楊小青　丁康　何國林

摘要： 齒輪故障時(shí)振動信號中同時(shí)存在調(diào)幅調(diào)頻信號?；邶X輪故障振動嚙合調(diào)制信號數(shù)學(xué)模型，利用平方幅值解調(diào)和基于調(diào)頻信號與第一類貝塞爾函數(shù)之間關(guān)系的頻率解調(diào)方法，分別建立關(guān)于調(diào)幅和調(diào)頻參數(shù)的非線性方程組;再應(yīng)用最小二乘優(yōu)化算法求解參數(shù)，提出一種調(diào)幅調(diào)頻信號準(zhǔn)確分離的新方法。并將離散頻譜校正技術(shù)用于提高該分離方法的準(zhǔn)確性。仿真結(jié)果表明：該方法精度高，抗干擾能力強(qiáng);分離出的調(diào)頻信號比希爾伯特變換和基于能量算子解調(diào)求解的調(diào)頻信號精度高。實(shí)驗(yàn)分析表明，不同故障分離的調(diào)幅調(diào)頻信號存在明顯的特征和差異，從而為齒輪箱故障提供了一種新的診斷方法。

關(guān)鍵詞： 故障診斷; 平方幅值解調(diào); 頻率解調(diào); 離散頻譜校正; 調(diào)制分離

中圖分類號： TH132.41 ? ?文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A ? ?文章編號： 1004-4523（2021）02-0379-10

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2021.02.019

引 ?言

齒輪箱作為重要的動力傳動部件廣泛應(yīng)用于旋轉(zhuǎn)機(jī)械，但長期惡劣的工作環(huán)境使其易發(fā)生故障，從而導(dǎo)致巨大的經(jīng)濟(jì)損失甚至人員傷亡。齒輪存在膠合、點(diǎn)蝕、斷齒、均勻磨損等平穩(wěn)型或沖擊型故障時(shí)系統(tǒng)出現(xiàn)周期性轉(zhuǎn)速波動，該轉(zhuǎn)速波動會導(dǎo)致嚙合剛度激勵(lì)具有調(diào)頻成分，且故障的等效激勵(lì)會使振動信號中產(chǎn)生調(diào)幅成分，所以齒輪故障時(shí)的振動信號中同時(shí)包括調(diào)幅調(diào)頻信號[1?2]，帶有故障信息的調(diào)制信號可以作為齒輪箱故障診斷的重要依據(jù)。

近年來，關(guān)于齒輪箱故障特征提取的方法已有很多，并取得了較好的成果。鄭近德等[3]利用廣義變分模態(tài)分解進(jìn)行變工況下齒輪故障特征識別。小波分析[4]通過選擇與故障特征信號相似的小波基函數(shù)分離出能夠用于齒輪故障診斷的特征成分。文獻(xiàn)[5?6]基于稀疏分解理論，分離出平穩(wěn)型故障信號和沖擊型故障信號。對于具有平穩(wěn)型故障[2]的齒輪，其振動信號中嚙合頻率及其倍頻周圍會產(chǎn)生調(diào)幅和調(diào)頻信號;而沖擊型故障在嚙合頻率及其倍頻附近存在較大的調(diào)頻信號。所以，可根據(jù)從嚙合頻率或其倍頻周圍分離的調(diào)幅和調(diào)頻信號診斷齒輪故障類型。以上信號處理方法均只能將故障特征信號分離，但這些信號可能同時(shí)包含調(diào)幅和調(diào)頻成分。所以為了更好地診斷故障位置和程度，有必要研究調(diào)幅和調(diào)頻信號的準(zhǔn)確分離方法。

解調(diào)方法可用于獲取齒輪故障特征頻率，進(jìn)而診斷齒輪故障位置。希爾伯特解調(diào)和能量算子解調(diào)能求解信號調(diào)制包絡(luò)和瞬時(shí)頻率（調(diào)頻成分），因此被廣泛應(yīng)用于齒輪箱故障診斷。文獻(xiàn)[7?8]利用能量算子解調(diào)法分別求解齒輪和軸承振動信號的幅值解調(diào)譜;同時(shí)利用能量算子解調(diào)求角域信號中的調(diào)制信息實(shí)現(xiàn)故障診斷。Qin[9]通過結(jié)合能量分解和自適應(yīng)濾波實(shí)現(xiàn)多成分的調(diào)幅調(diào)頻分解。Feng等[10]基于本征時(shí)間尺度分解挑選出對故障特征最敏感的單分量，再估計(jì)該分量的瞬時(shí)幅值和瞬時(shí)頻率進(jìn)行解調(diào)從而實(shí)現(xiàn)故障診斷。馮志鵬等[11]將經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解與希爾伯特變換求瞬時(shí)頻率相結(jié)合，實(shí)現(xiàn)頻率解調(diào)而得到故障信號的瞬時(shí)頻率。另外，結(jié)合小波分析和希爾伯特變換解調(diào)獲得齒輪故障特征頻率，從而實(shí)現(xiàn)齒輪故障診斷[12?13]。

現(xiàn)有的解調(diào)幅和解調(diào)頻方法都存在一些不足。希爾伯特包絡(luò)解調(diào)時(shí)會有端點(diǎn)效應(yīng)，且缺乏準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)公式推導(dǎo);同時(shí)希爾伯特變換和能量算子解調(diào)求瞬時(shí)頻率的精度受噪聲影響很大，抗噪性能不好。

綜上所述，為了區(qū)分齒輪故障振動調(diào)制信號中具有相同特征頻率的調(diào)幅和調(diào)頻成分，需要將兩者分離，但大多數(shù)解調(diào)方法不能準(zhǔn)確地將兩種調(diào)制信號分離。因此本文將平方幅值解調(diào)、基于第一類貝塞爾函數(shù)和調(diào)頻信號之間關(guān)系的頻率解調(diào)有效結(jié)合，研究了一種具有兩組調(diào)制頻率的調(diào)幅和調(diào)頻成分準(zhǔn)確分離方法，以及兩種不同齒輪故障時(shí)調(diào)幅和調(diào)頻成分的分布情況。

2 仿真分析

2.1 無噪聲仿真信號

齒輪箱主動輪和從動輪齒數(shù)分別為20和33，輸入軸給定的較準(zhǔn)確初始轉(zhuǎn)速為1200 r/min，則齒輪嚙合頻率為400 Hz。由于存在轉(zhuǎn)速誤差，給出如下仿真信號。

式中 ?輸入軸和輸出軸實(shí)際轉(zhuǎn)頻fn1和fn2分別為20.03和12.14 Hz，實(shí)際嚙合頻率fm=400.6 Hz。

采樣頻率和采樣點(diǎn)數(shù)分別為4096 Hz和4096。仿真信號幅值譜如圖2所示。采用中心頻率為400 Hz，上、下截止頻率分別為520和280 Hz的帶通濾波器處理該信號，得到嚙合頻率附近的調(diào)制成分x1（t）。按1.1節(jié)中方法校正后的嚙合頻率fmc=400.6 Hz，輸入軸轉(zhuǎn)頻fn1c和輸出軸轉(zhuǎn)頻fn2c分別為20.03和12.14 Hz。采用希爾伯特變換解調(diào)求解x1（t）的時(shí)域幅值包絡(luò)Ha（t）用于構(gòu)建約束方程。濾波后信號x1（t）的平方解調(diào)譜低頻附近如圖3所示，由1.2節(jié)中的（b）可確定fn1和fn2在調(diào)幅函數(shù)中的最高階次分別為2和1，可得如下式的數(shù)學(xué)模型

應(yīng)用最小二乘優(yōu)化算法求解方程組時(shí)算法的收斂性如圖4所示，迭代5次后所求參數(shù)基本已收斂至最終求解結(jié)果，求解調(diào)頻參數(shù)時(shí)給定多余的調(diào)制階數(shù)越多，收斂速度越慢。所以最小二乘優(yōu)化算法求解參數(shù)時(shí)具有較好的收斂性和收斂速度。求解的調(diào)幅參數(shù)如表3所示，該方法求解的調(diào)幅參數(shù)與給定值相比誤差很小，說明該方法能有效分離調(diào)幅信號。

分離出調(diào)幅信號后，剩余信號的幅值譜如圖5所示。由圖5可知，當(dāng)僅考慮幅值大于最大幅值10%的頻率成分時(shí)，fn1和fn2的調(diào)頻階次分別為2階和1階，將fmc，fn1c和fn2c代入式（12）得到下式的剩余信號模型

（R_sc （t）=cos[2πf_mc t+?_m+B_1 cos（2πf_n1c t+θ_1）+@B_2 cos（4πf_n1c t+θ_2）+B_3 cos（2πf_n2c t+θ_3）]） ? （21）

再由式（14）可求得相應(yīng)頻率成分的理論幅值，并根據(jù)理論幅值與頻譜中校正后的幅值對應(yīng)相等得到關(guān)于調(diào)頻成分中幅值和相位的非線性方程組。增加剩余信號與數(shù)學(xué)模型相等的約束方程，最優(yōu)化算法求解的頻率調(diào)制成分的參數(shù)如表4所示，其誤差很小。雖然fn1在求解過程中給定了兩階，但第二階成分的幅值0.001相對最大幅值1可以忽略不計(jì)，其相位誤差雖為141.1°，但沒有意義。所以該方法能有效分離調(diào)頻信號，且多余的調(diào)制階次不影響最后的求解結(jié)果。

沒有進(jìn)行頻率及幅值校正時(shí)，保持與校正后優(yōu)化求解過程同樣的截止條件，求解得到的調(diào)制成分參數(shù)也列于表3和4中。由表3?4可知，未進(jìn)行校正時(shí)調(diào)制參數(shù)求解結(jié)果的誤差比校正后誤差大，尤其是相位誤差，其中調(diào)幅函數(shù)和調(diào)頻函數(shù)的最大相位誤差分別達(dá)3.833°和36°（不考慮調(diào)頻函數(shù)多余階次項(xiàng)）。說明在同樣的優(yōu)化截止條件下，進(jìn)行頻譜校正有利于提高調(diào)制參數(shù)求解的精度。

2.2 含噪聲仿真信號

在上節(jié)仿真信號中加入信噪比為2 dB的高斯白噪聲，此時(shí)調(diào)幅成分和調(diào)頻成分的信噪比分別為0.957和-13.154 dB。分別采用所提分離方法、希爾伯特解調(diào)方法（方法2）[1，11]和基于能量算子的解調(diào)方法（方法3）[7?8]處理該信號，求解的調(diào)幅和調(diào)頻成分的幅值和相位參數(shù)分別如表5和6所示。所提分離方法求解的調(diào)幅和調(diào)頻信號的幅值和相位最大誤差分別為9.65%，4.2°，5.233%和1.846°（fn1的第二階成分忽略），說明該方法具有較好的抗噪性，能滿足實(shí)際齒輪箱故障振動調(diào)制信號分離的要求。方法2求解的調(diào)幅和調(diào)頻信號的幅值和相位最大誤差分別為19%，28.42°，560.17%和103.7°;方法3求解的調(diào)幅和調(diào)頻信號的幅值和相位最大誤差分別為20.2%，26.156°，491.4%和272.4°。顯然方法2和方法3求解的調(diào)制信號參數(shù)均有較大誤差，尤其是調(diào)頻參數(shù)的誤差太大，較大噪聲情況下方法3和方法2已經(jīng)失效，這是因?yàn)橄柌睾突谀芰克阕釉诮庹{(diào)頻過程中有相位求導(dǎo)，差分過程使信號信噪比變小，從而求解結(jié)果誤差增大。從對比結(jié)果可知，所提調(diào)幅調(diào)頻信號分離方法的抗噪性比方法2和方法3好。

3 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證與故障分析

QPZZ?II旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)臺用于測試故障單級定軸齒輪箱振動信號，系統(tǒng)測試框圖如圖6所示。齒輪箱輸入軸和輸出軸通過柔性聯(lián)軸器分別與電機(jī)和磁粉制動器相連，安裝后輸入軸和輸出軸存在輕微不對中，主動輪齒數(shù)為55，被動輪齒數(shù)為75，電機(jī)較準(zhǔn)確的初始轉(zhuǎn)速顯示值為900 r/min，負(fù)載為20 N·m，所以輸入軸轉(zhuǎn)速fn1和輸出軸轉(zhuǎn)速fn2分別為15和11 Hz，嚙合頻率為825 Hz。分輕微不對中和輕微不對中+斷齒兩種工況測試分析，其中輸出齒輪的斷齒故障如圖7所示。美國PCB公司的加速度傳感器安裝在輸入軸軸承座上，其靈敏度為0.01 V/（m·s-2）。測試分析中采樣頻率為8192 Hz，采樣點(diǎn)數(shù)和DFT點(diǎn)數(shù)均為32768，帶通濾波器的中心頻率為825 Hz，上、下截止頻率分別為915和735 Hz。

3.1 輕微不對中+斷齒故障（故障1）

采集的振動加速度時(shí)域波形和幅值譜分別如圖8和9所示。帶通濾波并校正后得到的嚙合頻率fmc為825.689 Hz，計(jì)算得到輸入軸轉(zhuǎn)頻fn1c和輸出軸轉(zhuǎn)頻fn2c分別為15.012和11.01 Hz。平方后信號幅值譜如圖10所示，由圖10可確定調(diào)幅信號中fn1和fn2調(diào)制階次均為1階。列出關(guān)于調(diào)幅參數(shù)的非線性方程組，由求解的參數(shù)可得到下式所示的包括直流分量的調(diào)幅函數(shù)

（a ?_mc （t）=0.1848[1+0.0735cos（2πf_n1c t+0.1462）+@0.2426cos（2πf_n2c t+2.3785）]） （22）

由于調(diào)幅信號幅值小于1 m/s2，所以利用濾波后的信號除以調(diào)幅信號后，剩余信號幅值譜如圖11所示，其幅值大于原信號幅值。由圖可確定fn1和fn2的調(diào)制階次均為1。應(yīng)用校正后的幅值構(gòu)造非線性方程組，求解參數(shù)值可得到下式的調(diào)頻信號

（b（t）=0.0935cos（2πf_n1c t+0.0928）+@0.5273cos（2πf_n2c t+3.5271）） （23）

根據(jù)分離的調(diào)幅和調(diào)頻信號，重構(gòu)出嚙合頻率附近的調(diào)制邊帶幅值如表7所示。分離的調(diào)幅和調(diào)頻信號中都存在輸入軸和輸出軸的一階調(diào)制成分，且輸出軸轉(zhuǎn)頻分量的幅值均大于輸入軸轉(zhuǎn)頻分量，所以無論是依據(jù)分離的調(diào)幅成分還是調(diào)頻成分都能判斷出輸入軸和輸出軸上均存在故障，且輸出軸的故障比輸入軸故障嚴(yán)重。調(diào)頻信號各分量幅值比調(diào)幅信號相同成分的幅值大，這是因?yàn)辇X輪斷齒時(shí)的轉(zhuǎn)速波動產(chǎn)生調(diào)頻且主要集中在嚙合頻率附近，而調(diào)幅主要體現(xiàn)在固有頻率附近。表7中較大測試幅值與其重構(gòu)幅值間的誤差較小，而較小測試幅值與重構(gòu)幅值的最大誤差達(dá)到59.42%。這是由于輸出齒輪斷齒故障時(shí)嚙合激勵(lì)頻譜為分布在全頻帶間隔為故障齒輪轉(zhuǎn)頻的諧波成分，其中部分成分與嚙合頻率及其倍頻兩側(cè)的調(diào)制邊帶重合，所以其產(chǎn)生的振動響應(yīng)頻譜與嚙合諧波兩側(cè)的調(diào)制邊帶重合，但該響應(yīng)成分不符合式（1）的嚙合調(diào)制信號模型，從而使分離的由輸入軸和輸出軸不對中產(chǎn)生的嚙合調(diào)幅調(diào)頻邊帶誤差較大。斷齒故障產(chǎn)生的振動響應(yīng)中越靠近固有頻率的成分幅值越大，所以嚙合頻率諧波越靠近固有頻率，分離的調(diào)幅調(diào)頻信號誤差越大[18]。

3.2 輕微不對中故障（故障2）

采用該方法處理齒輪在故障2情況下的振動信號，從嚙合頻率附近分離的包括直流分量的調(diào)幅信號和調(diào)頻信號分別如下：

a ?_mc （t）=0.2868[1+0.0266cos（2πf_n1c t+0.6546）+0.1712cos（4πf_n1c t+2.482）+0.1629cos（2πf_n2c t+0.44）+0.1305cos（4πf_n2c t+0.6937）] （24）

（b（t）=0.2726cos（2πf_n1c t+4.367）+@0.0145cos（4πf_n1c t+2.73）+@0.1923cos（6πf_n1c t+4.056）+@0.2377cos（2πf_n2c t+4.408）+@0.1923cos（4πf_n2c t+3.47）+@0.1974cos（6πf_n2c t+1.763）） （25）

兩者均存在輸入軸和輸出軸的轉(zhuǎn)頻調(diào)制，且最大幅值相差不大。重構(gòu)調(diào)制信號中部分頻率對應(yīng)的幅值與原信號幅值列于表8，最大幅值誤差為15.625%。

故障1和故障2產(chǎn)生的調(diào)幅和調(diào)頻成分幅值譜如圖12所示。分析可得以下結(jié)論：（1） 故障1產(chǎn)生的調(diào)幅和調(diào)頻階次均比故障2時(shí)少;（2） 兩種故障產(chǎn)生的調(diào)幅信號中第一階成分幅值接近;（3） 雖然故障2產(chǎn)生的調(diào)頻信號階次比故障1多，但故障1產(chǎn)生的調(diào)頻信號中輸出軸轉(zhuǎn)頻的第一階幅值較其他幅值大很多，說明斷齒故障產(chǎn)生了較大的一階轉(zhuǎn)速波動。兩類故障分離的調(diào)幅調(diào)頻信號有明顯的特征和差異，可為齒輪箱故障提供一種新的診斷方法。

4 結(jié) ?論

（1） 將平方幅值解調(diào)、第一類貝塞爾函數(shù)和調(diào)頻函數(shù)間的關(guān)系、離散頻譜校正技術(shù)和最小二乘優(yōu)化算法有效結(jié)合，提出了一種能有效分離齒輪故障振動嚙合調(diào)制信號中調(diào)幅成分和調(diào)頻成分的方法。該方法具有以下特點(diǎn)：

（a） 精度高。在無噪聲情況下，仿真研究表明該方法求解的調(diào)制參數(shù)基本與給定值相等，誤差很小;

（b） 抗噪性能好。分離出的調(diào)頻信號比希爾伯特變換和基于能量算子的解調(diào)方法求解精度高得多。在信噪比為-2 dB時(shí)，調(diào)幅和調(diào)頻信號中幅值和相位的最大誤差分別為9.65%，4.2°，5.233%和1.846°。希爾伯特變換求解的調(diào)幅和調(diào)頻函數(shù)中幅值和相位的最大誤差分別為19%，28.42°，560.17%和103.7°?；谀芰克阕拥慕庹{(diào)方法求解的調(diào)幅和調(diào)頻信號的幅值和相位最大誤差分別為20.2%，26.156°，491.4%和272.4°。

（2） 為齒輪箱故障提供了一種新的診斷方法。實(shí)驗(yàn)分析表明從不同故障中分離的調(diào)幅調(diào)頻信號存在明顯的特征和差異。

（3） 齒輪具有平穩(wěn)型故障時(shí)該方法能將嚙合頻率及其倍頻附近的調(diào)幅調(diào)頻信號有效分離。齒輪沖擊型故障時(shí)全頻帶激勵(lì)產(chǎn)生的部分振動響應(yīng)與嚙合頻率諧波及其邊帶重合，影響調(diào)制成分的求解精度，從而使分離的調(diào)幅調(diào)頻信號誤差較大，這可以作為齒輪具有沖擊型故障的診斷依據(jù)。所以該方法能有效分離齒輪具有平穩(wěn)型故障時(shí)非共振區(qū)嚙合頻率諧波兩側(cè)的調(diào)幅調(diào)頻成分。

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A separation method of faulty gear vibration AM-FM signal

YANG Xiao-qing， DING Kang， HE Guo-lin

（School of Mechanical and Automotive Engineering， South China University of Technology， Guangzhou 510640， China）

Abstract： The vibration signal of faulty gears simultaneously includes amplitude modulation （AM） and frequency modulation （FM） components. Based on the mathematic modulation model of fault gears， square amplitude demodulation and the frequency demodulation according to the relation of FM with the Bessel function of the first kind are respectively used to establish system of nonlinear equations about AM and FM parameters. Least-square optimization algorithm is then applied to solve these parameters. An accurate separation method of AM and FM is proposed， where discrete spectrum correction technique is employed to improve the correctness. Simulation results show that this method possesses high accuracy and strong immunity from interference， and is superior to Hilbert demodulation and the demodulation based on the energy operator in accuracy. Experimental analyses demonstrate modulation signals separated from different gear faults have obvious features and differences， which provides a diagnosis method for fault gearbox.

Key words： fault diagnosis;squared amplitude demodulation;frequency demodulation;discrete spectrum correction;modulation separation

作者簡介： 楊小青（1992-），女，博士研究生。電話：（020）87113220;E-mail：yangxiaoqingabc@foxmail.com

通訊作者： 何國林（1986-），男，博士，講師。電話：（020）87113220;E-mail：hegl@scut.edu.cn