劉朝陽 章?lián)P忠 謝濤 劉阿娣 周楚

1) (中國科學技術大學核科學技術學院， 合肥 230026)

2) (中國科學院磁聚變理論中心， 合肥 230031)

3) (四川輕化工大學， 自貢 643000)

按照章等[Zhang Y Z， Liu Z Y， Mahajan S M， Xie T， Liu J 2017 Phys.Plasmas 24 122304 ]發(fā)展的漂移波-帶狀流理論， 將多重尺度導數(shù)展開法應用到電子漂移動理學方程， 零級為描述微觀尺度捕獲電子模的線性本征模方程， 一級為介觀尺度受帶狀流調(diào)制的捕獲電子模的包絡方程.其中線性本征模方程已經(jīng)在謝等[Xie T， Zhang Y Z， Mahajan S M， Wu F， He Hongda， Liu Z Y 2019 Phys.Plasmas 26 022503 ]的研究中被求解， 利用該文得到的捕獲電子模的本征值和二維模式結構計算包絡方程中的群速度.徑向群速度由托卡馬克磁場的測地曲率貢獻， 極向群速度來自逆磁漂移速度和法向曲率， 它們僅是極向角的函數(shù)， 后者給出極向角到時間的映射.徑向群速度作為時間的函數(shù)， 其周期在毫秒量級， 具有快速過零的特征.這為研究捕獲電子模驅動帶狀流提供了充實的理論基礎.

1 引 言

托卡馬克低-高約束模(L-H)轉換的物理機制是長期困擾學術界的難題之一， 目前被普遍接受的觀點是帶狀流在其中扮演關鍵角色[1-3].盡管大部分理論基于本征模方法討論漂移波湍流激發(fā)帶狀流的問題[4-6]， 然而如何正確地計算兩個非線性量:雷諾協(xié)強和漂移波群速度仍然是一個開放問題.文獻[7]以弱上下不對稱氣球理論[8，9]為基礎， 采用非線性始值方法求解了流體框架下的離子溫度梯度模-低頻帶狀流系統(tǒng)， 結果表明帶狀流在純相位調(diào)制(沒有線性不穩(wěn)定性)下也能增長， 漂移波的群速度在其中起重要作用， 它描述了受帶狀流調(diào)制的漂移波包絡的運動模式， 對理解托卡馬克的漂移波-帶狀流系統(tǒng)有關鍵意義[7].該文描述漂移波-帶狀流系統(tǒng)的基本方程是在時空表象中， 包含群速度的包絡方程和包含雷諾協(xié)強的帶狀流方程.這種方法不僅需要知道色散關系， 還需要知道模式的二維結構.本文的目的是從電子漂移動理學方程出發(fā)，按文獻[7]所建議的方法計算無碰撞捕獲電子模[10]在時空表象中的群速度.

關于波的群速度定義可追溯到朗道的流體力學教程[11]， 對滿足色散關系ω=ω(k) 的波包， 其群速度為Vg≡?ω/?k， 這里ω和k分別表示波的頻率和波數(shù).目前， 幾乎所有關于托卡馬克漂移波的理論都是按照朗道的方法定義群速度[4，6，12-15].然而，按文獻[7]發(fā)展的漂移波-帶狀流理論， 卻有意回避傅氏表象， 這里有一個重要思考.托卡馬克中的漂移波是附屬在有理面附近的局部模， 服從自然邊界條件(由方程自身給出的邊界條件， 而非外加的邊界條件).然而， 傅氏表象要求外加的周期邊界條件， 這與自然邊界條件相矛盾.在平板模型中漂移波是以每個有理面為中心的單模， 通過磁場曲率與多個相鄰有理面的單模耦合形成環(huán)形模.這類模在求出模結構之前并不知道“徑向邊界”的具體位置，甚至確切定義， 使得傅氏表象應用在徑向缺乏堅實基礎.而弱上下不對稱氣球理論恰恰可以給出待求的， 滿足自然邊界條件的二維模式結構[8，9].另一方面， 按文獻[7]的方法計算群速度在時空表象中的公式， 當應用于簡單幾何， 其結果與采用色散關系方法所得的結果一致.

本文從電子漂移動理學方程[16-18]出發(fā)， 采用導數(shù)展開法[19]計算托卡馬克無碰撞捕獲電子模的群速度.第2節(jié)給出受帶狀流調(diào)制的電子漂移動理學方程， 對其作導數(shù)展開后， 零級即描述微觀尺度捕獲電子模的線性本征模方程， 一級為介觀尺度的包絡方程.第3節(jié)利用文獻[20]求得的捕獲電子模的本征值和擾動電勢， 計算擾動密度和擾動壓強的二維模式結構， 代入包絡方程計算捕獲電子模的群速度.第4節(jié)是總結和討論.

2 捕獲電子模的多重尺度導數(shù)展開法

2.1 受帶狀流調(diào)制的電子漂移動理學方程

本文所討論的無碰撞捕獲電子模建立在大環(huán)狀比、上下對稱、同心圓磁面的托卡馬克平衡之上，出發(fā)點是對靜電擾動線性化的電子漂移動理學方程[16-18]:

其中f是擾動分布函數(shù)，φ是擾動電勢，vde≡是電子曲率漂移速度，v//和v⊥分別是電子的平行和垂直速度，b≡B/B是沿著磁場方向的單位矢量，κ≡b·?b是磁場 曲 率，是平衡電子麥克斯韋分布函數(shù)，ne和Te分別是電子質(zhì)量， 平衡密度和溫度，e是單位電荷，c是光速.

采用環(huán)坐標系， (r，?，ζ) 分別代表徑向、極向和環(huán)向坐標， 擾動電勢歸一化到電子熱能:eφ/Te→φ， 平衡分布函數(shù)歸一化到電子密度:FM/ne→FM，平行和垂直速度歸一化到電子熱速度:vte≡曲率頻率算子:

其中 s in?和 c os?分別代表磁場的測地和法向曲率;R是托卡馬克大半徑.逆磁頻率算子

其中Ln≡-(?lnne/?r)-1表示密度梯度長度，ηe≡dlnTe/dlnne.考慮帶狀流的多普勒頻移調(diào)制作用，電子漂移動理學方程(1)式可寫為

2.2 由導數(shù)展開法得到的零級和一級方程

多重尺度問題(微觀和介觀尺度)可以采用導數(shù)展開法[19]:

其中εE?1 是小量標簽; (t，r，y) 表示慢尺度變量(具軸對稱性， 環(huán)向模數(shù)表示快尺度變量(高環(huán)向模數(shù):n?1 )， 擾動分布函數(shù)和電勢包含兩個部分: 受帶狀流調(diào)制的(介觀尺度)慢變包絡和(微觀尺度)快變函數(shù):f對速度空間積分后就是擾動密度， 一個簡單假設是其受帶狀流調(diào)制的包絡滿足絕熱關系:后面將看到這是導數(shù)展開法給出的零級方程恰是描述捕獲電子模的漂移動理學方程的充分條件.

在環(huán)坐標系下三個算子的導數(shù)展開分別為

其 中 定 義 了 逆 磁 漂 移 速 度:υ*≡ρscs/Ln，cs≡是離子聲速，ρs≡cs/ωci是電子溫度下的離子拉莫爾半徑;ωci≡eB/(cmi) 是離子回旋頻率，mi是離子質(zhì)量;q是安全因子.

需要說明的是， 兩種尺度變量的符號差異僅在奇異攝動理論的導數(shù)展開法中適用， 下面的公式將略去快尺度變量上的波浪號.在條件下， 零級方程即描述捕獲電子模的漂移動理學方程:

引入捕獲電子的非絕熱響應分布函數(shù):后可寫為

(12)式即文獻[20]中的(1)式.

一級方程為

其中略去了捕獲電子的平行速度:對高n模，表示中心極向模數(shù)，rj是有理面位置， 對局部模有r≈rj.

和擾動壓強

擾動密度分為絕熱和非絕熱響應兩部分:.另一方面， 捕獲電子模在有理面附近被激發(fā)， 離開有理面將受到磁剪切阻尼[21]，它在徑向是駐波， 還需要對徑向快尺度求平均[7].由此得到受帶狀流調(diào)制的捕獲電子模的包絡方程:

其中徑向和極向群速度分別為

定義了兩個平均量:

(18)式中和分別代表電勢、密度和熱能的漲落， 這些量是物理觀測量.從測量角度而言，單純測量這些量的本身僅可能是實量， 但在本征模理論構架中這些量的虛部也有物理意義.在托卡馬克輸運的準線性理論中， 包括計算粒子流和熱流，涉及密度、壓強和電勢極向導數(shù)的乘積， 后者與電勢有90°的相差， 而(18)式所計算的平均中并沒有上述的90°相差問題.最終需要計算的量是群速度，保留這些量的虛部將導致群速度存在虛部， 這在物理上沒有意義， 因為群速度是可觀測量， 它代表波包傳播速度.注意到本文計算的群速度是介觀尺度量， 而捕獲電子模的線性增長時間在微觀尺度， 其在介觀尺度時間內(nèi)已經(jīng)達到飽和.另一方面， 托卡馬克是一個開放系統(tǒng)， 外部因素如加熱、加料等，使得引起不穩(wěn)定性的自由能總是存在.因此本文假設線性二維模式結構在進入飽和階段后沒有重要變化， (18)式中的擾動電勢、密度和壓強作為可觀測量僅取實部， 這保證了所計算的群速度是實的.

3 捕獲電子模的群速度

3.1 捕獲電子模的二維模式結構

由第2節(jié)可以看到， 按照文獻[7]的方法在時空表象中計算捕獲電子模的群速度需要知道其二維模式結構.電子漂移動理學方程(12)式已經(jīng)在文獻[20]中采用弱上下不對稱氣球理論[8，9]求解，這里直接引用該文的結果， 選取的托卡馬克裝置的基本平衡參數(shù)如表1所列.

數(shù)值計算得到的整體本征值為ω?≡ω/ω*e=0.4215+0.1133i ，ω*e≡-k?υ*.捕獲 電 子模擾 動電勢的二維模式結構如圖1， 這里，ρ≡r/a.由圖1可以看到二維模式結構的中心相對赤道面幾乎沒有偏移， 但存在較小的上下不對稱性， 其徑向關聯(lián)長度約為極向的2—3倍.

按照文獻[20]的方法， 可以得到捕獲電子模的整體本征值和擾動電勢， 現(xiàn)在利用該結果計算擾動密度和擾動壓強的二維模式結構.出發(fā)點是捕獲電子模的非絕熱響應分布函數(shù)(文獻[20]中的(A10)式):

表1 基本平衡參數(shù)Table 1.Basic equilibrium parameters.

圖1 (a) 捕獲電子模擾動電勢 實部的等高線圖; (b) 壞曲率區(qū)的放大圖Fig.1.(a) Level contours of the real parts of the perturbed electrostatic potential for trapped electron mode; (b) the close-up view in bad curvature region.

其中安全因子已經(jīng)展開到一階:q(r)≈q(rj)+表示磁剪切，

是等離子體色散函數(shù).將前面計算得到的擾動電勢代入(21)式， 數(shù)值積分得到擾動密度的二維模式結構如圖2， 這里

將(19)式和(20)式代入(15)式得到擾動壓強的表達式:

其中

圖2 (a) 捕獲電子模擾動密度 實部的等高線圖; (b) 壞曲率區(qū)的放大圖Fig.2.(a) Level contours of the real parts of the perturbed density for trapped electron mode; (b) the close-up view in bad curvature region.

圖3 (a) 捕獲電子模擾動壓強 實部的等高線圖; (b) 壞曲率區(qū)的放大圖Fig.3.(a) Level contours of the real parts of the perturbed pressure for trapped electron mode; (b) the close-up view in bad curvature region.

圖4 (18)式定義的兩個平均量 Fig.4.Two average quantities and defined in Equation (18): (a)

圖5 捕獲電子模的 (a) 徑向群速度 υ gr(?) ， (b) 極向群速度 υ gy(?) 和(c) 徑向群速度隨時間的變化υgr(t)Fig.5.(a) Radial group velocity υ gr(?) ， (b) poloidal group velocity υ gy(?) ， and (c) radial group velocity versus time υ gr(t) for trapped electron mode.

3.2 捕獲電子模的徑向和極向群速度， 徑向群速度的時間結構

將3.1節(jié) 計 算 得 到 的和的實部代入(18)式， 數(shù)值積分得到兩個平均量如圖4.它們在好曲率(?～0 )和壞曲率±π )區(qū)都有快速變化， 而在其他區(qū)域相對比較光滑.

將兩個平均量代入(17)式計算得到捕獲電子模的徑向和極向群速度分別如圖5(a)和圖5(b).從圖5(a)和圖5(b)可以看到， 徑向群速度來自磁場的測地曲率， 極向結構基本是一次正弦～sin?.極向群速度主要來自逆磁漂移速度～υ*， 而法向曲率～cos?的貢獻較小.按照一階偏微分方程的特征線解法， (16)式中的極向特征線為d?/dt=υgy(?)/rj， 它提供了極向角到時間的映射這里積分常數(shù)設為?(t=0)=0.這樣徑向群速度可以寫為時間的函數(shù)， 如圖5(c)所示.從圖5(c)可見徑向群速度是時間的周期函數(shù)， 周期約為1.5 ms， 在t= 0 ms向上過零， 而在t= 0.7 ms向下過零， 前者過零快于后者.

4 總 結

從電子漂移動理學方程出發(fā)， 采用多重尺度導數(shù)展開法， 零級為描述微觀尺度捕獲電子模的線性本征模方程， 一級為介觀尺度的包絡方程.利用文獻[20]中求得的捕獲電子模的線性本征值和擾動電勢， 計算了擾動密度和擾動壓強的二維模式結構.代入包絡方程對速度空間積分和徑向快尺度求平均， 得到捕獲電子模的徑向和極向群速度.徑向群速度由磁場的測地曲率貢獻， 極向結構基本是一次正弦～sin?.極向群速度包含兩項: 逆磁漂移速度υ*和法向曲率～cos?， 二者相比～R/Ln， 因此前者占主導地位.包絡方程描述了捕獲電子模包絡的傳播行為， 它是一階偏微分方程， 其極向特征線給出極向角到時間的映射?(t).因此徑向群速度可以寫為時間的周期函數(shù)， 其周期在毫秒量級， 具有快速過零的特征.為簡化計算本文采用的是圓截面位形， 對實際的托卡馬克放電的非圓截面位形， 拉長比和三角形變等幾何因子將導致測地和法向曲率由一次正弦和余弦結構變?yōu)楦鼜碗s的角向結構，可以預見它們將對徑向和極向群速度產(chǎn)生重要的定量修正.

本文將多重尺度導數(shù)展開法應用于捕獲電子模群速度的計算， 對引言中的思考給出如下評論:1) 按文獻[7]的理論構架， 僅計算時空表象中的群速度， 對無磁剪切平板漂移波， 容易證明它與采用色散關系方法所得的結果一致， 但對有剪切的環(huán)形系統(tǒng)， 兩種途徑的比較不是本文探討的對象; 2) 環(huán)形效應對捕獲電子模的徑向群速度非常重要， 其極向結構來自磁場測地曲率的貢獻; 3) 在計算群速度的過程中僅取擾動電勢、密度和壓強的實部， 以保證所計算的群速度是實的.這里假設了線性二維模式結構在進入飽和階段后沒有重要變化， 其非線性演化問題留待將來研究.

除此之外， 徑向群速度的時間結構還有特殊意義.在其快速度過零的很短的時間內(nèi)， 受帶狀流調(diào)制的捕獲電子模的包絡突現(xiàn)短暫的非線性徑向行波解(稱為瞬子[7])， 這可能與很多托卡馬克實驗觀測到的陣發(fā)現(xiàn)象有關.文獻[7]中還指出由于徑向群速度周期性過零， 低頻帶狀流也會周期性地振蕩， 這可能解釋實驗和模擬中看到的低頻帶狀流的頻率.瞬子在徑向群速度過零時開始形成， 隨后其本身， 以及對應的頻率快速增長， 如果其瞬時頻率達到約20 kHz， 能夠共振激發(fā)測地聲模[22]， 這為解釋測地聲模的陣發(fā)性激發(fā)和傳播特性提供了理論基礎， 對其詳細討論將由另文論述.