宋悅 李軍奇 梁九卿

(山西大學(xué), 理論物理研究所, 太原 030006)

基于與各自的級(jí)聯(lián)環(huán)境相互耦合的三個(gè)獨(dú)立的量子比特系統(tǒng), 詳細(xì)考察了強(qiáng)、弱耦合體系下腔-腔耦合強(qiáng)度W和腔衰減率G1對(duì)負(fù)性糾纏度、Bell非定域性和糾纏目擊的影響.結(jié)果表明: Bell非定域性和糾纏目擊都可以出現(xiàn)猝死和猝生現(xiàn)象; G1 = 0時(shí), 隨著W的增加, 三者在歷經(jīng)短時(shí)阻尼振蕩后, 均會(huì)隨時(shí)間達(dá)到各自的穩(wěn)定值, 且該穩(wěn)定值隨著W的增大而增大.同時(shí), 三者在弱耦合體系的量值或存活時(shí)間都優(yōu)于強(qiáng)耦合體系.此外, 非零G1對(duì)量子關(guān)聯(lián)有著很大的負(fù)面效應(yīng).于是, 為了更好地抑制量子關(guān)聯(lián)損失, 進(jìn)一步分析了弱測量和測量反轉(zhuǎn)操作的有效調(diào)控作用, 得到一些有趣的結(jié)果.

1 引 言

量子糾纏和Bell非定域性是兩種不同類型的量子關(guān)聯(lián), 兩者既有聯(lián)系又有區(qū)別, 均作為量子力學(xué)的奇妙特性而備受關(guān)注[1,2].糾纏是一種至關(guān)重要的量子資源, 在量子隱形傳態(tài)[3]、量子計(jì)量[4]等諸多方面扮演著關(guān)鍵角色.目前, 已成功制備了各種糾纏態(tài)[5], 并提出了多種糾纏度量或判據(jù), 如負(fù)性糾纏度、糾纏目擊等等[6,7].Bell非定域性可通過Bell不等式來判定: 如果一個(gè)量子態(tài)違背了Bell不等式, 則稱該態(tài)具有Bell非定域性或真正的量子非定域性, 該特性不能通過任何經(jīng)典局域隱變量理論來描述.研究表明, 具有Bell非定域性的量子態(tài)均為糾纏態(tài), 反之則不一定成立.所以, Bell非定域性是比糾纏更強(qiáng)的一種非定域形式, 且可作為一種糾纏的判據(jù).目前, 已存在多種Bell型的不等式, 如CHSH不等式[8]、Svetlichny不等式[9]等,并已有很多Bell型不等式的實(shí)驗(yàn)工作[10,11].

環(huán)境無處不在, 它所導(dǎo)致的量子退相干現(xiàn)象會(huì)限制量子關(guān)聯(lián)的實(shí)際應(yīng)用.所以, 研究開放系統(tǒng)中的量子糾纏和Bell非定域性的動(dòng)力學(xué)問題具有重要意義[12,13].文獻(xiàn)[14]發(fā)現(xiàn)糾纏可以在有限時(shí)間內(nèi)突然消失, 該現(xiàn)象被稱作糾纏猝死.緊接著, 文獻(xiàn)[15]報(bào)道了糾纏猝生現(xiàn)象.糾纏猝死和猝生都已被實(shí)驗(yàn)所證實(shí)[16].糾纏的這些特殊行為點(diǎn)燃了人們的濃厚研究熱情[17,18].雖然時(shí)過多年, 但至今它們依然引人注目[19,20].類似于糾纏, Bell非定域性也存在猝死和猝生現(xiàn)象[21,22], 且Bell非定域性猝死時(shí)間更早于糾纏猝死.近期, 文獻(xiàn)[21]從理論和實(shí)驗(yàn)角度分析了振幅阻尼信道下的兩體糾纏、Bell非定域性和量子導(dǎo)引的動(dòng)力學(xué)行為, 發(fā)現(xiàn)它們都可出現(xiàn)猝死現(xiàn)象.此外, 一些工作還探討了糾纏目擊的動(dòng)力學(xué)行為[23,24].糾纏目擊是深受青睞的一種糾纏判據(jù)[7,24], 是實(shí)驗(yàn)上探測糾纏的主要途徑之一.

在實(shí)際情況中, 量子系統(tǒng)并非只與單一環(huán)境有作用, 它還會(huì)受到級(jí)聯(lián)環(huán)境或多層環(huán)境的影響, 例如量子點(diǎn)中的電子自旋可同時(shí)感受到原子核和聲子環(huán)境[25].于是, 與多層環(huán)境相關(guān)的研究成果不斷涌現(xiàn)出來[26?29].例如, 基于由兩個(gè)衰減腔組成的級(jí)聯(lián)環(huán)境, 文獻(xiàn)[27]和文獻(xiàn)[28]分別討論了兩比特量子失協(xié)和熵不確定性關(guān)系的動(dòng)力學(xué)行為.近期,兩層環(huán)境中的量子加速問題也得到詳細(xì)討論[29].我們注意到, 絕大多數(shù)與級(jí)聯(lián)環(huán)境相關(guān)的研究工作僅限定于單體或雙體系統(tǒng), 而三體以上的量子動(dòng)力學(xué)問題鮮有討論.所以, 本文將基于分別與各自的級(jí)聯(lián)環(huán)境相互耦合的三量子比特模型, 詳細(xì)探討系統(tǒng)各參數(shù)對(duì)糾纏和Bell非定域性的影響, 并進(jìn)一步考察弱測量及其反轉(zhuǎn)操作的調(diào)控作用.弱測量及其反轉(zhuǎn)操作是近些年廣受關(guān)注的一項(xiàng)調(diào)控技術(shù)[30].該技術(shù)或方法可使量子態(tài)概率性地恢復(fù)到初態(tài), 從而達(dá)到保護(hù)量子態(tài)的目的, 現(xiàn)已被成功用于抑制量子退相干[31]、保護(hù)量子關(guān)聯(lián)[32]以及提高隱形傳態(tài)保真度[33]等許多方面, 其有效性已在光學(xué)系統(tǒng)[30]和超導(dǎo)線路[34]中得到了實(shí)驗(yàn)證實(shí).

2 模型及動(dòng)力學(xué)方程

2.1 理論模型

本文考慮三個(gè)全同并相互獨(dú)立的量子比特A,B,C, 其中每個(gè)量子比特都被置于一個(gè)單模腔內(nèi), 該腔又與另外一個(gè)空腔相耦合.系統(tǒng)總的哈密頓量為

(1)式中Hi為第i個(gè)量子比特與其級(jí)聯(lián)環(huán)境的哈密頓量, 具有如下形式[35]:

式中, 泡利算符ω0和σ+(σ?)分別為量子比特i的躍遷頻率和升(降)算符, 而和分別代表頻率為ω1的腔Ri1以及頻率為ω2的腔Ri2的產(chǎn)生(湮滅)算符.gi表示量子比特i與腔Ri1間的耦合強(qiáng)度,?i是兩單模腔Ri1和Ri2間的耦合強(qiáng)度.為了簡便起見, 令ω0=ω1=ω2=ω.

在計(jì)入兩個(gè)級(jí)聯(lián)腔的耗散后, “第i個(gè)量子比特+級(jí)聯(lián)腔”的主方程為[35]

這里,Γi1(Γi2) 為腔Ri1(Ri2) 的光子衰減率.在gi>Γi1/4 和條件下[35], 第i個(gè)量子比特與腔Ri1組成的系統(tǒng)將分別處于強(qiáng)、弱耦合體系.

初始時(shí)刻, 假設(shè)量子比特i處于激發(fā)態(tài)|1, 兩個(gè)耦合腔Ri1和Ri2都處于基態(tài)|0, 則總系統(tǒng)的初始態(tài)可寫為在單激子近似下,t時(shí)刻總系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程可表示為

式 中P(t)=??1{F(s)/G(s)}(t) , 其 中??1{·}(t) 為拉普拉斯逆變換,

結(jié)合方程(5)和文獻(xiàn)[28]中的方法, 可直接構(gòu)建出三量子比特 A,B,C 的動(dòng)力學(xué)方程.為此, 選取如下最大糾纏的GHZ態(tài)作為 A,B,C 的初始態(tài):

經(jīng)過簡單計(jì)算, 可得三量子比特 A,B,C 在基矢下的約化密度矩陣ρABC(t) 的對(duì)角矩陣元:

(4) 加強(qiáng)復(fù)合材料結(jié)構(gòu)成型工藝的優(yōu)化研究。目前，應(yīng)用于軌道車輛承載結(jié)構(gòu)的復(fù)合材料中，CFRP是比較受關(guān)注的一類材料，但其制造成本高、生產(chǎn)周期長，制約了該材料的推廣應(yīng)用。如果能將成型工藝和材料研究結(jié)合起來，在不降低產(chǎn)品性能的前提下，優(yōu)化出更適合軌道車輛結(jié)構(gòu)的低成本、高效率的成型工藝，在自動(dòng)鋪帶、集成自動(dòng)生產(chǎn)等方面實(shí)現(xiàn)更新?lián)Q代，滿足批量生產(chǎn)的需要，那么低成本、自動(dòng)化的生產(chǎn)工藝必將推動(dòng)復(fù)合材料在軌道交通行業(yè)的應(yīng)用。

和非零非對(duì)角矩陣元

為了得到(7)式, 設(shè)定了gi=g,?i=?, 腔耗散Γi1=Γ和Γi2=Γ1.

2.2 量子關(guān)聯(lián)度量

三體糾纏可采用負(fù)性糾纏度N3來量化, 其定義為[6]

這里,NI-JK(I=A,B,C;JK=AB,AC,BC) 是兩體負(fù)性糾纏度, 其定義是其中,是對(duì)ρABC的子系統(tǒng)I作偏轉(zhuǎn)置后的密度矩陣的負(fù)本征值[6].結(jié)合(7)式和(8)式, 可得:

為了量化Bell非定域性, 選擇MABK不等式作為探測工具.對(duì)三量子比特來說, MABK算符為[9]

這里,MK是第K個(gè)量子比特的測量算符, 且MK和表示對(duì)第K個(gè)量子比特作測量時(shí)的兩種不同的測量方向.方程(6)所給的量子態(tài)為初態(tài)時(shí),可選取[9]:

式中,I2是 2×2 維的單位矩陣,σx,y是泡利矩陣.結(jié)合(7)式、(10)式和(11)式, 可求得MABK算符B在量子態(tài)ρABC(t) 中的期望值:

其中, 角度θBC=θB+θC.當(dāng)時(shí), 量子系統(tǒng)將具有Bell非定域性.

根據(jù)(7)式和(13)式, 可得到 E Ws 的期望值:

若?EWs>0 , 意味著存在實(shí)驗(yàn)上可直觀探測的三體糾纏; 但?EWs0 時(shí), 無法判定量子態(tài)是否有糾纏.

2.3 弱測量及測量反轉(zhuǎn)操作下的量子關(guān)聯(lián)動(dòng)力學(xué)

弱測量(WM)和測量反轉(zhuǎn)(WMR)技術(shù)不僅可以有效保護(hù)糾纏[30], 還可提高量子費(fèi)舍爾信息[37].對(duì)單量子比特來說, WM和WMR操作可分別表示為[30]:

本文所考慮的三個(gè)量子比特都被以同樣的方式施加了WM和WMR操作.具體來說, 在與環(huán)境相互作用之前, 對(duì)每一個(gè)量子比特都執(zhí)行WM操作Mwk.之后, 量子比特系統(tǒng)被置于環(huán)境中.在t時(shí)刻, 再對(duì)每一個(gè)量子比特執(zhí)行WMR操作Mrev.為了簡單起見, 設(shè)這三個(gè)量子比特的WM強(qiáng)度mi=m(0m<1) 和WMR強(qiáng)度ki=k(0k<1).這樣, 經(jīng)過WM及WMR操作后, 三量子比特的約化密度矩陣的非零元素為:

3 量子關(guān)聯(lián)的動(dòng)力學(xué)

接下來來分析三個(gè)獨(dú)立量子比特的量子關(guān)聯(lián)動(dòng)力學(xué)行為.圖1描述了給定理想空腔Ri2(即Γ1=0 )而改變兩級(jí)聯(lián)腔的耦合強(qiáng)度?時(shí), 負(fù)性糾纏度N3、Bell函數(shù)和糾纏目擊?EWs 在強(qiáng)耦合體系(g=0.5Γ, 見圖1(a)—圖1(c))和弱耦合體系(g=0.2Γ, 見圖1(d)—圖1(f))下隨無量綱時(shí)間Γt的變化曲線.圖1(a)(或圖1(d))表明, 當(dāng)?=0 時(shí),和?EWs 都會(huì)在短時(shí)間內(nèi)出現(xiàn)猝死現(xiàn)象, 但N3僅單調(diào)衰減至零.這里的猝死是指, 在探測糾纏方面Bell不等式和?EWs 已失效.相比而言,?EWs 能在更大的有限范圍內(nèi)探測糾纏.對(duì)比圖1(a)和圖1(d)可發(fā)現(xiàn), 量子關(guān)聯(lián)的量值或存活時(shí)間在弱耦合體系要優(yōu)于強(qiáng)耦合體系.隨著?的增加, 出現(xiàn)了一些有趣的行為(如圖1所示): 1)N3在兩種耦合體系下都會(huì)在一些阻尼震蕩后達(dá)到一穩(wěn)定值隨著?的增大而提升, 且弱耦合體系的明顯高于強(qiáng)耦合體系.尤其當(dāng)?=2Γ時(shí),N3能獲得非常大的.另外,N3在強(qiáng)耦合體系的震蕩行為更明顯.2) 在強(qiáng)耦合體系(見圖1(b)),?EWs 在經(jīng)歷一段死亡時(shí)間后, 也可達(dá)到一穩(wěn)定值, 而Bell函數(shù)要經(jīng)過兩段時(shí)間的猝死后, 方可最終達(dá)到一較小的穩(wěn)定值.這暗含著,在表征糾纏方面?EWs 要更優(yōu)于MABK不等式.特別 在Γt>4 后,?EWs 一直能探測糾纏.但在弱耦合體系(見圖1(e)),和?EWs 均呈現(xiàn)了俘獲現(xiàn)象, 整個(gè)過程它們都能表征糾纏.此時(shí), 糾纏始終為真正的非定域性量子關(guān)聯(lián).3)當(dāng)?=2Γ時(shí), 在兩種耦合體系下和?EWs 都能獲得很高的量值, 不會(huì)出現(xiàn)猝死現(xiàn)象.

圖1 耦合強(qiáng)度 ? 取不同值時(shí), 負(fù)性糾纏度 N 3 、Bell非定域性 和糾纏目擊 ? EWs 在強(qiáng)耦合體系 g =0.5Γ ((a)—(c))和弱耦合體系 g =0.2Γ ((d)—(f))下隨無量綱時(shí)間 Γ t 的變化曲線.其中,Γ1=0Fig.1.Time evolution of Negativity N 3 , Bell non-locality and entanglement witnesses ? EWs as the function of dimensionless time Γ t for the different values of coupling strength ? in the strong coupling regime g =0.5Γ ((a)–(c)) and the weak coupling regime g =0.2Γ ((d)–(f)) with Γ 1=0.

圖2 耦合強(qiáng)度 ? 和弱測量強(qiáng)度m取不同值時(shí), 負(fù)性糾纏度 N 3 在強(qiáng)耦合體系 g =0.5Γ ((a)和(c))和弱耦合體系g=0.2Γ((b)和(d))下隨無量綱時(shí)間 Γ t 的變化曲線.其中,Γ1=0Fig.2.Negativity N 3 versus dimensionless time Γ t for the different values of coupling strength ? and the weak measurement strength min the strong coupling regime g =0.5Γ ((a) and (c)) and the weak coupling regime g =0.2Γ ((b) and (d)) with Γ 1=0.

圖3 Bell函數(shù) 在強(qiáng)耦合體系 g =0.5Γ ((a)和(c))和弱耦合體系 g =0.2Γ ((b)和(d))下隨無量綱時(shí)間 Γ t 的變化曲線.其他參數(shù)取值與圖2相同F(xiàn)ig.3.The change of Bell function as a function of Γ t in the strong coupling regime g =0.5Γ ((a) and (c)) and the weak coupling regime g =0.2Γ ((b) and (d)).The values of other parameters are the same as those in Fig.2.

下面來分析引入量子測量操作后的量子關(guān)聯(lián)動(dòng)力學(xué)行為.圖2—圖4分別是N3,和?EWs 的變化圖形.圖2—圖4中的所有(a)圖和(c)圖均為強(qiáng)耦合體系 (g=0.5Γ), 所有(b)圖和(d)圖都是弱耦合體系(g=0.2Γ).從圖2可以看出, 耦合強(qiáng)度?越大越有利于糾纏的存在, 這與圖1相符合.一旦固定了?, 可通過增大m來提高糾纏.同樣, 圖3也說明,m越大越有利于Bell非定域性的存在: 更大的 m 可更好地延長的存活時(shí)間或使得它變成一穩(wěn)定值(如圖3(a)和圖3(c)).這間接說明, 測量操作能讓MABK不等式更好地表征糾纏.還可以看出, 同樣 m 調(diào)控下的的穩(wěn)定值在弱耦合體系總好于強(qiáng)耦合體系, 如圖3(a)和圖3(b)所示.? EWs 在圖4的變化行為也反映了測量操作的積極作用.但圖4(a)卻出現(xiàn)了一個(gè)有趣現(xiàn)象, 即 ? =0 和 m =0.6 時(shí), ? EWs 可分段周期性猝生和猝死, 猝生后可在一段時(shí)間內(nèi)取值恒定.事實(shí)上, 在強(qiáng)耦合體系, 當(dāng) ? 較小而 m 較大時(shí), 都存在此類現(xiàn)象.值得一提的是, 根據(jù)圖1得到 ? EWs 探測糾纏的能力要好于MABK不等式.然而, 對(duì)比圖3(a)和圖4(a)卻能發(fā)現(xiàn), m 值較大時(shí), MABK不等式能比 ? EWs 更好地探測糾纏.不過, 隨著 ? 的增大, 在強(qiáng)耦合體系依然可以得到 ? EWs 要優(yōu)于MABK不等式的結(jié)論, 該結(jié)論此時(shí)與 m 的取值無關(guān).在弱耦合體系(如圖3(b)和圖4(b)所示), ? EWs 在探測糾纏方面始終好于或等同于, 測量操作僅起到提高量值或延長量子關(guān)聯(lián)存活時(shí)間的作用.

圖5為存在腔耗散 Γ1=0.25Γ 、執(zhí)行和未執(zhí)行弱測量操作時(shí)量子關(guān)聯(lián)隨時(shí)間的演化行為, 參數(shù)?=Γ.其中, 圖5(a)和圖5(c)為強(qiáng)耦合體系( g =0.5Γ ), 而圖5(b)和圖5(d)為弱耦合體系( g =0.2Γ ).對(duì)比圖1(b)和圖5(a)可以發(fā)現(xiàn), 一旦級(jí)聯(lián)空腔 Ri2具有了耗散, N3, Bell非定域性和?EWs 將不再出現(xiàn)關(guān)聯(lián)俘獲現(xiàn)象.具體來說, N3經(jīng)過阻尼震蕩后隨時(shí)間逐漸衰減, Bell非定域性會(huì)在短時(shí)間內(nèi)直接猝死, 而 ? EWs 在猝死后還會(huì)出現(xiàn)短暫的復(fù)蘇現(xiàn)象.同理, 圖1(e)和圖5(b)也說明, 非零耗散 Γ1破壞了量子關(guān)聯(lián)俘獲, 致使它們都以阻尼震蕩方式衰減.圖5(c)和圖5(d)則說明, 較大的 m 會(huì)使得量子關(guān)聯(lián)得到很大提高, 且不再發(fā)生猝死行為.

4 結(jié) 論

圖4 糾纏目擊 ? EWs 在強(qiáng) ((a), (c))、弱((b), (d))耦合體系下的動(dòng)力學(xué)行為.其他參數(shù)取值與圖2相同F(xiàn)ig.4.Dynamics of entanglement witnesses ? EWs in the strong ((a), (b)) and the weak ((c), (d)) coupling regimes.The values of other parameters are the same as those in Fig.2(a).

圖5 量子關(guān)聯(lián)在強(qiáng)耦合體系 g =0.5Γ ((a)和(c))和弱耦合體系 g =0.2Γ ((b)和(d))下的變化曲線.其中, (a)和(b)無弱測量操作, (c)和(d)有弱測量操作.參數(shù) ? =Γ 和Γ1=0.25ΓFig.5.Change curves of quantum correlation in the strong coupling regime g =0.5Γ ((a) and (c)) and the weak coupling regime g=0.2Γ((b) and (d)), where (a) and (b) are the cases without measurement, while (c) and (d) are the cases with measurement.The parameters ? and Γ 1 are set to Γ and 0 .25Γ , respectively.

本文考慮初始被制備于最大糾纏GHZ態(tài)的三個(gè)全同量子比特系統(tǒng), 詳細(xì)討論了強(qiáng)、弱耦合體系下三比特糾纏和Bell非定域性這兩種量子關(guān)聯(lián)的動(dòng)力學(xué)行為及其調(diào)控問題.其中, 每個(gè)量子比特都被置于各自的一個(gè)單模腔內(nèi), 該腔又與另外一個(gè)空腔相級(jí)聯(lián), 這兩個(gè)級(jí)聯(lián)腔共同構(gòu)成了一個(gè)級(jí)聯(lián)環(huán)境.利用負(fù)性糾纏度和糾纏目擊(?EWs )來描述糾纏.同時(shí), 借助MABK不等式來量化Bell非定域性.研究表明, 糾纏和Bell非定域性強(qiáng)烈依賴于腔-腔耦合強(qiáng)度?和空腔的耗散率Γ1.具體來說,Γ1=0 且?接近零時(shí), 除了負(fù)性糾纏度外, Bell非定域性和糾纏目擊都能發(fā)生猝死現(xiàn)象.通過增大?, 量子關(guān)聯(lián)的量值能被大幅提高, 甚至可以出現(xiàn)量子俘獲現(xiàn)象.但非零Γ1在很大程度上削弱了量子關(guān)聯(lián), 甚至破壞了這種俘獲現(xiàn)象.給定?后, 量子弱測量和測量反轉(zhuǎn)技術(shù)可以有效提高量子關(guān)聯(lián)或延長量子關(guān)聯(lián)的存活時(shí)間.所以, 弱測量及其反轉(zhuǎn)操作的引入, 可以更好地保護(hù)量子關(guān)聯(lián).另外,我們發(fā)現(xiàn), 當(dāng)未施加量子弱測量和測量反轉(zhuǎn)時(shí),?EWs 在強(qiáng)、弱耦合體系下探測糾纏的能力都好于MABK不等式.但在施加了量子測量操作后, 這一結(jié)論不總是成立.結(jié)果顯示, 在強(qiáng)耦合體系中, 當(dāng)?較小且弱測量強(qiáng)度m較大時(shí), MABK不等式探測糾纏的能力可以好于?EWs , 但這一現(xiàn)象不會(huì)在弱耦合體系發(fā)生.當(dāng)然, 隨著?的增大, 即便在強(qiáng)耦合體系且m很大時(shí), 又會(huì)得到?EWs 探測糾纏的能力超過MABK不等式的結(jié)論.此外還能知道, 量子關(guān)聯(lián)在弱耦合體系的量值或存活時(shí)間始終要好于強(qiáng)耦合體系.