查明鑫，謝 濤，司文曉

(湖北師范大學 數(shù)學與統(tǒng)計學院，湖北 黃石 435002)

0 引言

近幾十年來，非線性隨機系統(tǒng)在控制工程中應用十分廣泛，其系統(tǒng)的穩(wěn)定性一直是人們關注的熱點問題[1～18]，其中魯棒性問題與控制系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性有密切的關系。魯棒性作為傳統(tǒng)的抗干擾特性,具體指控制系統(tǒng)在特征或參數(shù)攝動時仍能使性能指標的質量保持不變的特性。在實際問題中，系統(tǒng)特性或參數(shù)的擾動往往是不可避免的。因此，內部模型規(guī)則的建立是研究魯棒性問題的一個重要環(huán)節(jié)。例如，文獻[2]在一般的非線性模型中加入了噪聲干擾，同時在非線性隨機項上考慮了時變時滯，得到了具有兩個時滯項的模型，刻畫了系統(tǒng)中噪聲強度的上界。文獻[5]中考慮了帶有中立項和隨機擾動的非線性模型，通過添加三個不同位置的時變時滯得到了如下模型：

類似于這個系統(tǒng)，文獻[6]在這個系統(tǒng)基礎上加入了馬爾可夫切換，得到了具有中立項和時變時滯的混合隨機神經網(wǎng)絡模型,并進行了魯棒性分析。這種形式比較對稱的系統(tǒng)，在沒有時滯項的情況下，是由如下隨機微分方程發(fā)展而來：

文獻[7]在這個方程的漂移項和擴散項中加入時變時滯，討論了其中一項或者兩項都含有時滯時,系統(tǒng)的全局指數(shù)穩(wěn)定性。文獻[10]中考慮了一種輸入到狀態(tài)魯棒穩(wěn)定性，在遞歸神經網(wǎng)絡的基礎上加入馬爾可夫切換和狀態(tài)輸入項，得到了一種新的神經網(wǎng)絡模型。文獻[11]考慮了一種分段偏差變元時滯，它關于時間序列分成超前項和滯后項，使得原來的系統(tǒng)變成了混合系統(tǒng)，通過加入隨機擾動，分析了這種非線性模型的魯棒性，求得了噪聲擾動的上界。

受上述文獻的啟發(fā)，本文考慮帶有馬爾可夫切換和偏差變元時滯的隨機系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性,給定具有兩個激活函數(shù)的穩(wěn)定系統(tǒng)，加入偏差變元和隨機擾動后，得到的系統(tǒng)仍是穩(wěn)定的，從全局指數(shù)穩(wěn)定的條件出發(fā),得到擾動系統(tǒng)全局指數(shù)穩(wěn)定的充分條件。

1 預備知識

這里考慮如下帶馬爾可夫切換和偏差變元的混合隨機非線性系統(tǒng)

(1)

其中y(t)=(y1(t),y2(t),…,yn(t))T為狀態(tài)向量，β(t)表示偏差變元，固定兩個實值序列αk和ηk，k∈,滿足αk<αk+1，αk≤ηk≤αk+1且αk+1-αk≤α，這里α>0，對于任意的k∈，當k→+∞時，αk→+∞. 若t∈[αk,αk+1),分段變元函數(shù)β(t)=ηk. 這里A(r(t))=(aij(r(t)))n×n，B(r(t))=(bij(r(t)))n×n表示時滯反饋矩陣，函數(shù)f∶n×，n×+→n，g∶n×n×+→n×m,t0>0.ω(t)為定義在(Ω,F,P)上的獨立于馬爾可夫切換的m維布朗運動，在沒有偏差變元的情況下系統(tǒng)(1)將變成如下形式：

(2)

記r(t)=i，A(i)=Ai，B(i)=Bi，i∈S. 假設系統(tǒng)(2)穩(wěn)定，并且函數(shù)f,g滿足如下條件：

假設1 對于任意的向量u1,u2,ν1,ν2∈n,t∈+存在一個常數(shù)k1>0使得

|f(u1,u2,t)-f(ν1,ν2,t)|≤k1(|u1-ν1|+|u2-ν2|)

且f(0,0,t)=0.

假設2 對于任意的向量u1,u2,ν1,ν2∈n,t∈+存在一個常數(shù)k2>0使得

|g(u1,u2,t)-g(ν1,ν2,t)|≤k2(|u1-ν1|+|u2-ν2|)

且g(0,0,t)=0.

易知，對于任意給定初值t0和y0,根據(jù)假設1～2，系統(tǒng)(1)存在唯一解y(t;t0,y0).此外，系統(tǒng)(1)還有一個平凡解y=0，同樣系統(tǒng)(2)也有一個平凡解x=0.為不失一般性，假設系統(tǒng)(2)對于給定任意初值t0和x0,存在唯一解x(t;t0,x0). 為分析系統(tǒng)(1)和(2),現(xiàn)分別給出其均方指數(shù)穩(wěn)定性的定義。

定義1 對于任意t0∈+,x0∈n,存在Δ>0和Λ>0使得

|x(t;t0,y0)|≤Δ|x0|e-Λ(t-t0),t≥t0≥0

成立，則系統(tǒng)(2)的解x(t;t0,x0)是全局指數(shù)穩(wěn)定的。

定義2 對于任意t0∈+,y0∈n存在Δ>0和Λ>0使得

|y(t;t0,y0)|≤Δ|y0|e-Λ(t-t0),t≥t0≥0

幾乎必然成立，則系統(tǒng)(1)的解y(t;t0,y0)是幾乎必然指數(shù)穩(wěn)定的。

定義3 對于任意t0∈+,y0∈n存在Δ>0和Λ>0使得

成立，則系統(tǒng)(1)的解y(t;t0,y0)是均方指數(shù)穩(wěn)定的。

據(jù)以上定義2和定義3，由幾乎必然指數(shù)穩(wěn)定可以推得均方指數(shù)穩(wěn)定，但反之不成立，因此在假設1和假設2成立的條件下，有以下引理。

引理1 若假設1和假設2成立，則系統(tǒng)(1)解的均方指數(shù)穩(wěn)定意味著系統(tǒng)(1)解的幾乎必然指數(shù)穩(wěn)定。

引理2 當p≥2，h∶n×n×[t0,t]→n×m，使得則

特別地，當p=2時等式成立。

2 主要結論

為了描述系統(tǒng)(1)在時間t的解向量與偏差變元β(t)的關系，給出下面假設和引理。

假設3

引理3 令假設1～3成立，y(t)為系統(tǒng)(1)的解，則下列不等式

(3)

對于任意t∈+成立，其中

證明 對于任意t≥t0,由β(t)的定義,存在序列{αk},{ηk}使得

β(t)=ηk∈[αk,αk+1),t∈[αk,αk+1).

對于t≥ηk,由方程(1)得

(4)

令假設1和假設2成立,根據(jù)數(shù)學期望的性質和Cauchy-Schwarz不等式得

(5)

對(5)式應用Gronwall不等式得

交換(4)式中y(t)和y(ηk)的位置,類似于上述過程有

(6)

由(6)式整理得

(7)

這里

證明 將系統(tǒng)(1)和系統(tǒng)(2)滿足初值的解向量寫成y(t;t0,x0)≡y(t),x(t;t0,x0)≡x(t). 對于任意t≥t0≥0,由(1)和(2)得

(8)

由假設1和假設2,結合數(shù)學期望的性質和Cauchy-Schwarz不等式得

繼續(xù)放縮

(9)

當t0+α≤t≤t0+2ρ時,由(9)得

(10)

這里

對(10)式應用Gronwall不等式

(11)

因此,對于t0+α≤t≤t0+2ρ

在區(qū)間t0+ρ-α≤t≤t0+2ρ-α有

其中

λ=2Λ2e-2Δ(ρ-α)+2c1e2ρc2

(12)

(13)

根據(jù)系統(tǒng)(1)解的存在唯一性以及動力系統(tǒng)流的性質,對于任意的正整數(shù)m有

y(t;t0,y0)=y(t;t0+(m-1)ρ,y(t0+(m-1)ρ;t0,y0))

結合(12)和(13)式,對于t≥t0+mρ-α時

|y(t;t0,y0)|=|y(t;t0+(m-1)ρ,y(t0+(m-1)ρ;t0,y0))|

≤e-ργ|y(t0+(m-1)ρ;t0,y0)|

≤e-mργ|y0|

因此,當t>t0+ρ-α,正整數(shù)m滿足t0+(m-1)ρ-α≤t≤t0+mρ-α

(14)

顯然,(14)式對于區(qū)間t0≤t≤t0+ρ-α仍然成立,說明系統(tǒng)(1)是均方指數(shù)穩(wěn)定的,最后根據(jù)引理5,得到系統(tǒng)(1)是幾乎必然指數(shù)穩(wěn)定的。

3 應用舉例

考慮如下多狀態(tài)混合系統(tǒng)

(15)

由假設條件知k1=0.02,k2=0.03,馬爾可夫鏈的生成元及參數(shù)為

根據(jù)文獻[11],當Δ=1.2,Λ=0.9時,系統(tǒng)(15)是全局指數(shù)穩(wěn)定的。

當偏差變元存在的情況下,具有馬爾可夫切換的系統(tǒng)變?yōu)?/p>

(16)

其中β(t)∈[αk,αk+1),k∈.

圖1描述了馬爾可夫鏈中生成元Γ的軌跡。

圖1 元Γ軌跡圖

(17)

圖2 系統(tǒng)(15)解的狀態(tài)曲線

圖3 系統(tǒng)(16)解的狀態(tài)曲線