張不凡

摘?要：本文以上海期貨交易所的銅期權(quán)為研究對(duì)象，對(duì)不同隱含波動(dòng)率曲面模型的擬合精度和不同市場(chǎng)情況下的適用性進(jìn)行了實(shí)證對(duì)比。從實(shí)證結(jié)果來看，SABR模型的擬合精度最高且對(duì)不同市場(chǎng)情況都有較好地刻畫，而二次多項(xiàng)式模型和VGVV模型的擬合誤差相對(duì)較大。SSVI模型的擬合精度略低于SABR模型，但在擬合速度和參數(shù)穩(wěn)定性上更有優(yōu)勢(shì)且對(duì)于數(shù)據(jù)要求相對(duì)較低。在實(shí)際應(yīng)用中，可根據(jù)實(shí)際市場(chǎng)情況和數(shù)據(jù)質(zhì)量，結(jié)合SABR和SSVI兩種模型得到適合的隱含波動(dòng)率曲面。

關(guān)鍵詞：銅期權(quán)?隱含波動(dòng)率曲面?擬合精度

一、引言

近年來，我國(guó)商品期貨市場(chǎng)陸續(xù)推出了多個(gè)商品期貨、期權(quán)，為廣大投資者提供了更多套期保值和投資工具。期權(quán)非線性的價(jià)格蘊(yùn)含著豐富的市場(chǎng)預(yù)期信息，其中最為重要的是期權(quán)的隱含波動(dòng)率。與基于期貨歷史數(shù)據(jù)外推預(yù)測(cè)的波動(dòng)率相比，期權(quán)隱含的波動(dòng)率信息更具前瞻性和真實(shí)性。在同一剩余期限上，不同在值程度的隱含波動(dòng)率的變化反映了標(biāo)的資產(chǎn)收益率分布的非正態(tài)性，形成了通常所說的波動(dòng)率微笑或偏斜;而相同在值程度的隱含波動(dòng)率在不同剩余期限上的變化則反映了不同期限收益率非正態(tài)性分布的變化，形成了隱含波動(dòng)率期限結(jié)構(gòu)。隱含波動(dòng)率在不同在值程度和剩余期限的變化，即形成所謂的隱含波動(dòng)率曲面。

在實(shí)務(wù)中，期權(quán)做市商需要根據(jù)隱含波動(dòng)率曲面對(duì)期權(quán)進(jìn)行報(bào)價(jià)，而其作為度量波動(dòng)率風(fēng)險(xiǎn)的重要工具，也是期權(quán)交易者對(duì)沖波動(dòng)率風(fēng)險(xiǎn)以及風(fēng)險(xiǎn)管理者構(gòu)建風(fēng)險(xiǎn)壓力場(chǎng)景所必需的。因此擬合構(gòu)建合理的隱含波動(dòng)率曲面，對(duì)于期權(quán)的定價(jià)、交易和風(fēng)險(xiǎn)管理都有著重要的意義。本文以上海期貨交易所的銅期權(quán)為研究對(duì)象，對(duì)幾個(gè)主要的隱含波動(dòng)率曲面擬合方法進(jìn)行實(shí)證比較和適用性探討。

二、隱含波動(dòng)率曲面擬合方法

目前在學(xué)術(shù)研究和業(yè)界的實(shí)務(wù)應(yīng)用中，構(gòu)建隱含波動(dòng)率曲面的常用模型方法主要有二次多項(xiàng)式模型、SABR（Stochastic-Alpha-Beta-Rho）模型、SSVI（Surface?Stochastic?Volatility?Inspired）模型和VGVV（Vega-Gamma-Vanna-Volga）模型。下面首先對(duì)這四種模型分別進(jìn)行介紹，然后選取銅期權(quán)數(shù)據(jù)進(jìn)行隱含波動(dòng)率曲面擬合。

（一）二次多項(xiàng)式模型

二次多項(xiàng)式模型是在波動(dòng)率曲面早期研究中一種簡(jiǎn)單且應(yīng)用較為廣泛的參數(shù)模型，該模型直接對(duì)隱含波動(dòng)率的對(duì)數(shù)建模，將其表示為在值程度和剩余期限的代數(shù)多項(xiàng)式形式。具體地，二次多項(xiàng)式表示的隱含波動(dòng)率曲面通常具有如下的形式（Dumas?et?al，1998）。

lnσt（k，τ）=β1+β2k+β3k2+β4τ+β5kτ（1）

其中，k=ln（K/F）為期權(quán)的對(duì)數(shù)化在值程度，τ為剩余期限，σt（k，τ）即為在值程度為k、剩余期限為τ的期權(quán)隱含波動(dòng)率。二次多項(xiàng)式模型為波動(dòng)率曲面模型，共有5個(gè)參數(shù){β1，β2，β3，β4，β5}，可以用每日各期限、各行權(quán)價(jià)的隱含波動(dòng)率作為輸入變量，進(jìn)行線性最小二乘校準(zhǔn)參數(shù)，參數(shù)值并不依賴初始值，參數(shù)估計(jì)過程簡(jiǎn)便、穩(wěn)定。但值得注意的是，二次多項(xiàng)式模型并不保證滿足任何無套利條件。

中國(guó)證券期貨2021年3月

第1期銅期權(quán)隱含波動(dòng)率曲面擬合方法比較

（二）SABR模型

SABR模型由Hagan等（2002）提出，由標(biāo)的遠(yuǎn)期在遠(yuǎn)期測(cè)度下的隨機(jī)過程出發(fā)，通過期權(quán)定價(jià)公式推導(dǎo)出隱含波動(dòng)率公式，模型天然無套利，不必額外施加無套利約束條件。模型最一般的隨機(jī)過程假設(shè)為dFt=σtFβtdzFt，在實(shí)際使用中通常假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)遵循幾何布朗運(yùn)動(dòng)，即令β=1，dFt=σtFβtdzFt，模型簡(jiǎn)化為

其中，k=ln（K/F）為對(duì)數(shù)化在值程度，τ為剩余期限，z=-ναk，χ（z）=log1-2ρz+z2+z-ρ1-ρ。模型中共有3個(gè)待估參數(shù){α，ρ，ν}，其中α為隨機(jī)過程假設(shè)的波動(dòng)率初始值，ρ為標(biāo)的資產(chǎn)與波動(dòng)率的相關(guān)系數(shù)，ν反映的是波動(dòng)率的波動(dòng)。參數(shù)約束條件為α>0，-1≤ρ≤1，ν>0。

SABR模型本質(zhì)上是波動(dòng)率微笑模型，需要在期限結(jié)構(gòu)上對(duì)總方差進(jìn)行插值得到波動(dòng)率曲面?？梢杂妹咳战o定期限的期權(quán)的隱含波動(dòng)率作為輸入變量，進(jìn)行非線性最小二乘校準(zhǔn)參數(shù)。校準(zhǔn)參數(shù)時(shí)需要進(jìn)行最優(yōu)化尋找全局最優(yōu)解，參數(shù)值一定程度上依賴于初始值的設(shè)定。

（三）SSVI模型

SSVI模型是由SVI（Stochastic?Volatility?Inspired）模型拓展而來。SVI模型在波動(dòng)率曲線擬合方面有著廣泛的應(yīng)用，但也有較為顯著的缺點(diǎn)，即模型設(shè)定中缺少無套利約束條件。Gatheral和Jacquier（2014）針對(duì)該問題對(duì)SVI模型進(jìn)行了改進(jìn)，在模型設(shè)定中增加了無套利約束條件，并對(duì)整個(gè)隱含波動(dòng)率曲面進(jìn)行建模，由此提出了SSVI模型，其對(duì)隱含總方差w（k，θτ）的參數(shù)表達(dá)式的設(shè)定如下。

其中，k=ln（K/F）為對(duì)數(shù)化在值程度，θτ=σ2t（0，τ）τ為平價(jià)期權(quán)的隱含總方差，而w（k，θτ）為隱含總方差，反映了不同在值程度和剩余期限下的隱含總方差，從而刻畫了整個(gè)隱含波動(dòng)率曲面。在滿足極限limτ→0θτφ（θτ）存在的條件下，通過對(duì)φ（·）設(shè)定不同的函數(shù)形式可產(chǎn)生具有不同性質(zhì)的隱含波動(dòng)率曲面，其中較為常用的函數(shù)形式為φ（θ）=ηθγ（1-θ）1-γ，本文的實(shí)證即采用該函數(shù)形式。SSVI模型共有三個(gè)參數(shù){η，ρ，γ}，可以用每日各期限、各行權(quán)價(jià)期權(quán)的隱含波動(dòng)率作為輸入變量，進(jìn)行非線性最小二乘校準(zhǔn)參數(shù)。校準(zhǔn)參數(shù)時(shí)需要進(jìn)行最優(yōu)化尋找全局最優(yōu)解，參數(shù)值一定程度上依賴于初始值的設(shè)定。參數(shù)約束條件為η>0，-1≤ρ≤1，-1<γ<1。無蝶式、差期套利的約束條件為η（1+ρ）≤2。

（四）VGVV模型

VGVV模型由Carr和Wu（2016）提出，從標(biāo)的資產(chǎn)的隨機(jī)過程及隱含波動(dòng)率的隨機(jī)過程出發(fā)，在動(dòng)態(tài)無套利條件下通過期權(quán)定價(jià)公式推導(dǎo)出了隱含波動(dòng)率所滿足的偏微分方程。期權(quán)的Theta和其他幾個(gè)重要的希臘字母Vega、Gamma、Vanna、Volga由此統(tǒng)一聯(lián)系在偏微分方程中，因此該模型被稱為VGVV模型。

假設(shè)隱含波動(dòng)率It（k，τ）遵循比例型隨機(jī)波動(dòng)率曲面過程如下。

模型共有5個(gè)待估參數(shù){η，w，m，ρ，ν}，參數(shù)約束條件為η，w，ν>0，-1≤ρ≤1?？梢杂妹咳崭髌谙?、各行權(quán)價(jià)期權(quán)的隱含波動(dòng)率作為輸入變量，進(jìn)行非線性最小二乘校準(zhǔn)參數(shù)。校準(zhǔn)參數(shù)時(shí)需要進(jìn)行最優(yōu)化尋找全局最優(yōu)解，參數(shù)值一定程度上依賴于初始值的設(shè)定。由于上述方程直接反映了無套利隱含波動(dòng)率曲面應(yīng)該具有的形狀，因此不必額外施加無套利約束條件。給定{η，w，m，ρ，ν}的當(dāng)前值，隱含波動(dòng)率的解的形式如下。

本文以銅期權(quán)為研究對(duì)象進(jìn)行實(shí)證比較。銅期權(quán)掛牌的合約月份為與銅期貨相同的連續(xù)月份，由于銅期權(quán)的標(biāo)的銅期貨主力合約一般為近月合約，因此通常銅期權(quán)的當(dāng)月合約最為活躍，第二個(gè)月和第三個(gè)月合約的成交活躍度依次減弱，自第四個(gè)月合約起成交十分稀疏，而后續(xù)月份的合約幾乎少有成交。因此，我們?nèi)°~期權(quán)的前四個(gè)月合約的期權(quán)數(shù)據(jù)進(jìn)行隱含波動(dòng)率曲面擬合的實(shí)證比較。

本文通過Black模型由銅期權(quán)的每日收盤價(jià)推算出期權(quán)的隱含波動(dòng)率，作為擬合波動(dòng)率曲面的輸入變量，即市場(chǎng)觀測(cè)值。使用的實(shí)證數(shù)據(jù)包括銅期貨、銅期權(quán)的日收盤價(jià)數(shù)據(jù)，樣本期為2020年1月2日至2020年9月30日，數(shù)據(jù)來自上海期貨交易所。無風(fēng)險(xiǎn)利率使用對(duì)應(yīng)期權(quán)剩余期限的中債國(guó)債即期收益率，數(shù)據(jù)來自Wind。從市場(chǎng)實(shí)際交易情況來看，虛值合約的交易活躍度明顯大于實(shí)值合約，因此對(duì)于行權(quán)價(jià)低于標(biāo)的價(jià)格的，本文取虛值看跌期權(quán)合約來計(jì)算隱含波動(dòng)率作為市場(chǎng)觀測(cè)值，反之則取虛值看漲期權(quán)合約。同時(shí)，借鑒現(xiàn)有文獻(xiàn)的常用做法，我們對(duì)原始的銅期權(quán)數(shù)據(jù)進(jìn)行了篩選處理，以減少流動(dòng)性風(fēng)險(xiǎn)、市場(chǎng)噪聲和定價(jià)偏誤等帶來的影響。①剔除剩余期限小于或等于5個(gè)交易日的期權(quán)數(shù)據(jù)，期限很短的期權(quán)包含的時(shí)間價(jià)值或波動(dòng)信息已經(jīng)很少;②剔除收盤價(jià)格為1的合約，因?yàn)殂~期權(quán)的最小變動(dòng)價(jià)位為2，低于該價(jià)格的合約已難以反映其真實(shí)價(jià)格;③剔除違反期權(quán)理論價(jià)格上下限約束的不合理數(shù)據(jù)。

在實(shí)證比較中，本文首先針對(duì)不同市場(chǎng)情況（平穩(wěn)、上漲、下跌）下，將各模型擬合的曲面進(jìn)行舉例分析，探討其在不同市場(chǎng)情形下的適用性。然后進(jìn)一步使用2個(gè)指標(biāo)衡量波動(dòng)率曲面擬合模型的整體擬合精度，模型擬合誤差（V）和模型解釋比率R如式（7）和式（8）所示。

其中，V（k，τ）為隱含波動(dòng)率的市場(chǎng)觀測(cè)值，V︿（k，τ）為隱含波動(dòng)率的模型擬合值，k和τ分別為期權(quán)在值程度和剩余期限。因此，模型擬合誤差即為隱含波動(dòng)率的市場(chǎng)觀測(cè)值與模型擬合值之間的誤差，而模型解釋比率則類似于線性回歸中的R2，反映了能被模型解釋的信息（方差）比率。實(shí)證中我們分別計(jì)算了不同在值程度和剩余期限下的模型擬合誤差和模型解釋比率，考察各波動(dòng)率曲面模型在不同在值程度和剩余期限上的擬合效果。

四、實(shí)證比較結(jié)果

（一）不同市場(chǎng)條件下的擬合曲面比較

在使用模型擬合誤差和模型解釋比率兩個(gè)指標(biāo)對(duì)各模型對(duì)波動(dòng)率曲面的擬合精度進(jìn)行整體比較前，我們首先對(duì)各模型在不同市場(chǎng)條件下對(duì)波動(dòng)率曲面的擬合情況做一下直觀的比較。

圖1、圖2和圖3分別是市場(chǎng)平穩(wěn)震蕩期間（樣本為2020年9月8日）、市場(chǎng)上漲期間（樣本為2020年7月13日）和市場(chǎng)下跌期間（樣本為2020年3月16日）各模型擬合的波動(dòng)率擬合曲面。從圖中可以看出，各模型擬合的波動(dòng)率曲面都能在大致形態(tài)上反映出波動(dòng)率在不同在值程度和不同期限上的變化，即通常所說的波動(dòng)率微笑和波動(dòng)率期限結(jié)構(gòu)。

1市場(chǎng)平穩(wěn)震蕩期

在市場(chǎng)平穩(wěn)震蕩期，波動(dòng)率曲面通常在較短期限呈現(xiàn)較為標(biāo)準(zhǔn)的波動(dòng)率微笑，而隨著剩余期限的加長(zhǎng)，波動(dòng)率微笑逐漸趨于平坦。比較各模型擬合的波動(dòng)率曲面（見圖1）可以看到，其中二次多項(xiàng)式模型的曲面雖然整體光滑，但其在各期限都是標(biāo)準(zhǔn)的波動(dòng)率微笑，丟失了波動(dòng)率在期限結(jié)構(gòu)上的變化細(xì)節(jié);而VGVV模型在長(zhǎng)期限處的波動(dòng)率曲面則過于平坦;相比之下，SABR模型和SSVI模型對(duì)于波動(dòng)率曲面的刻畫更為細(xì)致準(zhǔn)確。

2市場(chǎng)上漲期

在市場(chǎng)上漲期，波動(dòng)率曲面通常呈現(xiàn)稍顯右偏（正偏）的波動(dòng)率偏斜，并隨著剩余期限的增長(zhǎng)趨于平坦。從圖2中可以看到，與市場(chǎng)平穩(wěn)期類似，二次多項(xiàng)式模型的曲面在各期限上的波動(dòng)率偏斜形態(tài)并沒有太大變化，丟失了較多細(xì)節(jié);VGVV模型在短期限處的波動(dòng)率偏斜有較好刻畫，但在長(zhǎng)期限處仍過于平坦;同樣地，SABR模型和SSVI模型對(duì)于市場(chǎng)上漲期的波動(dòng)率曲面刻畫更為準(zhǔn)確。

3市場(chǎng)下跌期

在市場(chǎng)下跌期，波動(dòng)率曲面經(jīng)常在短期限處呈現(xiàn)顯著左偏（負(fù)偏）的波動(dòng)率偏斜，隨著剩余期限的增長(zhǎng)雖有平緩，但在較長(zhǎng)期限處仍有較為明顯的波動(dòng)率偏斜存在。從圖3中可以看出，二次多項(xiàng)式模型的曲面在長(zhǎng)期限處的波動(dòng)率偏斜形態(tài)變化不大，同樣未體現(xiàn)出波動(dòng)率在期限結(jié)構(gòu)上的變化;而其他三個(gè)模型整體上對(duì)波動(dòng)率偏斜和波動(dòng)率期限結(jié)構(gòu)上的變化有較好地刻畫。值得注意的是，SSVI模型的波動(dòng)率擬合曲面對(duì)于左尾處（在值程度為085）的波動(dòng)率有明顯的偏差，相對(duì)于其他模型低估了左尾處的波動(dòng)率（該樣本下近月合約的左尾波動(dòng)率達(dá)到了60%左右，而SSVI模型擬合波動(dòng)率曲面后，其模型的左尾波動(dòng)率只有40%左右）。由此可見，在市場(chǎng)有較大波動(dòng)時(shí)，SSVI模型對(duì)于深度虛值處有相對(duì)較大的擬合誤差。

（二）模型整體擬合精度比較

1二次多項(xiàng)式模型

二次多項(xiàng)式模型最大的特點(diǎn)是參數(shù)校準(zhǔn)簡(jiǎn)單方便，無須最優(yōu)化，參數(shù)值不依賴于初始值的設(shè)定，因此模型擬合非常快速。但我們從表1中的模型擬合誤差均值和模型解釋方差比率可以看到，二次多項(xiàng)式模型僅對(duì)短期限的期權(quán)的擬合誤差均值相對(duì)較小，在2%左右，模型解釋度普遍在80%以上。但對(duì)于中期限和長(zhǎng)期限的期權(quán)，二次多項(xiàng)式擬合的波動(dòng)率誤差陡然上升，都達(dá)到了3%以上，部分深度虛值期權(quán)對(duì)應(yīng)的波動(dòng)率誤差均值甚至超過了10%，對(duì)應(yīng)的模型方差比率也大多為負(fù)值。

雖然二次多項(xiàng)式模型在計(jì)算上快速方便，但其對(duì)波動(dòng)率曲面的擬合誤差均值偏大，這令其在實(shí)際使用中很難滿足精度要求。

2SABR模型

與二次多項(xiàng)式模型單純的數(shù)據(jù)擬合不同，SABR模型本質(zhì)上是隨機(jī)波動(dòng)率模型，富有經(jīng)濟(jì)意義。在擬合時(shí)SABR模型要對(duì)期權(quán)的每個(gè)期限刻畫一條單獨(dú)的波動(dòng)率曲線，每條波動(dòng)率曲線需要校準(zhǔn)的待估參數(shù)有3個(gè)，這要求每條波動(dòng)率曲線上至少有4個(gè)數(shù)據(jù)質(zhì)量較好的點(diǎn)。因此如果遇到交易不活躍的情況，可能會(huì)導(dǎo)致SABR模型無法正常校準(zhǔn)參數(shù)。從實(shí)證使用的銅期權(quán)數(shù)據(jù)來看，基本能夠符合數(shù)據(jù)要求。

從實(shí)證數(shù)據(jù)來看，SABR模型需要每日擬合4條波動(dòng)率曲線，每條曲線在參數(shù)校準(zhǔn)時(shí)需要進(jìn)行最優(yōu)化，因此普遍耗時(shí)較長(zhǎng)，模型計(jì)算速度相對(duì)較慢，但在可接受范圍之內(nèi)。表2為SABR模型對(duì)樣本數(shù)據(jù)擬合波動(dòng)率曲面的模型擬合誤差均值和模型解釋方差比率。從擬合誤差來看，SABR模型對(duì)短中期剩余期限的波動(dòng)率擬合誤差均值都較小，多在05%左右，對(duì)于較長(zhǎng)剩余期限的波動(dòng)率擬合誤差均值也在1%左右，且其對(duì)虛值程度較深的波動(dòng)率擬合誤差均值也沒有顯著增大。而從模型解釋方差比率來看，對(duì)于不同在值程度和剩余期限，SABR模型擬合曲面計(jì)算的波動(dòng)率都有著很高的模型方差解釋比率，絕大多數(shù)都達(dá)到了95%以上。

因此，雖然SABR模型由于所需最優(yōu)化次數(shù)較多，在擬合效率上有所欠缺，但從其模型擬合誤差均值和模型解釋方差比率來看，有著很好的模型精度，遠(yuǎn)超二次多項(xiàng)式模型。

3SSVI模型

SSVI模型在刻畫每日的波動(dòng)率曲面進(jìn)行參數(shù)校準(zhǔn)時(shí)同樣需要最優(yōu)化，但與SABR模型不同的是，SSVI模型是直接對(duì)整個(gè)曲面進(jìn)行參數(shù)校準(zhǔn)，不需要對(duì)不同期限的每條波動(dòng)率曲線分別校準(zhǔn)，因此普遍耗時(shí)較SABR模型更短，模型計(jì)算速度快。SSVI模型有3個(gè)待估參數(shù)用于波動(dòng)率曲面校準(zhǔn)，因此理論上要求輸入模型的數(shù)據(jù)在所有期限的波動(dòng)率曲線上達(dá)到至少4個(gè)即可，除非遇到交易極度不活躍的情況，否則一般都可以滿足，其對(duì)模型的數(shù)據(jù)要求較SABR模型降低不少。

表3為SSVI模型對(duì)樣本數(shù)據(jù)擬合波動(dòng)率曲面的模型擬合誤差均值和模型解釋方差比率。從擬合誤差均值來看，SSVI模型對(duì)短、中和較長(zhǎng)期限的淺虛值（在值程度為095～105）的波動(dòng)率擬合誤差均值都相對(duì)較小，基本在1%以內(nèi);而隨著虛值程度的逐漸加深，其波動(dòng)率擬合誤差均值也隨之增大，在深度虛值處達(dá)到了3%以上。從模型解釋方差比率來看，除深度虛值以外的波動(dòng)率，模型在不同剩余期限上都有著較好的模型解釋方差比率，多數(shù)都在90%以上，而曲面在深度虛值處擬合的波動(dòng)率的模型解釋方差比率較低。

因此，從模型擬合誤差均值和模型解釋方差比率來看，SSVI模型對(duì)在值程度在09～11區(qū)間的淺虛值和虛值的波動(dòng)率擬合精度較好，但對(duì)深度虛值的波動(dòng)率擬合有明顯的誤差，整體上擬合誤差大于SABR模型。而從擬合效率來看，由于SSVI模型對(duì)數(shù)據(jù)要求較低，其擬合速度和參數(shù)穩(wěn)定性都優(yōu)于SABR模型。

4VGVV模型

VGVV模型在擬合波動(dòng)率曲面進(jìn)行參數(shù)校準(zhǔn)時(shí)也是對(duì)整個(gè)曲面進(jìn)行校準(zhǔn)，而不需要擬合每條波動(dòng)率曲線，其待校準(zhǔn)的參數(shù)為5個(gè)，其模型擬合的穩(wěn)定性和時(shí)間效率存在一定問題，在實(shí)際測(cè)算中，也發(fā)現(xiàn)其擬合波動(dòng)率曲面的平均耗時(shí)顯著高于SABR模型和SSVI模型。

表4為VGVV模型對(duì)樣本數(shù)據(jù)擬合波動(dòng)率曲面的模型擬合誤差均值和模型解釋方差比率。從擬合誤差均值來看，VGVV模型對(duì)短期限的波動(dòng)率擬合誤差均值相對(duì)較小，平均在1%左右;而剩余期限的拉長(zhǎng)，其波動(dòng)率擬合誤差也隨之增大，在中長(zhǎng)期剩余期限的波動(dòng)率擬合誤差在2%左右。從模型解釋方差比率來看，模型在短期限上有著較好的模型解釋方差比率，但在中長(zhǎng)期剩余期限下的模型解釋方差比率大多相對(duì)較低。

因此，在實(shí)證中VGVV模型擬合的波動(dòng)率曲面在短期限上有不錯(cuò)的擬合精度，但在中長(zhǎng)期期限上，VGVV模型的擬合精度相對(duì)較差一些，擬合誤差均值和解釋方差比率較SABR和SSVI模型都稍遜一籌。

五、總結(jié)

本文以銅期權(quán)為研究對(duì)象，對(duì)二次多項(xiàng)式模型、SABR模型、SSVI模型和VGVV模型的擬合精度和在不同市場(chǎng)情況下的適用性進(jìn)行了實(shí)證對(duì)比，表5給出了各模型擬合效果的對(duì)比結(jié)果。

雖然從擬合效率來看，二次多項(xiàng)式模型最為快速穩(wěn)定，但其刻畫的波動(dòng)率曲面在期限結(jié)構(gòu)的變化上丟失了較多細(xì)節(jié)，相比其他幾個(gè)模型存在較大的擬合誤差，使其難以運(yùn)用到實(shí)際市場(chǎng)中。

近年提出的VGVV模型雖然在理論上最富有經(jīng)濟(jì)意義，但從實(shí)證結(jié)果來看，其在較長(zhǎng)期限處的擬合誤差均值相比SABR和SSVI較大，同時(shí)其在擬合速度和參數(shù)穩(wěn)定性上也存在一定問題，整體上有著明顯的劣勢(shì)。

SABR模型和SSVI模型在擬合精度和擬合效率上都有著較好的效果，其中SABR模型在擬合精度上更好，SSVI模型則在擬合速度和參數(shù)穩(wěn)定性上更有優(yōu)勢(shì)。從模型設(shè)定上看兩者都滿足無套利條件，SABR模型本質(zhì)上是隨機(jī)波動(dòng)率模型，相比純數(shù)據(jù)擬合的SSVI模型更具有經(jīng)濟(jì)意義，而SSVI模型則對(duì)于數(shù)據(jù)要求相對(duì)較低。因此在實(shí)際應(yīng)用中，可根據(jù)市場(chǎng)情況和數(shù)據(jù)質(zhì)量，結(jié)合兩種模型得到最適合的隱含波動(dòng)率曲面。

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