許加柱，賈龍濤，李 暢，王岐珂

（國家電能變換與控制工程技術(shù)研究中心（湖南大學(xué)），長沙 410082）

分布式電源是現(xiàn)有發(fā)電模式的一種補(bǔ)充，目前大量分布式電源接入交流配電網(wǎng)。然而，分布式電源的波動(dòng)性和隨機(jī)性會(huì)給配電網(wǎng)帶來不確定性因素，影響配電網(wǎng)的潮流分布和安全運(yùn)行。相比確定性潮流，概率潮流PLF（probabilistic load flow）能分析不確定性因素對(duì)配電網(wǎng)運(yùn)行的影響。PLF由Borkowska于1974年提出[1]，此后國內(nèi)外開展了大量研究，取得豐富成果?，F(xiàn)在PLF主要用于電力系統(tǒng)優(yōu)化調(diào)度[2]、規(guī)劃設(shè)計(jì)[3]、風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估[4]等方面。依據(jù)原理，概率潮流計(jì)算方法可以分為模擬法[5-6]、近似法[7-8]、解析法[9-10]。其中，模擬法是一種依托大數(shù)定律的試驗(yàn)統(tǒng)計(jì)方法，雖然可以很精確地獲取節(jié)點(diǎn)電壓和支路潮流的概率特征，但運(yùn)算時(shí)間很長，一般作為評(píng)價(jià)其他算法的標(biāo)準(zhǔn)；近似法依據(jù)輸入變量的概率特性近似描述輸出變量的概率特性，包括點(diǎn)估計(jì)法、一次二階距法等方法；解析法依據(jù)輸入變量、輸出變量之間的線性關(guān)系進(jìn)行計(jì)算，主要有卷積法和半不變量法，其中半不變量法需要滿足輸入變量相互獨(dú)立[11]。

文獻(xiàn)[2]計(jì)及分布式電源和負(fù)荷的不確定性，利用半不變量法計(jì)算概率潮流，達(dá)到實(shí)時(shí)調(diào)整日前調(diào)度計(jì)劃的目的。在低壓配電網(wǎng)接入大量小型分布式光伏的情況下，文獻(xiàn)[7]使用蒙特卡洛法和點(diǎn)估計(jì)法分別計(jì)算配電網(wǎng)的電氣特征，并將兩種方法進(jìn)行對(duì)比。配電網(wǎng)的供電半徑一般不超過15 km，在此區(qū)域內(nèi)光照強(qiáng)度、云況基本相似，受此影響，該區(qū)域內(nèi)多個(gè)分布式光伏具有相似的出力特性，其出力波動(dòng)趨勢基本一致，具有一定的相關(guān)性[15]。根據(jù)大量統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，不同種類的分布式電源出力也具有一定的相關(guān)性，若該相關(guān)性被忽略，則計(jì)算結(jié)果的可信度大打折扣。上述一些文獻(xiàn)沒有充分考慮分布式電源出力的相關(guān)性。針對(duì)上述問題，一些文獻(xiàn)考慮了分布式電源出力的相關(guān)性。文獻(xiàn)[12]采用Cho?lesky分解探究相鄰地區(qū)光伏出力和負(fù)荷之間的相關(guān)性；文獻(xiàn)[13]采用Nataf變換來構(gòu)建風(fēng)力發(fā)電場景，研究風(fēng)速相關(guān)性對(duì)PLF的影響；文獻(xiàn)[14]指出，在基于廣義多項(xiàng)式混沌法的PLF計(jì)算中，若將Nataf變換應(yīng)用其中處理不確定性變量之間的相關(guān)性，可能會(huì)低估極端事件發(fā)生的概率，因此該文獻(xiàn)提出采用數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)任意多項(xiàng)式混沌法解決該問題；文獻(xiàn)[15]考慮天氣變化的影響，計(jì)及分布式光伏多點(diǎn)接入，提出一種基于等效功率相關(guān)系數(shù)的方法計(jì)算PLF，用以評(píng)估配電網(wǎng)的運(yùn)行風(fēng)險(xiǎn)。

盡管上述方法研究了分布式電源的相關(guān)性，但是鮮有文獻(xiàn)考慮風(fēng)電出力與光伏出力的負(fù)相關(guān)性，針對(duì)于此，本文充分考慮了風(fēng)電出力之間、風(fēng)電出力和光伏出力之間的相關(guān)性，提出一種基于Rosen?blatt逆變換和半不變量法RITCM（Rosenblatt in?verse transformation and cumulant method）的概率潮流計(jì)算方法。該方法使用金融領(lǐng)域廣泛應(yīng)用的Copula函數(shù)來描述分布式電源出力的相關(guān)性，并建立聯(lián)合分布函數(shù)；對(duì)具有相關(guān)性的出力樣本進(jìn)行Rosenblatt逆變換，使之相互獨(dú)立，進(jìn)而采用半不變量法結(jié)合Cornish-Fisher級(jí)數(shù)展開計(jì)算節(jié)點(diǎn)電壓、支路潮流的概率分布；最后，在34節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)上對(duì)RITCM進(jìn)行驗(yàn)證，計(jì)算了相對(duì)誤差和希爾不等系數(shù)兩個(gè)指標(biāo)，并通過與蒙特卡洛法比較，驗(yàn)證了RITCM在考慮分布式電源出力相關(guān)性的配電網(wǎng)概率潮流計(jì)算方面的有效性和正確性。

1 相關(guān)變量的獨(dú)立化變換

1.1 基于Copula函數(shù)的聯(lián)合分布函數(shù)

變量之間的相關(guān)性可以用Pearson相關(guān)系數(shù)來度量，其概念清晰，但適用范圍有限。Pearson相關(guān)系數(shù)要求隨機(jī)變量必須具有標(biāo)準(zhǔn)差，但有些特殊函數(shù)無法滿足該要求；此外當(dāng)變量間的關(guān)系是非線性時(shí)，用Pearson相關(guān)系數(shù)來度量其關(guān)系并不可靠，因此需要選用一種更加科學(xué)的方法。Copula函數(shù)能夠描述變量間的非線性相關(guān)性，同時(shí)易于構(gòu)建聯(lián)合分布模型，在金融領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，本文引入Copula函數(shù)描述分布式電源出力的相關(guān)性。

Sklar于1959年提出Copula函數(shù)，該函數(shù)描述了一個(gè)N維變量的聯(lián)合分布函數(shù)與各變量邊緣累積分布函數(shù)之間的關(guān)系，Copula函數(shù)的密度函數(shù)則描述了N維變量的聯(lián)合概率密度函數(shù)和各變量密度函數(shù)之間的關(guān)系，其基本理論是Sklar定理。以二維隨機(jī)變量為例加以說明，由Sklar定理易知，存在Copula函數(shù)C滿足

式中：F1(x1)、F2(x2)分別為隨機(jī)變量x1、x2的累積分布函數(shù)；F(x1,x2)為x1、x2的聯(lián)合分布函數(shù)。若F1(x1)、F2(x2)連續(xù)，則C唯一確定。

Copula函數(shù)主要有二元Normal Copula函數(shù)、二元t-Copula函數(shù)、Gumbel Copula函數(shù)、Clayton Copu?la函數(shù)、Frank Copula函數(shù)[16]，其中前2種為橢圓Copula函數(shù)，后3種為阿基米德Copula函數(shù)，不同的函數(shù)描述不同類型的相關(guān)性。常用的Copula函數(shù)相關(guān)性測度有Kendall秩相關(guān)系數(shù)τ及Spearman秩相關(guān)系數(shù)ρ。τ和ρ可以描述隨機(jī)變量的變化方向是否一致，值為0表示隨機(jī)變量不存在相關(guān)性，值為正表示存在正相關(guān)，值為負(fù)表示存在負(fù)相關(guān)，且值的絕對(duì)值越接近1，表明相關(guān)性越強(qiáng)。

基于Copula函數(shù)建立聯(lián)合分布模型一般需要2步：首先確定分布式電源出力的邊緣分布函數(shù)，再選取適當(dāng)?shù)腃opula函數(shù)建立聯(lián)合分布模型。Copu?la函數(shù)可以描述隨機(jī)變量間的相關(guān)性，但是無法實(shí)現(xiàn)相關(guān)變量的獨(dú)立化變換。

1.2 基于Rosenblatt逆變換的獨(dú)立化變換

由于分布式電源出力存在相關(guān)性，無法直接使用半不變量法計(jì)算PLF，因此必須首先對(duì)具有相關(guān)性的分布式電源出力進(jìn)行獨(dú)立化變換。

相關(guān)變量的獨(dú)立化變換在結(jié)構(gòu)可靠度分析中有廣泛的應(yīng)用，主要有以下4種方法：Orthogonal變換、Nataf變換[13]、Winterstein近似公式和Rosenblatt變換。其中，Orthogonal變換步驟簡單，不受變量類型的限制，但只有當(dāng)變量服從正態(tài)分布或者相互獨(dú)立時(shí)，其精度才較高；與Orthogonal變換相比，Nataf變換考慮了變換前后等效相關(guān)系數(shù)的變化，導(dǎo)致Nataf變換的計(jì)算過程更加復(fù)雜，此外，當(dāng)樣本分布類型或變量聯(lián)合分布函數(shù)不滿足高斯分布時(shí)，其誤差可能較大；Winterstein近似公式的計(jì)算精度受變量統(tǒng)計(jì)矩的估計(jì)精度影響較大，尤其是偏度和峰度；Rosenblatt變換的原理是利用變量的邊緣概率密度和條件概率密度進(jìn)行變換，該方法可以準(zhǔn)確描述變量間的相關(guān)性，且不受變量的分布類型、變量間是否具有線性相關(guān)性的影響，變換結(jié)果精確，本文采用該方法對(duì)分布式電源出力進(jìn)行獨(dú)立化變換。

假設(shè) f(x1,x2)是分布式電源出力的聯(lián)合概率密度函數(shù)，其可以表示為

式中：f1(x1)為x1的概率密度函數(shù)；f2|1(x2|x1)為x2在x1條件下的概率密度。

由式（2）可推得

依據(jù)等概率變換原則，Rosenblatt變換可以將非正態(tài)相關(guān)變量變換成獨(dú)立的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量。等概率變換原則可以表示為

式中，ui、Φ(ui)分別為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量及其累積分布函數(shù)，其中i=1，2。

Rosenblatt逆變換可以將標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量變換成分布式電源出力的獨(dú)立樣本，詳細(xì)步驟如下。

步驟1 產(chǎn)生n個(gè)服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)U1、U2的樣本。

步驟2 依據(jù)式（4），得

由式（5）可以求得其中一個(gè)分布式電源出力X1的n個(gè)樣本。

步驟3 依據(jù)式（4），得

由式（6）可以求得另一個(gè)分布式電源出力X2的n個(gè)樣本。

2 基于半不變量法的潮流計(jì)算

第1節(jié)求得相互獨(dú)立的分布式電源出力樣本，本節(jié)采用半不變量法計(jì)算PLF。

半不變量是隨機(jī)變量的一種特征，依據(jù)獨(dú)立化變換后分布式電源出力的樣本，分別計(jì)算各階原點(diǎn)矩，再依據(jù)半不變量和原點(diǎn)矩的關(guān)系求得獨(dú)立化變換后分布式電源出力的各階半不變量。視負(fù)荷的有功功率、無功功率服從正態(tài)分布，其一階、二階半不變量分別為期望和方差，三階及其以上高階半不變量均為0?；诎氩蛔兞糠ǖ某绷饔?jì)算的基本思想為：依據(jù)系統(tǒng)初始條件計(jì)算一次確定性潮流，并將計(jì)算結(jié)果作為基準(zhǔn)點(diǎn)，在此基礎(chǔ)上疊加用半不變量描述的分布式電源、負(fù)荷等的擾動(dòng)，計(jì)算系統(tǒng)狀態(tài)變量的半不變量，最后結(jié)合級(jí)數(shù)展開得到狀態(tài)變量的概率分布。

在交流潮流模型下，在基準(zhǔn)點(diǎn)處對(duì)潮流方程進(jìn)行泰勒展開，忽略二次項(xiàng)及其高次項(xiàng)，可得

式中：W為節(jié)點(diǎn)注入功率；X、Z為狀態(tài)變量，分別表示節(jié)點(diǎn)電壓和支路潮流，ΔW、ΔX、ΔZ分別為W、X、Z的擾動(dòng)；J0為雅可比矩陣；G0為靈敏度矩陣。

式（7）可進(jìn)一步表示為

對(duì)于高階半不變量，式（8）表示為

目前在電力系統(tǒng)中常用的級(jí)數(shù)展開主要有Gram-Charlier級(jí)數(shù)、Edgeworth級(jí)數(shù)和Cornish-Fisher級(jí)數(shù)，當(dāng)隨機(jī)變量是非正態(tài)分布時(shí)，與前兩種級(jí)數(shù)相比，Cornish-Fisher級(jí)數(shù)在計(jì)算概率分布時(shí)具有更高的精度，因此本文采用8階Cornish-Fisher級(jí)數(shù)展開逼近輸出變量的分布函數(shù)。

考慮分布式電源出力相關(guān)性的配電網(wǎng)概率潮流計(jì)算方法的流程如圖1所示。

圖1 考慮相關(guān)性的配電網(wǎng)概率潮流計(jì)算流程Fig.1 Flow chart of PLF calculation for distribution network considering correlation

3 算例分析

在某34節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)上對(duì)RITCM的準(zhǔn)確性和快速性進(jìn)行驗(yàn)證，其中節(jié)點(diǎn)15和節(jié)點(diǎn)34分別接入分布式電源，如圖2所示。本文仿真2種情況，分別是接入同一配電網(wǎng)的2臺(tái)風(fēng)電（風(fēng)電/風(fēng)電）出力的相關(guān)性、風(fēng)電與光伏（風(fēng)電/光伏）出力的相關(guān)性，風(fēng)電、光伏的額定功率均為0.4 MW。仿真所使用的計(jì)算機(jī)參數(shù)主要有：處理器為Intel（R）Core（TM）i7-7700 CPU@3.60 GHz，運(yùn)行內(nèi)存8 GB，仿真軟件是Matlab R2016a。

圖2 含分布式電源的34節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)Fig.2 34-node system with distributed generations

采集某地2臺(tái)風(fēng)電和一座光伏的出力數(shù)據(jù)，在研究風(fēng)電出力與光伏出力的相關(guān)性時(shí)舍棄值為0的光伏出力及其相對(duì)應(yīng)同時(shí)刻的風(fēng)電出力數(shù)據(jù)。本文假設(shè)風(fēng)電、光伏均以恒定功率因數(shù)0.9（滯后）運(yùn)行。

表1給出了2種情況下5種Copula函數(shù)的Ken?dall秩相關(guān)系數(shù)τ和Spearman秩相關(guān)系數(shù)ρ的值。從表1可以看出，風(fēng)電/風(fēng)電出力的τ和ρ均為正值且接近1，表明風(fēng)電出力具有較強(qiáng)的正相關(guān)性；風(fēng)電/光伏出力的τ和ρ與Copula函數(shù)的種類相關(guān)，一部分是絕對(duì)值較小的負(fù)數(shù)，另一部分是接近于0的數(shù)，表明風(fēng)電/光伏出力具有較弱的負(fù)相關(guān)性。此外，計(jì)算了原始樣本的秩相關(guān)系數(shù)，風(fēng)電/風(fēng)電出力的τ和ρ分別為0.864 5和0.976 1，風(fēng)電/光伏出力的τ和ρ分別為-0.268 9和-0.377 6，綜合考慮決定采用Frank Copula函數(shù)描述分布式電源出力的相關(guān)性，并建立聯(lián)合分布函數(shù)。

表1 2種情況的秩相關(guān)系數(shù)Tab.1 Rank correlation coefficients in two cases

經(jīng)過Rosenblatt逆變換將相關(guān)的分布式電源出力進(jìn)行獨(dú)立化變換，生成不相關(guān)樣本。經(jīng)過計(jì)算，變換后風(fēng)電/風(fēng)電出力的秩相關(guān)系數(shù)τ和ρ分別為0.010 1和0.014 5，風(fēng)電/光伏的秩相關(guān)系數(shù)τ和ρ分別為0.025 3和0.038 5，結(jié)果表明，變換后分布式電源出力的相關(guān)性大大降低，可以視為相互獨(dú)立。

仿真設(shè)置了蒙特卡洛模擬MCS（Monte Carlo simulation）法、RITCM兩種方法計(jì)算PLF。為體現(xiàn)相關(guān)性，MCS法使用獨(dú)立化變換前具有相關(guān)性的風(fēng)電/風(fēng)電、風(fēng)電/光伏出力數(shù)據(jù)，且只對(duì)其中一種出力數(shù)據(jù)進(jìn)行隨機(jī)采樣，另一種出力為同時(shí)刻的數(shù)據(jù)。綜合考慮仿真精度和計(jì)算時(shí)間，MCS法設(shè)置10 000次隨機(jī)抽樣，進(jìn)行確定性潮流計(jì)算，得到節(jié)點(diǎn)電壓、支路潮流的概率分布，并以此為標(biāo)準(zhǔn)評(píng)價(jià)RITCM的準(zhǔn)確性和有效性。Rosenblatt逆變換后的獨(dú)立樣本采用半不變量法計(jì)算節(jié)點(diǎn)電壓、支路潮流的概率分布。

在風(fēng)電/光伏相關(guān)性情況下，圖3為使用MCS和RITCM兩種方法計(jì)算得到的節(jié)點(diǎn)34和節(jié)點(diǎn)8的電壓幅值概率分布，圖4為使用MCS和RITCM兩種方法計(jì)算得到的支路24-27的有功功率和無功功率概率分布。從圖3和圖4中可以看出，2種方法得到的節(jié)點(diǎn)電壓幅值、支路潮流的概率分布基本重合，相差較小。

圖3 2種方法計(jì)算節(jié)點(diǎn)8和34的電壓幅值概率分布Fig.3 Probability distributions of voltage amplitude at Nodes 8 and 34 calculated using two methods

圖3只反映了風(fēng)電/光伏相關(guān)性情況下某些節(jié)點(diǎn)電壓幅值的概率分布，圖4只反映了上述情況下某條支路潮流的概率分布，整個(gè)仿真模型有34個(gè)節(jié)點(diǎn)和33條節(jié)點(diǎn)間的支路，要想通過繪圖得到每個(gè)節(jié)點(diǎn)的電壓幅值概率分布和每條支路的潮流概率分布，進(jìn)而全面評(píng)價(jià)RITCM的準(zhǔn)確性，顯然不現(xiàn)實(shí)。因此本文采用相對(duì)誤差和希爾不等系數(shù)TIC（Theil inequality coefficient）作為定量指標(biāo)，將誤差量化。相對(duì)誤差包含節(jié)點(diǎn)電壓幅值、支路潮流的期望值、標(biāo)準(zhǔn)差的相對(duì)誤差，主要用來度量所提方法輸出變量在統(tǒng)計(jì)方面的準(zhǔn)確性；TIC可以定量評(píng)價(jià)計(jì)算方法的預(yù)測精度，TIC的值介于0～1之間，值越小表明預(yù)測值越接近于真實(shí)值，即預(yù)測精度越高。計(jì)算公式分別為

圖4 2種方法計(jì)算支路24-27的功率概率分布Fig.4 Power probability distribution of branch 24-27 calculated using two methods

以風(fēng)電/光伏相關(guān)性為例分析PLF的計(jì)算結(jié)果。表2為除節(jié)點(diǎn)1外的其余節(jié)點(diǎn)電壓幅值的期望值、標(biāo)準(zhǔn)差的相對(duì)誤差和TIC，表3和表4分別為各支路有功功率、各支路無功功率的期望值、標(biāo)準(zhǔn)差的相對(duì)誤差和TIC，各指標(biāo)的平均值也可以從相應(yīng)表中得到。分析相對(duì)誤差數(shù)據(jù)可以發(fā)現(xiàn)，RITCM計(jì)算得到的輸出變量的期望與MCS得到的結(jié)果非常接近，相對(duì)誤差?。幌鄬?duì)而言，RITCM在處理輸出變量標(biāo)準(zhǔn)差方面的準(zhǔn)確性有待提高。分析TIC數(shù)據(jù)可以發(fā)現(xiàn)，RITCM具有較高的預(yù)測精度。

表2 節(jié)點(diǎn)電壓幅值的相對(duì)誤差和TICTab.2 Relative error and TIC of node voltage amplitudes

表3 支路有功功率的相對(duì)誤差和TICTab.3 Relative error and TIC of branch active power

深入分析表2～表4中的數(shù)據(jù)可以發(fā)現(xiàn)，越接近分布式電源的接入點(diǎn)，RITCM得到的輸出變量的統(tǒng)計(jì)特征與MCS的結(jié)果差距越大，這也可以成為該方法今后改進(jìn)、優(yōu)化的一個(gè)方向。

表4 支路無功功率的相對(duì)誤差和TICTab.4 Relative error and TIC of branch reactive power

重復(fù)上述仿真，得到考慮風(fēng)電/風(fēng)電出力相關(guān)性的PLF計(jì)算結(jié)果，如表5所示，表中只給出了幾個(gè)指標(biāo)的平均值。

由表5數(shù)據(jù)可知：RITCM輸出變量的期望具有很高的準(zhǔn)確性，也具有較高的預(yù)測精度，但輸出變量標(biāo)準(zhǔn)差的準(zhǔn)確性有待提高，與考慮風(fēng)電/光伏出力相關(guān)性的分析相一致。

表5 考慮風(fēng)電/風(fēng)電出力相關(guān)性的PLF仿真結(jié)果Tab.5 Simulation results of PLF considering the correlation between wind turbine outputs

以考慮風(fēng)電/光伏出力相關(guān)性的PLF仿真比較2種方法計(jì)算時(shí)間，MCS用時(shí)75.605 s，采用RITCM方法用時(shí)2.631 s，計(jì)算時(shí)間大大減小。

4 結(jié)論

本文考慮了接入同一配電網(wǎng)的風(fēng)電/風(fēng)電、風(fēng)電/光伏出力的相關(guān)性，提出一種基于Rosenblatt逆變換和半不變量法的概率潮流計(jì)算方法RITCM，仿真對(duì)比分析結(jié)果表明以下結(jié)論。

（1）RITCM的適用范圍廣泛，能夠適用于具有正相關(guān)性的分布式電源出力，也適用于具有負(fù)相關(guān)性的分布式電源出力，且都具有較高的準(zhǔn)確性。

（2）采用RITCM方法計(jì)算考慮分布式電源出力相關(guān)性的配電網(wǎng)概率潮流，能夠準(zhǔn)確反映節(jié)點(diǎn)電壓幅值、支路潮流的概率特征，具有較高的準(zhǔn)確性和預(yù)測精度，但該方法在計(jì)算輸出變量標(biāo)準(zhǔn)差時(shí)的準(zhǔn)確性有待提高。

（3）RITCM避免了大量重復(fù)性的確定性潮流計(jì)算，相比于傳統(tǒng)的MCS方法，RITCM的計(jì)算步驟少，計(jì)算速度大幅提高。