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郭雪娟, 吉雁斐
(中北大學(xué) 理學(xué)院, 山西 太原 030051)
周期Jacobi矩陣形式如下
其中,αi∈R,βi>0,](i=1,2,…,n).周期Jacobi矩陣來(lái)源于周期Toda lattices和連分?jǐn)?shù)的應(yīng)用[1-2], 它的逆特征值問(wèn)題主要出現(xiàn)在逆散射問(wèn)題中, 具有十分重要的實(shí)際意義, Boley 和Golub在文獻(xiàn)[3-4]和Ferguson在文獻(xiàn)[5]中分別對(duì)此問(wèn)題進(jìn)行了相關(guān)研究.
本文對(duì)此類矩陣進(jìn)行推廣, 研究以下形式的子周期Jacobi矩陣逆特征值問(wèn)題[6-7]
(1)
記矩陣X的譜為σ(X), 對(duì)于式(1)中的矩陣Sn, 規(guī)定
(2)
問(wèn)題:給定一個(gè)正數(shù)β以及三個(gè)集合λ={λ1,λ2,…,λn}?C,μ(1)={μ1,μ2,…,μr}?R,μ(2)={μr+1,μr+2,…,μn-1}?R, 3≤r≤n, 其中λ在復(fù)共軛下是封閉的, 且滿足
λ1<μ1<λ2<…<λn-1<μn-1<λn.
(3)
求一個(gè)子周期Jacobi矩陣Sn使得
(4)
上述問(wèn)題簡(jiǎn)稱SPJIEP.
引理1[8]已知Jm是一個(gè)m階Jacobi矩陣且其次對(duì)角元為γ1,γ2,…,γm-1, 令si是特征值ξi對(duì)應(yīng)的單位特征向量,i=1,2,…,m, 則
χ′(ξi)s1ism,i=γ1γ2…γm-1,i=1,2,…,m,
其中,χ′(ξ)是χ(ξ)=det(ξIm-Jm)的導(dǎo)數(shù)且s1i和sm,i分別是si的第一個(gè)和最后一個(gè)分量.
引理2[9]已知{ξ1,ξ2,…,ξm}是一組在復(fù)共軛下是封閉的復(fù)數(shù), {η1,η2,…,ηm-1}是一組成對(duì)且互不相同的實(shí)數(shù), 且ηi?{ξ1,ξ2,…,ξm}, 則線性代數(shù)方程組
i=1,2,…,m.
因?yàn)镾r-1和Sr+1,n都是Jacobi矩陣, 所以這兩個(gè)矩陣均有實(shí)的且互異的特征值. 因此, 考慮
σ(Sn)=λ,λ={λ1,λ2,…,λn},
σ(Sr-1)=μ(1),μ(1)={μ1,μ2,…,μr-1},
(5)
σ(Sr+1,n)=μ(2),μ(2)={μr,μr+1,…,μn-1},
引理3[6]令N1={1,2,…,r-1}, N2={r,r+1,…,n-1},μ(1)和μ(2)如式(5)所示, 則:
2) 當(dāng)且僅當(dāng)μj∈μ(1)∩μ(2)時(shí),μj∈σ(Sn),j∈N2.
引理4[6]若μ(1)∩μ(2)=?, 且存在一個(gè)集合I={i1,i2,…,is}∈N1, 使得
則μi1,μi2,…,μis是Sn的特征值,Sn其余的特征值是有理函數(shù)
(6)
的n-s個(gè)零點(diǎn).
注1上述定理中的集合I可以為空集, 此時(shí)Sn的特征值即為式(2)的n個(gè)零解.
j∈(SI1)∪((N1S)I2),
則μj,j∈I1∪I2也是Sn的特征值, 其余特征值是有理函數(shù)
(7)
的n-t-s2個(gè)零點(diǎn).
注2上述定理中的集合I1或I2均可以為空集, 此時(shí)Sn的特征值可由式(7)類似得到.
定理1當(dāng)μ(1)∩μ(2)=?時(shí), 取I={1,2,…,s}, 令λi=μi,i∈I, 將μi,i∈(N1∪N2)I升序排列, 則不等式(8)成立.
λs+1<μs+1<λs+2<…<λn-1<μn-1<λn,
(8)
λt+s2+1<μt+s2+1<λt+s2+2<…<μn-1<λn.
(9)
證明1)μ(1)∩μ(2)=?,Sn的特征值滿足式(6), 即F1(λ)=0.將F1(λ)寫(xiě)作
其中,ci>0,i=1,2,…,n-1.對(duì)于一個(gè)充分小的正數(shù)ε,
F1(μi-ε)>0,
F1(μi+ε)<0,i=1,2,…,n-1,
F1(-∞)<0,F(xiàn)1(+∞)>0,
因此,λs+1<μs+1<λs+2<…<λn-1<μn-1<λn成立.
其中,ci>0,i=1,2,…,n-1, 且F2(λ)的極點(diǎn)為μ1,μ2,…,μt,μt+s2+1,μt+s2+2,…,μr-1,μr+t,…,μn-1, 已知μi,i∈S={1,2,…,t}和μj,j∈I1∪I2均為Sn的特征值, 不妨設(shè)λi=μi,i=1,2,…,t,λi=μi,i=t+1,t+2,…,t+s2, 則Sn剩余的特征值為F2(λ)的零點(diǎn), 即λt+s2+1,λt+s2+2,…,λn.又由于μi=μi+r+1,i=1,2,…,t, 則F2(λ)的極點(diǎn)為μt+s2+1,μt+s2+2,…,μr-1,μr,μr+1,…,μr+t+1,…,μn-1, 故類似μ(1)∩μ(2)=?的情況可知,F(xiàn)2(λ)的零點(diǎn)與極點(diǎn)也存在交錯(cuò)關(guān)系, 即λt+s2+1<μt+s2+1<λt+s2+2<…<μn-1<λn.
對(duì)于如SPJIEP所示的λ,μ(1)和μ(2), 本節(jié)按照
μ(1)∩μ(2)=?和μ(1)∩μ(2)≠?
兩種情形討論SPJIEP的可解性.
不失一般性, 考慮正整數(shù)集合I={1,2,…,s}, 且定義
j=s+1,s+2,…,n-1.
(10)
定理2對(duì)于如SPJIEP所示的正數(shù)β, 集合λ,μ(1)和μ(2).假設(shè)μ(1)∩μ(2)=?, I={1,2,…,s}?N1,λi=μi,i∈I, 且滿足不等式λs+1<μs+1<λs+2<…<λn-1<μn-1<λn.集合x(chóng)j,j=s+1,s+2,…,n-1如式(10)所示.當(dāng)且僅當(dāng)滿足下列條件時(shí)SPJIEP有解且有2r-s-1個(gè)不同的解:
證明必要性:假定存在一個(gè)形如式(1)的子周期Jacobi矩陣Sn使得式(4)成立. 由引理1可得
(11)
(12)
(13)
由式(12), 式(13)可知條件2)成立.
充分性:假定條件1)和2)成立, 考慮非零實(shí)數(shù)xj,j=s+1,s+2,…,n-1如式(10)所示, 定義
(14)
(15)
(16)
(17)
(18)
注3上述定理中I可以為空集, 此時(shí)SPJIEP有解的充要條件可由定理2類似得到, 且最多有2r-1個(gè)不同的解.
考慮正整數(shù)集合I1={1,2,…,s1}, I2={t+1,t+2,…,t+s2}, 且定義
j=t+s2+1,t+s2+2,…,n-1.
(19)
1) 存在任意實(shí)數(shù)θj?{0,1}, 使得θjxr-1+j>0, (1-θj)xr-1+j>0,j∈SI1;
證明必要性: 可由定理2中必要性的證明類似得到.
充分性:假定條件1)~4)均成立, 考慮非零實(shí)數(shù)xj,j=t+s2+1,t+s2+2,…,n-1如式(19)所示, 定義
(20)
(22)
(23)
由于θj?{0,1}是任意的, 所以滿足上述所有條件可以得到無(wú)窮多個(gè)解.
注4上述定理中I1, I2均可以為空集, 此時(shí)SPJIEP有解的充要條件可由定理3類似得到, 且均有無(wú)窮多解.
推論1對(duì)于如SPJIEP所示的正數(shù)β, 集合λ,μ(1)和μ(2), 假設(shè)μ(1)∩μ(2)=?, I={1,2,…,s}?N1,λi=μi,i∈I, 且滿足λs+1<μs+1<λs+2<…<λn-1<μn-1<λn.集合x(chóng)j,j∈(N1∪N2)I如式(10)所示.當(dāng)且僅當(dāng)滿足下列條件時(shí)SPJIEP有唯一解:
2) 定理2中的條件2)成立;
其中I為空集時(shí)SPJIEP有唯一解的充要條件可由推論1類似得到.
下面將建立構(gòu)造子周期Jacobi矩陣Sn的算法.
算法 1SPJIEP的解
輸入: 如SPJIEP中所示的β,λ,μ(1),μ(2)
輸出:Sn.
1) 若μ(1)∩μ(2)=?, 則接步驟2), 否則接步驟4);
2) 由式(10)計(jì)算xj,j∈(N1∪N2)I;
5) 由式(19)計(jì)算xj,j=t+s2+1,t+s2+2,…,n-1, 并在R{0,1}中選擇θj?{0,1},j∈(SI1);
8) 如果滿足定理2中的條件4)~5), 則可通過(guò)向前的Lanczos算法分別結(jié)合(I1,μ(1),g1)和(I2,μ(2),g2)重構(gòu)矩陣Sr-1和Sr+1,n, 否則該問(wèn)題無(wú)解;
10) 輸出Sn, 結(jié)束.
例1令n=7,r=4, 給定正數(shù)β=1和集合λ,μ(1),μ(2), 如表1 所示.
表1 譜數(shù)據(jù)λ={λ1,λ2,…,λ7}, μ(1)={μ1,μ2,μ3},μ(2)={μ4,μ5,μ6}
顯然μ(1)∩μ(2)=?且I=?, 由算法1可得
x1=0.439 198 451 967 014,
x2=0.475 249 790 525 101,
x3=1.085 551 757 507 88,
x4=0.989 147 543 776 782,
x5=1.748 293 216 267 16,
x6=1.262 559 239 956 07,
表的主對(duì)角元與次對(duì)角元
表3 輸入的譜數(shù)據(jù)λ,μ(1),μ(2)和輸出的譜數(shù)據(jù)對(duì)比結(jié)果
本文共分μ(1)∩μ(2)=?和μ(1)∩μ(2)≠?兩種情況依次討論了子周期Jacobi矩陣的逆特征值問(wèn)題. 首先得到了關(guān)于λ, μ(1)和μ(2)的交錯(cuò)不等式,其次, 在建立算法去構(gòu)造子周期Jacobi矩陣的過(guò)程中, 由于中的符號(hào)“+”或“-”都可取, 因此, 我們構(gòu)造出了8個(gè)不同的且均滿足SPJIEP有解的充要條件的矩陣, 實(shí)例仿真表明構(gòu)造出的8個(gè)矩陣的譜數(shù)據(jù)與給定的譜數(shù)據(jù)誤差極小, 驗(yàn)證了本文所給算法的有效性.