朱 強(qiáng)，劉嘉星

（鄭州大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，河南 鄭州 450001）

1 引言

橋式起重機(jī)是國內(nèi)普遍使用的生產(chǎn)建設(shè)用機(jī)械產(chǎn)品，作為其主要承載構(gòu)件，主梁結(jié)構(gòu)自重占據(jù)了橋架整體總重量相當(dāng)大的比例。在保證結(jié)構(gòu)使用安全與穩(wěn)定的前提下，適當(dāng)降低主梁重量能夠有效節(jié)約企業(yè)的生產(chǎn)成本和鋼鐵資源。偏軌箱型梁具有焊接變形小，制造裝配工藝簡單，易于使用機(jī)器人實(shí)施自動(dòng)化焊接等特點(diǎn)[1]，是目前國內(nèi)主流起重機(jī)生產(chǎn)廠商的首選主梁結(jié)構(gòu)。

現(xiàn)階段多數(shù)有關(guān)橋式起重機(jī)主梁結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化研究中，通常選擇忽略其余非主要工況，把小車滿載時(shí)位于主梁最危險(xiǎn)位置—跨中作為唯一載荷工況，計(jì)算出主梁的拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)構(gòu)。文獻(xiàn)[2]在最大靜力工況下對(duì)主梁腹板進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化，并得到了邊界較為清晰明確的結(jié)果，但未考慮主梁的多工況問題。文獻(xiàn)[3]利用變密度法對(duì)鑄造起重機(jī)主梁腹板嘗試進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化，設(shè)計(jì)出一種類似三角形桁架的新型主梁腹板結(jié)構(gòu)。

在實(shí)際作業(yè)中，起重機(jī)主梁為多工況工作狀態(tài)，即隨著小車承載位置的移動(dòng)，主梁的受載情況也就隨之改變。徐中明[4]進(jìn)行了某太陽能賽車轉(zhuǎn)向節(jié)的多目標(biāo)拓?fù)鋬?yōu)化，合理減重并顯著提高了其一階振動(dòng)頻率和靜態(tài)剛度。文獻(xiàn)[5]建立了多目標(biāo)等權(quán)重的拓?fù)淠繕?biāo)函數(shù)對(duì)副車架進(jìn)行了多工況拓?fù)鋬?yōu)化，優(yōu)化后改善了受力情況，降低了重量。

現(xiàn)選取橋式起重機(jī)偏軌箱型主梁為研究對(duì)象，嘗試對(duì)主梁進(jìn)行多工況拓?fù)鋬?yōu)化，依據(jù)拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果對(duì)主梁進(jìn)行模型重構(gòu)，隨后進(jìn)行剛度、強(qiáng)度和穩(wěn)定性等方面的有限元分析以驗(yàn)證主梁多工況拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的合理性。

2 起重機(jī)主梁有限元靜力學(xué)分析

現(xiàn)選取國內(nèi)某起重機(jī)廠商生產(chǎn)的橋式起重機(jī)偏軌箱型主梁為研究對(duì)象，跨度25.5m，工作級(jí)別A5，額定起重量50t，主梁結(jié)構(gòu)材料為Q235，主梁其余參數(shù)，如表1 所示。

表1 主梁參數(shù)表Tab.1 Girder Parameter Table

2.1 起重機(jī)主梁建模

根據(jù)表1 參數(shù)利用CAD 繪圖軟件，建立該橋式起重機(jī)偏軌箱型主梁幾何模型，如圖1 所示。

圖1 偏軌箱型主梁幾何模型Fig.1 Geometric Model of 50t Bias-Rail Box Girder

2.2 基于極限狀態(tài)法的載荷與極限應(yīng)力計(jì)算

根據(jù)《起重機(jī)設(shè)計(jì)手冊(cè)》規(guī)定，在起重機(jī)室內(nèi)正常工作狀態(tài)下，無約束滿載起升物品，由額定起重量和工作級(jí)別等已知條件查表可知主梁按照載荷組合A 計(jì)算組合載荷，主要計(jì)算載荷有自重載荷和起升載荷。

2.2.1 自重載荷PG根據(jù)極限狀態(tài)設(shè)計(jì)法，單根主梁自重可由下式計(jì)算得到：

式中：γPA1—自重載荷的分項(xiàng)系數(shù)，查表取為1.16；?1—起升沖擊

系數(shù)，取1.05；mG—主梁自重質(zhì)量；g—重力加速度9.8m/s2；γn—高危險(xiǎn)度系數(shù)，高危險(xiǎn)情況下取為1。

2.2.2 滿載時(shí)的起升載荷PQ與小車計(jì)算輪壓

當(dāng)物品滿載無約束起升離地時(shí)，此時(shí)主梁受到的載荷為起升載荷PQ。

式中：γPA2—起升載荷的分項(xiàng)系數(shù)，查表取為1.22；?2—起升動(dòng)載荷系數(shù)，取1.078；mQ—額定起重量；g—重力加速度9.8m/s2；γn—高危險(xiǎn)度系數(shù)，高危險(xiǎn)情況下取為1。

滿載小車與主梁方軌相接觸，起升載荷表現(xiàn)為方軌上的小車輪壓[6]，起升載荷分布區(qū)域在方軌上表面的一小矩形面積a1b1內(nèi)，b1是軌道底寬，有關(guān)軌道壓力區(qū)長a1的計(jì)算如下：

2.3 主梁有限元分析前處理

約束主梁左側(cè)端面所有節(jié)點(diǎn)UX、UY、UZ 方向的移動(dòng)自由度，約束右側(cè)端面所有節(jié)點(diǎn)UY 方向。其中UX 為小車移動(dòng)方向，UY 為鉛錘方向，UZ 為另一水平方向。

根據(jù)起重機(jī)手冊(cè)[7]確定以下三種危險(xiǎn)工況來進(jìn)行計(jì)算：

工況（1）：當(dāng)滿載小車位于主梁中間位置時(shí)，主梁上產(chǎn)生最大正應(yīng)力；

工況（2）：當(dāng)滿載小車位于左（右）端部極限位置時(shí)，主梁上產(chǎn)生最大剪應(yīng)力；

工況（3）：當(dāng)小車位于左（右）1/4 跨度處，主梁上產(chǎn)生的正應(yīng)力、剪應(yīng)力均比較大。

針對(duì)小車在主梁上這三種不同危險(xiǎn)位置分別建立三種工況，載荷類型選為Pressure，方向?yàn)閅 方向向下，作用于起重機(jī)軌道上表面矩形壓力區(qū)內(nèi)，壓力大小即為小車計(jì)算輪壓。在Hypermesh 中使用aotomesh 工具劃分網(wǎng)格后對(duì)少量質(zhì)量差的部分網(wǎng)格進(jìn)行修改，并再次檢查確認(rèn)網(wǎng)格質(zhì)量全部合格，其中：起重機(jī)主梁方軌的單元類型為PSolid 六面體單元，大小為25mm，共計(jì)15872 個(gè)；主梁的單元類型為PShell 殼單元，大小為50mm，共計(jì)44490 個(gè)；按照Q235 鋼相關(guān)特性設(shè)置單元材料屬性；由于工程制造時(shí)主梁與起重機(jī)軌道通常焊接在一起，所以把方軌與主梁做接觸處理，選擇主梁上翼緣板上表面為主接觸面，方軌下表面為從接觸面，接觸類型為Freeze。

2.4 查看結(jié)果

主梁前處理模型經(jīng)OptiStruct 求解器有限元分析后，得到的各工況下von Mises 應(yīng)力與垂直靜撓度結(jié)果匯總，如表2 所示。

表2 優(yōu)化前主梁的von Mises 應(yīng)力與垂直靜撓度Tab.2 von Mises Stress and Vertical Static Displacement of the Girder Before Optimization

分析后處理結(jié)果，可以發(fā)現(xiàn)工況（1）下von Mises 應(yīng)力最大，最大von Mises 應(yīng)力出現(xiàn)在上翼緣板與非軌側(cè)腹板跨中連接處附近，如圖2 所示。工況（1）下垂直靜撓度最大，出現(xiàn)在跨中截面上，如圖3 所示。這三種工況下最大von Mises 應(yīng)力與最大垂直靜撓度均遠(yuǎn)小于許用值，說明主梁鋼材料未達(dá)到最優(yōu)分布，因此有必要采用拓?fù)鋬?yōu)化方法來去除主梁上一部分材料以達(dá)到減重節(jié)能的效果。

圖2 最大von Mises 應(yīng)力Fig.2 Maximum von Mises Stress

圖3 最大垂直靜撓度Fig.3 Maximum Vertical Static Displacement

3 起重機(jī)主梁多工況拓?fù)鋬?yōu)化

3.1 多工況拓?fù)鋬?yōu)化數(shù)學(xué)模型

使用SIMP 密度-剛度插值模型[8]構(gòu)建的結(jié)構(gòu)材料密度與彈性模量之間的聯(lián)系用以下公式建立：

式中：E0—材料初始彈性模量；p—懲罰因子；xi—單元材料密度變量；xmin—單元材料密度略大于零的極小值。

從目前的連續(xù)體拓?fù)鋬?yōu)化研究來看，同一個(gè)結(jié)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果會(huì)隨著該結(jié)構(gòu)受力情況的改變而改變，如結(jié)構(gòu)所受力的大小、位置、時(shí)間等，因此根據(jù)結(jié)構(gòu)受力的不同，需要建立不同的載荷工況，從而得到不同的拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果（即目標(biāo)函數(shù)）。此外，主梁結(jié)構(gòu)的剛度特性對(duì)起重機(jī)整體工作具有非常重要的影響，主梁結(jié)構(gòu)優(yōu)化問題多以提升主梁剛度為主，因此通常將剛度最大化的拓?fù)鋬?yōu)化問題轉(zhuǎn)化為應(yīng)變能（柔度）最小化的問題。這里建立以體積分?jǐn)?shù)為主要約束，三種工況對(duì)應(yīng)的三個(gè)結(jié)構(gòu)最小應(yīng)變能為目標(biāo)函數(shù)，利用數(shù)學(xué)折衷規(guī)劃法[9]將這些目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為一個(gè)聯(lián)合目標(biāo)函數(shù)再進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化計(jì)算，從而得到滿足多工況的起重機(jī)主梁拓?fù)浣Y(jié)果。多工況應(yīng)變能（柔度）最小化的主梁拓?fù)鋬?yōu)化數(shù)學(xué)模型表示為如下形式：■

3.2 OptiStruct 軟件實(shí)現(xiàn)方法

式中：C1、C2、C3—工況（1），工況（2）和工況（3）對(duì)應(yīng)的應(yīng)變能變量。

表3 各工況下主梁優(yōu)化前后的應(yīng)變能Tab.3 Compliance Values Before and After Optimization of Girder Under Various Working Conditions

由于OptiStruct 采用的是SIMP 變密度法，為避免最后的結(jié)果出現(xiàn)一些數(shù)值不穩(wěn)定現(xiàn)象，需要更改以下拓?fù)鋬?yōu)化參數(shù)：（1）為避免結(jié)果出現(xiàn)棋盤格現(xiàn)象，需要在opti control 面板里調(diào)整默認(rèn)懲罰因子，增大其值至3；（2）考慮結(jié)構(gòu)的可加工制造性，同時(shí)為避免結(jié)果出現(xiàn)過于纖細(xì)的結(jié)構(gòu)，需要在topology 面板parameters 選項(xiàng)下為2 個(gè)設(shè)計(jì)變量分別增加成員尺寸控制。

3.3 主梁多工況拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)

檢查確認(rèn)無誤后將主梁拓?fù)鋬?yōu)化模型提交OptiStruct 求解器進(jìn)行求解，經(jīng)過75 次迭代后拓?fù)浣Y(jié)果收斂，優(yōu)化后的軌側(cè)、非軌側(cè)腹板結(jié)構(gòu)，如圖4 所示。

圖4 優(yōu)化后腹板結(jié)構(gòu)Fig.4 Optimized Web Structure

由圖4 可以看到偏軌箱型主梁軌側(cè)腹板作為主要承力結(jié)構(gòu)，因而材料保留較多，拓?fù)浣Y(jié)果為多孔結(jié)構(gòu)，跨中位置出現(xiàn)一個(gè)梯形孔洞；非軌側(cè)腹板作為非主要承力結(jié)構(gòu)，因而去除的材料較多，出現(xiàn)了類似桁架式的傾斜式支撐結(jié)構(gòu)。為改善重構(gòu)后應(yīng)力狀況，在修改重構(gòu)模型時(shí)，腹板結(jié)構(gòu)上在相鄰內(nèi)部隔板間對(duì)稱保留2 個(gè)正方形孔，邊長約為主梁高度的1/3；還應(yīng)在結(jié)構(gòu)連接處保留100mm 左右的寬度來便于腹板、內(nèi)部加強(qiáng)筋和翼緣板之間的焊接；同時(shí)為保證主梁穩(wěn)定性，應(yīng)除去過于細(xì)小和處于腹板邊緣位置的的孔洞結(jié)構(gòu)。最終經(jīng)過重設(shè)計(jì)得到的偏軌箱型主梁軌側(cè)、非軌側(cè)腹板和整個(gè)主梁的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，如圖5 所示。

圖5 偏軌箱型主梁多工況拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)Fig.5 Bias-Rail Box Girder Multiple Loading Conditions Topology Structure

4 多工況拓?fù)鋬?yōu)化分析與驗(yàn)證

為保證起重機(jī)安全正常工作，起重機(jī)主梁應(yīng)具有足夠強(qiáng)度、剛度、抗失穩(wěn)屈服能力，這里按照這三個(gè)方面來對(duì)重構(gòu)后的偏軌箱型主梁結(jié)構(gòu)進(jìn)行有限元分析驗(yàn)證。

屈服分析一般一階屈曲因子最為重要，實(shí)際工程中最常發(fā)生的也是一階失穩(wěn)[11]，因此只需提取第一階屈曲因子即可。在Hyperview 中查看主梁多工況拓?fù)渲貥?gòu)模型的后處理結(jié)果，得到的各工況下von Mises 應(yīng)力與垂直靜撓度結(jié)果，如表4 所示。各工況下主梁一階屈曲因子，如表5 所示。

表4 拓?fù)鋬?yōu)化后主梁的von Mises 應(yīng)力與垂直靜撓度Tab.4 von Mises Stress and Vertical Static Displacement of the Girder After Optimization

表5 偏軌箱型主梁拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)各工況下主梁一階屈曲因子Tab.5 von Mises Stress and Vertical Static Displacement of the Girder After Optimization

分析表4 中的數(shù)據(jù)，可以看到重構(gòu)設(shè)計(jì)后的主梁各工況下von Mises 應(yīng)力與垂直靜撓度均滿足許用值，其中最大垂直靜撓度均發(fā)生在跨中截面上，如圖6 所示?？缰懈浇弦砭壈宸擒墏?cè)、下翼緣板的軌側(cè)與兩側(cè)開孔圓角處均分布有較大應(yīng)力，其中最大von Mises 應(yīng)力出現(xiàn)在跨中兩側(cè)開孔下端圓角處，如圖7 所示。

圖6 重構(gòu)后的最大垂直靜撓度Fig.6 Maximum Vertical Static Displacement After Reconstructed

圖7 重構(gòu)后的最大von Mises 應(yīng)力Fig.7 Maximum von Mises Stress After Reconstructed

分析表5 中的數(shù)據(jù)，可以看到各工況下主梁屈曲系數(shù)均大于1，即主梁屈曲的最小臨界載荷大于該結(jié)構(gòu)的最大承載，故可以認(rèn)為該結(jié)構(gòu)在正常的額定載荷內(nèi)是安全的，不會(huì)發(fā)生失穩(wěn)。

分析主梁拓?fù)鋬?yōu)化.out 文件，在去除主梁軌道的質(zhì)量后，優(yōu)化前后的主梁體積與重量的變化情況，如表6 所示。

表6 優(yōu)化前后的主梁體積與重量Tab.6 Volume and Weight of Girder Before and After Optimization

分析表6 可知，經(jīng)過拓?fù)鋬?yōu)化并進(jìn)行重設(shè)計(jì)后的主梁質(zhì)量減輕了6.055%，體積減少了9.868%，減重效果較為明顯。

5 結(jié)語

（1）利用數(shù)學(xué)折衷規(guī)劃法將多個(gè)目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為聯(lián)合目標(biāo)函數(shù)再進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化計(jì)算，從而得到滿足多工況的起橋式起重機(jī)偏軌箱型主梁拓?fù)浣Y(jié)果。

（2）主梁多工況拓?fù)鋬?yōu)化在模型重構(gòu)時(shí)，改進(jìn)的腹板結(jié)構(gòu)上在相鄰內(nèi)部隔板間對(duì)稱保留2 個(gè)正方形孔，邊長約為主梁高度的1/3，圓角大小以（100～300）mm 為宜，此時(shí)滿足主梁結(jié)構(gòu)強(qiáng)度、剛度及穩(wěn)定性要求；

（3）對(duì)主梁采用多工況的拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)方法實(shí)現(xiàn)了更多角度地考慮優(yōu)化目標(biāo)，有效彌補(bǔ)了單一工況下拓?fù)鋬?yōu)化的不足，對(duì)主梁的結(jié)構(gòu)創(chuàng)新設(shè)計(jì)提供一定指導(dǎo)。