楊 濤 童立元 潘皇宋

(東南大學(xué)巖土工程研究所， 南京 210096)

在城市交通網(wǎng)絡(luò)形成過程中，既有地下樁基、管線和地鐵隧道等地下構(gòu)筑物相互影響越來越明顯[1].隨著基坑工程密度的加大，對已有地下構(gòu)筑物產(chǎn)生疊加影響的因素逐漸增多.例如，基坑的開挖必然導(dǎo)致周邊土體位移及應(yīng)力場發(fā)生變化，從而對鄰近樁基產(chǎn)生影響[2]；樁基附近的堆載會對樁基本身產(chǎn)生擠壓效應(yīng)，引起樁體的撓曲變形等[3].在目前的大多數(shù)研究中，對樁基水平受力變形的影響分析往往只考慮基坑開挖或堆載等單一因素，很少分析實際工程中常見的基坑開挖卸荷與堆載對樁基的綜合作用，從而引發(fā)一些工程事故.因此，開展針對基坑開挖卸荷與堆載綜合作用下鄰近樁基受力變形的研究具有一定的工程實際意義.

國內(nèi)外學(xué)者就基坑開挖或堆載對鄰近樁基的影響開展了大量研究[4-5].Poulos等[6]運用有限元與邊界元相結(jié)合的方法，分析了基坑開挖引起鄰近樁基受力變形的影響因素.張愛軍等[7]基于影像源法及Winkler地基模型，采用兩階段分析方法推導(dǎo)出基坑開挖引起的樁基響應(yīng)數(shù)學(xué)解析解.鄭剛等[8]以實測工程為案例，采用三維有限元法進(jìn)行計算，分析了樁基和基坑間距、樁基剛度、樁頂豎向荷載和樁基頂部約束條件等對樁基附加彎矩、位移的影響.馮昌明等[9]基于布西奈斯克解及明德林位移解，提出了堆載作用下被動單樁豎向和水平向承載特性的分析方法.宋修廣等[10]基于Flamant解得到條形荷載下的水平附加應(yīng)力計算公式，并結(jié)合雙參數(shù)地基模型，建立了被動樁的撓曲微分方程.竺明星等[11]對Ito局部塑性變形理論進(jìn)行改進(jìn)，以布西奈斯克改進(jìn)解為基礎(chǔ)，得到被動樁樁體被動荷載分布，并根據(jù)三參數(shù)非線性彈性地基梁模型，建立樁體微分方程組.

本文采用兩階段分析法，分析基坑開挖卸荷與堆載綜合作用下鄰近樁基的受力變形規(guī)律.首先，基于布西奈斯克水平應(yīng)力解析解及明德林解析解，分別求出堆載作用及基坑開挖卸荷作用下樁基水平附加應(yīng)力.其次，引入Kerr地基模型，建立被動樁的撓曲微分方程，利用有限差分?jǐn)?shù)值計算方法，得到樁基撓曲微分方程的數(shù)學(xué)解析矩陣表達(dá)式.最后，通過實例分析驗證所提方法的合理性和有效性，并以此為基礎(chǔ)，針對堆載區(qū)域尺寸、堆載大小及基坑三維尺寸進(jìn)行影響因素敏感性分析.

1 水平附加應(yīng)力求解

1.1 堆載作用下的樁體處附加應(yīng)力

在半無限空間彈性體表面作用有豎向集中力時，可利用布西奈斯克水平應(yīng)力解析解求出彈性體內(nèi)任意點的水平應(yīng)力[12].在荷載作用范圍內(nèi)積分，便可求得不同堆載形式下土中應(yīng)力分布.本文采用復(fù)合辛普森公式對布西奈斯克水平應(yīng)力解析解的積分進(jìn)行求解.如圖1所示，將豎直向下的均布荷載分別在x、y方向上等分為n和m份，即每個子區(qū)間表示為 [xk,xk+1](k=0,1,…,n-1)及[yl,yl+1](l=0,1,…,m-1).若記

(1)

根據(jù)復(fù)合辛普森公式，上述均布荷載區(qū)域下的積分可表示為

(2)

圖1 堆載作用下被動樁受力示意圖

將布西奈斯克水平應(yīng)力解析解[12]代入雙重積分式(2)中，便可得到矩形均布荷載下土體自由場中相應(yīng)位置的水平應(yīng)力.

1.2 基坑開挖引起的樁體處附加應(yīng)力

計算前先進(jìn)行如下假定：①土體為均質(zhì)、彈性半空間體；②不考慮基坑開挖的時序效應(yīng)，不考慮降水的影響；③開挖至坑底時，考慮坑底殘余應(yīng)力及圍護(hù)墻遮攔效應(yīng)，坑底釋放的應(yīng)力等效為坑底平面處豎直向上的均布荷載；④不考慮樁體存在及堆載對基坑開挖引起樁體處附加應(yīng)力的影響；⑤僅考慮基坑單側(cè)壁及坑底應(yīng)力釋放對樁體的影響.其中，均布荷載的具體計算參考文獻(xiàn)[13]中的推導(dǎo)過程.

基于明德林解析解，得到基坑側(cè)壁及坑底應(yīng)力釋放引起的樁基水平附加應(yīng)力積分表達(dá)式，采用雙重積分下的復(fù)合辛普森公式進(jìn)行具體求解.

2 基于Kerr地基模型的分析方法

在彈性地基梁理論中，最常用的彈性地基模型為Winkler地基模型.該模型假設(shè)地基為一系列獨立彈簧，但無法考慮土體剪切剛度.為此，部分學(xué)者引入第2個參數(shù)來反映彈簧間的剪切作用，其中應(yīng)用較多的是Pasternak地基模型[14].Kerr地基模型通過引入第3個參數(shù)對雙參數(shù)模型進(jìn)行進(jìn)一步優(yōu)化，使得計算結(jié)果更為準(zhǔn)確[15-16].

2.1 計算模型

堆載及基坑開挖卸載后，荷載經(jīng)過土體的傳遞，變?yōu)樽饔糜跇扼w的附加荷載.附加荷載下的Kerr地基模型見圖2.圖中，P為樁體所受附加荷

圖2 Kerr地基模型示意圖

載；G為地基土剪切剛度；kc、kk分別為第1、2層地基反力模量.

Kerr地基模型中，樁體假設(shè)為地基上的彈性長梁，在附加荷載作用下，樁體變形與彈簧層及剪切層變形一致.樁體撓曲微分方程為

(3)

式中，w2為剪切層的變形量；E為樁體彈性模量；I為樁體極慣性矩；dp為樁體直徑.

2.2 地基參數(shù)選取

根據(jù)Tanahashi[17]提出的經(jīng)驗公式可知

(4)

式中，Es為地基土的彈性模量；μs為地基土的泊松比；δ為地基土的剪切層厚度，且參照文獻(xiàn)[18]，δ≈11dp.

(5)

參照簡化彈性空間法[20]，第1層地基反力模量為

kc=3kk

(6)

2.3 有限差分法求解

采用有限差分法對式(3)近似求解.將樁體s等分，樁頂至樁底節(jié)點編號為0，1，…，s.樁頂及樁底各增加3個虛擬節(jié)點，編號為-3，-2，-1，s+1，s+2，s+3(見圖3).

圖3 樁體計算模型示意圖

式(3)可簡化為

u(6)+Au(4)+Bu(2)+Cu=D

(7)

式中，A為四階導(dǎo)系數(shù)；B為二階導(dǎo)系數(shù)；C為變量系數(shù)；D為常數(shù)項.

根據(jù)高階導(dǎo)數(shù)的有限差分近似替代原則，式(7)可等效為s+1個方程.因增設(shè)了6個虛擬節(jié)點，s+1個方程中共包含s+7個未知數(shù).假設(shè)樁頂自由無外力，樁底固定，可得邊界條件的有限差分近似表達(dá)式.結(jié)合上述s+1個方程，消去多余未知量，最終可得樁體撓曲微分方程矩陣表達(dá)式為

Ku=F

(8)

式中，F(xiàn)={D0,D1,D2,…,Di,…,Dn-2,Dn-1,Dn}T為外荷載列向量；u={u0,u1,u2,…,ui,…,us-2,us-1,us}T為樁體節(jié)點水平位移列向量；K為樁體水平剛度矩陣，且

3 計算實例分析

利用基于Kerr地基模型的兩階段分析法，求解基坑開挖和堆載綜合作用下樁體的受力變形規(guī)律，并與其他方法結(jié)果進(jìn)行對比，驗證該方法的正確性.

3.1 數(shù)值模擬驗證

圖4為計算模型尺寸及俯視圖.由圖可知，基坑長寬分別為30和20 m，開挖深度為10 m.堆載區(qū)域長寬分別為10和5 m，荷載為150 kPa.樁體直徑為1 m，樁深20 m，距離基坑邊界及堆載邊界均為10 m.采用有限差分?jǐn)?shù)值軟件進(jìn)行模擬，土體本構(gòu)采用摩爾庫倫模型，基坑圍護(hù)結(jié)構(gòu)及樁體采用彈性模型.各結(jié)構(gòu)參數(shù)見表1.

圖4 模型尺寸及俯視圖(單位：m)

表1 結(jié)構(gòu)參數(shù)

圖5為不同外加荷載引起的樁體附加應(yīng)力.圖中，Pd為堆載引起的附加應(yīng)力；Pb為坑底卸荷引起的附加應(yīng)力；Pc為側(cè)壁卸荷引起的附加應(yīng)力；Pz為堆載和基坑開挖卸荷綜合作用引起的附加應(yīng)力.由圖可知，基坑側(cè)壁卸荷對樁體水平受荷影響最大，堆載次之，基坑坑底卸荷最小.三者引起的水平附加應(yīng)力分布最大值出現(xiàn)的位置不同：基坑側(cè)壁卸荷引起的水平附加應(yīng)力最大值出現(xiàn)位置主要由基坑開挖深度決定，位于開挖面之上2～3 m；堆載引起的水平附加應(yīng)力最大值出現(xiàn)在地表下5 m左右的位置；坑底卸荷引起的附加應(yīng)力最大值出現(xiàn)在樁底位置.綜合作用下，樁體處最大水平附加應(yīng)力為21.80 kPa，出現(xiàn)在地表下6 m處.此外，坑底卸荷引起的樁體水平附加應(yīng)力最大值為基坑側(cè)壁卸荷作用下樁體水平附加應(yīng)力最大值的1/3左右，故在計算中不可忽略.

圖5 樁體水平附加應(yīng)力

利用本文方法和數(shù)值模擬得到的樁體撓度見圖6.由圖可知，本文方法與數(shù)值模擬結(jié)果較為吻合，表明本文方法具有一定的可靠性.2種計算方法所得結(jié)果在樁頂附近略有差別，原因是數(shù)值模擬中模型尺寸的邊界效應(yīng)會對分析單元的計算產(chǎn)生影響.

圖6 樁體撓度

3.2 案例驗證

文獻(xiàn)[9]基于雙參數(shù)地基模型，得到了邊長為6 m、均布荷載為20 kPa的正方形堆載區(qū)引起的樁體撓曲變形，樁體與堆載區(qū)邊界凈距為2 m，樁長為21 m，直徑為0.5 m，樁土彈性模量之比為8 000，土體泊松比為0.3.選取此案例，采用本文方法進(jìn)行對比驗證，結(jié)果見圖7.由圖可知，本文方法與文獻(xiàn)[9]方法所得結(jié)果在樁體最大撓度數(shù)值及其出現(xiàn)位置等方面具有較好的一致性，由此證明了本文方法的可行性.

圖7 堆載作用下樁體撓度對比圖

4 樁體水平變形影響因素分析

根據(jù)不同的堆載區(qū)域尺寸、堆載大小及基坑三維尺寸，構(gòu)造了25個工況，以此分析不同因素對樁體水平位移的影響.其中，基本工況設(shè)定為：堆載區(qū)域長、寬分別為10和5 m，荷載為150 kPa，基坑三維尺寸為30 m×20 m×10 m.

4.1 堆載區(qū)尺寸、堆載大小的影響

圖8為不同堆載工況下計算所得的樁體撓曲變形曲線.圖中，Lc為堆載區(qū)域長邊長度；Ld為堆載區(qū)域短邊長度；Pt為堆載大小.由圖8(a)可知，當(dāng)堆載區(qū)域長邊由5 m增加到15 m時，樁體最大撓度值由1.18 mm增加到1.42 mm，增幅為20.3%.當(dāng)堆載區(qū)域短邊由1 m增加到10 m時，樁體最大撓度值由1.10 mm增加到1.51 mm，增幅為37.3%.由圖8(b)可知，當(dāng)堆載由50 kPa增加到250 kPa時，樁體最大撓度值由1.02 mm增加到1.56 mm，增幅為52.9%.由此可知，各因素對樁體水平位移的敏感性由大到小排列順序為：堆載大小、堆載區(qū)域短邊長度、堆載區(qū)域長邊長度.因此，在工程實際中要規(guī)避集中堆載，盡量將堆載區(qū)劃分為長條狀.

4.2 基坑三維尺寸的影響

圖9為不同基坑三維尺寸下計算所得的樁體撓曲變形曲線.圖中，Lk為基坑開挖面長邊邊長；Lj為基坑開挖面短邊邊長；Hd為基坑開挖深度.由圖9(a)可知，隨著基坑開挖面長邊長度從20 m增至40 m，樁體最大撓度值增加了0.21 mm，增幅為18.1%；隨著基坑開挖面短邊長度從10 m增至30 m，樁體最大撓度值增加了0.03 mm，增幅為2.4%.由圖9(b)可知，隨著開挖深度從5 m增至25 m，樁體最大撓度值增加了2.7 mm，增幅為397.1%，并且隨著開挖深度的變化，樁體撓度分布形式出現(xiàn)明顯不同.經(jīng)過上述對比研究，在不同基坑三維尺寸條件下，各因素對樁體水平位移的敏感性由大到小排列順序為：開挖深度、開挖面長度、開挖面寬度.因此，建議在工程實際中對每層土體采用梯次開挖，先開挖遠(yuǎn)離樁體的土體.

(c) 堆載大小

(a) 開挖面長邊長度

(b) 開挖面短邊長度

(c) 開挖深度

5 結(jié)論

1) 本文基于Kerr地基模型建立了樁體撓曲變形計算方法.采用有限差分法推導(dǎo)出堆載及基坑開挖作用下樁體撓曲微分方程的數(shù)學(xué)矩陣表達(dá)式，并通過實例分析證明了其可行性和正確性.

2) 坑底卸荷引起的樁體最大水平附加應(yīng)力是基坑側(cè)壁卸荷引起的樁體最大水平附加應(yīng)力的1/3左右.因此，在分析計算基坑開挖卸荷引起的樁體水平受力及變形時，不能僅考慮側(cè)壁卸荷對樁體的影響.

3) 在堆載區(qū)尺寸、堆載大小中，對樁體水平位移的敏感性由大到小排列順序為：堆載大小、堆載區(qū)域短邊邊長、堆載區(qū)域長邊邊長.建議工程實際中要規(guī)避集中堆載，盡量使堆載物呈長條狀分布.

4) 在基坑三維尺寸中，對樁體水平位移的敏感性由大到小排列順序為：開挖深度、開挖面長度、開挖面寬度.其中，基坑開挖深度對樁體水平位移的影響遠(yuǎn)大于開挖面尺寸的影響，建議實際開挖過程中盡量采用梯次開挖方式.