梁趙套 王曉紅

（石河子大學(xué)理學(xué)院 新疆維吾爾自治區(qū)石河子市 832003）

解析幾何是大學(xué)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)課程之一，它建立了抽象與具象的“橋梁”，主要體現(xiàn)在幾何圖形的直觀性，其中曲線、曲面問(wèn)題是研究重點(diǎn)。而空間幾何圖形的動(dòng)態(tài)輸出將會(huì)更好地體現(xiàn)幾何直觀性，從而提高學(xué)生的空間想象能力。《解析幾何》中常用“平行截割法”研究三維曲面，即用一族平行于坐標(biāo)平面的平面來(lái)截割曲面研究截口曲線是怎樣變化的，通過(guò)分析這一族截口曲線的變化情況，想象方程所表示曲面的整體形狀，主要思想是把復(fù)雜的三維圖形歸結(jié)為二維曲線[1]。《微分幾何》更是以曲線論、曲面論為其主要內(nèi)容，主要處理方法是活動(dòng)標(biāo)架法[2]。直紋面是曲面中較為特殊的情形，它是由兩族直線移動(dòng)生成的曲面。盡管直紋面是經(jīng)典微分幾何領(lǐng)域的相關(guān)內(nèi)容，但是仍可以使用解析幾何中的部分方法對(duì)它進(jìn)行研究。黃保軍通過(guò)綜合分析截痕的變化來(lái)認(rèn)識(shí)曲面的形狀，還通過(guò)分析曲面的內(nèi)部結(jié)構(gòu)來(lái)把握其幾何特征，詳細(xì)論證了雙曲拋物面是遵循一定規(guī)律的動(dòng)直線的運(yùn)動(dòng)軌跡，直觀揭示其幾何特征[3]。歷晨晨等人討論了一種特殊直紋面與平面的變換方式[4]。董志龍等人從理論角度總結(jié)了直紋二次曲面在建筑、機(jī)械等多個(gè)領(lǐng)域的典型應(yīng)用，并結(jié)合直紋面的數(shù)學(xué)性質(zhì)分析其實(shí)際應(yīng)用效果[5]。直紋面分為可展曲面與不可展曲面，其中不可展曲面中有關(guān)雙曲拋物面直母線的研究相對(duì)較少。李國(guó)生利用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想深入探究了雙曲拋物面的幾何性質(zhì)、圖示方法及數(shù)學(xué)方程的建立[6]。桂國(guó)祥，劉雅蕓列舉了雙曲拋物面的實(shí)際應(yīng)用[7]。在建筑、電力、水利、運(yùn)輸?shù)裙こ谭矫妫梢哉业街奔y面的數(shù)學(xué)模型，如舊金山圣瑪麗教堂的設(shè)計(jì)應(yīng)用了雙曲拋物面的相關(guān)性質(zhì)。近些年來(lái)，數(shù)學(xué)軟件GeoGebra 在動(dòng)態(tài)三維圖形的繪制方面更加簡(jiǎn)捷[8]。施永新、閆湛等人根據(jù)“平行截割法”手工繪出三維曲面的圖形，借助GeoGebra 軟件動(dòng)態(tài)展示截口曲線的變化過(guò)程[9-10]。然而，用二次曲面直母線來(lái)繪制空間曲面，并使其動(dòng)態(tài)化的研究相對(duì)較少。由于二次曲面中部分曲面可以由一條直線按照某種規(guī)律運(yùn)動(dòng)所生成，根據(jù)這一思路結(jié)合平截線的思想，我們將探究是否可以利用“平行截割法”對(duì)雙曲拋物面的直母線進(jìn)行研究，即利用平行平面與雙曲拋物面的交線刻畫(huà)直母線。

設(shè)雙曲拋物面S 的方程為：

其中a>0，b>0。

一般情況下，如果一空間圖形的方程中僅含一次項(xiàng)，那么該圖形為一平面。倘若某一平行平面始終與某一空間曲面的交線是直線，則空間曲面可由該直線生成。

定理1 在與雙曲拋物面（1）相交的無(wú)數(shù)平面中，總存在兩族平行平面與雙曲拋物面的交線始終是直線，且該直線可生成雙曲拋物面。

圖1：雙曲拋物面與平面的交線

圖2：一族直線生成雙曲拋物面

證明 想找到雙曲拋物面（1），設(shè)一族平行平面的其中一個(gè)平面方程為：

其中c 是常量。但可通過(guò)控制c 得到無(wú)窮多個(gè)平行的平面。

聯(lián)立（1）（2）解得：

圖3：相交的異族直母線

（3）式僅含有y、z，說(shuō)明該方程表示的是一平面。

令（3）與（2）相交，交線顯然是直線。該直線的方程為：

同理可證，另一族平行平面的其中一個(gè)平面方程為bx-ay=c，該平面與雙曲拋物面（1）的交線也是直線，且該直線的方程為：

由于平行平面方程中c 是連續(xù)可變的，通過(guò)不斷移動(dòng)，可得到無(wú)數(shù)條與雙曲拋物面相交的直線，那么就說(shuō)明該直線可構(gòu)成雙曲拋物面。下面將從直母線的角度給出嚴(yán)格的證明。

給出雙曲拋物面（1）兩族直母線的方程為：

要想證明兩族交線（3）（4）可生成雙曲拋物面（1），只需證明其中一族是雙曲拋物面的一族直母線即可。不妨先取交線（3）和u 族直母線（6）進(jìn)行驗(yàn)證。

已知方程（3），給出方程（3）的方向數(shù)為：

又a、b 均為正常數(shù)，上式可化簡(jiǎn)為：

設(shè)（x1,y1,z1）是方程（3）上的點(diǎn)，取有：

另一方面，我們可以求出u 族直母線（6）的方向數(shù)為：

設(shè)（x2,y2,z2）是方程（6）上的點(diǎn)，取x2=a，有：

由于c，u，v 均是可變的，聯(lián)立（8）（9）（10）（11）得下列等式：

根據(jù)直線重合的充分必要條件可知，在與雙曲拋物面相交的無(wú)數(shù)平面中，總存在兩族平行平面與雙曲拋物面的交線始終是直線，且平行平面的方程為bx+ay=c 或bx-ay=c，雙曲拋物面可由該直線構(gòu)成。

在實(shí)際教學(xué)中，根據(jù)定理1 的構(gòu)造原理，僅憑空間想象難以繪出直線移動(dòng)生成曲面的過(guò)程，借助GeoGebra 軟件能動(dòng)態(tài)展示平行平面移動(dòng)時(shí)與雙曲拋物面截線的變化過(guò)程，可起到傳統(tǒng)教學(xué)手段不能呈現(xiàn)的直觀效果。下面給出利用GeoGebra 繪制雙曲拋物面由直母線動(dòng)態(tài)形成的詳細(xì)過(guò)程，此過(guò)程清晰明了，繪制效果直觀易懂。

雙曲拋物面一族直母線形成的繪制步驟：生成雙曲拋物面（1）的整體圖形，選3D 繪圖區(qū)，在輸入框中輸入：再輸入3x-2y=c，3x-2y=c 生成一平面，該平面是截平面；利用“相交曲線”，取雙曲拋物面與平面的交線（3）（4），如圖 1 所示；隱藏原本的雙曲拋物面及平面，僅留下上一步驟的交線（3）（4）；點(diǎn)擊“播放”，生成動(dòng)態(tài)形成圖；右擊交線（直母線），勾選“顯示軌跡”，重復(fù)上一步驟，可得到帶有移動(dòng)軌跡的動(dòng)態(tài)生成圖。同理，繪制出雙曲拋物面的兩族直母線及運(yùn)動(dòng)軌跡，如圖 2 所示。

由于雙曲拋物面上異族的任意兩直母線必相交，結(jié)合上述繪制過(guò)程，我們可以得到相應(yīng)的幾何直觀圖，如圖 3 所示。

利用GeoGebra 在幾何直觀上輔助雙曲拋物面的直母線教學(xué)，為教師教授直紋面內(nèi)容提供了新思路，為學(xué)生理解直紋面提供了新方法，達(dá)到事半功倍的效果。