焦 媛，靳海娟，張秀鋒

（長治學院數(shù)學系，山西長治 046011）

生態(tài)學和生物數(shù)學在人口預測、保護珍稀物種、生物資源的開發(fā)與利用方面有很重要的研究價值，而生物種群中最常見的捕食系統(tǒng)因此也具有普遍的存在性和重要性。最常用的兩個物種的Leslie-Gower捕食模型：

再通過加入環(huán)境或人為對被捕食者的保護mx來拓展模型(2),改進的模型為：

考慮到環(huán)境中的隨機波動的影響，在系統(tǒng)(3)的每一個方程中都引入高斯白噪聲來模擬環(huán)境影響[1-3],再假設環(huán)境的波動主要體現(xiàn)在捕食者和被捕食者的物種數(shù)量增長率的波動,，這里的均表示相互獨立的布朗噪聲,α 和β代表的是各物種增長率受到的白噪聲的強度,接著對應于確定性模型系統(tǒng)(3),則隨機系統(tǒng)有以下形式：

由于系統(tǒng)受到環(huán)境或自然界中會出現(xiàn)狀態(tài)機制發(fā)生巨大變化的情形。例如：地震、環(huán)境驟變、極端天氣等造成的影響，所以仍需進一步的研究。要考慮狀態(tài)機制的轉變導致物種結構的改變,引入馬爾可夫鏈,設γ(t)，t ≥0 是在概率空間中的一個右連續(xù)的馬爾可夫鏈,在一個有限的狀態(tài)空間S={1,2,…,N} 中取值的以及它的發(fā)生器Γ=(ξij)N×N則有以下

假設馬爾可夫鏈γ(·)是獨立于布朗運動B(·)。也可以任意修改初始值γ(0)=i0∈S，所以可以得到對于任意的馬爾可夫鏈是固定的。眾所周知,幾乎所有γ(·)的樣本路徑都是一個右連續(xù)的階梯函數(shù),在區(qū)間R:=[0,∞)的任何有限的子區(qū)間內都是有有限個樣本跳躍。

由系統(tǒng)(5) 描述的捕食模型的活動機制可以解釋為如下方程。假設最初的值為γ(0)=i ∈M，那么模型(5)滿足

一直到γ(t)跳轉到另一個狀態(tài)才會改變。當跳轉到新的狀態(tài)稱之為j ∈M之后,模型將變?yōu)?/p>

運用伊藤公式和解隨機微分方程的方法,來證明隨機系統(tǒng)的全局正解的存在性和唯一性以及物種數(shù)量的有界性；再利用馬爾可夫鏈的遍歷理論和鞅的強大數(shù)定律研究以及證明其物種的滅絕性和持久性。

1 全局正解的存在性和唯一性

定理1給定初值(X(0),Y(0))∈,系統(tǒng)(4) 在t ≥0上有唯一解(X(t),Y(t)),在上的概率為1。

證明在系統(tǒng)(4)中,引入新的變量U(t)=ln X(t)和W(t)=ln Y(t)并且應用伊藤公式,得到如下轉換系統(tǒng)：

系統(tǒng)具有初始值為U(0)=ln X(0)，W(0)=ln Y(0)。顯然地，式(6)的系數(shù)滿足局部的利普希茲條件；因此，方程存在一個唯一的局部解(U(t),W(t))t ∈[0,τe)，這里的τe代表的是數(shù)量激增時間[4]，最后得到X(t)=eU(t)，Y(t)=eW(t)是系統(tǒng)(4)基于正初始條件下的唯一的局部解。只需要證明得τe=∞即可。

通過隨機方程的比較定理[3],可以得到當時t ∈[0,τe)時X(t)≤φ(t)，Y(t)≤ψ(t)。

假設有τe＜∞,那么則就有存在一個T ＞0 有不等式P(τe＜T)＞0 成立而且令ω ∈(τe＜T)。從文獻[3]中的定理A2,有

因此

這個與已知的條件是矛盾的,所以有τe=∞。

2 有界性

定理2給任意初值(X(0),Y(0))∈，系統(tǒng)(4)的解X(t),Y(t)，均有以下性質：

(i)對于任意給定的正常數(shù)p,有

(ii)如果對于任意的ε ＞0,對于任何的初始數(shù)據(jù)(X(0),Y(0))∈均存在一個常數(shù),且有

系統(tǒng)(4)的解則稱為隨機有界的。

證明(i)由于伊藤公式,可以得到

接著對方程的兩邊做積分有

再利用隨機積分[5-6]的性質,可得

考慮不等式(9),可以得到

關于t的導數(shù)為

由伊藤公式,可以得到

重新排列方程(10),可以得到

這里的Cp在式(8)中被定義以及

因為有

3 滅絕性和持久性

關于加入馬爾可夫鏈系統(tǒng)(5)的性質,當狀態(tài)機制發(fā)生轉變系統(tǒng)是否具有穩(wěn)定性。

定理3(i)若＜0,在捕食者滅絕的情況下,被捕食者的數(shù)量短期內呈指數(shù)級增長依概率收斂于1,即為

證明(i)由于伊藤公式,我們化簡系統(tǒng)(5)的第一個方程得

對上式兩邊做積分,可以得到

再通過馬爾可夫鏈的遍歷理論以及鞅的強大數(shù)定律,可以分別得到以下等式

(ii)類似于(i)的證明，運用伊藤公式化簡系統(tǒng)(5)的第二個方程，得到關于ln Y(t)的等式。

證明得余下部分與(i)的證明相似故省略。

4 結語

主要研究了在隨機擾動和狀態(tài)轉變下,帶有食餌避難響應的Leslie-Gower 捕食系統(tǒng).分別研究并證明系統(tǒng)的全局正解的存在唯一性以及物種數(shù)量的有界性,表明此系統(tǒng)是符合生物生態(tài)學的,具有可研究性.證明物種的滅絕性和持久性,表明在環(huán)境擾動和狀態(tài)突變的情況下,只要物種保持在一定數(shù)量狀態(tài),那么最終一定會趨于穩(wěn)定。