姜偉偉，趙 凱

(1.青島黃海學院數(shù)學教學部，山東 青島266427；2.青島大學 數(shù)學與統(tǒng)計學院，山東 青島266071)

在20世紀90年代，Lu等對Rn上的Herz型空間進行了系統(tǒng)研究，主要包括Herz空間、Herz型Hardy空間、Morrey-Herz空間等[1-4].同時在Herz型空間及其上許多奇異積分算子及交換子的有界性問題方面也取得了豐碩的成果[5-8].關(guān)于微分算子的空間理論和奇異積分算子及相應的交換子等問題在21世紀得到了迅猛的發(fā)展，與微分算子相關(guān)的變分算子也受到了許多學者的關(guān)注[9-14].最近，在文獻[15]中，作者討論了 Rn(n≥5)上的與高階Schr?dinger型算子相關(guān)的一類變分算子在Lq(Rn)空間的有界性問題，并得到了這類變分算子在一類與微分算子相關(guān)的Morrey空間上的有界性.

基于這類與高階Schr?dinger型算子L相關(guān)的由熱半群定義的變分算子在Lq空間的有界性，我們的目的主要是討論這類變分算子與BMO函數(shù)構(gòu)成的交換子在Herz型空間上的有界性問題，基于Herz型Hardy空間的原子分解理論，應用Schr?dinger型算子的性質(zhì)，利用BMO函數(shù)的特征，證明了這類變分算子與BMO函數(shù)構(gòu)成的交換子是從Herz-Hardy空間到Herz空間有界的，也是在Morrey-Herz空間上有界的結(jié)果.

本文中，C表示只依賴于主要參數(shù)的常數(shù)，在不同之處也許取值不同. χE表示 Rn上子集E的特征函數(shù).Rn中的球B(x0,r)={x∈Rn:|x-x0|＜r}， 其中x0表示球B的中心，r表示球B的半徑.

1 基本概念和基本理論

先介紹一些與本文相關(guān)的基本概念和基本理論.

稱非負位勢V屬于反向H?lder類RHq，q＞1， 是指存在q0＞1 和常數(shù)C＞0，使得對于任意的 Rn中的球B，有

2 主要結(jié)果及證明

證畢.