孫凱 仲博文

[摘? 要] “有理數(shù)的加法”是整個(gè)初中階段代數(shù)的基礎(chǔ)，對(duì)后續(xù)代數(shù)式、函數(shù)等知識(shí)的學(xué)習(xí)有著重要的影響. 為提升初中生有理數(shù)加法法則的正確使用率，筆者利用自編的調(diào)查問(wèn)卷對(duì)七年級(jí)學(xué)生進(jìn)行了“學(xué)前調(diào)查”和“學(xué)后調(diào)查”，得到了如下教學(xué)啟示：構(gòu)建背景支架，明晰法則的來(lái)龍去脈;構(gòu)建直觀支架，理解法則的數(shù)學(xué)本質(zhì);構(gòu)建情感支架，體悟法則的通解通法;構(gòu)建遷移支架，挖掘法則的應(yīng)用延伸.

[關(guān)鍵詞] 有理數(shù)加法;調(diào)查研究;教學(xué)啟示;支架

問(wèn)題的提出

“有理數(shù)的加法”是蘇科版七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第一章第五節(jié)第一課時(shí)的內(nèi)容，是小學(xué)加法運(yùn)算的拓展，是整個(gè)初中階段代數(shù)的基礎(chǔ)，對(duì)其掌握程度直接關(guān)系著實(shí)數(shù)、代數(shù)式、方程、不等式以及函數(shù)等知識(shí)的學(xué)習(xí)成效. 就本節(jié)課而言，通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，學(xué)生能運(yùn)用有理數(shù)加法法則正確、熟練地進(jìn)行有理數(shù)加法運(yùn)算，是這節(jié)課成功的重要標(biāo)志. 然而，在實(shí)際教學(xué)中筆者發(fā)現(xiàn)，很多學(xué)生學(xué)習(xí)完有理數(shù)加法法則之后，法則的使用率不高或者使用不規(guī)范，導(dǎo)致運(yùn)算的錯(cuò)誤率較高，這表明學(xué)生學(xué)習(xí)有理數(shù)加法法則的現(xiàn)狀不容樂(lè)觀，在教師教與學(xué)生學(xué)這兩個(gè)層面上都存在問(wèn)題，現(xiàn)梳理、總結(jié)如下.

從學(xué)生層面上看，主要有以下三點(diǎn). 第一，法則使用不規(guī)范. 學(xué)生對(duì)異號(hào)兩數(shù)相加且正數(shù)的絕對(duì)值較大的兩數(shù)相加時(shí)，不遵循“判斷類型—確定和的符號(hào)—進(jìn)行絕對(duì)值的加減運(yùn)算”的法則應(yīng)用步驟，而是先進(jìn)行絕對(duì)值的加減運(yùn)算，再判斷結(jié)果的符號(hào)，或干脆不判斷結(jié)果的符號(hào). 第二，對(duì)“+”“-”符號(hào)的理解有誤. 部分學(xué)生計(jì)算時(shí)直接省略“+”號(hào)，把加法運(yùn)算轉(zhuǎn)化為減法運(yùn)算，還有部分學(xué)生直接去括號(hào)，讓兩個(gè)符號(hào)沒(méi)有括號(hào)分隔，使計(jì)算出現(xiàn)混亂. 第三，對(duì)有理數(shù)加法法則的來(lái)龍去脈認(rèn)識(shí)模糊. 法則內(nèi)容繁雜，步驟較多，學(xué)生在法則運(yùn)用時(shí)有困惑，從而產(chǎn)生畏難情緒，有一部分學(xué)生甚至未使用法則進(jìn)行運(yùn)算，對(duì)法則的使用缺乏信心.

從教師層面上看，單課時(shí)教學(xué)時(shí)間短、任務(wù)重，且對(duì)學(xué)生學(xué)情了解不透徹. 教師很難在有限的時(shí)間內(nèi)從學(xué)生的原有認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，遵循學(xué)生的心理發(fā)展順序設(shè)置教學(xué). 若讓學(xué)生在運(yùn)算活動(dòng)中充分探索、嘗試錯(cuò)誤、理解方法，并自主總結(jié)法則，會(huì)出現(xiàn)由于時(shí)間不夠而導(dǎo)致對(duì)法則的思考和認(rèn)知不足的情況，從而形成一種假性建構(gòu)，學(xué)生無(wú)法形成正常的使用法則運(yùn)算的條件反射，還會(huì)依照原來(lái)的運(yùn)算方法進(jìn)行有理數(shù)加法運(yùn)算，導(dǎo)致運(yùn)算正確率無(wú)法正常提升.

調(diào)查研究背景的說(shuō)明與假設(shè)

1. 調(diào)查研究背景的說(shuō)明

（1）調(diào)查對(duì)象

調(diào)查對(duì)象為A校初一學(xué)生，隨機(jī)抽取具有代表性的兩個(gè)班級(jí)，調(diào)查共設(shè)兩個(gè)時(shí)段：一是在他們學(xué)習(xí)“有理數(shù)的加法”的前一天（下文簡(jiǎn)稱“學(xué)前調(diào)查”），二是在其學(xué)過(guò)該節(jié)一學(xué)期后（下文簡(jiǎn)稱“學(xué)后調(diào)查”）.

（2）問(wèn)卷設(shè)計(jì)

問(wèn)卷共8道題，其中6道是計(jì)算題，2道是開(kāi)放性問(wèn)題. 開(kāi)放性問(wèn)題為：你的計(jì)算依據(jù)是什么？說(shuō)一說(shuō)你是怎樣算出來(lái)的. 這兩道開(kāi)放題是為了解學(xué)生的具體思維過(guò)程而設(shè)定的. 6道計(jì)算題涉及有理數(shù)加法法則的四個(gè)部分，分別是符號(hào)相同的兩個(gè)數(shù)相加、符號(hào)不同且絕對(duì)值不相等的兩個(gè)數(shù)相加、符號(hào)不同且絕對(duì)值相等的兩個(gè)數(shù)相加，一個(gè)數(shù)同零相加. 難度設(shè)置循序漸進(jìn)，遵循學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律.

（3）調(diào)查目的

通過(guò)此次調(diào)查，教師能細(xì)致、準(zhǔn)確地了解學(xué)生在進(jìn)行有理數(shù)加法運(yùn)算時(shí)的依據(jù)和所經(jīng)歷的思維過(guò)程. 調(diào)查后可統(tǒng)計(jì)學(xué)生在學(xué)習(xí)有理數(shù)加法法則前后，使用的各種運(yùn)算方法及正確率，對(duì)比分析后，研究學(xué)生在運(yùn)用有理數(shù)加法法則時(shí)出現(xiàn)的問(wèn)題及原因，找出能讓學(xué)生切實(shí)體會(huì)到運(yùn)用加法法則必要性的方法，并就如何提升學(xué)生正確運(yùn)用有理數(shù)加法法則的能力，給出針對(duì)性的教學(xué)建議.

2. 調(diào)查研究背景假設(shè)

問(wèn)卷由學(xué)生獨(dú)立填寫(xiě)，不要求署名. 問(wèn)卷限定10分鐘完成，共收回有效問(wèn)卷101份，占所發(fā)問(wèn)卷的97.16%. 在學(xué)前調(diào)查中，假定學(xué)生在參與調(diào)查之前沒(méi)有自學(xué)過(guò)有理數(shù)加法法則;假定每一位學(xué)生都能精準(zhǔn)地表述自己進(jìn)行有理數(shù)加法運(yùn)算的依據(jù)，能清晰地說(shuō)出自己是怎樣計(jì)算的;由于6道計(jì)算題用于運(yùn)算的數(shù)都較為簡(jiǎn)單，且初一學(xué)生的運(yùn)算能力有所提升，所以假設(shè)學(xué)生不會(huì)出現(xiàn)運(yùn)算失誤的情況，結(jié)果錯(cuò)誤都是由學(xué)生的解題思路有偏差造成的.

調(diào)查研究結(jié)果統(tǒng)計(jì)和分析

1. 調(diào)查研究數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)

本次參與調(diào)查的共101人，時(shí)間跨度為一學(xué)期. 根據(jù)假設(shè)，計(jì)算總正確率的規(guī)則為總正確率= ×100%. 特別地，學(xué)生必須6道計(jì)算題全部計(jì)算正確且計(jì)算依據(jù)描述清晰完整，才能計(jì)入總正確人數(shù). 若學(xué)生有1道及以上的題目做錯(cuò)，則計(jì)入總錯(cuò)誤人數(shù)，由此得到不同錯(cuò)誤算法種類的錯(cuò)誤率. 每一道題的正確率則利用公式“每一道題的正確率= ×100%”進(jìn)行計(jì)算. 學(xué)習(xí)有理數(shù)加法法則之前，學(xué)生運(yùn)算的總正確率為39.6%;學(xué)習(xí)有理數(shù)加法法則之后，學(xué)生運(yùn)算的總正確率為90%.有理數(shù)加法法則學(xué)習(xí)前的調(diào)查統(tǒng)計(jì)如表1，一學(xué)期后計(jì)算思路及人數(shù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表2.

2. 調(diào)查研究結(jié)果分析

（1）使用有理數(shù)加法法則進(jìn)行運(yùn)算的準(zhǔn)確率遠(yuǎn)高于其他方法

調(diào)查顯示，學(xué)習(xí)有理數(shù)加法法則之前，學(xué)生的計(jì)算方法繁雜多樣，但利用法則進(jìn)行加法運(yùn)算的學(xué)生為9人，占學(xué)生總?cè)藬?shù)的0.09%;學(xué)習(xí)完該節(jié)課的內(nèi)容之后，有85%左右的學(xué)生運(yùn)用有理數(shù)加法法則進(jìn)行運(yùn)算. 然而，就目前的情況來(lái)看，嚴(yán)格按照有理數(shù)加法法則運(yùn)算步驟進(jìn)行有理數(shù)加法運(yùn)算的學(xué)生占比不高，一些學(xué)生還沒(méi)有養(yǎng)成使用有理數(shù)加法法則運(yùn)算的習(xí)慣，繼續(xù)沿用以往的運(yùn)算習(xí)慣.

（2）學(xué)生在學(xué)習(xí)有理數(shù)加法法則前已基本具備數(shù)形結(jié)合意識(shí)

超過(guò)10%的學(xué)生在學(xué)習(xí)有理數(shù)加法法則之前就已經(jīng)可以利用數(shù)軸解決有理數(shù)加法問(wèn)題，且對(duì)“0”這個(gè)有理數(shù)的幾何意義有非常清晰的理解. 這些前序知識(shí)的積累為本節(jié)課進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ). 初一的學(xué)生正處在具體運(yùn)算階段向形式運(yùn)算階段過(guò)渡的時(shí)期，學(xué)生已掙脫具象思維的束縛，開(kāi)始逐步形成抽象邏輯思維，學(xué)生此時(shí)萌發(fā)出的數(shù)形結(jié)合意識(shí)急需得到教師的引導(dǎo)和肯定. 學(xué)生所處的這種特殊發(fā)展階段，極大地縮短了學(xué)生獨(dú)立解決問(wèn)題的真實(shí)發(fā)展水平與在教師指導(dǎo)或同其他同學(xué)合作情況下解決問(wèn)題的潛在發(fā)展水平之間的差距.

（3）學(xué)習(xí)有理數(shù)加法法則前后，“轉(zhuǎn)化為相反數(shù)”的方法使用率降低最多

數(shù)據(jù)顯示，在有理數(shù)加法法則學(xué)習(xí)之前，有近20%的學(xué)生嘗試運(yùn)用該方法進(jìn)行有理數(shù)的加法運(yùn)算，這是使用率最高的一種算法. 這種算法的本質(zhì)是將正數(shù)與負(fù)數(shù)的加法運(yùn)算轉(zhuǎn)化為兩個(gè)正數(shù)之間的減法運(yùn)算，運(yùn)用了轉(zhuǎn)化與化歸思想，將涉及負(fù)數(shù)的“陌生問(wèn)題”轉(zhuǎn)化為兩個(gè)正數(shù)之間的運(yùn)算，即把“陌生問(wèn)題”轉(zhuǎn)化為“熟悉的問(wèn)題”. 學(xué)習(xí)有理數(shù)加法法則后，這種算法的使用率為3%左右，降低了近17%，這說(shuō)明轉(zhuǎn)化與化歸思想已經(jīng)逐步在學(xué)生學(xué)習(xí)有理數(shù)加法法則之后得到深化，已融入法則的應(yīng)用當(dāng)中.

（4）學(xué)習(xí)有理數(shù)加法法則前后，“省略‘+號(hào)”的方法使用率也有所下降

通過(guò)統(tǒng)計(jì)學(xué)生的計(jì)算方法，筆者發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對(duì)“+”“-”號(hào)的意義理解得不夠透徹. 對(duì)于直接將“+”號(hào)省略進(jìn)行運(yùn)算的方法使用率，學(xué)習(xí)有理數(shù)加法法則前后降低了10%左右，這說(shuō)明學(xué)生在學(xué)習(xí)有理數(shù)加法法則之前對(duì)有理數(shù)加法的運(yùn)算對(duì)象認(rèn)識(shí)不清晰，學(xué)習(xí)完有理數(shù)加法法則之后，仍沒(méi)有完全消除這種運(yùn)算對(duì)象模糊的現(xiàn)象. 若教師能在學(xué)生學(xué)習(xí)法則時(shí)對(duì)有理數(shù)加法的運(yùn)算對(duì)象進(jìn)行強(qiáng)調(diào)，加深其對(duì)“+”“-”號(hào)意義的理解，則會(huì)幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)有理數(shù)加法的運(yùn)算本質(zhì)，從而為有理數(shù)加法法則的正確運(yùn)用奠定有力的基礎(chǔ).

教學(xué)啟示

1. 構(gòu)建背景支架，明晰法則的來(lái)龍去脈

奧蘇伯爾的研究表明：學(xué)習(xí)的實(shí)質(zhì)是學(xué)習(xí)者使具有潛在意義的新知與其原認(rèn)知結(jié)構(gòu)建立實(shí)質(zhì)性的聯(lián)系，進(jìn)而擴(kuò)建新認(rèn)知結(jié)構(gòu)的過(guò)程. 可見(jiàn)，新的知識(shí)總是基于學(xué)生已有的舊知而建立起來(lái)的. 因此，在教學(xué)中構(gòu)建背景支架，有利于學(xué)生找準(zhǔn)新、舊知識(shí)的連接點(diǎn)，能喚起與形成新知識(shí)相關(guān)的舊知，從而使學(xué)生的原認(rèn)知結(jié)構(gòu)對(duì)新知的學(xué)習(xí)具有某種“召喚力”. 學(xué)生學(xué)習(xí)本節(jié)課之前，已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)是小學(xué)階段的算術(shù)數(shù)（絕對(duì)值）、有理數(shù)及相關(guān)概念，主要包括數(shù)軸、相反數(shù)和絕對(duì)值三個(gè)部分. 基于張奠宙教授關(guān)注的“超經(jīng)驗(yàn)數(shù)學(xué)”的教學(xué)研究[1]，我們可以舍棄一些偽情境對(duì)本課主要研究課題的干擾，直擊問(wèn)題，從“相反數(shù)的和為0”出發(fā)，歸類研究不同情形的兩數(shù)求和問(wèn)題. 特別地，要能說(shuō)清符號(hào)不同兩數(shù)求和的算理，利用運(yùn)算律、相反數(shù)的和為0的性質(zhì)進(jìn)行推證，這樣不僅能得到符號(hào)不同的兩數(shù)相加的法則，而且有一定的“數(shù)學(xué)味”（證明的味道），能幫助學(xué)生明晰有理數(shù)加法法則的來(lái)龍去脈，于潛移默化中提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

2. 構(gòu)建直觀支架，理解法則的數(shù)學(xué)本質(zhì)

國(guó)外相關(guān)研究表明，學(xué)生在小學(xué)階段對(duì)自然數(shù)加法意義的認(rèn)識(shí)和算理的理解不夠深入，導(dǎo)致在初中階段對(duì)有理數(shù)加法的理解存在認(rèn)知困難. 對(duì)于有理數(shù)的運(yùn)算，不僅要會(huì)正確運(yùn)算，而且要明晰算理，能說(shuō)出運(yùn)算中每一步所涉及的概念、運(yùn)算定律和運(yùn)算法則. 對(duì)于有理數(shù)的運(yùn)算教學(xué)，教師不能只關(guān)注學(xué)生能否正確運(yùn)算，還應(yīng)充分挖掘其教學(xué)價(jià)值，以促進(jìn)學(xué)生思維的提高和發(fā)展. 比如課本中的第一個(gè)情境是足球比賽得分問(wèn)題，備課時(shí)我們就應(yīng)該思考如下問(wèn)題：它的本質(zhì)是什么？作用是什么？任何一個(gè)生活情境的解讀都必須體現(xiàn)借助生活現(xiàn)實(shí)、完成數(shù)學(xué)抽象、利用邏輯推理這三大過(guò)程，這也是基于數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的生活情境解讀之道[2]. 在邏輯推理環(huán)節(jié)，教師可引導(dǎo)學(xué)生借助數(shù)軸探究并歸納有理數(shù)加法法則，學(xué)生則依據(jù)這個(gè)直觀平臺(tái)進(jìn)行分析，于是容易獲得兩個(gè)不同有理數(shù)相加的結(jié)果. 接下來(lái)，教師不要急于肯定學(xué)生的答案，而應(yīng)追問(wèn)：這個(gè)結(jié)果合理嗎？“-”“+”是什么意思？絕對(duì)值又代表什么？在教學(xué)中，教師應(yīng)注重培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)算有據(jù)的推理意識(shí)，發(fā)展學(xué)生的推理能力，理解法則的數(shù)學(xué)本質(zhì). 最后，在歸納解決問(wèn)題的過(guò)程中，滲透算法思想，進(jìn)一步強(qiáng)化規(guī)則的重要性[3].

3. 構(gòu)建情感支架，體悟法則的通解通法

上文中的研究數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果顯示，學(xué)習(xí)有理數(shù)加法法則之后，還有很多學(xué)生堅(jiān)持用自己的方式進(jìn)行有理數(shù)加法運(yùn)算，導(dǎo)致在有理數(shù)加法運(yùn)算中出現(xiàn)錯(cuò)誤，且對(duì)有理數(shù)運(yùn)算的理解水平偏低. 針對(duì)這種現(xiàn)象，國(guó)內(nèi)學(xué)者對(duì)其展開(kāi)了一些調(diào)查研究. 王傳兵在研究報(bào)告中指出，七年級(jí)學(xué)生對(duì)“+”“-”號(hào)的3種意義（即表示運(yùn)算符號(hào)，表示正、負(fù)數(shù)的性質(zhì)符號(hào)，“-”號(hào)還可以表示相反數(shù)）的理解存在一定困難[4]. 胡趙云研究發(fā)現(xiàn)，七年級(jí)的學(xué)生甚至八年級(jí)的學(xué)生學(xué)習(xí)了有理數(shù)加法法則之后，仍然傾向于將有理數(shù)的加減法運(yùn)算轉(zhuǎn)化為自然數(shù)的加減法運(yùn)算[5]. 由此可見(jiàn)，引導(dǎo)學(xué)生意識(shí)到他們的方法只能解決有理數(shù)加法運(yùn)算中的部分問(wèn)題，負(fù)數(shù)引入后，急需探索一種通解通法用于解決所有類別的有理數(shù)相加問(wèn)題，從而讓他們體悟有理數(shù)加法法則學(xué)習(xí)的必要性. 德國(guó)教育學(xué)家第斯多惠說(shuō)：“教學(xué)的藝術(shù)不在于傳授本領(lǐng)，而在于激勵(lì)、喚醒、鼓舞. ”有效的情感支架對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程具有非常明顯的推動(dòng)作用，因此，教師應(yīng)采取各種手段創(chuàng)設(shè)情感情境，讓學(xué)生以飽滿的熱情參與到學(xué)習(xí)當(dāng)中，樂(lè)于使用有理數(shù)加法法則解決有理數(shù)加法問(wèn)題.

4. 構(gòu)建遷移支架，挖掘法則的應(yīng)用延伸

蘇聯(lián)著名教育家斯托利亞爾在《數(shù)學(xué)教育學(xué)》一書(shū)中指出：“數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)活動(dòng)的教學(xué).”在數(shù)學(xué)教學(xué)中設(shè)置一定的延伸性數(shù)學(xué)活動(dòng)，構(gòu)建遷移支架，能使學(xué)生從教師的分析、引導(dǎo)中懂得怎樣變更問(wèn)題，進(jìn)行聯(lián)想、類比、遷移等. 比如在最后的有理數(shù)加法法則運(yùn)用環(huán)節(jié)，可以做一個(gè)延伸，具體題目如下：

例1 用“>”或“<”填空.

（1）如果a>0，b>0，那么a+b_____0;

（2）如果a<0，b<0，那么a+b_____0;

（3）如果a>0，b<0，a>b，那么a+b_____0;

（4）如果a<0，b>0，a>b，那么a+b_____0.

例2 請(qǐng)根據(jù)式子（-4）+3，舉出一個(gè)恰當(dāng)?shù)纳顚?shí)例.

對(duì)有理數(shù)加法法則的延伸，既能加深學(xué)生對(duì)法則的理解，又能擴(kuò)大法則的應(yīng)用，還能使學(xué)生切實(shí)提升基礎(chǔ)知識(shí)的深度與廣度. 從法則的價(jià)值來(lái)看，學(xué)生需要體悟的不僅僅是法則的運(yùn)用，它的探索過(guò)程同樣值得借鑒，能為接下來(lái)有理數(shù)的運(yùn)算學(xué)習(xí)提供范式. 因此，在構(gòu)建遷移支架時(shí)，需要在法則探索過(guò)程中適當(dāng)融入數(shù)學(xué)思想方法. 經(jīng)歷有理數(shù)加法法則的延伸教學(xué)，學(xué)生可以靈活運(yùn)用法則，促進(jìn)思維從低階思維向高階思維發(fā)展. 在教學(xué)過(guò)程中，教師要引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真分析、大膽創(chuàng)新，既要注意有理數(shù)加法法則的綜合應(yīng)用，又要善于把法則和其他內(nèi)容進(jìn)行有機(jī)聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí).

參考文獻(xiàn)：

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