摘 要：臨界與極值問(wèn)題是高中物理中最難、最重要的知識(shí)，例舉若干例題從極值問(wèn)題的產(chǎn)生原因、情景過(guò)程和數(shù)學(xué)手段等方面加以分析.

關(guān)鍵詞：力學(xué);臨界與極值問(wèn)題;例析

中圖分類號(hào)：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：B 文章編號(hào)：1008-4134（2021）03-0057-03

作者簡(jiǎn)介：鄧賢彬（1973-），男，四川資中人，本科，中學(xué)高級(jí)教師，研究方向：中學(xué)物理學(xué)科教學(xué).

臨界和極值問(wèn)題，是高中物理中最重要、最典型的一類問(wèn)題，也是學(xué)生學(xué)習(xí)物理中最頭痛的問(wèn)題.這類問(wèn)題，往往因過(guò)程、情景復(fù)雜，條件隱藏較深，數(shù)學(xué)技巧要求高，經(jīng)常成為高考考查學(xué)生綜合能力的重要切入點(diǎn).學(xué)生遇到這類問(wèn)題，往往不知如何下手，得分率較低.本文嘗試從此類問(wèn)題的產(chǎn)生原因、情景過(guò)程、數(shù)學(xué)手段等方面進(jìn)行歸類研究.

1 追及問(wèn)題的臨界和極值問(wèn)題

1.1 物理情景分析

假設(shè)甲、乙兩物體在同一直線上向同一方向運(yùn)動(dòng)，且甲在后面追乙.兩物體相對(duì)位置變化的原因和兩物體的速度關(guān)系見(jiàn)表1.

結(jié)論：速度是兩物體相對(duì)位置變化的根本原因，是追及問(wèn)題中的關(guān)鍵條件，速度相等是兩物體追得上、追不上或者剛好追上的臨界條件.

1.2 分析技巧

1.2.1 一個(gè)臨界條件

二者速度相等，它既是物體能否追上、追不上或者剛好追上的臨界條件，也是物體間相距最近或者最遠(yuǎn)的條件.

1.2.2 兩個(gè)等量關(guān)系

時(shí)間關(guān)系和位移關(guān)系，利用這兩個(gè)關(guān)系可以列方程或者方程組求解.

1.3 常用數(shù)學(xué)方法

1.3.1 圖像法

畫出兩物體的v-t圖像，利用兩圖像的交點(diǎn)和所圍成圖形的“面積”判斷.

1.3.2 數(shù)學(xué)極值法

設(shè)相遇時(shí)間為t，根據(jù)條件列方程，得到關(guān)于位移x與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系，由此判斷兩物體的追及或相遇情況，并求出最大值或者最小值.

例題1 在平直的公路上，一輛小汽車在路口等待交通燈，綠燈亮?xí)r一輛道路維護(hù)車在前方以v0=10m/s的速度勻速前進(jìn)，小汽車立即以a1=2m/s2的加速度啟動(dòng)，啟動(dòng)時(shí)，兩車相距x0=75m.

求：（1）汽車啟動(dòng)后經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間從道路維護(hù)車旁邊經(jīng)過(guò)？

（2）相遇前兩車相距的最遠(yuǎn)距離是多少？

解析：

圖像法：

（1）由條件知：當(dāng)12×2×t21= 10t1+ 75時(shí)，兩物體相遇，即t1=15s.

（2）由圖1，當(dāng)t=5s時(shí)兩物體速度相等，且相距最遠(yuǎn).最遠(yuǎn)距離d=12×10×5+75=100m.

數(shù)學(xué)極值法：

（1）設(shè)經(jīng)過(guò)t1時(shí)間小汽車和維護(hù)車相遇，由位移關(guān)系得v0t1+x0=12at21，解得t1=15s.

（2）設(shè)經(jīng)過(guò)t時(shí)間，兩物體間的距離為y，由位移關(guān)系得y=v0t+x0-12at2，整理得

y=-t2+10t+75=-（t-5）2+100

當(dāng)t=5s時(shí)，兩車相距最遠(yuǎn)且最大值ymax=100m.

結(jié)論：對(duì)于追及和相遇問(wèn)題的臨界和極值問(wèn)題，通?？梢赞D(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)中一元二次函數(shù)的有無(wú)實(shí)數(shù)解的判定和極值計(jì)算.

2 力的平衡中的極值問(wèn)題

2.1 三力平衡中的極值問(wèn)題

2.1.1 物理情景分析

物體受三個(gè)力作用而平衡，實(shí)際情況往往存在第三個(gè)力如何施力會(huì)取得最小值的問(wèn)題.物體受力情況往往這樣：一個(gè)力大小和方向一定（F1），另一個(gè)力方向一定（F2）（F1和F2的夾角為θ），第三個(gè)力往往最小值.

2.1.2 作圖法

對(duì)于此類問(wèn)題，可用動(dòng)態(tài)三角形畫出第三個(gè)力在何種情況下取得最小值，然后直接求解其最小值.由圖2可知，當(dāng)?shù)谌齻€(gè)力（F3）垂直于第二個(gè)力時(shí)，第三個(gè)力有最小值，且F3min=F1sinθ.

例題2 如圖3所示，兩個(gè)小球a、b的質(zhì)量為ma=m、mb=2m，用細(xì)繩相連并懸掛于O點(diǎn)，現(xiàn)在給小球a施加一個(gè)拉力F使整個(gè)裝置處于靜止?fàn)顟B(tài)，且細(xì)繩與豎直方向夾角為45°，則力F的最小值是

A.3 22mgB.2mgC.5 22mgD.3mg

解析：以兩個(gè)小球組成的整體作為研究對(duì)象，整體受三個(gè)力，一個(gè)是整體受到的重力（大小和方向一定），繩子的拉力（方向一定），F(xiàn)大小和方向都未定.當(dāng)F垂直于繩子時(shí)，F(xiàn)取得最小值.如圖3所示，F(xiàn)min=3mgsin45°=322mg.答案選A.

結(jié)論：三個(gè)力的動(dòng)態(tài)平衡，一般應(yīng)用動(dòng)態(tài)三角形作圖，可以定性判斷力的大小和方向變化，也可以定量求出力的最小值.

2.2 多個(gè)力（四個(gè)以上）的平衡問(wèn)題

2.2.1 物理情景分析

外力作用下的物體在水平面上做直線運(yùn)動(dòng)，必然存在沿某個(gè)方向上用力且最省力的問(wèn)題.此時(shí)物體受力往往在四個(gè)力以上，求解這類問(wèn)題，直接用作圖法，往往失效，一般可采用三角函數(shù)求極值.

2.2.2 三個(gè)函數(shù)極值

通常通過(guò)平衡條件列方程組把待求力的大小轉(zhuǎn)化成力的方向（角度）的三個(gè)函數(shù)關(guān)系形式.最后結(jié)果表達(dá)式可化為這樣：y=asinθ+bcosθ，則有ymax=a2+b2，從而求得F最小值.

例題3 一質(zhì)量為m的物體放在動(dòng)摩擦因數(shù)為μ的粗糙水平面上，現(xiàn)要施加一個(gè)斜向右上方的力F使物體沿水平面向右做勻速直線運(yùn)動(dòng).求所施加的力F的最小值.

解析：設(shè)F與水平方向的夾角為θ時(shí)，物體沿水平面向右做勻速運(yùn)動(dòng)，受力分析如圖4所示，由正交分解法得

Fcosθ=f

Fsinθ+N=mg

又因?yàn)閒=μN(yùn)，得

F=μmgcosθ+μsinθ

由數(shù)學(xué)方法得Fmin=μmg1+μ2.

3 動(dòng)力學(xué)中的臨界與極值問(wèn)題

3.1 疊加體系統(tǒng)相對(duì)滑動(dòng)的臨界與極值問(wèn)題

3.1.1 物理情景分析

在動(dòng)力學(xué)問(wèn)題中，兩接觸物體發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)需要一定的力學(xué)條件，由不相對(duì)滑動(dòng)到剛要發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)時(shí)，即出現(xiàn)臨界條件，此時(shí)有的物理量出現(xiàn)極值.解決此類問(wèn)題，往往需要找出剛要相對(duì)滑動(dòng)時(shí)的臨界條件，再利用臨界條件來(lái)判斷實(shí)際情況.

3.1.2 疊加體系統(tǒng)相對(duì)滑動(dòng)的條件

兩物體加速度相同;兩物體間相對(duì)滑動(dòng)的摩擦力達(dá)到最大靜摩擦（一般是把滑動(dòng)摩擦當(dāng)作最大靜摩擦）.

3.1.3 分析與處理思路

①假設(shè)疊加體間無(wú)相對(duì)滑動(dòng)（不管兩物體是否相對(duì)滑動(dòng)），利用整體法求解（或者表達(dá)）系統(tǒng)加速度a;②隔離被動(dòng)物體（即以摩擦力為動(dòng)力的物體），計(jì)算其在最大靜摩擦力作用下的最大加速度am;③比較判斷：如果a≤am，兩物體無(wú)相對(duì)滑動(dòng)，實(shí)際加速度為a;如果a>am，則兩物體有相對(duì)滑動(dòng);被動(dòng)物體加速度a1=am，主動(dòng)物體（主要是靠外力運(yùn)動(dòng)的物體）的加速度a2需要用隔離法由牛頓第二定律單獨(dú)計(jì)算.

例題4 如圖5所示，物體A疊放于物體B上，B置于光滑的水平面上，A、B質(zhì)量分別為mA=6kg，mB=2kg，A、B間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.2，開始時(shí)F=10N，此后逐漸增加，在增加到45N的過(guò)程中，則（設(shè)最大靜摩擦等于滑動(dòng)摩擦力）

A.當(dāng)拉力F<12N時(shí)，物體均保持靜止?fàn)顟B(tài)

B.兩物體開始沒(méi)有相對(duì)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)拉力超過(guò)12N時(shí)，開始相對(duì)滑動(dòng)

C.兩物體從受力開始就有相對(duì)運(yùn)動(dòng)

D.兩物體始終沒(méi)有相對(duì)運(yùn)動(dòng)

解析：（1）當(dāng)F=10N時(shí)，假設(shè)兩物體沒(méi)有相對(duì)滑動(dòng)，對(duì)A和B整體：F=mA+mBa①

解得a=1.5m/s2.

（2）隔離被動(dòng)物體B：μmAg=mBam②

解得am=6m/s2.

（3）因?yàn)槿绻鸻≤am，兩物體無(wú)相對(duì)滑動(dòng).將a=am=6m/s2代入①式得F=48N，即F=48N時(shí)兩物體剛要相對(duì)滑動(dòng)，答案選D.

3.2 疊加體分離的臨界條件和極值問(wèn)題

3.2.1 物理情景分析

兩疊加物體發(fā)生分離需要一定的力學(xué)條件，由共同運(yùn)動(dòng)到剛要相對(duì)分離時(shí)，即出現(xiàn)臨界條件.解決此類問(wèn)題，往往需要找出剛要分離時(shí)的臨界條件，再利用臨界條件來(lái)判斷實(shí)際情況.

3.2.2 疊加體系統(tǒng)兩物體相互分離的臨界條件

兩物體加速度相同;兩物體間的彈力為0.

3.2.3 分析與處理思路

處理這類問(wèn)題，往往相互間彈力為0時(shí)會(huì)發(fā)生轉(zhuǎn)折，通常取這一狀態(tài)為研究的初狀態(tài)或者末狀態(tài).

例題5 如圖6所示，一彈簧一端固定在傾角為θ=37°的光滑固定斜面的底端，另一端拴住質(zhì)量為m1=4kg的物體P，Q為一質(zhì)量為m2=8kg的物體，彈簧的質(zhì)量不計(jì)，勁度系數(shù)k=600N/m，系統(tǒng)處于靜止?fàn)顟B(tài).現(xiàn)給Q施加一個(gè)方向沿斜面向上的力F，使它從靜止開始沿斜面向上做勻加速運(yùn)動(dòng)，已知在前0.2s時(shí)間內(nèi)，F(xiàn)為變力，0.2s以后F為恒力，已知sin37°=0.6，cos37°=0.8， 取g=10m/s2.求力F的最大值與最小值.

解析：設(shè)開始彈簧的壓縮量為x0，由平衡條件得

m1+m2gsinθ=kx0

代入數(shù)據(jù)得x0=0.12m.

因前0.2s時(shí)間內(nèi)F為變力，之后為恒力，則0.2s時(shí)刻兩物體分離，此時(shí)P、Q間的彈力為0，設(shè)此時(shí)彈簧的壓縮量為x1.對(duì)物體P，由牛頓第二定律得

kx1-m1gsinθ=m1a

前0.2s時(shí)間內(nèi)兩物體的位移 x0-x1=12at2

聯(lián)立解得a=3m/s2.

對(duì)兩物體受力分析知，開始運(yùn)動(dòng)時(shí)拉力最小，分離時(shí)拉力最大.

Fmin=m1+m2a=36N

對(duì)Q應(yīng)用牛頓第二定律得Fmax-m2gsinθ=m2a

解得Fmax=72N.

4 能量轉(zhuǎn)化和轉(zhuǎn)移中的極值問(wèn)題

4.1 物理情景分析

物理過(guò)程的發(fā)生往往伴隨著能量的轉(zhuǎn)移和轉(zhuǎn)化，由于能量在轉(zhuǎn)移或者轉(zhuǎn)化過(guò)程中總是守恒的，故在能量轉(zhuǎn)移或者轉(zhuǎn)化的過(guò)程中，某些時(shí)刻會(huì)出現(xiàn)某種能量具有最小值或者最大值的情形.

4.2 物體能量最小或最大的條件和方法

因?yàn)槲矬w動(dòng)能一定是非負(fù)值，故動(dòng)能的最小值是當(dāng)v=0時(shí)，動(dòng)能最小值為0，由于能量守恒，故此時(shí)其他能量取得最大值.所以在求解某些能量的最大值時(shí)，若不方便直接計(jì)算，可以轉(zhuǎn)化為找動(dòng)能（或別的能量、能量之和）的最小值的時(shí)刻.

4.3 典型模型

（1）兩物體通過(guò)彈簧在水平方向上的相互作用（不計(jì)一切阻力）：當(dāng)兩物體速度相同時(shí)，物體間距離最大或者最?。磸椈杀焕L(zhǎng)最大或者壓縮最大），系統(tǒng)彈性勢(shì)能取得最大值，兩物體動(dòng)能之和最小.

（2）兩物體發(fā)生完全非彈性碰撞：當(dāng)兩物體碰撞后結(jié)為一體（速度相等時(shí)），系統(tǒng)損失的機(jī)械能最大，獲得的內(nèi)能最大.

例題6 （多選）如圖7所示，物體A靜止在光滑的水平面上，A的左邊固定有輕質(zhì)彈簧，與A質(zhì)量相等的物體B以速度v向A運(yùn)動(dòng)并與彈簧發(fā)生碰撞，A、B始終沿同一直線運(yùn)動(dòng)，則A、B組成的系統(tǒng)動(dòng)能損失最大的時(shí)刻是

A.A，B速度相等時(shí)

B.A的速度等于v時(shí)

C.彈簀壓縮至最短時(shí)

D.B的速度最小時(shí)

解析：在壓縮彈簧的過(guò)程中，系統(tǒng)的動(dòng)量守恒且系統(tǒng)的動(dòng)能轉(zhuǎn)化為彈簧的彈性勢(shì)能.當(dāng)A、B速度相等時(shí)，此時(shí)彈簧壓縮至最短，系統(tǒng)損失的動(dòng)能最多，彈簧的彈性勢(shì)能最大.選項(xiàng)A、C正確.

（收稿日期：2020-09-25）