趙沛泓，孫大鵬，吳 浩

(大連理工大學(xué) 海岸和近海工程國家重點實驗室，大連 116024)

開孔沉箱結(jié)構(gòu)能夠顯著降低波浪能量，改善工程海域的波況并減輕結(jié)構(gòu)自重，在保證結(jié)構(gòu)安全可靠的前提下產(chǎn)生良好的經(jīng)濟(jì)效益，目前，在海域海岸工程中已有廣泛的設(shè)計應(yīng)用。

1 研究背景

自20世紀(jì)60年代Jarlan[1]等提出開孔沉箱概念以來，國內(nèi)外學(xué)者對開孔沉箱的消浪特性做了很多物模試驗研究[2-6]。然而以往試驗數(shù)據(jù)通常采用傳統(tǒng)的多元線性回歸方法，分析給出特征物理量和諸多影響因素的計算關(guān)系式。這種方法首先要進(jìn)行單變量分析，將非線性問題線性化，逐一確定每個單變量對特征物理量影響的函數(shù)關(guān)系(以冪函數(shù)為主)，進(jìn)而利用最小二乘法給出最終的擬合公式。擬合公式的擬合精度與泛化性能有著天然的內(nèi)在矛盾，用何種策略平衡這一矛盾，使兩者都能達(dá)到令人滿意的結(jié)果，是許多學(xué)者關(guān)注的重點。對于傳統(tǒng)的多元回歸分析方法，通過單變量分析+最小二乘估計的操作過程給出最后的回歸函數(shù)表達(dá)式，由于最小二乘估計是一固定過程不存在分歧，回歸函數(shù)的擬合精度和泛化性能，幾乎全部由單變量分析決定，然而恰恰是這一過程完全由人工完成，存在著很強(qiáng)的隨意性。

傳統(tǒng)多元回歸分析方法存在缺陷的根源是缺乏保證回歸函數(shù)擬合精度與泛化性能同時滿足條件的機(jī)制或說“策略”。而具有相應(yīng)“策略”指導(dǎo)的機(jī)器學(xué)習(xí)方法無疑是另外一種可行的選擇。

支持向量機(jī)SVM是Vapmik等人在1995年[7]基于統(tǒng)計學(xué)習(xí)理論提出的一種新型的機(jī)器學(xué)習(xí)方法，它用結(jié)構(gòu)風(fēng)險最小化策略代替?zhèn)鹘y(tǒng)的經(jīng)驗風(fēng)險最小化策略，使之較傳統(tǒng)的機(jī)器學(xué)習(xí)方法具有更好的泛化性能。支持向量回歸機(jī)SVR是SVM在估計函數(shù)、處理回歸問題上的推廣。在港口工程領(lǐng)域，SVR的應(yīng)用較少，2011年P(guān)atil S G[8]等利用遺傳算法優(yōu)化的SVR研究了浮水管式防波堤的透射系數(shù)與相關(guān)變量間的關(guān)系，結(jié)果表明，通過SVR學(xué)習(xí)得到的模型能夠很好地描述各物理量的非線性關(guān)系。

本文利用帶有外部存檔的差分進(jìn)化算法(JADE)優(yōu)化的SVR對開孔沉箱波浪反射系數(shù)及所受波浪力與各影響因子的關(guān)系進(jìn)行回歸分析，對比傳統(tǒng)多元回歸分析方法，評價兩種回歸模型的擬合精度和泛化性能，探討SVR在港口建筑物設(shè)計領(lǐng)域旳應(yīng)用前景。研究結(jié)果表明：SVR方法對開孔沉箱波浪反射系數(shù)及波浪力的分析具有適用性，與物模試驗值相比，其結(jié)果優(yōu)于傳統(tǒng)多元回歸方法的分析結(jié)果。

2 試驗概況

本文中物理模型試驗在大連理工大學(xué)海岸和近海工程國家重點實驗室的波浪水槽內(nèi)進(jìn)行，如圖1所示，水槽長56 m、寬0.7 m、最大試驗水深0.7 m。造波端安裝有液壓伺服推板式造波機(jī)，模型布置在距離造波機(jī)35 m處，水槽末端鋪設(shè)消能緩坡裝置。

圖1 二維試驗波浪水槽Fig.1 The flume used in the experiment

開孔沉箱模型采用1.0 cm厚的有機(jī)玻璃制成，模型設(shè)計為無頂板形式，前墻開孔、后墻實體，消浪室寬度bc分別為0.15 m、0.20 m、0.30 m。開孔形式為矩形開孔，開孔率μ采用20%、40%兩種型式，開孔位置從水下0.2 m至頂部，等間距開4排孔，不開孔部分均用石子填充?；睬霸囼炈頳保持0.4 m不變，基床前后肩寬W均為0.25 m。沉箱模型放置在不同高度的基床上，基床高度hm分別為0 m、0.10 m、0.15 m、0.20 m。圖2為模型外觀示意圖。

圖2 開孔沉箱模型示意圖Fig.2 Perforated caisson used in the experiment

為了計算開孔沉箱前波浪反射系數(shù)，在沉箱前不等間距布置5個浪高儀，其位置如圖3所示，對于不同的試驗波要素選取適當(dāng)?shù)睦烁邇x組合進(jìn)行數(shù)據(jù)分析，采用合田良實的兩點法分離入、反射波，進(jìn)而計算出反射系數(shù)。

為了計算開孔沉箱所受波浪力，如圖4、圖5所示，在沉箱開孔板迎浪面、背浪面、后實體板和底板的上面和下面布置多點壓力傳感器，點壓力布置情況如圖3所示。圖中●表示前墻迎浪面和底板測量浮托力點壓力布置情況；○表示前墻背浪面和底板測量滲流力點壓力布置情況。通過采集各個點壓力儀的同步時間序列，積分得到結(jié)構(gòu)受到的總水平力和總垂直力。

圖3 試驗?zāi)Ｐ筒贾脠DFig.3 Wave flume and the setup of the model experiment

試驗過程中的波浪條件和模型尺寸變化由表1給出。

表1 試驗條件及試驗參數(shù)變化范圍Tab.1 Experimental conditions and the scope of experimental parameters

3 試驗結(jié)果及分析

3.1 確定開孔沉箱波浪反射系數(shù)及波浪力的影響因素

根據(jù)LI[9]的分析，開孔沉箱波浪反射系數(shù)Kr與相對基床高度hm/L1/3、相對消浪室寬度bc/L1/3、相對水深d/L1/3、波陡H1/3/L1/3及開孔率μ有關(guān)，最終反射系數(shù)Kr可表示為

(1)

而開孔沉箱所受波浪力可分為總水平力與總垂直力?？偹搅槌料溆嗣?、背浪面與消浪室后實體板所受波浪力合力；總垂直力為消浪室中動水壓力與沉箱底部所受浮托力的合力。如圖6所示，由于開孔沉箱的結(jié)構(gòu)特性，其所受到的總垂直力與總水平力之間存在一定的相位差，即兩者不在同一時刻到達(dá)峰值或谷值。用Pv表示沉箱所受總水平力達(dá)到極值時刻對應(yīng)所受的總垂直力，Pv0表示沉箱在全時間段內(nèi)所受的總垂直力極值，定義Pv/Pv0為水平力極值時刻對應(yīng)的總垂直力相對于總垂直力極值的折減系數(shù)，可表示為

圖6 不規(guī)則波作用下開孔沉箱受力的時間過程線Fig.6 Time series data of total wave forces acting on perforated caisson by irregular waves

(2)

3.2 JADE算法優(yōu)化的SVR模型

假設(shè)有訓(xùn)練樣本集{(xk,yk)|xk∈Rd,yk∈R,k=1,2…n}，在SVR算法中，目標(biāo)是尋找一個函數(shù)f(x)=wTx+b，使其盡可能平坦且允許樣本值的最大偏差為ε，其中w∈Rn，b∈R，對于容量為l的樣本集，采用ε-不敏感損失函數(shù)度量經(jīng)驗風(fēng)險，即有

(3)

(4)

式中：常數(shù)C體現(xiàn)了f(x)的平坦程度與允許樣本最大偏離程度的折衷。上式是典型的二次規(guī)劃問題，可以引入Lagrange函數(shù)

(5)

(6)

也等價于拉格朗日對偶問題形式

(7)

根據(jù)KKT條件，該極值可通過對拉格朗日函數(shù)求導(dǎo)得到

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

通過求解上述最大化問題，可得線性回歸函數(shù)為

(13)

當(dāng)樣本為非線性時，可以先通過非線性映射將原空間中的輸入量x映射到高維Hilbert空間，即x→φ(x)，其中φ(x)∈H，然后在H空間中構(gòu)造最優(yōu)超平面

(14)

然而對φ(x)進(jìn)行顯式表達(dá)是困難的，根據(jù)Mercer定理，可以找到一個對稱半正定的有效核函數(shù)，直接表達(dá)出映射函數(shù)的內(nèi)積形式，即

K(xi,x)=<φ(xi)·φ(x)>

(15)

非線性回歸優(yōu)化問題和線性回歸優(yōu)化問題形式相同，不同之處僅在于樣本輸入向量變成了向量的映射函數(shù)，可以發(fā)現(xiàn)映射函數(shù)及核函數(shù)的引入不影響優(yōu)化過程，最后，SVR給出的非線性回歸函數(shù)為

(16)

本文采用徑向基函數(shù)(RBF)作為核函數(shù)，即

(17)

SVR的泛化性能與求解過程中幾個參數(shù)的取值密切相關(guān)，這些參數(shù)分別是懲罰系數(shù)C、損失函數(shù)中的參數(shù)ε和核函數(shù)參數(shù)g，常采用啟發(fā)式算法優(yōu)化這些參數(shù)。常見的啟發(fā)式算法包括遺傳算法、粒子群算法、差分進(jìn)化算法、模擬退火算法等。

本文采用Zhang[10]提出的帶有外部存檔的差分進(jìn)化算法對C、ε、g三個參數(shù)進(jìn)行尋優(yōu)，尋優(yōu)過程可以概括為以下幾步：

(1) 隨機(jī)生成20組參數(shù)初始值{(Ci,εi，gi)|i=1,2,…,20}，每一組參數(shù)初始值可以看做是種群中的一個個體，20則代表種群規(guī)模；

(2)將訓(xùn)練樣本集分為5份，取第1份作為預(yù)測數(shù)據(jù)，其余4份作為訓(xùn)練數(shù)據(jù)；

(3)將參數(shù)值代入優(yōu)化問題(12)，求解回歸模型，利用模型對預(yù)測數(shù)據(jù)進(jìn)行計算，得到均方誤差值；

(4)再依次取訓(xùn)練樣本集中的第2、3、4、5份作為預(yù)測數(shù)據(jù)，其余作為訓(xùn)練數(shù)據(jù)，重復(fù)上一過程，得到4個均方誤差值；

(5)計算總共5個均方誤差值的均值，作為一步進(jìn)化過程的個體適應(yīng)度值，20組參數(shù)得到20個適應(yīng)度，其均值為種群平均適應(yīng)度，最小值為種群最優(yōu)適應(yīng)度；

(6)利用差分進(jìn)化算法原理進(jìn)行變異，交叉，選擇操作，得到下一步進(jìn)化過程的種群，計算新的種群平均適應(yīng)度，種群最優(yōu)適應(yīng)度；

澳大利亞不同年齡段消費者對于酒種的偏好具有較大差異：14～17歲年齡段消費者更偏愛喝預(yù)調(diào)烈酒，但隨著年齡增長，喜愛瓶裝葡萄酒的消費者占比逐漸增加，而預(yù)調(diào)烈酒的占比逐漸減少。對于烈酒，14～17歲年齡段消費者消費烈酒比例占該群體總消費酒精飲料的60%，為各年齡階段群體中最高。但隨著年齡的增加，消費者飲用烈酒的比例總體上呈下降趨勢，18～24歲年齡段消費者消費烈酒的比例占該人群總消費酒精飲料的22%，為各年齡階段群體中最高。25～29歲及30～39歲消費者消費普通烈度啤酒占該人群總消費酒精飲料的27%，為各年齡層最高。具體情況見圖2。

(7)重復(fù)上一過程，則種群不斷進(jìn)化，最終達(dá)到最大進(jìn)化步數(shù)。這時具有最優(yōu)適應(yīng)度的個體代表的參數(shù)值，可以認(rèn)為是最優(yōu)參數(shù)組合。

參數(shù)尋優(yōu)過程中的(2)～(5)即為通常所說的K-折交叉驗證，本文取K=5。

現(xiàn)有波浪和開孔沉箱相互作用的試驗數(shù)據(jù)216種工況組合，其可分為兩部分，一部分作為SVR模型的訓(xùn)練數(shù)據(jù)，一部分作為模型的測試數(shù)據(jù)，這里隨機(jī)抽取162組數(shù)據(jù)作為訓(xùn)練數(shù)據(jù)，其余54組數(shù)據(jù)作為測試數(shù)據(jù)。事實上，前人基于傳統(tǒng)多元回歸分析方法擬合公式，是將全部試驗數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，而沒有劃分另外的數(shù)據(jù)進(jìn)行驗證，所以JADE-SVR中提到的“訓(xùn)練數(shù)據(jù)”和“測試數(shù)據(jù)”的概念對這些回歸模型沒有意義，但是為了便于比較，仍然給出傳統(tǒng)模型對“訓(xùn)練數(shù)據(jù)”和“預(yù)測數(shù)據(jù)”的計算結(jié)果，這也相當(dāng)于在一定程度上高估了傳統(tǒng)多元回歸分析模型的預(yù)測性能。

以反射系數(shù)試驗中162組“訓(xùn)練數(shù)據(jù)”為例，進(jìn)行JADE-SVR模型參數(shù)尋優(yōu)，圖7給出了尋優(yōu)過程中最優(yōu)適應(yīng)度和平均適應(yīng)度的收斂情況，圖7橫坐標(biāo)表示差分進(jìn)化算法的迭代次數(shù)，縱坐標(biāo)表示適應(yīng)度值，根據(jù)前述參數(shù)尋優(yōu)過程可知，適應(yīng)度即為SVR模型的均方誤差平均值，其值越小，則SVR模型預(yù)測性能越好。由圖可以看出，一方面，種群平均適應(yīng)度下降平緩，表示進(jìn)化過程中種群多樣性沒有突然性的降低，減少了算法發(fā)生“早熟”的可能性，另一方面，迭代后期，平均適應(yīng)度收斂于最優(yōu)適應(yīng)度，表示種群中優(yōu)良個體保存良好，避免了算法陷入類似隨機(jī)搜索的可能。

圖7 JADE算法適應(yīng)度曲線Fig.7 Fitness curves of optimizing SVR parameters using JADE algorithms

3.3 JADE-SVR模型與傳統(tǒng)多元回歸模型的對比

根據(jù)求得的最優(yōu)參數(shù)，建立JADE-SVR回歸模型，對訓(xùn)練數(shù)據(jù)和預(yù)測數(shù)據(jù)進(jìn)行計算，并與傳統(tǒng)回歸分析模型給出的計算值作比較。為了量化比較結(jié)果，引入四個評測指標(biāo)，分別為偏移率Bias、均方根誤差RMSE、散射指數(shù)SI和相關(guān)系數(shù)R，其定義如下

(18)

(19)

(20)

(21)

關(guān)于反射系數(shù)，分別采用SVR模型、行天強(qiáng)[11]推薦計算公式及2011年《防波堤設(shè)計與施工規(guī)范》[12]推薦計算公式，對訓(xùn)練數(shù)據(jù)和預(yù)測數(shù)據(jù)進(jìn)行計算，所得結(jié)果與試驗值對比，其中，SVR模型與行天強(qiáng)[11]推薦計算公式是由相同試驗數(shù)據(jù)擬合得到的，2011年《防波堤設(shè)計與施工規(guī)范》推薦計算公式是由暗基床開孔沉箱試驗數(shù)據(jù)擬合得到的。各統(tǒng)計評價指標(biāo)如表2～3所示。由表可知，無論對訓(xùn)練數(shù)據(jù)和預(yù)測數(shù)據(jù)，JADE-SVR性能都顯著超過傳統(tǒng)多元回歸模型。由圖8所示，利用JADE-SVR模型所得計算值更加接近真實值，故而能很好地描述反射系數(shù)與各無因次變量間的函數(shù)關(guān)系；另外，JADE-SVR模型不僅對訓(xùn)練數(shù)據(jù)的計算達(dá)到很高精度，對預(yù)測數(shù)據(jù)也有良好的計算精度，沒有出現(xiàn)機(jī)器學(xué)習(xí)過程中易發(fā)生的“欠擬合”和“過擬合”現(xiàn)象。

表2 三種模型關(guān)于波浪反射系數(shù)計算性能對比(訓(xùn)練數(shù)據(jù))Tab.2 Comparison on computing the wave reflection using three different models (train data)

表3 三種模型關(guān)于波浪反射系數(shù)計算性能對比(預(yù)測數(shù)據(jù))Tab.3 Comparison on computing the wave reflection using three different models (test data)

圖8 反射系數(shù)計算值與試驗值比較Fig.8 Comparison of Kr between measured and calculated results

表4 三種模型關(guān)于水平力峰值時刻垂直波浪力折減系數(shù)計算性能對比(訓(xùn)練數(shù)據(jù))Tab.4 Comparison of computing the wave reflection using three different models (train data)

表5 三種模型關(guān)于水平力峰值時刻垂直波浪力折減系數(shù)計算性能對比(預(yù)測數(shù)據(jù))Tab.5 Comparison of computing the wave reflection using three different models (test data)

圖9 水平力峰值時刻垂直力折減系數(shù)Pv/Pv0計算值與試驗值比較Fig.9 Comparison of Pv/Pv0between measured and calculated results

關(guān)于垂直波浪力折減系數(shù)Pv/Pv0，分別采用SVR模型、馮延奇[13]推薦計算公式及2011年《防波堤設(shè)計與施工規(guī)范》推薦計算公式，對訓(xùn)練數(shù)據(jù)和預(yù)測數(shù)據(jù)進(jìn)行計算，所得結(jié)果與試驗值對比，其中，SVR模型與馮延奇[13]推薦計算公式是由相同試驗數(shù)據(jù)擬合得到的，2011年《防波堤設(shè)計與施工規(guī)范》推薦計算公式是由暗基床開孔沉箱試驗數(shù)據(jù)擬合得到的。表4～5給出關(guān)于水平力峰值時刻對應(yīng)垂直力折減系數(shù)計算評價結(jié)果，表6～7給出水平力谷值時刻對應(yīng)垂直力折減系數(shù)計算評價結(jié)果。與反射系數(shù)計算結(jié)果類似，SVR模型給出的計算結(jié)果仍好于傳統(tǒng)回歸分析方法計算結(jié)果，而《防波堤設(shè)計與施工規(guī)范》推薦公式計算結(jié)果精度偏低，原因在于其沒有考慮基床高度的影響，只適用于暗基床形式開孔沉箱的計算。

表6 三種模型關(guān)于水平力谷值時刻垂直波浪力折減系數(shù)計算性能對比(訓(xùn)練數(shù)據(jù))Tab.6 Comparison of computing Pv/Pv0 using three different models (train data)

表7 三種模型關(guān)于水平力谷值時刻垂直波浪力折減系數(shù)計算性能對比(預(yù)測數(shù)據(jù))Tab.7 Comparison of computing Pv/Pv0 using three different models (test data)

值得注意的是，在以往的工作中，無論是行天強(qiáng)[11]對反射系數(shù)Kr或是馮延奇[13]對垂直波浪力折減系數(shù)Pv/Pv0給出的多元回歸分析模型，都是將全部216組試驗數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，而沒有像本文一樣，只取其中一部分作為擬合數(shù)據(jù)，另一部分單獨劃出作為預(yù)測數(shù)據(jù)，對擬合后的公式進(jìn)行預(yù)測精度的驗證。因此可以認(rèn)為在本文中這些多元回歸分析模型的預(yù)測精度在一定程度上被高估了。

圖10 水平力谷值時刻垂直力折減系數(shù)Pv/Pv0計算值與試驗值比較Fig.10 Comparison of Pv/Pv0between measured and calculated results

綜合來看，JADE-SVR模型相比傳統(tǒng)回歸分析模型，回歸預(yù)測性能更佳。其一體現(xiàn)在計算結(jié)果更加接近真實值，能更加精確地模擬復(fù)雜非線性物理問題，其二在于JADE-SVR作為一種機(jī)器學(xué)習(xí)方法，將回歸分析的全過程交予計算機(jī)，省去大量人工工作量。

一般的機(jī)器學(xué)習(xí)方法有可能過高的估計回歸模型的復(fù)雜程度，從而發(fā)生“過擬合”現(xiàn)象。SVR理論上用結(jié)構(gòu)風(fēng)險最小化策略代替?zhèn)鹘y(tǒng)的經(jīng)驗風(fēng)險最小化策略，使之較傳統(tǒng)機(jī)器學(xué)習(xí)方法具有更好的泛化性能，在編程實現(xiàn)上利用交叉驗證進(jìn)行參數(shù)尋優(yōu)，進(jìn)一步降低了出現(xiàn)“過擬合”的可能。本文選用試驗數(shù)據(jù)樣本數(shù)量在200～300區(qū)間內(nèi)，從數(shù)據(jù)分析的結(jié)果來看，SVR模型給出的預(yù)測精度并沒有顯著低于擬合精度，故而沒有出現(xiàn)“過擬合”的現(xiàn)象，這說明JADE-SVR對本文涉及的開孔沉箱波浪反射系數(shù)、垂直力折減系數(shù)的回歸分析是適用的。

4 結(jié)論

傳統(tǒng)回歸分析方法，在擬合回歸公式之前還要進(jìn)行單變量分析，從而一一確定各變量的影響階數(shù)，這一過程是人工完成的，有一定的隨意性，為了保證擬合公式的泛化性能，通常將各變量的影響階數(shù)確定的較低，偏于保守。利用本文建立的JADE-SVR模型對開孔沉箱反射系數(shù)、垂直力折減系數(shù)進(jìn)行擬合，對比傳統(tǒng)多元回歸分析法可以發(fā)現(xiàn)，JADE-SVR模型對擬合精度和泛化性能都有所改進(jìn)，可以利用其對波浪-開孔沉箱相互作用問題進(jìn)行深入研究。

隨著科技的不斷進(jìn)步和大數(shù)據(jù)的興起，各行業(yè)的分析研究工作都傾向于依靠更加龐大豐富的試驗數(shù)據(jù)樣本。在港口工程領(lǐng)域，數(shù)值模擬方法的不斷完善也為物理模型試驗提供了有益補(bǔ)充，使得數(shù)據(jù)分析的樣本容量大大增加，這樣機(jī)器學(xué)習(xí)方法具有的高效率、高精確度的優(yōu)勢將越來越明顯。