì)小樣本情況,可采用正交多項(xiàng)式法進(jìn)行概率密度函數(shù)的估計(jì),其計(jì)算簡(jiǎn)單,能夠避免求高次多項(xiàng)式系數(shù)時(shí)遇到的病態(tài)問(wèn)題.如王新等[10]提出隨機(jī)加權(quán)多項(xiàng)式擬合法對(duì)小樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行概率密度函數(shù)計(jì)算;黃天郎等[11]利用正交多項(xiàng)式推斷方法,估計(jì)了小樣本的巖土參數(shù)概率分布.為此,本文針對(duì)混凝土面板堆石壩滲流量測(cè)值序列概率分布未知情況,運(yùn)用正交多項(xiàng)式和矩問(wèn)題理論,估計(jì)滲流量測(cè)值概率分布函數(shù),結(jié)合傳統(tǒng)典型小概率方法,擬定混凝土面板堆石壩滲流量監(jiān)控指標(biāo),為及時(shí)發(fā)現(xiàn)滲流異常情況提供判斷依據(jù).

1 監(jiān)控指標(biāo)的正交多項(xiàng)式法擬定

1.1 監(jiān)測(cè)量分布函數(shù)的正交多項(xiàng)式估計(jì)

正交多項(xiàng)式估計(jì)是利用一組正交函數(shù)族以及樣本的高階矩信息,實(shí)現(xiàn)隨機(jī)變量概率密度函數(shù)的近似表達(dá)[12].

設(shè)x為監(jiān)測(cè)量,f(x)為監(jiān)測(cè)量的概率密度函數(shù),函數(shù)族φ0(x),φ1(x),…,φn(x)是[a,b]上帶權(quán)w(x)的正交函數(shù)族,即內(nèi)積(φj,φk)滿足關(guān)系

對(duì)f(x)∈C[a,b]及C[a,b]中的一個(gè)子集φ={φ0(x),φ1(x),…,φn(x)},C[a,b]表示閉區(qū)間[a,b]上所有x的連續(xù)函數(shù)集,根據(jù)最佳平方逼近原理[8],存在,使得:

式(2)等價(jià)于求多元函數(shù)

的最小值.利用多元函數(shù)求極值方法,可得

解該方程組可得系數(shù):

則監(jiān)測(cè)量概率密度函數(shù)f(x)可用多項(xiàng)式(6)逼近,即

若f(t)∈C[-1,1],則可利用切比雪夫帶權(quán)正交多項(xiàng)式{Tk(t)}逼近f(t),其中權(quán)函數(shù)w(t)=;{Tk(x)}滿足遞推關(guān)系,T0(t)=1,T1(t)=t,Tn+1(t)=2tTn(t)-Tn-1(t),且在區(qū)間[-1,1]上有

設(shè)Tk(t)=Bk0+Bk1t+…+Bkktk,記μk=為隨機(jī)變量x的k階原點(diǎn)矩,則有:

聯(lián)立式(6)、式(8)和式(9)可得各項(xiàng)系數(shù)為:

當(dāng)f(x)∈C[a,b],可用式(10)進(jìn)行區(qū)間變換,使得f(t)∈C[-1,1].

由式(10)可知,t與x之間為線性關(guān)系,所以f(t)在[-1,1]上的分布頻率與f(x)在[a,b]上的分布頻率一致[9],由此即可獲得監(jiān)測(cè)量概率密度函數(shù)f(x)在[a,b]上的逼近表達(dá)式.

對(duì)估計(jì)的概率密度函數(shù)采用統(tǒng)計(jì)量Dn=supx|Fn(x)-F0(x)|進(jìn)行K-S檢驗(yàn).給定樣本數(shù)量n和顯著性水平α下,統(tǒng)計(jì)量Dn的臨界值Dn,α可查表獲得.

當(dāng)Dn＜Dn,α?xí)r,接受假設(shè),即正交多項(xiàng)式法估計(jì)的概率密度函數(shù)通過(guò)顯著性檢驗(yàn);

當(dāng)Dn＞Dn,α?xí)r,拒絕假設(shè).

同時(shí),Dn越小,估計(jì)的概率密度函數(shù)與樣本擬合度越高.

1.2 監(jiān)控指標(biāo)的確定

由式(11)獲得滲流監(jiān)測(cè)量概率密度函數(shù)后,可采用小概率法估計(jì)監(jiān)測(cè)效應(yīng)量的指標(biāo).Emi為隨機(jī)變量,將監(jiān)測(cè)效應(yīng)量的極值設(shè)為Em.當(dāng)E＞Em時(shí),大壩將出現(xiàn)異常或者險(xiǎn)情,其概率為:

根據(jù)正交多項(xiàng)式法求出監(jiān)測(cè)量的概率密度函數(shù)后,只要確定失事概率Pα(以下簡(jiǎn)寫(xiě)為α)就可以由Emi的分布函數(shù)求得監(jiān)控指標(biāo)Em,即:

其中:α為顯著性水平,取1%～5%.

2 工程實(shí)例

某混凝土面板堆石壩最大壩高為120.0m,壩頂長(zhǎng)度為259.8m,面板厚度按t=0.3+0.00347H計(jì)算,面板厚度自頂部至底部線性變化,最小為0.3m,底部最大處為0.7m,上游壩坡坡度為1∶1.4,下游壩坡坡度為1∶1.35.大壩壩后設(shè)置有截滲墻和集水井,集水井的左、右兩側(cè)各布置1個(gè)量水堰測(cè)量過(guò)流量,總滲漏量由左、右兩邊量水堰相加得到.2002 年前一周測(cè)兩次,2003年后均一周測(cè)一次,高水位蓄水期加強(qiáng)觀測(cè)滲漏量.2000-2017年期間,共949組監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù),以歷年滲漏量的最大值xi作為樣本(見(jiàn)表1),樣本數(shù)目為17個(gè),由于滲流量關(guān)注的是最大值監(jiān)控,在此采用μ+3σ作為區(qū)間上界,取xi∈[4,35],將樣本數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換到[-1,1]的區(qū)間,即ti=(xi-19.5)/15.5,采用式(9)～(11)估計(jì)概率密度函數(shù),顯著性水平取1%;表2為變換后樣本的前10階矩,表3為切比雪夫多項(xiàng)式生成函數(shù)的各項(xiàng)系數(shù).

表1 大壩滲透量最大值統(tǒng)計(jì)表 (單位:L·s-1)

表2 變換后樣本的前10階矩

表3 切比雪夫多項(xiàng)式生成函數(shù)各項(xiàng)系數(shù)

變換后的數(shù)據(jù)通過(guò)K-S分布檢驗(yàn),樣本滿足正態(tài)分布N(-0.3029,0.54392).為驗(yàn)證正交多項(xiàng)式法估計(jì)的概率密度函數(shù)對(duì)樣本數(shù)據(jù)頻率分布的擬合效果以及與相對(duì)于傳統(tǒng)方法的優(yōu)劣,表4列出了K-S檢驗(yàn)結(jié)果.對(duì)于給定顯著性水平為0.01,樣本容量為17時(shí),查得臨界值D170.01=0.381.

當(dāng)樣本矩為3～10階時(shí),對(duì)應(yīng)的統(tǒng)計(jì)量Dn分別為0.0945,0.0869,0.0871,0.0605,0.0700,0.0718,0.0849,0.0858,使用正態(tài)分布擬合得到的統(tǒng)計(jì)量Dn=0.1719.可以看出,3～10階樣本矩估計(jì)的概率密度函數(shù),統(tǒng)計(jì)量Dn均小于0.381,接受原假設(shè),即由正交多項(xiàng)式法估計(jì)的概率密度函數(shù)通過(guò)顯著性檢驗(yàn),可以反映滲流量的概率分布情況,而各階的Dn均小于正態(tài)分布的Dn,說(shuō)明正交多項(xiàng)式法擬合的概率密度函數(shù)比正態(tài)分布更加接近滲流量的真實(shí)分布.由于6階矩統(tǒng)計(jì)量Dn最小,因此采用6階矩估計(jì)滲流量概率密度函數(shù),擬定滲流量監(jiān)控指標(biāo).取顯著性水平為0.01,由6階矩估計(jì)的概率密度函數(shù)擬定的監(jiān)控指標(biāo)為32.86L/s;由K-S檢驗(yàn),滿足正態(tài)分布函數(shù)N(-0.3029,0.54392)擬定的監(jiān)控指標(biāo)為30.50L/s.由于6階矩統(tǒng)計(jì)量Dn=0.0605遠(yuǎn)小于正態(tài)分布Dn=0.1719,6階矩估計(jì)的監(jiān)控指標(biāo)應(yīng)更接近實(shí)際情況.

3 結(jié)論

混凝土面板堆石壩滲流量測(cè)值變化影響因素復(fù)雜,變化過(guò)程常不平穩(wěn),一方面時(shí)有出現(xiàn)不滿足傳統(tǒng)概率統(tǒng)計(jì)分布,難以采用典型小概率法擬定滲流量監(jiān)控指標(biāo)的狀況;另一方面,在小樣本情況下,常常較易通過(guò)傳統(tǒng)概率分布的K-S檢驗(yàn).針對(duì)上述情況,本文開(kāi)展了混凝土面板堆石壩滲流量監(jiān)控指標(biāo)擬定方法研究.

1)基于矩問(wèn)題理論,將樣本矩替代原點(diǎn)矩,運(yùn)用切比雪夫正交多項(xiàng)式,提出了小樣本情況下滲流量測(cè)值概率密度函數(shù)的估計(jì)方法,為未知概率分布下擬定滲流量監(jiān)控指標(biāo)奠定了基礎(chǔ).

2)小樣本情況下,常用概率分布易于被K-S檢驗(yàn)通過(guò),但與樣本的擬合度差別較大.運(yùn)用擬合度統(tǒng)計(jì)量Dn進(jìn)行檢驗(yàn)判別,有利于優(yōu)選更貼近樣本統(tǒng)計(jì)特性的的概率分布函數(shù).

3)實(shí)例分析表明,采用正交多項(xiàng)式估計(jì)的概率分布函數(shù)與測(cè)值樣本擬合度高,也優(yōu)于通過(guò)K-S檢驗(yàn)的正態(tài)分布函數(shù),擬定的監(jiān)控指標(biāo)更加符合樣本的統(tǒng)計(jì)特性.

4)運(yùn)用切比雪夫正交多項(xiàng)式估計(jì)的概率密度函數(shù),為區(qū)間[a,b]內(nèi)樣本的概率分布,區(qū)間[a,b]的選擇會(huì)影響滲流量監(jiān)控指標(biāo)的擬定結(jié)果.當(dāng)有新的極值出現(xiàn)后,應(yīng)重新進(jìn)行概率密度函數(shù)和監(jiān)控指標(biāo)的計(jì)算.