石慧榮, 向 楠, 李宗剛
(蘭州交通大學(xué) 機電工程學(xué)院,蘭州 730070)
薄壁球殼是航空、船舶、車輛和建筑等工業(yè)領(lǐng)域的一種重要結(jié)構(gòu),由于其在受到環(huán)境激勵后易發(fā)生振動和噪聲問題,直接影響工業(yè)裝備的穩(wěn)定性和工作可靠性,因此對球殼的有效減振成為工業(yè)生產(chǎn)中一個亟待解決的問題。應(yīng)用于板梁和柱殼結(jié)構(gòu)的約束阻尼減振也是球殼的一種主要減振方法,但是由于球殼結(jié)構(gòu)的變形更加復(fù)雜,所以球殼的局部約束阻尼減振仍有待深入研究。
針對球殼應(yīng)用中減振問題,許多學(xué)者進(jìn)行了深入探索。Aleksandr K等[1]利用能量法和有限元法建立了鋸齒形阻尼夾層旋轉(zhuǎn)殼體的自由振動模型,分析了圓柱、錐形和球形夾層殼的振動特性,并證明了該方法的準(zhǔn)確性。Panda S K等[2]基于有限元法和高階剪切變形理論,建立了Green-Lagrange意義上的層合扁球殼的幾何非線性模型,采用直接迭代法對系統(tǒng)進(jìn)行了求解,分析了不同參數(shù)對等溫載荷作用下球殼系統(tǒng)自由振動特性的影響。Ye T G等[3]提出一種求解層合旋轉(zhuǎn)殼體的通用Chebyshev-Ritz公式,通過與試驗的比較,驗證了該公式的收斂性和準(zhǔn)確性,并對不同曲率和任意約束條件下的圓柱、圓錐和球面殼體振動問題進(jìn)行了研究。Gong Q T等[4]基于Ritz法和一階剪切變形理論建立了功能梯度球殼模型的動力學(xué)模型,采用Jacobi多項式和Fourier級數(shù)表示位移函數(shù),分析了各種復(fù)雜邊界下截球殼的振動特性。Biswal D K[5]基于一階剪切變形理論,利用哈密頓原理和有限元方法建立了5層夾層球殼的動力學(xué)模型,研究了約束層厚度、芯層厚度、粘彈性材料損耗因子和長徑比對結(jié)構(gòu)固有頻率和系統(tǒng)損耗因子的影響。
但是目前主要針對球殼被動減振問題進(jìn)行的研究,為了增加減振的有效性,利用壓電材料的球殼主動振動控制也被廣泛關(guān)注。Mao Y Q等[6]基于Talreja張量損傷模型和幾何非線性理論推演了具有損傷厚扁球殼的本構(gòu)關(guān)系,建立了考慮損傷效應(yīng)的壓電層合薄球殼的動力學(xué)模型,并綜合運用正交點位配置法和Newmark法對整個問題進(jìn)行了求解,分析了損傷、壓電效應(yīng)和結(jié)構(gòu)幾何參數(shù)對扁球殼動態(tài)響應(yīng)和振動控制的影響。Wang J J等[7]提出了一種簡化的環(huán)氧樹脂包覆徑向極化壓電陶瓷球殼理論模型,研究了諧波激勵作用下單側(cè)半球形壓電陶瓷的動態(tài)特性。楊穎等[8]利用最優(yōu)有界參數(shù)控制策略對介電彈性體球殼在沖擊載荷作用下的振動進(jìn)行了控制,研究表明該方法具有較好的控制效果及較高的魯棒性。
雖然球殼的動力學(xué)特性已有很多學(xué)者進(jìn)行了研究,一些減振控制方法也被應(yīng)用于球殼的振動控制中,但是由于球殼結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性,一些理論成果主要針對被動、全敷設(shè)球殼,對于局部敷設(shè)主動約束阻尼的球殼振動特性的研究還不夠深入。因此本文針對開球殼采用局部主動約束阻尼結(jié)構(gòu),研究建立和求解該結(jié)構(gòu)動力學(xué)模型的有效方法,分析局部主動約束阻尼結(jié)構(gòu)參數(shù)變化對球殼振動特性的影響,研究壓電層激勵電壓對球殼振動影響的一般規(guī)律。
局部主動約束阻尼開球殼結(jié)構(gòu)如圖1所示。主要由壓電約束層、粘彈性層和基殼組成,約束層阻尼結(jié)構(gòu)沿坐標(biāo)系φ和θ方向敷設(shè)于基殼中部,粘彈性層等間距均勻設(shè)置于約束層和基殼之間。距球頂H0處截取半徑為Rb、高度為Hb的球殼為研究對象,αb、αv和αp分別為基殼、粘彈性層和壓電層沿θ向角度,Hv和hp分別為粘彈性層和壓電層豎向的敷設(shè)高度,與坐標(biāo)φ對應(yīng),hb、hv和hp為基層、粘彈性層和壓電層厚度,下標(biāo)b、v和p分別表示基層、粘彈性層和壓電層。
(a)開球殼 (b) 主剖視圖 (c)左視圖
根據(jù)一階剪切變形理論,球殼位移場可表示為
(1)
其中u是球殼經(jīng)線方向上位移,對應(yīng)角變量φ;角變量θ對應(yīng)球殼緯線方向上的位移為v,徑向z軸對應(yīng)的位移為w,z0表示距離坐標(biāo)原點o的距離,u0、v0和w0為中面上點對應(yīng)的位移矢量。λ和γ是繞緯線方向和經(jīng)線方向的轉(zhuǎn)角,i=b、v、p,各層繞經(jīng)線的相對變形關(guān)系如圖2所示。
圖2 各層的轉(zhuǎn)動變形關(guān)系
假設(shè)基殼層與壓電層變形前后垂直于中曲面的直法線仍為直線,由于球殼沿經(jīng)緯線相互對稱,所以繞經(jīng)線的變形關(guān)系與緯線一致。則基殼和壓電層的橫向剪切變形為零,因此有
(2)
(3)
若各層之間無相對滑動,位移連續(xù)性,順時針方向為正。根據(jù)圖2及式(2)和式(3),可以將粘彈性層的中面位移及橫向轉(zhuǎn)角表示為
(4)
利用Donnell殼體理論,可以將主動約束阻尼球殼各層的應(yīng)變-位移關(guān)系表示為
(5)
(6)
根據(jù)應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系,將總應(yīng)力σi表示如下:
(7)
(8)
其中剛度矩陣中各參數(shù)具體形式如下:
(9)
(10)
(11)
(12)
(13)
假設(shè)以壓電層球殼內(nèi)表面為零電勢平面,根據(jù)文獻(xiàn)[10]可令φ0(t)=V0=vcejωt,其中vc是壓電層激勵電壓幅值,角頻率ω=2πf,f是壓電層激勵電壓頻率。
由薄殼理論知,簡化后的薄膜應(yīng)力Nφφ、Nθθ、Nφθ和彎曲應(yīng)力Mφφ、Mθθ、Mφθ及剪切應(yīng)力Qφz、Qθz可以表示為
(14a)
(14b)
(14c)
其中Aij、Bij、Dij為應(yīng)力變換系數(shù),具體表達(dá)式如下:
(15)
本文對基殼的經(jīng)線方向兩端采用固支邊界條件,緯線方向兩端采用自由邊界條件,因此有
(16a)
Nφ=Mφ=Qφ=0, 當(dāng)φ=φ0和φ=φ1
(16b)
壓電約束層和阻尼層無約束:
(17)
其中i=p,v。
根據(jù)伽遼金法,可將位移表示為
(18a)
(18b)
q=[qub(t)qvb(t)qup(t)qvp(t)qw(t)qp(t)q0(t)]T
(18c)
位移形函數(shù)φ分別由雅可比多項式和傅里葉級數(shù)組合而成,分別表征緯線和經(jīng)線方向形變,其形式和參數(shù)確定方法與文獻(xiàn)[8,11]一致。
由于球殼扭轉(zhuǎn)變形較小,因此忽略球殼繞經(jīng)、緯線的轉(zhuǎn)動變形對系統(tǒng)動能的影響,可以將局部主動約束層阻尼球殼結(jié)構(gòu)的動能T表示為
(19)
將式(18)代入式(5)和式(7),并根據(jù)應(yīng)力應(yīng)變與應(yīng)變能關(guān)系,系統(tǒng)的總勢能U表示為
(20)
其中ρ表示密度,Nv=nhnj是粘彈性彈片的總數(shù),nh和nj分別為緯度和經(jīng)度方向分段數(shù),H*(θi,φi)為第i個粘彈性阻尼貼片的位置識別函數(shù):
H*(θi,φi)=[H(θ-θi2)-H(θ-θi1)]·
[H(φ-φi2)-H(φ-φi1)]
(21)
式中H為單位階梯函數(shù),θi2和θi1分別為第i個粘彈性貼片沿θ軸的上、下限,φi2和φi1分別為第i個粘彈性貼片沿φ軸的上、下限。
考慮系統(tǒng)粘彈性層阻尼影響,同時將式(19)和式(20)代入Lagrange方程,可以得到系統(tǒng)的動力學(xué)方程為
(22)
(23)
其中矩陣中各參數(shù)可以根據(jù)邊界條件(14)~(17)確定,各變換矩陣可表示為
(24)
求解方程(22)可得系統(tǒng)第n階復(fù)模態(tài)頻率ωn,則模態(tài)阻尼比ξn可表示為
ξn=Re(ωn)/2Im(ωn)
(25)
其中Re(·)和Im(·)分別為實部和虛部計算函數(shù)。
利用本文提出的壓電球殼動力學(xué)方法對文獻(xiàn)[12]中厚徑比為0.005,球殼厚度為0.005 m的45°、60°和90°固定約束冒型開球殼進(jìn)行模態(tài)分析,得到經(jīng)度方向波數(shù)為1的前六階模態(tài)頻率由表1給出。由表1可以看出,除45°開球殼的第四階模態(tài)和90°開球殼的第一階模態(tài)頻率本文結(jié)果與文獻(xiàn)[12]相差超過10 Hz外,其余球殼結(jié)構(gòu)的模態(tài)頻率均相差較小,因此本文所給出的方法能夠?qū)弘娗驓さ膭恿W(xué)行為進(jìn)行準(zhǔn)確計算。
表1 模態(tài)頻率
初步設(shè)定本次分析參數(shù),在球頂向下H0=0.4R處向下截取Hb=0.5 m,西經(jīng)0° ~150°的開球殼作為研究對象,球殼基層中面半徑R=0.6 m,基層厚度hb=2 mm;本文針對開球殼敷設(shè)主動約束阻尼,約束層沿經(jīng)度和緯度方向?qū)ΨQ,敷設(shè)于球殼中部,約束層敷設(shè)角αp=100°,hp=0.4 m厚度hp=0.000 5 m,壓電層初始電壓為20 V;粘彈性材料在整個阻尼層中均勻相間布置,初始粘彈性層厚度hv=2 mm,沿經(jīng)度方向分段數(shù)mv=12,緯度方向分段數(shù)為nv=12,占空比χ=0.4,基殼在αb=0°和150°的兩端采用固定約束。后續(xù)分析中未作特別說明各參數(shù)與初始值一致,各層材料參數(shù)分別由表2和表3給出。
表2 基層和粘彈性層材料屬性
表3 壓電層材料屬性
圖3是阻尼層緯度方向分段數(shù)對結(jié)構(gòu)振動特性的影響。圖3 (a)中顯示,隨著分段數(shù)nh的增加,1到6階模態(tài)固有頻率逐漸下降,但是下降幅度較??;由圖3(b)可以看出,隨著分段數(shù)的增加,前6階模態(tài)阻尼比逐漸增大,且當(dāng)nh>9后,阻尼比增加趨勢變緩,近似保持不變。
(a) 模態(tài)頻率變化
(b) 阻尼比變化
經(jīng)度方向分段數(shù)對結(jié)構(gòu)振動特性的影響如圖4所示。在圖4(a)中可以看出,球殼的前6階模態(tài)固有頻率隨分段數(shù)nj增大而逐漸增加,但增幅較小;圖4(b)顯示,隨著nj的增加,前6階模態(tài)阻尼比逐漸增大,但當(dāng)nj>11后,阻尼比增幅變小,而且低頻模態(tài)幾乎保持不變。
由此可知,阻尼層分段數(shù)變化對系統(tǒng)固有頻率和阻尼比影響較小,這可能是由于分段數(shù)變化不會較大地影響約束層和阻尼層的耦合特性。雖然由于本文給出的截球殼在經(jīng)、緯度方向波動幅度不同,阻尼比的變化幅度略有不同,但適當(dāng)增加阻尼層分段數(shù)可以增加截球殼的阻尼比;而且分段數(shù)變化時引入約束阻尼質(zhì)量比幾乎不變。
當(dāng)粘彈性層厚度hv在1~5 mm范圍內(nèi)變化時,前6階模態(tài)固有頻率和阻尼比的變化曲線如圖5所示。由圖5(a)可見,粘彈性層厚度的增加會導(dǎo)致模態(tài)固有頻率逐漸增大,而且高頻模態(tài)沿經(jīng)度方向波數(shù)較大,增大hv會使球殼抗彎曲能力增加,因此高頻模態(tài)頻率增幅較大。在圖5(b)中,阻尼比ζ隨hv的增大而增大,而且由于高頻率模態(tài)較大的彎曲變形使得阻尼層具有更大的剪切變形,因此高頻模態(tài)阻尼比增加更顯著,但是隨著hv的增大引入質(zhì)量比∈將增大,當(dāng)hv=5 mm時,∈將達(dá)到54.25%。
(a) 模態(tài)頻率變化
(b) 阻尼比變化
圖6給出了占空比χ對約束阻尼部分球殼的振動特性影響曲線。由圖6(a)可以看出,隨占空比χ的增大第1~4階模態(tài)頻率呈現(xiàn)先增大后減小趨勢,而5、6階模態(tài)固有頻率呈現(xiàn)單調(diào)上升趨勢,由于高、低頻模態(tài)振型不同,因此阻尼結(jié)構(gòu)設(shè)置對低頻模態(tài)固有頻率影響較小。圖6(b)表明,隨著占空比χ的增加,雖然阻尼單元與基層接觸面積增加,但不同模態(tài)阻尼層剪切變形產(chǎn)生耗散能相對總應(yīng)變能變化趨勢不同,第5、6階模態(tài)在χ接近0.25附近時模態(tài)阻尼比最大,其余模態(tài)阻尼比隨χ的增大而逐漸減??;而且較大的χ會導(dǎo)致引入質(zhì)量增加,當(dāng)χ=85%時,∈為51.3%。
當(dāng)壓電層厚度hp在0.5~3 mm范圍內(nèi)變化時,前6階模態(tài)阻尼比和固有頻率的變化曲線如圖7所示。由圖7(a)可見,由于約束層密度較大,因此隨著hp的增加,系統(tǒng)的質(zhì)量增大,使得前三階模態(tài)的固有頻率逐漸減?。欢哳l模態(tài)經(jīng)度方向波動較大,約束層具有較高的彈性模量,因此hp增加會引起4~6階模態(tài)頻率增大。從圖7(b)看出,隨著hp增加,各階模態(tài)阻尼比先快速增大而后又緩慢減小,這可能是因為一定厚度的約束層可以增加阻尼層剪切變形,但厚度較大時,使系統(tǒng)質(zhì)量大幅增加,引起系統(tǒng)總應(yīng)變能大幅增加,從而使阻尼比減??;而且太大的hp會使系統(tǒng)質(zhì)量大幅增加,當(dāng)hp=3 mm時,∈=198.7%,這將會嚴(yán)重影響球殼應(yīng)用要求。
(a) 模態(tài)頻率變化
(b) 阻尼比變化
(a) 模態(tài)頻率變化
(b) 阻尼比變化
(a) 模態(tài)頻率變化
(b) 阻尼比變化
約束層經(jīng)度方向敷設(shè)角對部分球殼振動特性的影響如圖8所示。從圖8(a)看出,隨αp的增加約束阻尼層敷設(shè)面積增加,因此模態(tài)固有頻率隨之增加,但由于約束層厚度較小,對模態(tài)頻率影響有限。圖8(b)表明,隨著αp的增加,阻尼比ξ逐漸增大,但當(dāng)αp/αb超過0.8后,高頻模態(tài)的阻尼比ξ4、ξ5和ξ6的增幅減小,幾乎保持不變;而且隨著αp的增加,引入阻尼結(jié)構(gòu)的質(zhì)量也會隨之增加,但當(dāng)約束層厚度較小時,引入質(zhì)量有限,如當(dāng)αp=135 °時,引入質(zhì)量比僅為62.9%,η1因此對于αp的選擇,應(yīng)綜合考慮球殼工程應(yīng)用和減振效果,可在保證使用要求的條件下選擇較大的約束層敷設(shè)角αp。
(a) 模態(tài)頻率變化
(b) 阻尼比變化
圖9為約束層敷設(shè)高度對振動特性的影響。由圖9(a)可以看出,當(dāng)約束層高度hp增加時,引入的約束層增加,使得系統(tǒng)模態(tài)頻率增大。從圖9(b)可知,隨著hp的增加模態(tài)阻尼比也隨之逐漸增大,而且當(dāng)hp超過0.25 m后,模態(tài)3~6的阻尼增速變大。同理當(dāng)約束層敷設(shè)高度增大也會導(dǎo)致系統(tǒng)引入質(zhì)量增加,但是當(dāng)hp=0.45 m時,引入質(zhì)量比僅為46.6%,相對增加約束層厚度和敷設(shè)角,引入質(zhì)量較少。
圖10是激勵電壓對振動特性的影響曲線。由圖10(a)可見,當(dāng)壓電層施加的激勵電壓vc增加時,模態(tài)固有頻率小幅下降,而且在激勵電壓10~150 V變化時,各階模態(tài)頻率波動范圍僅為1.5 Hz,因此激勵電壓不會嚴(yán)重影響系統(tǒng)工作頻率范圍。圖10(b)表明,壓電層受到激勵電壓vc后,由于壓電材料的逆壓電效應(yīng),約束層會沿經(jīng)度和緯度方向變形,使得粘彈性層的剪切應(yīng)變能增加,而且電壓越大,壓電層形變越大,耗散應(yīng)變能越大,因此模態(tài)阻尼比隨電壓的增加而增加。由此可見,合理施加激勵電壓能夠增加模態(tài)阻尼比,能夠使主動約束阻尼球殼減振更加有效。
(a) 模態(tài)頻率變化
(b) 阻尼比變化
(a) 模態(tài)頻率變化
(b) 阻尼比變化
當(dāng)在球殼中點施加10 N的徑向載荷,其頻域特性如圖11所示。由圖11(a)可見,施加激勵電壓的主動約束阻尼結(jié)構(gòu),較被動約束阻尼結(jié)構(gòu)在第二和第三模態(tài)的徑向振幅有效縮減,但對于徑向振動激勵電壓為150 V時能夠獲得較大的幅值縮減,較小電壓或較大電壓均可能導(dǎo)致47.5 Hz和69.7 Hz附近較大幅值的徑向振動。在圖11(b)中可以看出,由于壓電層逆壓電效應(yīng),雖然控制電壓較大時壓電層形變會使粘彈性層剪切變形增加,但由于壓電層與基殼的耦合作用,球殼經(jīng)度方向變形增加仍然很大,因此較大的控制電壓會增加經(jīng)度方形的振動。圖11(c)表明,相對于被動減振,主動約束阻尼結(jié)構(gòu)在經(jīng)、緯度方向仍然具有較好的減振特性,而且當(dāng)vc=150 V時,在低頻模態(tài)峰值仍然最小,但高頻模態(tài)的減振性能有限。由上可得,對于球殼不同的工作頻帶以及不同方向的減振要求,可以施加不同的激勵電壓,而且特定電壓只對特定模態(tài)減振效果較好,因此通過合理設(shè)計實時控制算法,可以在多種工況實現(xiàn)比較高效的減振。
(a) 徑向響應(yīng) (b) 經(jīng)度方向響應(yīng) (c) 緯度方向響應(yīng)
1)取nh>9,nj>11時可以在固有頻率變化較小的情況下增大阻尼比;特定粘彈性層厚度能夠有效增加模態(tài)阻尼比,模態(tài)頻率在一定范圍內(nèi)隨粘彈性層厚度增加而增加;增加占空比會導(dǎo)致模態(tài)頻率增大,但在一定程度上使損耗因子減小。
2)增加壓電層厚度會導(dǎo)致高頻模態(tài)頻率增加,而使低頻模態(tài)頻率減小,在hp<2 mm時,hp增加能夠快速增大阻尼比;增加其經(jīng)緯度方向尺寸能夠?qū)е虑驓つB(tài)頻率和阻尼比增大,但敷設(shè)較大尺寸的壓電層會使引入質(zhì)量大幅增加。
3)壓電層激勵電壓對模態(tài)頻率影響較小,增加激勵電壓能夠增加系統(tǒng)振動能量損耗;固定幅值的激勵電壓可使特定振動方向模態(tài)幅值有效縮減。