周曉妍，劉世鯤，張樹(shù)甜，孫 敏，陸 健，黃德財(cái)

(南京理工大學(xué) 應(yīng)用物理系，江蘇 南京 210094)

電磁學(xué)是“大學(xué)物理”和“大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)”理工類本科生的重要教學(xué)內(nèi)容之一，長(zhǎng)直螺線管的磁場(chǎng)分布是其中一個(gè)重要知識(shí)點(diǎn)，同時(shí)，螺線管是一個(gè)重要的電子器件和裝置，如繼電器、轉(zhuǎn)換器和回旋加速器等.在一些經(jīng)典的“大學(xué)物理”的教材中，如程守洙版，張三慧版，馬文蔚版，Jackson版和Halliday版[1-5]，教學(xué)安排通常是先對(duì)單個(gè)圓形載流線圈軸線上的磁場(chǎng)分布進(jìn)行計(jì)算，然后再介紹長(zhǎng)直密繞螺線管的磁場(chǎng)分布.常見(jiàn)介紹是忽略螺距的影響，直接給出螺線管外部磁場(chǎng)為零，內(nèi)部磁場(chǎng)均勻分布，均未作詳細(xì)推導(dǎo).在“大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)”的教學(xué)中[6]，常見(jiàn)的方法是測(cè)量一段有限長(zhǎng)直載流密繞螺線管中心軸線處的磁場(chǎng)，對(duì)比螺線管中心和管口處的磁場(chǎng)大小，從而分析螺線管內(nèi)部磁場(chǎng)的均勻分布情況.

對(duì)于單個(gè)圓形電流來(lái)說(shuō)，求解其在中心軸線上的磁場(chǎng)的推導(dǎo)較為簡(jiǎn)單，但是磁場(chǎng)在全空間分布的解析表達(dá)的推導(dǎo)卻相對(duì)復(fù)雜，更多的討論和分析出現(xiàn)在教學(xué)研究的文獻(xiàn)中.常見(jiàn)的理論分析方法有兩種，一種是直接利用畢奧-薩伐爾定律，先計(jì)算單個(gè)圓形線圈上的電流元的磁場(chǎng)的空間分布，然后進(jìn)行矢量疊加計(jì)算[7,8]；另一種是利用磁矢勢(shì)概念，先求矢勢(shì)，再利用矢勢(shì)與磁場(chǎng)的關(guān)系求解磁場(chǎng)[9,10].對(duì)于“大學(xué)物理”的教學(xué)來(lái)說(shuō)，多是面對(duì)低年級(jí)的學(xué)生，前者僅涉及到矢量叉乘和分解，被眾多教學(xué)類的文獻(xiàn)廣泛采用；而后者需要利用矢勢(shì)的概念，超出了教學(xué)大綱的要求.正是基于此原因，眾多的文獻(xiàn)采用的是畢奧-薩伐爾定律，進(jìn)而對(duì)螺線管的磁場(chǎng)的空間分布展開(kāi)討論，其中，有限長(zhǎng)直密繞螺線管受到了較多的關(guān)注，如圖1所示.在實(shí)際處理過(guò)程中，基本的處理方法是在單個(gè)環(huán)形電流的磁場(chǎng)的基礎(chǔ)上，進(jìn)行簡(jiǎn)單的矢量分解和積分，很少有考慮線圈在纏繞過(guò)程中，線圈的螺距即線圈的疏密程度，對(duì)螺線管內(nèi)外空間磁場(chǎng)的影響.

圖1 螺線管及單匝線圈產(chǎn)生磁場(chǎng)示意圖(灰色圓柱為密繞螺線管，位于z=0平面內(nèi)的黑色實(shí)線表示單匝線圈，圓心與坐標(biāo)原點(diǎn)O重合，點(diǎn)P為磁場(chǎng)中的任意點(diǎn))

本文采用畢奧-薩伐爾定律，利用矢量疊加原理，推導(dǎo)了單個(gè)圓形載流線圈和有限長(zhǎng)密繞螺線管的磁場(chǎng)的空間分布的理論公式，利用Python軟件求解并繪制出了磁感應(yīng)線，并對(duì)結(jié)果進(jìn)行詳細(xì)的討論.

1 單個(gè)圓形載流線圈磁場(chǎng)的空間分布

首先，我們分析了螺線管上單匝線圈周圍的磁場(chǎng)，如圖1所示.螺線管沿z軸放置，圓心與坐標(biāo)原點(diǎn)O重合.圖1中黑色實(shí)線為特別表示位于z=0平面內(nèi)的單匝線圈，線圈半徑為a.本文采用的電流為I=5 A，方向由圖1中箭頭所指示.為方便計(jì)算，引入兩個(gè)坐標(biāo)變換關(guān)系式.取平面Oxz內(nèi)任意一點(diǎn)P，其在Oxy平面上的投影點(diǎn)P′的坐標(biāo)為(rsinθ，0)，θ∈(0，π).采用畢奧-薩伐爾定律，電流元Idl在點(diǎn)P產(chǎn)生的磁場(chǎng)為

(1)

圖1中，電流元Idl與x軸的夾角為φ，因而dl=-adφ(sinφi-cosφj)，Idl到點(diǎn)P的距離

R′=(rsinθ-acosφ)i-asinφj+rcosθk

(2)

矢量叉乘結(jié)果為

dl×R′=arcosθ(cosφi+sinφj)dφ+

a(a-rsinθsinφ)dφk

(3)

將式(3)代入式(1)進(jìn)行積分可得點(diǎn)P處磁場(chǎng)B，其在直角坐標(biāo)系中x、y、z方向上的分量分別是

(4)

應(yīng)用坐標(biāo)變換關(guān)系式ρ=rsinθ，z=rcosθ，由式(4)可得點(diǎn)P處磁場(chǎng)B的分量表達(dá)式為

(5)

因此，圓形載流線圈在空間點(diǎn)P的磁場(chǎng)可由式(5)給出.函數(shù)奇偶性分析，關(guān)于sinφ項(xiàng)的積分為0，所以，載流圓線圈在空間的磁場(chǎng)只在Bρ和Bz上存在.應(yīng)用Python軟件中Matplotlib庫(kù)，我們可以給出在直角坐標(biāo)系下截面y=0的磁感應(yīng)線分布，如圖2所示.首先，載流線圈的電流分布和空間磁場(chǎng)分布均具有軸對(duì)稱性.且線圈附近磁感應(yīng)線明顯比遠(yuǎn)處的密集.其次，線圈附近的磁場(chǎng)是閉合的，軸線位置磁場(chǎng)自下而上呈直線狀，與教材中結(jié)果相同.

圖2 單個(gè)圓形載流線圈在截面y=0的磁感應(yīng)線分布圖(黑粗實(shí)線為圓形載流線圈，黑細(xì)實(shí)線為磁感應(yīng)線，箭頭表示磁場(chǎng)方向)

為進(jìn)一步討論圓形線圈的磁場(chǎng)在空間的分布情況，圖3給出了圓形載流線圈在ρ= 0處即中心軸上和z= 0平面上載流線圈徑向的Bρ、Bz分布.由圖3(a)可看出，對(duì)于ρ= 0的中心軸上的磁場(chǎng)分量Bz來(lái)說(shuō)，磁場(chǎng)成單峰分布，磁場(chǎng)Bz大小等于總磁場(chǎng)B.類似地，圖3(b)表明z= 0平面上線圈徑向的磁場(chǎng)分量Bρ始終較小，磁場(chǎng)在ρ=±20 mm處存在奇點(diǎn)，越靠近載流線圈的導(dǎo)線，磁場(chǎng)越大；反之，磁場(chǎng)越小.

(a) ρ= 0即中心軸上Bρ和Bz分布

2 理想螺線管磁場(chǎng)的空間分布

在本文中，理想螺線管定義為線圈纏繞方向與水平方向夾角為0°且不考慮線圈導(dǎo)線的橫向尺寸.空間中某一點(diǎn)的磁場(chǎng)是多匝圓形載流線圈在該點(diǎn)的磁場(chǎng)的矢量疊加.應(yīng)用單個(gè)圓形載流線圈的表達(dá)式(5)，可得出z0處的單個(gè)圓形載流線圈在P(ρ，z)處激發(fā)的磁場(chǎng)表達(dá)式為

(6)

逐步增加圖1中的圓形載流線圈匝數(shù)，由圖4給出線圈匝數(shù)N分別為3、7、11和21情況下，磁場(chǎng)在ρ= 0即中心軸上和在z=0平面上載流線圈徑向的Bz分布.其中，螺線管長(zhǎng)度為L(zhǎng)=200 mm、半徑為a=20 mm，線圈等間距分布，B0為對(duì)應(yīng)不同匝數(shù)時(shí)在ρ= 0、z= 0處的Bz值.本文采用無(wú)量綱化的方法，以方便對(duì)比分析數(shù)據(jù).

由圖4(a)可看出，在ρ= 0的中心軸上的磁場(chǎng)Bz出現(xiàn)明顯“波浪式”起伏，在線圈所在位置的平面出現(xiàn)“波峰”(Bp)，在相鄰線圈中心位置平面內(nèi)出現(xiàn)“波谷”(Bt)，且“波峰”和“波谷”交處交替出現(xiàn).定義在z= 0處為Bp0，其他位置處的磁場(chǎng)關(guān)于z= 0對(duì)稱分布，“波峰”和“波谷”依次為Bp0，Bt-1，Bt1，Bp-1，Bp1，…….在匝數(shù)較少時(shí)，如3匝，分別出現(xiàn)3次“波峰”和2次“波谷”.隨著線圈匝數(shù)的增加，會(huì)出現(xiàn)N次“波峰”和N-1次“波谷”，其中，N為線圈匝數(shù).由圖4(a)可看出，隨著線圈匝數(shù)的增多，即線圈匝數(shù)密度增加，“波峰”和“波谷”之間的間距隨之減小，曲線趨于平緩，即磁場(chǎng)趨向于均勻.以Bp0為單位1，具體的“波峰”和“波谷”的幅值對(duì)比，如表1所示.明顯可見(jiàn)，對(duì)比線圈匝數(shù)為3和21的情況，21匝時(shí)的Bt1和Bp1幅值分別為0.9998和0.9995，中心軸線附近可近似看作是均勻磁場(chǎng).

表1 螺線管峰值點(diǎn)磁場(chǎng)的幅值比較(z=0處的磁場(chǎng)Bp0=1單位磁場(chǎng))

(a) ρ=0處的中心軸向上Bz分布

圖4(b)給出的是磁場(chǎng)在z=0平面上載流線圈徑向的Bz分布.可以看出，與圖3(b)類似，Bz在圓形導(dǎo)線處存在奇點(diǎn).靠近導(dǎo)線處的磁場(chǎng)較大，遠(yuǎn)離導(dǎo)線處的磁場(chǎng)較小.而且，對(duì)于螺線管內(nèi)部的磁場(chǎng)來(lái)說(shuō)，隨著線圈匝數(shù)的增加，磁場(chǎng)逐漸趨向均勻分布.

(b) z= 0平面上載流線圈徑向上Bz分布圖4 螺線管磁場(chǎng)分布

利用Python中Matplotlib庫(kù)的畫(huà)圖功能，圖5給出的是匝數(shù)N為3、11的理想螺線管在截面y=0的磁感應(yīng)線分布圖.首先，與圖2類似，由于螺線管的圓形電流分布具有軸對(duì)稱性，磁感應(yīng)線在空間的分布也具有軸對(duì)稱性，且所有磁感應(yīng)線都通過(guò)圓形導(dǎo)線圈.其次，當(dāng)螺線管線圈匝數(shù)為3時(shí)，線圈之間的磁感應(yīng)線存在明顯的周期性“波浪式”起伏，靠近線圈處的磁感應(yīng)線相對(duì)較密集，遠(yuǎn)離線圈處的磁感應(yīng)線較稀疏.當(dāng)線圈匝數(shù)增加為11時(shí)，磁感應(yīng)線的周期性“波浪式”起伏程度減小，螺線管內(nèi)磁感應(yīng)線趨向于直線分布，即趨向均勻性分布.

圖5 理想螺線管在截面y=0的磁感應(yīng)線分布圖.(圖(a)、(b)中線圈匝數(shù)N分別為3和11.黑粗圈和黑細(xì)實(shí)線分別表示載流線圈和磁感應(yīng)線，箭頭為磁場(chǎng)方向)

3 密繞螺線管長(zhǎng)度對(duì)磁場(chǎng)分布的影響

根據(jù)以上的理論推導(dǎo)和數(shù)值計(jì)算結(jié)果，可以看出，隨著線圈匝數(shù)密度的增加，螺線管內(nèi)部的磁場(chǎng)的分布趨向均勻.為進(jìn)一步研究密繞螺線管長(zhǎng)度對(duì)磁場(chǎng)空間分布的影響，也就是圖1中灰色圓柱即密繞螺線管產(chǎn)生的空間磁場(chǎng).圖6所示為理想密繞螺線管在截面y=0示意圖.螺線管長(zhǎng)度為L(zhǎng)、半徑為a,坐標(biāo)原點(diǎn)放置于螺線管中心，點(diǎn)P為空間任意一點(diǎn).在螺線管上任取一段為dz′，對(duì)應(yīng)線圈匝數(shù)為ndz′，該段圓形載流線圈通過(guò)的電流為Indz′，圓形線圈電流元到點(diǎn)P的距離為z′-z.

圖6 理想密繞螺線管在截面y=0示意圖

基于式(1)可以得到載流線圈電流元在點(diǎn)P處產(chǎn)生的磁場(chǎng)分量分別為

(7)

利用Python對(duì)式(7)進(jìn)行積分，采用Matplotlib庫(kù)的畫(huà)圖功能，圖7給出的是匝數(shù)密度為n=1000m-1時(shí)，密繞理想螺線管在截面y=0的磁感線分布圖.螺線管長(zhǎng)度分別L=10(a)、80(b)、200(c)mm.首先，因?yàn)槁菥€管的電流分布具有軸對(duì)稱性，因而磁場(chǎng)在空間的分布同樣具有軸對(duì)稱性.當(dāng)螺線管長(zhǎng)度為L(zhǎng)=10 mm時(shí)，即較短密繞螺線管的情形.此時(shí)，磁場(chǎng)的空間分布類似于圖2中的單個(gè)圓形載流線圈，如圖7(a)所示.當(dāng)增加螺線管長(zhǎng)度時(shí)，即螺線管長(zhǎng)度與半徑的比值增大，未出現(xiàn)類似于圖5(a)中“波浪式”形狀的磁場(chǎng)分布，螺線管內(nèi)部磁場(chǎng)由曲線狀分布改變?yōu)橹本€狀分布，如圖7(b)和(c)所示.可以預(yù)見(jiàn)，螺線管無(wú)限長(zhǎng)時(shí)，密繞螺線管內(nèi)部的磁感應(yīng)線為均勻直線，外部磁場(chǎng)區(qū)域?yàn)榱悖绰菥€管中心軸向附近磁場(chǎng)可視為均勻性磁場(chǎng)，此時(shí)的螺線管可視為密繞螺線管.

圖7 螺線管在截面y=0的磁感應(yīng)線的分布圖(灰色圓柱為密繞載流螺線管，黑色實(shí)線為磁感應(yīng)線，箭頭為磁場(chǎng)方向)

圖8給出的是圖7的中心軸上的磁場(chǎng)Bz的定量分布圖.當(dāng)螺線管長(zhǎng)度較短時(shí)，L=10 mm，磁場(chǎng)成單峰狀分布，對(duì)應(yīng)為圖7(a).當(dāng)螺線管長(zhǎng)度增加時(shí)，如L=80和200 mm，單峰的波峰寬度隨螺線管長(zhǎng)度的增加而逐漸展寬，對(duì)應(yīng)為圖7(b)和(c).當(dāng)密繞螺線管長(zhǎng)度為L(zhǎng)=200 mm，在-74 mm≤z≤74 mm范圍內(nèi)，螺線管產(chǎn)生的磁場(chǎng)可視為均勻磁場(chǎng).可以推測(cè)，當(dāng)螺線管長(zhǎng)度為無(wú)限長(zhǎng)時(shí)，磁場(chǎng)主要集中分布在螺線管內(nèi)部，外部磁場(chǎng)趨向于零.

圖8 不同長(zhǎng)度螺線管在ρ=0即中心軸線上磁場(chǎng)分布

4 結(jié)論

在本文中，我們基于畢奧-薩伐爾定律和矢量疊加原理，推導(dǎo)了單個(gè)圓形線圈和有限長(zhǎng)密繞螺線管的磁場(chǎng)的空間分布的理論公式，然后，利用Python的函數(shù)積分功能，定量分析了單個(gè)線圈和螺線管磁場(chǎng)的空間分布特性.并且，應(yīng)用Matplotlib庫(kù)的畫(huà)圖功能，詳細(xì)的對(duì)以上理論結(jié)果進(jìn)行了可視化的描述.結(jié)果表明，無(wú)論是低匝數(shù)密度的螺線管還是高匝數(shù)密度螺線管，某一點(diǎn)的磁場(chǎng)近似等于z分量上的磁場(chǎng).根據(jù)本文的計(jì)算結(jié)果，匝數(shù)密度n≥1000 m-1的螺線管可視為密繞螺線管，其內(nèi)部分布的磁場(chǎng)變化范圍在1%左右；螺線管越長(zhǎng)，匝數(shù)密度越大，對(duì)應(yīng)的磁場(chǎng)分布越均勻.當(dāng)密繞螺線管長(zhǎng)度為L(zhǎng)=200 mm，在-74 mm≤z≤74 mm范圍內(nèi)的磁場(chǎng)可視為均勻磁場(chǎng).因而，當(dāng)密繞螺線管無(wú)限長(zhǎng)時(shí)，產(chǎn)生的是均勻磁場(chǎng)，與教科書(shū)中結(jié)論一致.本文的結(jié)果，一方面有助于學(xué)生對(duì)教材中基礎(chǔ)知識(shí)的理解和驗(yàn)證，另一方面，也可以用于在“大學(xué)物理”和“大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)”教學(xué)過(guò)程的內(nèi)容拓展，鍛煉學(xué)生應(yīng)用基本知識(shí)解決和分析問(wèn)題能力，提高對(duì)學(xué)生創(chuàng)新能力的培養(yǎng).