張 倫，呂小紅，高 博

（1.蘭州交通大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，蘭州 730070；2.甘肅省軌道交通裝備系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)與可靠性重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，蘭州 730070；3.蘭州長(zhǎng)信機(jī)車配件有限公司，蘭州 730070）

0 引言

齒輪系統(tǒng)現(xiàn)如今被廣泛運(yùn)用于機(jī)械、航空、船舶等行業(yè)。因?yàn)槠涫菣C(jī)器中最主要的運(yùn)動(dòng)及動(dòng)力傳遞裝置，其動(dòng)態(tài)性能的好壞會(huì)直接影響整個(gè)機(jī)器的運(yùn)行狀態(tài)［1］。有些學(xué)者已經(jīng)對(duì)沖擊碰撞系統(tǒng)的周期運(yùn)動(dòng)行為進(jìn)行了大量研究，這類研究方法同樣適用于斜齒輪振動(dòng)系統(tǒng)中［2-3］。蘇程等［4］研究了不同側(cè)隙值下，嚙合阻尼比對(duì)單級(jí)齒輪傳動(dòng)的影響；劉大亮等［5］在考慮齒側(cè)間隙對(duì)齒輪動(dòng)態(tài)特性影響的同時(shí)，還考慮了軸承間隙對(duì)整個(gè)系統(tǒng)的影響；田亞平等［6］采用數(shù)學(xué)理論推導(dǎo)與數(shù)值分析相結(jié)合的方法，對(duì)齒輪與轉(zhuǎn)子耦合系統(tǒng)進(jìn)行了仿真研究。還有一些文獻(xiàn)對(duì)故障齒輪系統(tǒng)進(jìn)行了動(dòng)力學(xué)行為研究［7-9］。

本文主要建立斜齒輪模型，兼顧考慮齒側(cè)間隙和軸承間隙，繪制分岔圖與相軌跡圖來揭示其動(dòng)力學(xué)行為，為此系統(tǒng)設(shè)計(jì)安全性和平穩(wěn)性提供理論依據(jù)，并且結(jié)合工程應(yīng)用實(shí)際，模擬斜齒輪系統(tǒng)輕微磨損狀態(tài)，進(jìn)行了磨損狀態(tài)的動(dòng)力學(xué)行為探究。

1 模型建立

圖1所示為一種斜齒輪傳動(dòng)動(dòng)力學(xué)模型。假設(shè)：（1）齒輪和軸均為剛性元件，不考慮軸和軸承的質(zhì)量；（2）齒輪為對(duì)稱安裝，不存在偏心，并且將安裝的誤差計(jì)入齒輪的綜合傳動(dòng)誤差；（3）整個(gè)支撐系統(tǒng)和嚙合副簡(jiǎn)化為阻尼元件和剛度元件，齒輪1為左旋齒輪，齒輪2為右旋齒輪，壓力角α=20°，螺旋角β=18°，模數(shù)m=0.003，齒數(shù)比為35∶67。

圖1 斜齒輪動(dòng)力學(xué)模型

振動(dòng)和誤差導(dǎo)致斜齒輪副沿嚙合點(diǎn)法線方向的相對(duì)微位移為：

斜齒輪副沿法線方向的嚙合力及各個(gè)坐標(biāo)軸方向的分力分別為：

式中：R1、R2分別為齒輪1和齒輪2的基圓半徑；θ1、θ2分別為齒輪1和2的旋轉(zhuǎn)角位移；e（τ）為斜齒輪副的時(shí)變綜合誤差函數(shù)；k（τ）為時(shí)變嚙合剛度；cn為嚙合阻尼；F1X、F1Y、F1Z分別為齒輪1所受的徑向力、軸向力和切向力。

齒輪副時(shí)變嚙合剛度可表示為：

式中：km為齒輪副的平均嚙合剛度；ea為無量綱剛度幅值；ω為無量綱嚙合頻率；ε為初相位。

時(shí)變綜合誤差函數(shù)可表示為：

采用集中質(zhì)量法建立運(yùn)動(dòng)微分方程如下：

式中：Mi為齒輪i的質(zhì)量；Ri為齒輪i的基圓半徑；Xi、Yi、Zi為齒輪i沿X、Y、Z坐標(biāo)軸方向的微位移（其中X¨i，X·

i為齒輪i沿X軸方向微位移的二階和一階導(dǎo)數(shù)；Y、Z方向同理，不贅述）；θi為旋轉(zhuǎn)角位移；Cij，Kij為支撐阻尼和支撐剛度；T1，T2分別為輸入和輸出轉(zhuǎn)矩；i=1，2；j=X，Y，Z。

引入無量綱參數(shù)：

xi=Xi/bc，yi=Yi/bc，zi=Zi/bc，t=ωnτ，特征頻率ωn=為齒輪嚙合副的當(dāng)量質(zhì)量；其中mi=為齒輪i當(dāng)量質(zhì)量。則有無量綱運(yùn)動(dòng)微分方程：

f（xn）和g（x1）分別為齒側(cè)間隙函數(shù)和齒輪1在x方向上的支撐間隙函數(shù)。均可表示為：

2 動(dòng)力學(xué)行為研究

斜齒輪系統(tǒng)是受周期激勵(lì)的系統(tǒng)，其激勵(lì)周期為T=2π/ω，θ=ωt，因此取Poincaré截面為：

2.1 嚙合阻尼比對(duì)系統(tǒng)分岔特性的影響

根據(jù)無量綱運(yùn)動(dòng)微分方程，取系統(tǒng)的基準(zhǔn)參數(shù)如下：特征尺寸bc=30×10-6，特征頻率ωn=23 414，無量綱齒側(cè)間隙b=1，無量綱輸入載荷p1=0.048，選取無量綱嚙合頻率區(qū)域ω∈［0.2，3.0］，對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)值分析，得到如圖2所示不同嚙合阻尼比下的系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)分岔圖。通過圖2（a）可知，在嚙合阻尼比ξ=0.01條件下，當(dāng)嚙合頻率ω＞2.45時(shí)，系統(tǒng)處于穩(wěn)定的周期1運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。隨著ω的遞減，當(dāng)ω穿越2.45時(shí)，系統(tǒng)經(jīng)倍化分岔進(jìn)入短暫周期2運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。ω繼續(xù)遞減，在ω∈［1.45，2.29］范圍內(nèi)，系統(tǒng)呈現(xiàn)出大幅的混沌區(qū)域，此時(shí)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)極不穩(wěn)定，并且在ω∈［1.94，2.15］范圍內(nèi)，夾雜著短暫的周期3運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。而在ω∈［1.24，1.45］的區(qū)間內(nèi)，如圖2（b）所示，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)經(jīng)歷了周期8—混沌—周期4—周期2的變化過程，大體呈現(xiàn)出逆倍化分岔的形式。而后系統(tǒng)又經(jīng)歷了混沌—周期2—周期1—混沌—周期1等運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，并且在跨越ω=0.536時(shí)，經(jīng)跳躍分岔轉(zhuǎn)遷為穩(wěn)定的周期1運(yùn)動(dòng)，此時(shí)系統(tǒng)恢復(fù)穩(wěn)定。

當(dāng)ξ增加至0.03時(shí)，系統(tǒng)分岔圖如圖2（c）所示。與ξ=0.01時(shí)相比較而言，混沌區(qū)域略微減少，周期運(yùn)動(dòng)區(qū)域有所增加。具體運(yùn)動(dòng)形式表現(xiàn)如下：當(dāng)ω＞2.266時(shí)，隨著嚙合頻率ω的遞減，系統(tǒng)經(jīng)由周期1—周期2—周期4倍周期序列分岔進(jìn)入混沌。隨著控制參數(shù)繼續(xù)遞減，系統(tǒng)經(jīng)歷了一片混沌區(qū)域，在跨越ω=1.981時(shí)，系統(tǒng)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)發(fā)生改變，由混沌運(yùn)動(dòng)退化為穩(wěn)定的周期24運(yùn)動(dòng)。接著經(jīng)由一系列的逆倍化分岔過程：周期24—周期12—周期6—周期3，在ω=1.70時(shí)結(jié)束周期3運(yùn)動(dòng)，并且在嚙合頻率ω∈［1.53，1.70］時(shí)系統(tǒng)再次失去穩(wěn)定性，表現(xiàn)為混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，而在此區(qū)域內(nèi)還包含著極短暫的周期2運(yùn)動(dòng)。當(dāng)ω＜1.53后，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)經(jīng)歷了周期8—周期4—周期2—周期1—（跳躍分岔）—周期1的變化過程。

繼續(xù)增加嚙合阻尼比ξ的值，取ξ=0.05，系統(tǒng)分岔圖如圖2（d）所示。此時(shí)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)形式變化比較簡(jiǎn)單，不存在離散的混沌區(qū)域，運(yùn)動(dòng)形式與ξ=0.03時(shí)大致相似。隨著嚙合頻率ω遞減，系統(tǒng)同樣經(jīng)歷了周期1—周期2—周期4的倍化分岔過程，在ω=2.2時(shí)，系統(tǒng)失去穩(wěn)定性進(jìn)入混沌運(yùn)動(dòng)。與ξ=0.03所異的是，此時(shí)的混沌運(yùn)動(dòng)是一片連續(xù)的區(qū)域，不存在混沌—逆倍化分岔—混沌的變化過程。ω繼續(xù)遞減至1.65時(shí)，系統(tǒng)結(jié)束混沌運(yùn)動(dòng)，回歸到穩(wěn)定的周期8運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，并且經(jīng)歷一系列逆倍化分岔，最終變?yōu)榉€(wěn)定的周期1運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。圖3所示為ω∈［0.2，1.65］區(qū)間時(shí)系統(tǒng)經(jīng)歷逆倍化分岔過程的相圖與Poincaré映射圖的疊加，可以清晰地觀察到這一系列分岔過程。

圖2 不同嚙合阻尼比條件下系統(tǒng)分岔

圖3 逆倍化分岔過程

圖3中，xn為無量綱相對(duì)位移；為無量綱相對(duì)速度；ω為無量綱嚙合頻率。

2.2 輸入載荷對(duì)系統(tǒng)分岔特性的影響

保持系統(tǒng)基準(zhǔn)參數(shù)不變，綜合考慮取系統(tǒng)嚙合阻尼比ξ=0.03。通過改變無量綱輸入載荷的值，進(jìn)行數(shù)值分析，得到如圖4所示的系統(tǒng)分岔圖。

通過圖4（a）可以觀察到，在無量綱輸入載荷p1=0.027條件下，系統(tǒng)在嚙合頻率ω＞2.28時(shí)呈現(xiàn)出穩(wěn)定的周期1運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。當(dāng)嚙合頻率ω遞減穿越2.28時(shí)，系統(tǒng)的周期1運(yùn)動(dòng)經(jīng)倍化分岔進(jìn)入周期2運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，隨后在嚙合頻率遞減穿越ω=2.145時(shí)，系統(tǒng)再次經(jīng)倍化分岔進(jìn)入短暫的周期4運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。隨著ω繼續(xù)遞減，系統(tǒng)的周期運(yùn)動(dòng)變得更加多樣。在ω∈［1.24，2.125］和ω∈［0.96，1.065］的區(qū)域，系統(tǒng)出現(xiàn)了被周期運(yùn)動(dòng)間隔開來的大面積混沌運(yùn)動(dòng)，其中，ω∈［1.24，2.125］區(qū)間內(nèi)出現(xiàn)了極小范圍的周期窗口。從嚙合頻率ω=1.24開始遞減，系統(tǒng)依次呈現(xiàn)的周期運(yùn)動(dòng)分別是周期8—周期4—周期2—周期4—周期2—周期1運(yùn)動(dòng)。其中周期1運(yùn)動(dòng)并不是一直表現(xiàn)出穩(wěn)定狀態(tài)，在ω遞減穿越ω=0.57后，系統(tǒng)發(fā)生跳躍分岔，之后系統(tǒng)才趨于穩(wěn)定。

另一方面，在無量綱輸入載荷p1=0.048的基礎(chǔ)上，將p1增大至0.063，其分岔圖如圖4（b）所示。在嚙合頻率ω遞減至2.3時(shí)，系統(tǒng)依次發(fā)生周期一—周期二—周期四的倍周期分岔序列。ω繼續(xù)遞減，在ω∈［1.75，2.3］區(qū)間，系統(tǒng)呈現(xiàn)出大幅的混沌嚙合運(yùn)動(dòng)。如ω=2.0時(shí)，系統(tǒng)的Poincaré映射圖為一系列雜亂的密集點(diǎn)，相軌跡形成不封閉的曲線，如圖5所示，證明此時(shí)確實(shí)是混沌運(yùn)動(dòng)。在嚙合頻率穿越ω=1.75時(shí)，系統(tǒng)從混沌運(yùn)動(dòng)退化為周期8運(yùn)動(dòng)。并且經(jīng)歷一系列逆倍化分岔，即周期8—周期4—周期2—周期1和兩次跳躍分岔，分別發(fā)生在ω=1.25和ω=0.71之后，系統(tǒng)最終轉(zhuǎn)遷為穩(wěn)定周期1運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。

圖4 不同輸入載荷條件下系統(tǒng)分岔

圖5 ω=2.0 Poincaré映射圖和相圖

3 磨損條件下動(dòng)力學(xué)行為研究

斜齒輪相比直齒輪而言，其嚙合過程是一個(gè)過渡的過程，齒面的力是由小到大，再由大到小逐漸增加的。并且其重合度較大，所以適用于高速重載的場(chǎng)合。正是由于重載的因素，長(zhǎng)期運(yùn)轉(zhuǎn)的斜齒輪系統(tǒng)便會(huì)發(fā)生磨損。如果忽視磨損等問題，就會(huì)造成意想不到的事故，故而對(duì)于磨損狀態(tài)下運(yùn)轉(zhuǎn)的斜齒輪，有必要研究其動(dòng)力學(xué)行為。

齒輪磨損會(huì)直接導(dǎo)致齒輪嚙合間隙增大，主要可以分為單齒磨損和多齒磨損（或全齒磨損）兩種狀態(tài)。這里結(jié)合實(shí)際情況，以全齒均勻磨損來進(jìn)行研究。

當(dāng)全齒磨損故障發(fā)生時(shí)，可以用新的齒側(cè)間隙函數(shù)f1（t）來作近似模擬［10］。

f1（t）可表示為：

式中：b為原始無量綱齒側(cè)間隙為1.0；a為磨損故障的齒側(cè)間隙，即全齒磨損的劇烈程度。

磨損狀態(tài)系統(tǒng)分岔圖如圖6所示。為了方便與正常運(yùn)轉(zhuǎn)狀態(tài)作比較，保持系統(tǒng)基準(zhǔn)參數(shù)不變，取嚙合阻尼比ξ=0.03。首先取a=0.1來模擬輕微磨損故障，得到如圖6（a）所示的全局分岔圖。對(duì)比圖6（a）與圖2（c），斜齒輪系統(tǒng)在輕微磨損狀態(tài)下的分岔圖變化不大。在高頻區(qū)域，依舊是經(jīng)過倍化分岔進(jìn)入混沌運(yùn)動(dòng)，但是倍化分岔的區(qū)間有所減小。而更加明顯的區(qū)別在于，兩段混沌運(yùn)動(dòng)之間嵌入的周期六運(yùn)動(dòng)幾乎消失不見，周期三窗口也略微有所減小。另一點(diǎn)主要區(qū)別在于，當(dāng)嚙合頻率ω∈［1.0，1.3］區(qū)域時(shí)，系統(tǒng)不再是穩(wěn)定的周期運(yùn)動(dòng)，如圖6（b）為ω∈［1.0，1.3］的局部分岔圖。具體表現(xiàn)為ω＞1.132時(shí)為混沌運(yùn)動(dòng)，ω＜1.132時(shí)為穩(wěn)定周期運(yùn)動(dòng)，可通過圖7所示的相圖和Poincaré映射圖加以驗(yàn)證。

圖6 磨損狀態(tài)系統(tǒng)分岔

圖7 輕微磨損故障相圖及Poincaré映射圖

取a=0.3來模擬齒輪系統(tǒng)劇烈磨損狀態(tài)，得到系統(tǒng)分岔圖如圖6（c）所示。當(dāng)ω＞1.88時(shí)，系統(tǒng)處于穩(wěn)定周期1運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，當(dāng)ω穿越1.88時(shí)，周期1運(yùn)動(dòng)經(jīng)Hopf分岔轉(zhuǎn)遷為概周期或混沌運(yùn)動(dòng)，直到ω穿越0.7時(shí)，系統(tǒng)經(jīng)跳躍分岔退化為穩(wěn)定周期1運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，結(jié)束一系列混沌運(yùn)動(dòng)。圖6（d）為ω∈［1.51，1.66］的系統(tǒng)局部分岔圖，可以看到，此區(qū)間并非周期運(yùn)動(dòng)，而是混沌運(yùn)動(dòng)區(qū)間。

4 結(jié)束語

本文針對(duì)斜齒輪系統(tǒng)，建立包含齒側(cè)間隙、軸承間隙和嚙合阻尼比等在內(nèi)的齒輪系統(tǒng)非線性動(dòng)力學(xué)模型。通過對(duì)斜齒輪系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)行為的研究，得出如下結(jié)論。

（1）在斜齒輪系統(tǒng)中，嚙合阻尼比的改變會(huì)使得系統(tǒng)的周期運(yùn)動(dòng)形式多樣化。當(dāng)嚙合阻尼比較大時(shí)，系統(tǒng)的混沌嚙合運(yùn)動(dòng)區(qū)間比較集中，分岔形式比較單一。隨著嚙合阻尼比的減小，系統(tǒng)會(huì)出現(xiàn)陣發(fā)性混沌區(qū)域，并且混沌區(qū)域的無量綱相對(duì)位移幅值更大。說明此時(shí)系統(tǒng)的沖擊猛烈、穩(wěn)定性弱。

（2）輸入載荷的改變也會(huì)對(duì)系統(tǒng)產(chǎn)生較大的影響。具體表現(xiàn)為輸入載荷很小時(shí)，系統(tǒng)處于中頻運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)基本上全是混沌嚙合運(yùn)動(dòng)，此時(shí)對(duì)齒輪系統(tǒng)以及整個(gè)機(jī)械設(shè)備都有極大的負(fù)面影響。而伴隨著輸入載荷的增加，混沌區(qū)域會(huì)有明顯的縮小，并且在中頻運(yùn)轉(zhuǎn)向低頻過渡時(shí)混沌運(yùn)動(dòng)被周期運(yùn)動(dòng)取代，穩(wěn)定周期運(yùn)動(dòng)所占比值增加。輸入載荷越大，系統(tǒng)的周期運(yùn)動(dòng)形式越單調(diào)，越趨于穩(wěn)定。

（3）在輕微磨損狀態(tài)下，系統(tǒng)的運(yùn)行狀態(tài)變化不大，只是對(duì)低中頻區(qū)間有著微小的負(fù)面影響。而在劇烈磨損的條件下，整個(gè)系統(tǒng)在中頻區(qū)域皆處于混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，說明此時(shí)齒輪系統(tǒng)已經(jīng)出現(xiàn)嚴(yán)重的隱患，有必要考慮對(duì)齒輪進(jìn)行處理，例如更換潤(rùn)滑油或者直接更換齒輪，以免發(fā)生事故。