吳世玕

無論是數(shù)學(xué)分析還是高等數(shù)學(xué)，都介紹了復(fù)合函數(shù)極限運(yùn)算法則及泰勒公式.復(fù)合函數(shù)極限運(yùn)算法則一般陳述如下：

設(shè)函數(shù)y=f[g(x)]是由函數(shù)u=g(x)與函數(shù)y=f(u)復(fù)合而成，f[g(x)]在點(diǎn)x0的某去心鄰域內(nèi)有定義，若，且 存 在δ0＞0，當(dāng)x∈時，有g(shù)(x)≠u0，則A.［1?2]

法則中提出限制性條件：“存在δ0＞0，當(dāng)x∈UO(x0,δ0)時，有g(shù)(x)≠u0”，為何要有這個限制性條件，文獻(xiàn)［3?5]用具體實(shí)例說明，如果沒有上述條件，法則的結(jié)論就有可能不成立，或者說，沒有這個條件，法則就更不容易證明.但這些文獻(xiàn)，并沒有從理論上分析，為什么要在法則中提出這個限制性條件.

文獻(xiàn)［2]中，提出用n次多項(xiàng)式pn(x)近似一般的復(fù)雜函數(shù)f(x)，類似于微分概念，要求誤差為.緊接著又提出要求，= 0,1,2,…,n.從而推導(dǎo)出f(x)的n階泰勒公式.初學(xué)者會有這樣的疑惑：教材上提的要求有點(diǎn)太多，或者說，這兩個要求是否矛盾.當(dāng)然，教材上證明了它們不會產(chǎn)生矛盾，這兩個要求是相容的.作為教師，要站在學(xué)生的角度，從探求的角度去發(fā)現(xiàn)結(jié)論，而不是先給出結(jié)論，再來證明結(jié)論.可以從第一個要求出發(fā)，去發(fā)現(xiàn)f(x)的n階泰勒公式的系數(shù)，這樣更貼近初學(xué)者的認(rèn)識規(guī)律.

1 復(fù)合函數(shù)極限運(yùn)算法則中限制性條件g(x)≠u0的理解

1.1 用極限定義解釋函數(shù)極限運(yùn)算法則中的限制性條件g(x)≠u0

若函數(shù)y=f(u)在u=u0點(diǎn)處無定義，而在討論極限時，極限定義中要求f[g(x)]在x0點(diǎn)的某個去心鄰域內(nèi)有定義，因此，就要求在內(nèi)，g(x)≠u0.

若函數(shù)y=f(u)在u=u0點(diǎn)處有定義，但f(u0)≠A.且要求結(jié)論

那么，何時可以去掉限制性條件“存在δ0＞0，當(dāng)時，有g(shù)(x)≠u0”？由以上分析可知，若函數(shù)y=f(u)在u=u0點(diǎn)處有定義，且，則可以去掉這個條件.也就是說，當(dāng)函數(shù)y=f(u)在點(diǎn)u0處連續(xù)時，可以去掉這個限制性條件.

1.2 用實(shí)例解釋復(fù)合函數(shù)極限運(yùn)算法則中的限制性條件

在利用無窮小等價替換求極限時，復(fù)合函數(shù)極限運(yùn)算法則起到很重要的作用，比如x→0時，

利用復(fù)合函數(shù)極限運(yùn)算法則，只要在x的某無限變化過程中，φ(x)→ 0,φ(x) ≠0，就有

其中要求φ(x)≠0，就是復(fù)合函數(shù)極限法則中的限制性條件［6].

2 泰勒公式的系數(shù)

泰勒公式的系數(shù)是用導(dǎo)數(shù)計(jì)算的，但有時，高階導(dǎo)數(shù)比較難求，或高階導(dǎo)數(shù)公式很麻煩，可以通過其他方法求泰勒公式的系數(shù).特別是求復(fù)合函數(shù)的泰勒公式的系數(shù)，可以嘗試通過極限方法求出.

2.1 用極限方法推導(dǎo)泰勒公式的系數(shù)

設(shè)f(x)在x0處具有n階導(dǎo)數(shù)，且

反之，記

則可證明，f(x)=pn(x)+Rn(x),其中Rn(x)=且0,1,2,…,n.（文獻(xiàn)［2]有證明過程）.

這里提供了求泰勒公式系數(shù)的一種新方法，通過極限求泰勒公式的系數(shù).

求極限過程中，除了用洛必達(dá)法則外，無窮小等價替換、極限四則運(yùn)算方法、復(fù)合函數(shù)極 限 運(yùn) 算 換 元 法［7?10]，都 是 常 用 方 法.求ak時，不一定要求出f(k)(x).當(dāng)f(k)(x)表達(dá)式較難求出時，用極限方法，有時也能求出系數(shù)ak.

2.2 用極限方法求泰勒公式的系數(shù)舉例

例2 求e2x?x2包含x3項(xiàng)的帶有佩亞諾余項(xiàng)的Taylor公式.

所以，e2x?x2=1+2x+x2?

3 結(jié)語

學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)，不僅要知曉各概念、定理、公式的定義、使用條件、使用方法，更要知曉定理中為何會有一些限制性條件.作為高等數(shù)學(xué)教師，在講解比較難的定理時，不妨先從實(shí)例出發(fā)，引出要講解的定理結(jié)論.更重要的是，不僅要教學(xué)生如何證明定理結(jié)論，更要從理論上，讓學(xué)生多想一想，定理中為什么要有這些條件.最好是從理論及實(shí)例兩方面加以解釋，這樣，可讓學(xué)生對定理有個更加清晰的認(rèn)識.教學(xué)，不能強(qiáng)迫學(xué)生接受教師講的結(jié)論，要從多方面講清楚知識要點(diǎn).要培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識，不要拘泥于教材上的知識，要大膽地創(chuàng)新探索，要有自己的想法.