毛 寧，范軍芳，李 斌

(1.北京信息科技大學(xué) 自動(dòng)化學(xué)院， 北京 100192;2.現(xiàn)代測控技術(shù)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室(北京信息科技大學(xué))， 北京 100192;3.北京理工大學(xué) 宇航學(xué)院， 北京 100081; 4.北京理工大學(xué) 無人機(jī)自主控制技術(shù)北京市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 北京 100081)

一般來說，制導(dǎo)律主要是使導(dǎo)彈能根據(jù)當(dāng)前其相對于目標(biāo)運(yùn)動(dòng)的信息決定如何改變當(dāng)前的速度和方向，控制導(dǎo)彈以最少或零脫靶量攻擊指定目標(biāo)。在過去的幾十年中，比例導(dǎo)引制導(dǎo)律由于其易于實(shí)現(xiàn)和對非機(jī)動(dòng)目標(biāo)的有效性而得到了廣泛的研究和應(yīng)用[1-3]。近年來，多飛行器協(xié)同制導(dǎo)吸引了越來越多的關(guān)注，多個(gè)飛行器通過空間以及時(shí)間上的相互配合能夠?qū)崿F(xiàn)更高的作戰(zhàn)效率同時(shí)實(shí)現(xiàn)更高的性價(jià)比。同時(shí)針對具有良好防御能力的重點(diǎn)目標(biāo)來說，利用群體優(yōu)勢對敵防御體系和目標(biāo)進(jìn)行多層次、全方位的打擊，實(shí)現(xiàn)突防能力的整體提升[4]。

一個(gè)實(shí)現(xiàn)齊射攻擊的有效方法是攻擊時(shí)間控制，通過對攻擊時(shí)間的控制可實(shí)現(xiàn)多個(gè)導(dǎo)彈同時(shí)擊中目標(biāo)，從而提高打擊效果[5]。攻擊時(shí)間控制的制導(dǎo)律設(shè)計(jì)實(shí)際上是一種以最終攻擊時(shí)間誤差為跟蹤誤差的跟蹤問題。在定義了攻擊時(shí)間誤差后，許多系統(tǒng)控制理論，如帶誤差反饋的偏置比例導(dǎo)引、滑?？刂啤⒗钛牌罩Z夫函數(shù)等，都可以用來使跟蹤誤差為零[6-8]。文獻(xiàn)[9]提出了基于傳統(tǒng)最優(yōu)控制理論的攻擊時(shí)間控制制導(dǎo)律，證明了該制導(dǎo)律的封閉解是經(jīng)典比例導(dǎo)引制導(dǎo)律與攻擊時(shí)間誤差反饋項(xiàng)的組合。在文獻(xiàn)[9]的基礎(chǔ)上，文獻(xiàn)[10]研究了攻擊角度和攻擊時(shí)間制導(dǎo)律，文獻(xiàn)[11]提出了一種針對平面內(nèi)的靜止目標(biāo)的導(dǎo)引系數(shù)，只根據(jù)導(dǎo)彈的彈目距離和相對剩余時(shí)間誤差(其余導(dǎo)彈剩余時(shí)間均值與導(dǎo)彈剩余時(shí)間之差)來調(diào)整，使得導(dǎo)彈集群剩余時(shí)間方差為零的變系數(shù)比例導(dǎo)引協(xié)同制導(dǎo)方法。文獻(xiàn)[12]利用李雅普諾夫函數(shù)法，對二維和三維情形提出了一種新的攻擊時(shí)間制導(dǎo)律，但當(dāng)初始航向誤差等于零時(shí)，該制導(dǎo)律是不可行的。

雖然上述內(nèi)容被證明在多枚導(dǎo)彈同時(shí)攻擊時(shí)是可行的，攻擊時(shí)間控制通常需要剩余飛行時(shí)間信息。文獻(xiàn)[13-14]研究表明：在大的初始航向誤差下，傳統(tǒng)的剩余飛行時(shí)間估計(jì)方法不夠準(zhǔn)確。為了解決這個(gè)問題，利用比例導(dǎo)引制導(dǎo)律的性質(zhì)和概念，在無剩余飛行時(shí)間信息時(shí)，相等的路徑長度能保證同時(shí)攻擊的精度。

本文研究基于二階連續(xù)時(shí)間多智能體系統(tǒng)一致性理論，利用兩段式制導(dǎo)實(shí)現(xiàn)多彈一致的協(xié)同制導(dǎo)策略。該方法不需要提前裝定協(xié)同時(shí)間和剩余飛行時(shí)間信息，避免了剩余飛行時(shí)間估計(jì)誤差對協(xié)同時(shí)間和制導(dǎo)精度的影響。所提出的一種兩階段制導(dǎo)律來實(shí)現(xiàn)多枚導(dǎo)彈同時(shí)攻擊的方法中，在第一階段，采用線性分布一致性控制律為后段生成有利的初始條件，在第二階段，所有導(dǎo)彈由具有相同導(dǎo)航比的比例導(dǎo)引制導(dǎo)律控制。提出的方法只需要兩個(gè)額外的量測量：一個(gè)是導(dǎo)彈目標(biāo)相對距離，另一個(gè)是導(dǎo)彈航向誤差或目標(biāo)視角，這些信號可以直接從主動(dòng)雷達(dá)導(dǎo)引頭獲得。由于不需要剩余飛行時(shí)間信息，在實(shí)際應(yīng)用中，特別是對于較大的初始航向誤差，本文提出的制導(dǎo)律更加有效。

1 問題描述

1.1 數(shù)學(xué)模型

建立彈目相對運(yùn)動(dòng)的三維數(shù)學(xué)模型，圖1為慣性坐標(biāo)系下導(dǎo)彈攻擊靜止目標(biāo)的三維示意圖。其中，M、T分別表示導(dǎo)彈和目標(biāo)，VM、R和σ分別為導(dǎo)彈速度、彈目相對距離和導(dǎo)彈速度方向誤差角，θλ和ψλ分別為視線高低角和視線方位角，θM和ψM分別為速度矢量相對視線系的高低角和方位角。當(dāng)導(dǎo)彈攻角很小時(shí)，θM和ψM近似為體視線角，可由導(dǎo)引頭的框架角間接得到。

圖1 彈目運(yùn)動(dòng)關(guān)系三維示意圖

彈目相對運(yùn)動(dòng)三維數(shù)學(xué)模型的方程為

(1)

速度方向誤差角

σ=arccos(cosθMcosψM)

(2)

導(dǎo)彈在比例導(dǎo)引制導(dǎo)律下的過載指令為

(3)

其中，N為導(dǎo)航比。

當(dāng)導(dǎo)彈初始彈目距離R(0)、初始速度方向誤差角σ(0)和導(dǎo)航比N相同時(shí)，采用比例導(dǎo)引制導(dǎo)律的彈道形狀一致。

證明：對式(2)求導(dǎo)可得速度方向誤差角變化率

(4)

由于σ∈[0，π)，式(4)簡化為

(5)

式(1)中的第一式除以式(5)得：

(6)

解式(6)得：

(7)

由式(7)可以看出，比例導(dǎo)引制導(dǎo)律的彈道特性與當(dāng)導(dǎo)彈初始彈目距離R(0)、初始速度方向誤差角σ(0)和導(dǎo)航比N有關(guān)。

將式(7)代入式(5)得：

(8)

由式(8)可得，為了使速度方向誤差角收斂，應(yīng)選擇導(dǎo)航比N≥2。

引理1：設(shè)第i枚導(dǎo)彈的速度為VMi，導(dǎo)彈和目標(biāo)的相對距離為Ri，當(dāng)導(dǎo)彈初始剩余飛行時(shí)間tgoi(0)、初始速度方向誤差角σi(0)和導(dǎo)航比N相同時(shí)，采用比例導(dǎo)引的彈道形狀一致，剩余飛行時(shí)間相同。

證明：將式(7)兩邊同時(shí)除以導(dǎo)彈速度VMi得：

(9)

由式(9)可以看出，引理成立。

1.2 圖論

用無向圖ζ(A)={v，ε，A}來代表多導(dǎo)彈之間的通訊拓?fù)?，v和ε分別表示圖的節(jié)點(diǎn)和連接節(jié)點(diǎn)的邊，vi代表第i枚導(dǎo)彈。矩陣A=[aij]∈Rn×n為圖的加權(quán)鄰接矩陣，若導(dǎo)彈i和導(dǎo)彈j可以相互通訊，則(vi，vj)∈ε?aij>0，反之則aij=0，假設(shè)節(jié)點(diǎn)之間沒有連通性，即aii=0，i=1，2，…，n，由于ζ(A)是無向圖，有aij=aji。

引理2[15]：定義圖ζ(A)的Laplacian矩陣定義為L(A)=[lij]∈Rn×n，其中

(10)

L(A)有以下性質(zhì)：

1) 0是L(A)的一個(gè)特征值，1=[1，1，…，1]T∈Rn是對應(yīng)的特征向量；

3)L(A)的第二小特征值表示為λ2(L(A))，如果圖是連通的，則它大于0；

一致性算法的收斂性與通信網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)圖的Laplacian矩陣和它的譜性質(zhì)有密切的關(guān)系。對于一個(gè)給定無向圖ζ(A)={v，ε，A}，當(dāng)且僅當(dāng)該圖連通時(shí)，其Laplacian矩陣的秩滿足rank(L(A))=n-1，其特征值：0=λ1<λ2≤λ3≤…≤λm=λmax。λ2(L(A))表示圖的連通度，決定了一致性算法的收斂速度，λ2(L(A))越大，系統(tǒng)收斂到一致的速度越快。

1.3 快速一致性算法

考慮由m個(gè)二階智能體組成的多智能體系統(tǒng)。每個(gè)智能體的動(dòng)態(tài)方程為

(11)

其中，ηi(t)和ξi(t)是第i個(gè)智能體的狀態(tài)；ui(t)為控制輸入。

如果存在分布式控制輸入ui(t)，i=1，2，…，m，使得對任意初始條件ηi(0)和ξi(0)，多智能體系統(tǒng)(11)的狀態(tài)滿足

(12)

其中，i≠j，i∈v，j∈v。

則稱多智能體系統(tǒng)式(11)在控制輸入ui(t)作用下獲得漸近期望一致性。

經(jīng)典的標(biāo)準(zhǔn)一致性算法：

(13)

其中，β>0，c>0，α=cβ。

1.3.1 快速一致性算法分析

為了提高系統(tǒng)的收斂速度，提出一種快速一致性算法：

c(ξi-ξd)

(14)

對于一個(gè)穩(wěn)定的閉環(huán)控制系統(tǒng)而言，系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)離虛軸越遠(yuǎn)，系統(tǒng)的收斂速度越快。

定理1：具有m個(gè)智能體的多智能體系統(tǒng)，在其通信拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)圖無向且連通時(shí)，當(dāng)時(shí)間區(qū)間的長度κ∈(0，κ*)時(shí)，系統(tǒng)式(11)在快速一致性算法式(14)下狀態(tài)收斂到一致且滿足式(12)，系統(tǒng)最大時(shí)間區(qū)間的長度κ*滿足式(15)。

(15)

定理2：當(dāng)時(shí)間區(qū)間的長度κ∈(0，κτ)時(shí)，相比系統(tǒng)在標(biāo)準(zhǔn)一致性算法式(13)下，系統(tǒng)的狀態(tài)在快速一致性算法式(14)下收斂到一致的速度更快，κτ滿足式(16)。

(16)

當(dāng)時(shí)間區(qū)間長度κ∈(0，κτ)時(shí)，在標(biāo)準(zhǔn)一致性算法和快速一致性算法下的系統(tǒng)除了有相同的1個(gè)s=0和m個(gè)s=-c的極點(diǎn)外，在快速一致性算法下系統(tǒng)的剩余閉環(huán)極點(diǎn)在標(biāo)準(zhǔn)一致性算法下系統(tǒng)的剩余閉環(huán)極點(diǎn)的左邊。系統(tǒng)的狀態(tài)收斂到一致的速度與選取的過去平均狀態(tài)信息的時(shí)間區(qū)間有關(guān)。

1.3.2 考慮延遲的快速一致性算法分析

多智能體系統(tǒng)協(xié)同控制中的通訊延遲是實(shí)際存在的，會對系統(tǒng)的穩(wěn)定性造成影響，對系統(tǒng)的最大允許延遲進(jìn)行分析。

考慮不變延遲時(shí)的快速一致性算法：

c(ξi-ξd)

(17)

具有m個(gè)智能體的多智能體系統(tǒng)，在其通信拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)圖無向且連通時(shí)，系統(tǒng)允許的延遲為τ∈(0，τ*)，τ*為系統(tǒng)允許的最大延遲并滿足式(18)。

(18)

證明：考慮延遲時(shí)的快速一致性算法式(17)可寫為

c(ξi-ξd)

(19)

系統(tǒng)在考慮延遲時(shí)的快速一致性算法式(19)下的閉環(huán)極點(diǎn)滿足方程

(20)

為了保證系統(tǒng)狀態(tài)的收斂性，式(20)的根需要全部在左半平面。

等效為式(21)的根全部在左半平面。

(21)

其中i=1，2，3，…，m。

化簡式(21)得

(22)

即

(23)

由于c>0，可知式(23)有m個(gè)極點(diǎn)在s=-c處，有1個(gè)極點(diǎn)在s=0處。

式(23)的第二式變?yōu)?/p>

(24)

下面計(jì)算保證式(24)有一根在虛軸上的最大延遲。

將s=jω，e-jωτ=cos(ωτ)-jsin(ωτ)，e-jω(κ+τ)=cos(ω(κ+τ))-jsin(ω(κ+τ))代入式(24),有

jsin(ω(κ+τ))]=0

(25)

即

(26)

利用三角函數(shù)的和差化積公式

(27)

式(26)可寫為

(28)

由式(28)的第二式解得

(29)

-ω2=0

(30)

(31)

(32)

此時(shí)，

(33)

將式(33)代入式(32)有

(34)

化簡得

(35)

(36)

此時(shí)，

(37)

式(37)代入式(36)有

(38)

化簡得

(39)

系統(tǒng)允許的最大延遲τ*滿足

(40)

由式(40)看出系統(tǒng)的最大允許延遲與系統(tǒng)通信網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)圖的Laplacian矩陣的特征值和選取的過去狀態(tài)的時(shí)間區(qū)間有關(guān)。當(dāng)系統(tǒng)的延遲τ∈(0，τ*)時(shí)，存在不變延遲系統(tǒng)的狀態(tài)在快速一致性算法下收斂到一致的速度更快，原因是除了有相同的1個(gè)s=0和m個(gè)s=-c的極點(diǎn)外，在快速一致性算法下系統(tǒng)的剩余閉環(huán)極點(diǎn)在標(biāo)準(zhǔn)一致性算法下系統(tǒng)的剩余閉環(huán)極點(diǎn)的左邊。

2 基于快速一致性的三維兩段式協(xié)同制導(dǎo)律

對m枚導(dǎo)彈攻擊同一靜止目標(biāo)的情況，將飛行彈道分為兩段，第一段制導(dǎo)段控制剩余飛行時(shí)間和目標(biāo)視角趨于一致，當(dāng)剩余飛行時(shí)間和目標(biāo)視角滿足要求后，第二段制導(dǎo)段切換為相同的比例導(dǎo)引制導(dǎo)律。整個(gè)飛行過程不需要準(zhǔn)確的剩余飛行時(shí)間信息。

利用二階連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)一致性理論，定義協(xié)調(diào)變量

(41)

其中，i=1，2，…，m表示導(dǎo)彈編號。

(42)

為了保證在中制導(dǎo)段所有導(dǎo)彈的剩余飛行時(shí)間和目標(biāo)視角趨于一致，第一段控制律設(shè)計(jì)為

(43)

將式(43)代入式(42)有

(44)

當(dāng)名義剩余飛行時(shí)間和目標(biāo)視角一致后，切換為比例導(dǎo)引制導(dǎo)律

(45)

綜上，分段協(xié)同制導(dǎo)律可表示為

(46)

其中ε1和ε2是足夠小的正數(shù)。

3 仿真驗(yàn)證

通過仿真驗(yàn)證三維分段協(xié)同制導(dǎo)律的性能，考慮由3枚導(dǎo)彈組成的系統(tǒng)，假定各導(dǎo)彈只與相鄰導(dǎo)彈通信，如圖2所示。

圖2 3枚導(dǎo)彈協(xié)同攻擊通訊拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)圖

對快速一致性算法和考慮延遲的快速一致性算法進(jìn)行仿真驗(yàn)證。

通信網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)圖的Laplacian矩陣L(A)為

(47)

矩陣L(A)的特征值為：λ1=0，λ2=1，λ3=3。

導(dǎo)彈的初始參數(shù)由表1所示，期望的狀態(tài)ξd=-0.5，中制導(dǎo)段控制律參數(shù)選取β=1，c=0.25，α=cβ=0.25末制導(dǎo)段比例導(dǎo)引制導(dǎo)律導(dǎo)航比N=4，導(dǎo)彈最大可用加速度amax=100 m/s2。

表1 導(dǎo)彈仿真參數(shù)

系統(tǒng)在標(biāo)準(zhǔn)一致性算法下的仿真結(jié)果如圖3所示，分別給出彈目距離、彈道曲線、協(xié)調(diào)變量變化曲線和加速度指令曲線。仿真結(jié)果表明，3枚導(dǎo)彈在兩段式協(xié)同制導(dǎo)律下同時(shí)命中目標(biāo)，協(xié)同時(shí)間約為57.0 s。由圖3(c)、圖3(d)可看出：中制導(dǎo)段初始需要較大的加速度指令控制各導(dǎo)彈的名義剩余飛行時(shí)間和目標(biāo)視角趨于一致，在28.3 s滿足切換條件|ηi-ηj|≤ε1，|ξi-ξj|≤ε2后，進(jìn)入末制導(dǎo)段，各導(dǎo)彈在相同的三維比例導(dǎo)引制導(dǎo)律下同時(shí)到達(dá)目標(biāo)。

圖3 標(biāo)準(zhǔn)一致性算法下協(xié)同攻擊的仿真曲線

對系統(tǒng)在快速一致性算法下的情況進(jìn)行仿真，根據(jù)定理2可求得快速一致性算法下的時(shí)間區(qū)間長度κτ=1.05 s，仿真結(jié)果如圖4所示。仿真結(jié)果表明：3枚導(dǎo)彈同時(shí)達(dá)到時(shí)間約為54.7 s。由圖4(c)、圖4(d)可看出，在快速一致性算法下各導(dǎo)彈名義剩余飛行時(shí)間和目標(biāo)視角趨于一致的速度加快，在23.5 s 就滿足了切換條件，然后進(jìn)入末制導(dǎo)段切換為三維比例導(dǎo)引制導(dǎo)律，協(xié)同時(shí)間與標(biāo)準(zhǔn)一致性算法下的情況相比也縮短。

對考慮系統(tǒng)延遲的情況進(jìn)行仿真，快速一致性算法的時(shí)間區(qū)間長度κτ=1.05 s，根據(jù)式(18)可求得系統(tǒng)允許的最大延遲τ*=0.48 s，分別對延遲τ*=0.4 s和τ*=0.49 s的兩種情況進(jìn)行仿真，仿真結(jié)果如圖5和圖6所示。由協(xié)調(diào)變量變化曲線和加速度指令曲線可看出，當(dāng)系統(tǒng)延遲超過允許的最大延遲時(shí)，系統(tǒng)失穩(wěn)。

圖4 快速一致性算法下協(xié)同攻擊的仿真曲線

圖5 快速一致性算法下τ*=0.4 s時(shí)協(xié)同攻擊的仿真曲線

圖6 快速一致性算法下τ*=0.49 s時(shí)協(xié)同攻擊的曲線

4 結(jié)論

研究通過控制導(dǎo)彈的狀態(tài)達(dá)到一致以實(shí)現(xiàn)協(xié)同的分段協(xié)同制導(dǎo)律，基于一致性理論提出一種兩段式協(xié)同制導(dǎo)策略，同時(shí)為了加快狀態(tài)趨于一致的速度，設(shè)計(jì)了一種快速一致性算法，給出了系統(tǒng)在快速一致性算法下的最大允許延遲。將快速一致性算法應(yīng)用到協(xié)同制導(dǎo)中，通過與標(biāo)準(zhǔn)一致性算法的仿真對比，發(fā)現(xiàn)快速一致性算法下的各導(dǎo)彈狀態(tài)趨于一致的時(shí)間縮短，彈間需要通訊的時(shí)間減少，使各導(dǎo)彈更快的進(jìn)入末制導(dǎo)段，增強(qiáng)了抗敵方電子干擾的能力。