■朱月鳳

我國著名數(shù)學家李大潛院士在復旦大學數(shù)學科學學院新生迎新大會上的講話中提到學好數(shù)學要做到“少慢精深”，而不是刷題式的貪多求快。筆者在中考復習備考期間以“一題一課”進行解題教學，積極實踐李院士提出的“少慢精深”數(shù)學學習理念，取得較好的教學效果。筆者結合本地區(qū)一道新定義幾何中考題開展“一題一課”教學，現(xiàn)將教學過程整理成文，并闡釋教學立意。

一、考題呈現(xiàn)及說明

定義：我們知道，三角形的內心是三條角平分線的交點。過三角形內心的一條直線與兩邊相交，兩交點之間的線段把這個三角形分成兩個圖形，若有一個圖形與原三角形相似，則把這條線段叫作這個三角形的“內似線”。

（1）等邊三角形“內似線”的條數(shù)為______；

（2）如圖1，△ABC中，AB=AC，點D在AC上，且BD=BC=AD，求證：BD是△ABC的“內似線”；

圖1

（3）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，點E、F分別在邊AC、BC上，且EF是△ABC的“內似線”，求EF的長。

說明：這是2017 年的南通中考第27 題，不少學生在問題求解時遇到困難，有些是構圖不當，有些是缺少一些鋪墊式問題的輔助思考，沒有順利貫通思路，筆者決定通過“一題一課”的形式來幫助學生掌握這類問題的求解方法。

二、“一題一課”教學過程

教學環(huán)節(jié)一：引例熱身

引例1：思考與直角三角形內心有關的問題。

1.在Rt△ABC中，∠C=90°，請你說說怎樣找到△ABC的內心。

2.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，圍繞△ABC的內心，你能得到哪些結論？

預設：直角三角形的兩直角邊是3和4，則內心到三邊的距離是1。通過開放式問題，復習三角形內心的概念，尋找三角形內心的途徑以及與三角形內心有關的結論。

設計意圖：引例1 起到熱身的目的，組織學生有效復習了直角三角形的內心，然后特殊化為“3，4，5”的直角三角形。學生通過議論、對話和交流，對這個圖形下的性質有較為全面的認識和思考。

引例2：如圖2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，D是邊AC上一點，且滿足AD＝3，你能在邊AB上找一點E，使得△ADE與△ABC相似嗎？

圖2

教學記錄：如圖3、圖4，請學生到前面來展示作圖方法，說說具體作法，寫寫相似，強調對應，總結模型。

圖3

在學生畫出圖3、圖4 之后，先圍繞圖3 這種基本圖形（“A 型”相似），可預設以下問題：如圖3，在這個基本圖形中，DE與BC在位置上有什么樣的關系？DE與BC之間的距離是多少？內心O到邊BC的距離是多少？線段DE經(jīng)過內心O嗎？你能求出DE的長度嗎？（以上系列“問題串”可以漸次呈現(xiàn)，可結合學情相機給出，如果學情很好，還可鼓勵學生自主提出一些問題。）

圖4

接著再引導學生觀察圖4，圍繞圖4 這種基本圖形（“反A 型”相似），預設以下問題：如圖4，你能求出DE的長度嗎？

在此基礎上，將圖4 中DE所在的直線向下平移（如圖5），使其經(jīng)過△ABC的內心，與邊AC、BC所在的直線分別交于D'、E'。引導學生思考：點D'在邊AC上嗎？若在，求出D'E'的長度。

圖5

解后反思：對比圖3和圖5中的DE與D'E'，這兩條線段具有哪些共同特征？

教學意圖：引導學生回顧三角形相似的知識，滲透A 型與反A 型相似的印象，為后面新問題的分類討論以及如何求內似線的長度設好鋪墊。圍繞基本圖形，進行一系列的變式研究，特別是對經(jīng)過內心的直線截三角形兩邊得到的三角形與原三角形相似時，如何分析對應邊之比，并利用相似比求出相應線段的長度，這樣的問題經(jīng)過充分探究之后，可以對本課將要研究的新定義考題的最后一問達成較好的鋪墊作用，實現(xiàn)鋪平墊穩(wěn)的設計目標。

教學環(huán)節(jié)二：考題講評

呈現(xiàn)2017 年南通中考第27 題，刪除基礎問，只保留第（3）問。

教學過程：學生獨立思考5 分鐘后，圍繞題意，請同學們談談對已知條件有什么樣的認識；受到“引例2”中求D'E'長度的啟示，看看可以從哪里著手解決此題。嘗試添加輔助線。接下來進行思路突破與解法交流。限于篇幅，不再給出具體的解法示意。

學生講評之后，進行必要的小結或解后反思，提煉一些關鍵步驟，然后安排相關學生復述（“再說一遍”）。最后可給出一道變式拓展題如下：

【拓展思考】該直角三角形中，你能找到幾條內似線？都能求出它們的長度嗎？

教學過程：針對2017 年南通中考新定義考題的第（3）問，學生獨立思考之后，快速獲得思路的學生先在小組內交流討論，然后大組匯報，在進展到關鍵步驟時，教師讓其他學生復述思路，這樣可以讓更多的學生的思維被充分卷入解題思路中。

三、教學立意的進一步闡釋

第一，較難題教學備課要追求深度思考。

每份練習都有少數(shù)較難題，教師往往把課堂教學時間花在這些較難題上，但是講評后卻總感覺效果不好，仍然只有少數(shù)優(yōu)秀學生能跟得上講評節(jié)奏。這時，教師可反思講評的用力點是否精準，如果按照所謂參考答案的解答方式“順流而下”，可能就是備課的功夫不足，沒有想清辨明備課用力點。我們認為，教師在講評這些較難題之前，自己要對考題的關鍵步驟、主要難點、易錯點想清悟透，然后針對這些關鍵步驟、主要難點或學生可能的障礙預設一些教學環(huán)節(jié)進行難點突破。比如上文的課例中，我們設計了兩個“引例”，就幫助了更多學生進行“熱身訓練”，再出示那道較難題時，學生就能獲得思路啟示，進而快速想到思路并解答成功。

第二，較難題教學要重視關鍵步驟處理。

教師在較難題教學時要十分重視一些關鍵步驟的處理，比如充分解讀題意，特別是針對本文課例中關注到的新定義問題，可先引導學生深入理解新定義的本質或內涵，必要時要讓學生畫圖并結合圖形在小組內交流各自對新定義本質的理解，然后再迎難而上，各個擊破。在碰到較難題時，組織學生善于排除干擾，分析并“暴露”出問題的求解目標，有時這種“暴露”目標的解析工作也是解題征途中的關鍵步驟，要讓學生學會這種解題技術。還有，在處理某些關鍵步驟時，可能會遇到對一些經(jīng)典問題或拓展變式的處理，這時如果學生沒有能及時想到這些經(jīng)典問題或拓展變式的解法思路，教師可通過必要的鋪墊式問題（如本文課例的兩個“引例”），讓學生先做好必要的熱身復習，再迎難而上，往往就能順利地攻克較難題。學生經(jīng)歷這樣的解題教學過程，不但能解出這一道較難題，而且能悟出今后如何分析較難題。這也就是實現(xiàn)了從“授人以魚”到“授人以漁”的教學追求。