焦浩鑫,丁肇偉,陳龍珠

(1.上海市公共建筑和基礎(chǔ)設(shè)施數(shù)字化運(yùn)維重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,上海 200240;2.上海交通大學(xué)船建學(xué)院土木系,上海 200240)

0 引言

目前,在結(jié)構(gòu)動(dòng)力分析中,可用黏性阻尼模型和復(fù)阻尼模型等來反映振動(dòng)能量的耗散。黏性阻尼模型在數(shù)學(xué)上具有求解和計(jì)算簡(jiǎn)便的優(yōu)點(diǎn),在工程實(shí)際中得到了廣泛的應(yīng)用[1]。但由黏性阻尼模型求出的結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)可知,其能量耗散與所受外部動(dòng)荷載或地基基礎(chǔ)運(yùn)動(dòng)激勵(lì)的頻率有關(guān)。而已有試驗(yàn)結(jié)果證明,在較大的頻率范圍內(nèi),結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的能量耗散與激勵(lì)頻率基本無關(guān)[2]。采用復(fù)阻尼模型進(jìn)行分析時(shí),結(jié)構(gòu)在振動(dòng)一周內(nèi)的能量耗散受外加激勵(lì)頻率的影響甚是輕微,符合能量耗散與激勵(lì)頻率無關(guān)的試驗(yàn)現(xiàn)象。因此,從能量耗散的角度來看,采用復(fù)阻尼模型進(jìn)行結(jié)構(gòu)動(dòng)力分析,會(huì)更為準(zhǔn)確。

定性來說,采用數(shù)值方法計(jì)算結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)時(shí)程曲線,具有很廣的適用范圍。但由于時(shí)域運(yùn)動(dòng)方程中含有不穩(wěn)定的子集,采用逐步積分法計(jì)算時(shí),會(huì)出現(xiàn)發(fā)散現(xiàn)象[3]。時(shí)域數(shù)值計(jì)算方法的穩(wěn)定性受損耗因子、激勵(lì)持續(xù)時(shí)間以及時(shí)間積分步長(zhǎng)等因素的影響。張輝東等[4]指出,復(fù)阻尼模型下時(shí)域數(shù)值解法的發(fā)散程度,隨著結(jié)構(gòu)損耗因子的增大而增大。潘玉華等[5]在對(duì)含復(fù)阻尼運(yùn)動(dòng)方程的求解穩(wěn)定性進(jìn)行研究時(shí)發(fā)現(xiàn),其與結(jié)構(gòu)的自振周期、地震荷載持續(xù)時(shí)間以及復(fù)阻尼模型參數(shù)的大小有關(guān),即當(dāng)荷載持續(xù)時(shí)間與結(jié)構(gòu)自振周期的比值大于臨界值時(shí),采用時(shí)域數(shù)值方法對(duì)復(fù)阻尼下的動(dòng)力響應(yīng)進(jìn)行求解,會(huì)引起計(jì)算結(jié)果的發(fā)散。張輝東等[6]對(duì)Rayleigh阻尼模型和復(fù)阻尼模型下的地震時(shí)程響應(yīng)進(jìn)行的對(duì)比分析表明,后者計(jì)算得到的結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)大于傳統(tǒng)的Rayleigh阻尼模型計(jì)算得到的結(jié)果,而且其穩(wěn)定性和精度與時(shí)間積分步長(zhǎng)有關(guān)。

綜上所述,對(duì)可體現(xiàn)能量耗散與激勵(lì)頻率無關(guān)的復(fù)阻尼模型,摸索保證所求出的結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)結(jié)果穩(wěn)定收斂的計(jì)算方法,具有較為重要的學(xué)術(shù)和應(yīng)用價(jià)值。朱鏡清等[7]通過忽略計(jì)算結(jié)果中的發(fā)散項(xiàng)來保證動(dòng)力響應(yīng)的穩(wěn)定性,但這種方法缺乏理論根據(jù)[8]。周正華等[9]提出了一種可進(jìn)行時(shí)域計(jì)算的復(fù)阻尼本構(gòu)方程,使得計(jì)算結(jié)果穩(wěn)定收斂。REGGIO等[10]將Maxwell-Wiechert本構(gòu)模型應(yīng)用于復(fù)阻尼模型中,得到了計(jì)算結(jié)果穩(wěn)定的運(yùn)動(dòng)方程,但模型參數(shù)的確定對(duì)應(yīng)用帶來了不便。孫攀旭等[11]將復(fù)阻尼運(yùn)動(dòng)方程等效為頻率相關(guān)的黏性阻尼運(yùn)動(dòng)方程,既保證了能量耗散與激勵(lì)頻率無關(guān),又避免了復(fù)阻尼時(shí)域計(jì)算結(jié)果的發(fā)散。孫攀旭等[12]提出了滯變阻尼模型的時(shí)域理論和數(shù)值計(jì)算方法,確保了結(jié)構(gòu)時(shí)域計(jì)算結(jié)果的穩(wěn)定收斂。雖然上述計(jì)算方法能夠保證時(shí)域動(dòng)力響應(yīng)的收斂穩(wěn)定,但計(jì)算過程比較繁雜,而且計(jì)算精度與效率尚有待于提高。另外,以上均為數(shù)值計(jì)算方法,不能解析表達(dá)出結(jié)構(gòu)動(dòng)力特性以及響應(yīng)隨結(jié)構(gòu)參數(shù)的變化規(guī)律。

針對(duì)上述存在的問題,本文以較為常見的多層水平剪切型結(jié)構(gòu)為研究對(duì)象,參照三對(duì)角Toeplitz矩陣的遞推方法[13],推導(dǎo)出它的各階自振頻率、振型函數(shù)的解析形式。在此基礎(chǔ)上,由Fourier變換推導(dǎo)出復(fù)阻尼下結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)的頻域解析解,然后由其反變換得出結(jié)構(gòu)在地震作用下各層位移的時(shí)程解析解,便于直觀地觀察結(jié)構(gòu)動(dòng)力特性以及響應(yīng)隨結(jié)構(gòu)參數(shù)的變化規(guī)律。文中將通過算例,對(duì)本文方法和數(shù)值方法的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比較分析。

1 結(jié)構(gòu)動(dòng)力特性的解析算式

首先列出結(jié)構(gòu)在地震作用下的運(yùn)動(dòng)方程。如圖1所示的水平剪切型結(jié)構(gòu),取各自由度相對(duì)地面的位移作為運(yùn)動(dòng)變量,在地震作用下有運(yùn)動(dòng)方程:

圖1 多自由度模型計(jì)算簡(jiǎn)圖Fig.1 Model for structures with multi-degree of freedom

(1)

為分析結(jié)構(gòu)的動(dòng)力特性,假設(shè)結(jié)構(gòu)體系的第一層質(zhì)量為mb,水平層間剛度為kb,其余各層的質(zhì)量和剛度分別為m、k,其自由振動(dòng)方程為:

(2)

式中結(jié)構(gòu)動(dòng)力特性矩陣[A]為:

(3)

可見,各階自振圓頻率ωs為矩陣[A]的特征值,對(duì)應(yīng)的各階振型{φs}為矩陣[A]的特征向量。

三對(duì)角矩陣[A],已不是經(jīng)典三對(duì)角Toeplitz矩陣。借鑒于文獻(xiàn)[13]中求解三對(duì)角Toeplitz矩陣特征值和特征向量的數(shù)學(xué)方法,可以得到如下線性遞推式(j=1,2,…,n)和邊界條件:

(4)

式(4)第一行線性遞推式的解有如下形式:

(5)

式中:βs1、βs2均為常系數(shù);rs1、rs2則為特征方程r2-(2-λs)r+1=0的兩個(gè)根,滿足韋達(dá)定理:

rs1+rs2=2-λs,rs1rs2=1

(6)

將式(5)代入式(4)第2行邊界條件中,可得:

(7)

要使式(7)有非零解,其系數(shù)行列式必為零,即:

(8)

(9)

式中:θs為第s階自振周期對(duì)應(yīng)的變量,由下式求出:

(10)

由式(5)可得各階振型為:

(11)

式(11)表明,對(duì)于圖1所示的多自由度結(jié)構(gòu),其每階振型均是以j為自變量的簡(jiǎn)諧函數(shù)。

2 結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)的時(shí)域解

2.1 復(fù)阻尼結(jié)構(gòu)傳遞函數(shù)的解析算式

為得到復(fù)阻尼結(jié)構(gòu)的傳遞函數(shù),首先對(duì)無阻尼下的式(1)進(jìn)行Fourier變換,有:

(12)

(13)

利用振型的正交性和矩陣對(duì)角化方法,得:

(14)

(15)

為對(duì)復(fù)阻尼下的結(jié)構(gòu)進(jìn)行動(dòng)力響應(yīng)分析,本文借鑒文獻(xiàn)[14]中采用的復(fù)剛度法?？紤]各層損耗因子為不同值時(shí),也可使用本文方法進(jìn)行計(jì)算,但本文為簡(jiǎn)便公式推導(dǎo),取各層損耗因子為相同值η,分別用k(1+iη)、kb(1+iη)代替式(3)中k、kb,則復(fù)阻尼下結(jié)構(gòu)的傳遞函數(shù)可表示為:

(16)

(17)

2.2 復(fù)阻尼結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)的時(shí)域算法

在地震時(shí)程數(shù)據(jù)的處理中,快速Fourier變換(FFT)具有重要作用?？焖貴ourier變換后給出的頻域數(shù)據(jù)所包含的信息與原始時(shí)域數(shù)據(jù)完全相同,僅僅在信息的表示方法上有所不同。通過對(duì)頻域信號(hào)進(jìn)行逆變換后,可以方便地得到其時(shí)域信號(hào)。為此,對(duì)地面運(yùn)動(dòng)加速度時(shí)程信號(hào)進(jìn)行快速Fourier變換:

(18)

式中:N為采樣點(diǎn)數(shù);Δt為采樣間隔;Δω為快速Fourier變換的頻率分辨率。

(19)

另外,在Fourier變換中,對(duì)具有N個(gè)數(shù)據(jù)的離散采樣點(diǎn),其離散Fourier變換同樣具有N個(gè)數(shù)值,而在頻域分析中通常只采用前N/2+1個(gè)。為通過逆變換得到具有同樣采樣頻率的結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng),需在傳遞函數(shù)Hj(iω)中按Fourier變換的數(shù)值排列方式補(bǔ)齊后部分?jǐn)?shù)據(jù)。

3 算例比較分析

為檢驗(yàn)本文方法的正確性,用MATLAB編制相關(guān)計(jì)算程序,并將計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)[12]采用希爾伯特變換的數(shù)值方法所得時(shí)域計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。

3.1 單自由度地震響應(yīng)計(jì)算

根據(jù)美國(guó)國(guó)家地震信息中心網(wǎng)站(NEIC)及中國(guó)地震臺(tái)網(wǎng)(CENC)獲取的地震時(shí)程數(shù)據(jù),選?、菶l-centro波、Kobe波和唐山波進(jìn)行時(shí)程分析。El-centro波、Kobe波的記錄信號(hào)為地面水平向加速度在50 s內(nèi)的采樣數(shù)據(jù),其采樣間隔為0.02 s,唐山波的記錄信號(hào)為地面水平向加速度在20 s內(nèi)的采樣數(shù)據(jù),其采樣間隔為0.01 s。根據(jù)文獻(xiàn)[15]中相關(guān)規(guī)定,取加速度最大值為0.2g,設(shè)計(jì)分組為第一組。對(duì)于各個(gè)地震記錄,依據(jù)所取基本烈度對(duì)應(yīng)的地面加速度峰值進(jìn)行處理,處理后輸入的地震加速度時(shí)程如圖2,其中Kobe波的持續(xù)振動(dòng)時(shí)間比El-centro波的明顯要短。根據(jù)頻譜分析,Kobe波、唐山波和El-centro波的主要成分分別低于5 Hz和8 Hz。

圖2 輸入地震波加速度時(shí)程Fig.2 Acceleration time-history curves of input seismic waves

該算例假設(shè)結(jié)構(gòu)的質(zhì)量為1×106kg,自振頻率為0.96 Hz,復(fù)阻尼結(jié)構(gòu)損耗因子為0.1,初始時(shí)刻結(jié)構(gòu)處于靜止?fàn)顟B(tài),分別采用文獻(xiàn)[12]數(shù)值算法和本文給出的解析方法計(jì)算求得結(jié)構(gòu)的位移動(dòng)力響應(yīng),結(jié)果如圖3和表1。由圖可知,兩種方法的計(jì)算結(jié)果基本一致,時(shí)程曲線吻合較好。由表1可知,兩種方法計(jì)算得到的位移響應(yīng)峰值,相對(duì)誤差在3%以內(nèi),初步檢驗(yàn)了本文方法在計(jì)算單自由度體系位移響應(yīng)的正確性。計(jì)算過程還表明,在單自由度體系分析時(shí),本文方法克服了求解復(fù)阻尼動(dòng)力響應(yīng)的發(fā)散問題,計(jì)算結(jié)果不但穩(wěn)定收斂快,而且精度相對(duì)也好,計(jì)算效率相對(duì)更高。

表1 兩種方法的單自由度位移響應(yīng)幅值對(duì)比Table 1 Comparison between displacement response amplitudes of the SDOF system with two methods

圖3 兩種方法的單自由度位移響應(yīng)時(shí)程Fig.3 Displacement responses of the SDOF system with two methods

3.2 多自由度地震作用下的動(dòng)力響應(yīng)

采用文獻(xiàn)[16]給出的7層框架結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析,每層的等效質(zhì)量為1.239×106kg,水平剪切剛度等效為1.615×106kN/m(即κ1=κ2=0),結(jié)構(gòu)的黏性阻尼比ξ=0.05。對(duì)復(fù)阻尼的結(jié)構(gòu)損耗因子與黏性阻尼比的近似關(guān)系,由文獻(xiàn)[17]可知,當(dāng)η=2ξω/ωs時(shí),采用黏性阻尼與復(fù)阻尼計(jì)算得出的單自由度系統(tǒng)動(dòng)力響應(yīng)完全相同。考慮到影響結(jié)構(gòu)地震響應(yīng)的頻率成分主要集中在第一階共振頻率ω≈ωs區(qū)域內(nèi),本文采用η=2ξ=0.10進(jìn)行計(jì)算分析。

計(jì)算得該7層框架結(jié)構(gòu)體系的第1和第7階自振頻率分別為1.20 Hz、11.24 Hz,假設(shè)結(jié)構(gòu)在初始時(shí)刻為靜止?fàn)顟B(tài),分別用本文和文獻(xiàn)[12]兩種方法計(jì)算該結(jié)構(gòu)體系的地震位移響應(yīng),結(jié)果如圖4和表2。

圖4 兩種方法的多自由度頂點(diǎn)位移響應(yīng)時(shí)程Fig.4 Vertex displacement responses of the MDOF system with two methods

表2 兩種方法的多自由度頂點(diǎn)位移響應(yīng)幅值對(duì)比Table 2 Comparison between vertex displacement response amplitudes of the MDOF system with two methods

圖4是結(jié)構(gòu)頂層位移響應(yīng)的時(shí)程曲線,可知,兩種方法得到的計(jì)算結(jié)果基本一致,計(jì)算過程穩(wěn)定收斂。表2所列兩種方法計(jì)算得到的結(jié)構(gòu)頂點(diǎn)位移峰值也較為接近,其相對(duì)誤差在5%以內(nèi)。

通過對(duì)比表1和表2可知,在進(jìn)行多自由度結(jié)構(gòu)的位移響應(yīng)計(jì)算時(shí),其計(jì)算結(jié)果的相對(duì)誤差明顯大于單自由度結(jié)構(gòu)體系。其原因可能是多自由度結(jié)構(gòu)體系中的阻尼更加復(fù)雜,若僅考慮整體結(jié)構(gòu)的黏性阻尼比ξ=0.05,則會(huì)導(dǎo)致黏性阻尼模型的計(jì)算結(jié)果存在相對(duì)更大的誤差。

3.3 結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)幅值隨底層剛度的變化

為觀察兩種方法求得結(jié)構(gòu)位移、加速度峰值隨底層剛度而變化的規(guī)律,本節(jié)采用第3.2節(jié)中結(jié)構(gòu)質(zhì)量、層間剛度以及復(fù)阻尼結(jié)構(gòu)損耗因子的取值,但在一定范圍內(nèi)改變剛度比kb/k∈(0,2]進(jìn)行計(jì)算,結(jié)果如圖5、圖6所示。

圖5 頂點(diǎn)位移幅值隨剛度比的變化規(guī)律Fig.5 Variation of vertex displacement amplitude with the stiffness ratio

圖6 頂點(diǎn)加速度幅值隨剛度比的變化規(guī)律Fig.6 Variation of vertex acceleration amplitude with the stiffness ratio

圖5給出了所得結(jié)構(gòu)頂點(diǎn)位移峰值隨剛度比的變化曲線。由圖可知,從整體上看,隨著底層剛度的不斷變化,兩種方法計(jì)算得到的結(jié)構(gòu)頂層位移峰值相互比較接近(本文解析方法得到的位移峰值稍大)。由圖還可看出,隨著底層剛度的變化,數(shù)值方法得出的位移峰值計(jì)算曲線存在一定程度的離散波動(dòng)現(xiàn)象,而本文方法計(jì)算的曲線相對(duì)光滑得多。

圖6給出的是結(jié)構(gòu)頂層加速度峰值隨底層剛度比而變化的曲線。為了便于觀察兩種方法計(jì)算曲線間的差別,該圖的豎軸采用了對(duì)數(shù)坐標(biāo)。由圖可見,本文方法的曲線仍然光滑穩(wěn)定,但數(shù)值方法所得曲線的離散波動(dòng)現(xiàn)象比圖5的更為顯著,這對(duì)計(jì)算結(jié)構(gòu)的層間內(nèi)力峰值來說,容易產(chǎn)生較大的誤差。

4 結(jié)論

本文通過理論推導(dǎo)以及算例分析,得到以下3點(diǎn)主要結(jié)論:

(1) 借鑒三對(duì)角Toeplitz矩陣特征值問題求解的遞推方法,得到了多層水平剪切型結(jié)構(gòu)的自振頻率和振型函數(shù)的解析算式;在此基礎(chǔ)上,提出了計(jì)算復(fù)阻尼模型下由地面運(yùn)動(dòng)引起的結(jié)構(gòu)響應(yīng)時(shí)程曲線的解析算法。

(2) 對(duì)單層和多層復(fù)阻尼結(jié)構(gòu),采用本文解析算法和文獻(xiàn)數(shù)值方法,分別計(jì)算了由地面地震運(yùn)動(dòng)引起的結(jié)構(gòu)位移響應(yīng),結(jié)果表明兩種方法得到的位移響應(yīng)時(shí)程曲線接近,其位移峰值的相對(duì)誤差均在5%以內(nèi)。

(3) 采用本文方法和文獻(xiàn)數(shù)值方法求解多層結(jié)構(gòu)加速度峰值隨底層剛度的變化,本文方法的計(jì)算曲線光滑,避免了數(shù)值方法計(jì)算曲線上較為強(qiáng)烈的離散誤差問題。

本文主要探討算法的有效性,而結(jié)構(gòu)其他參數(shù)對(duì)地震響應(yīng)的影響,有待于進(jìn)一步分析研究。