王偉，郭宗和，秦志昌

(山東理工大學(xué) 交通與車輛工程學(xué)院, 山東 淄博 255049)

行星齒輪減速器具有同軸性好、承載能力高、運(yùn)轉(zhuǎn)平穩(wěn)、傳動(dòng)比大、體積小等優(yōu)點(diǎn)，在很多情況下可代替定軸輪系的傳動(dòng)機(jī)構(gòu)，是機(jī)械工程領(lǐng)域中廣泛應(yīng)用的傳動(dòng)類型[1]。齒輪在傳動(dòng)過程中兩輪齒間的嚙合是線接觸，且在傳動(dòng)過程中接觸的部位是在不斷變化的,嚙合部位容易磨損，極易造成齒輪輪齒折斷，致使齒輪傳動(dòng)失效；因此，齒輪傳動(dòng)的性能和使用壽命直接影響了各種機(jī)械的工作精度和可靠性[2]。針對(duì)齒輪傳動(dòng)的問題，賀朝霞等[3]以漸開線圓柱齒輪副為研究對(duì)象，建立了齒輪副動(dòng)態(tài)分析有限元模型，計(jì)算了齒側(cè)主應(yīng)力、齒面接觸應(yīng)力以及彎曲應(yīng)力沿齒寬方向的分布；馮海生等[4]建模仿真分析了變工況沖擊對(duì)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)特性的影響；曹茂鵬等[5]對(duì)面齒輪動(dòng)態(tài)嚙合力進(jìn)行有限元仿真分析與研究，獲得了面齒輪齒面接觸力及齒根彎曲應(yīng)力在連續(xù)嚙合過程中的變化規(guī)律及轉(zhuǎn)速和負(fù)載與面齒輪動(dòng)態(tài)嚙合力之間的關(guān)聯(lián)規(guī)律。

行星齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)問題一直是國內(nèi)外學(xué)術(shù)研究的熱點(diǎn)，主要集中在尋找精簡高效的分析模型、預(yù)測(cè)系統(tǒng)固有特性和動(dòng)態(tài)響應(yīng)、探尋系統(tǒng)的激勵(lì)機(jī)理和減振降噪技術(shù)等方面[6]。齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)中的應(yīng)力應(yīng)變及振動(dòng)特性等響應(yīng)在航空航天以及核能和汽車行業(yè)的高級(jí)設(shè)計(jì)和疲勞失效分析中起著重要作用，它會(huì)影響齒輪傳動(dòng)的許多方面，實(shí)際中存在很大的未知性[7]。本文以常見的2K-H[8]行星齒輪減速器的核心傳動(dòng)裝置為研究對(duì)象，運(yùn)用三維參數(shù)化設(shè)計(jì)軟件SolidWorks建立行星輪系的三維模型，借助有限元分析軟件 ANSYS Workbench分析給定工作狀況下減速器齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的等效應(yīng)力、應(yīng)變、模態(tài)頻率等參數(shù)，以期為齒輪傳動(dòng)的設(shè)計(jì)、優(yōu)化及故障診斷提供一定的參考。

1 行星齒輪減速器三維建模

行星齒輪幾何模型可通過UG、SolidWorks等三維機(jī)械建模軟件快速搭建，這些三維建模軟件可通過格式的轉(zhuǎn)換或Workbench的專有接口實(shí)現(xiàn)模型的快速導(dǎo)入。

1.1 行星齒輪構(gòu)造及工作原理

2K-H型行星齒輪傳動(dòng)機(jī)構(gòu)主要由太陽輪1、行星輪2、齒圈3和行星架H四部分構(gòu)成，如圖1(a)所示。行星齒輪傳動(dòng)機(jī)構(gòu)在工作時(shí)可以通過控制太陽輪、行星架、齒圈3個(gè)元件實(shí)現(xiàn)變速、變扭、改變動(dòng)力傳遞方向。在行星輪系中分別將3個(gè)元件中任一元件當(dāng)作主動(dòng)件、被動(dòng)件或固定件可以得到不同的傳動(dòng)方案。表1所示為行星齒輪的傳動(dòng)方案，其中α=z3/z1，z1為太陽輪齒數(shù)，z3為齒圈齒數(shù)，α為行星齒輪齒圈齒數(shù)與太陽輪齒數(shù)的比值。根據(jù)減速器工作需要的傳動(dòng)比及動(dòng)力輸出方向確定傳動(dòng)方案。為了獲得較大的輸出扭矩，本文采用傳動(dòng)方案1，將齒圈固定，由太陽輪輸入動(dòng)力，并經(jīng)行星輪傳遞到行星架，由于齒圈被固定，故行星輪既自轉(zhuǎn)又公轉(zhuǎn)并帶動(dòng)行星架轉(zhuǎn)動(dòng)實(shí)現(xiàn)動(dòng)力的輸出。

(a)傳動(dòng)機(jī)構(gòu) (b)三維模型

表1 行星齒輪傳動(dòng)方案

1.2 行星齒輪三維建模

使用三維建模軟件SolidWorks對(duì)減速器行星齒輪進(jìn)行三維模型的建立，具體齒輪的相關(guān)參數(shù)見表2。應(yīng)用 SolidWorks軟件按表2所列參數(shù)建立行星輪、太陽輪和齒圈的三維模型，計(jì)算各零件位置關(guān)系，通過SolidWorks裝配體配合關(guān)系(重合、同軸心、相切、齒輪配合等)建立配合約束，完成零件的虛擬裝配。裝配過程中要注意各個(gè)齒輪的嚙合位置，保證齒面正確接觸，并在SolidWorks中通過運(yùn)動(dòng)仿真檢查有無運(yùn)動(dòng)干涉等情況，必要時(shí)可通過構(gòu)造草圖輔助線進(jìn)行齒輪的定位。完成后的行星齒輪三維模型如圖1(b)所示。

表2 行星輪系參數(shù)

2 行星齒輪動(dòng)態(tài)有限元分析前處理

2.1 材料屬性

在行星齒輪有限元分析中,模型的狀態(tài)由線彈性模型確定，定義材料為各向同性，并通過輸入彈性模量、泊松比和質(zhì)量密度3個(gè)物理量來完成材料屬性的定義[9]。在ANSYS Workbench主界面左側(cè)Toolbox中調(diào)出Transient Structural模塊，雙擊Engineering Data進(jìn)行自定義材料設(shè)置。本文太陽輪和行星輪均采用20CrMnTi，內(nèi)齒圈采用40CrMo，材料參數(shù)見表3。

表3 行星輪系的材料參數(shù)

2.2 網(wǎng)格劃分

有限元分析中求解的準(zhǔn)確度和速度與網(wǎng)格劃分的方法和質(zhì)量有著直接的關(guān)系，另外網(wǎng)格的劃分也要兼顧計(jì)算機(jī)的性能配置，合理匹配軟硬件能大大提高計(jì)算的效率。由于計(jì)算機(jī)配置的因素，本文在劃分網(wǎng)格時(shí)先利用軟件進(jìn)行自由劃分，但發(fā)現(xiàn)在齒輪嚙合邊緣網(wǎng)格較為粗糙，因此用Edge sizing對(duì)齒輪的邊緣進(jìn)行網(wǎng)格的尺寸約束，設(shè)置每個(gè)網(wǎng)格的大小為2 mm。劃分網(wǎng)格后的模型如圖2所示，其由140 625個(gè)節(jié)點(diǎn)和25 437個(gè)單元組成。

圖2 行星齒輪網(wǎng)格劃分圖

2.3 邊界條件及求解設(shè)置

ANSYS Workbench默認(rèn)將模型的接觸設(shè)為綁定接觸，但本文主要對(duì)齒輪進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析，因此需要將各齒輪的接觸設(shè)置為摩擦接觸。為了方便設(shè)置接觸，可利用Workbench中的Named Selections通過多選操作定義各齒輪的接觸面，這樣在設(shè)置摩擦接觸時(shí)可以更加準(zhǔn)確、方便、快捷。利用ANSYS接觸向?qū)Фx太陽輪上的齒廓面為接觸面，行星輪上的齒廓面為目標(biāo)面，接觸剛度因子和摩擦系數(shù)分別設(shè)置為1 和0.1，模擬太陽輪和行星輪的實(shí)際接觸狀況。定義行星輪上的齒廓面為接觸面，齒圈的齒廓面為目標(biāo)面，接觸剛度因子和摩擦系數(shù)也分別設(shè)置為1 和0.1，模擬行星輪和齒圈的實(shí)際接觸狀況。在太陽輪軸頸和內(nèi)齒圈旋轉(zhuǎn)中心處施加相對(duì)于大地的旋轉(zhuǎn)約束以模擬軸承支承，在行星輪軸頸和行星架兩零件之間設(shè)置相對(duì)旋轉(zhuǎn)約束。根據(jù)行星齒輪的工作要求，在太陽輪軸頸處施加一個(gè)轉(zhuǎn)速，在行星架上施加負(fù)載轉(zhuǎn)矩，固定齒圈模擬行星齒輪的工作工況。在瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)分析中設(shè)置積分時(shí)間步長求解，初始子步、最小最大子步分別設(shè)置為50、20、10 000，時(shí)間步結(jié)束時(shí)間設(shè)置為0.1 s，求解類型選擇直接積分法。積分時(shí)間步長的大小不僅僅影響到計(jì)算的效率，而且會(huì)影響到計(jì)算的精度和收斂性，時(shí)間步長越小，精度越高、計(jì)算收斂越慢、對(duì)計(jì)算機(jī)要求越高。

3 行星齒輪動(dòng)態(tài)特性分析

行星齒輪動(dòng)態(tài)特性分析的主要目的是模擬齒輪在給定工況下的運(yùn)動(dòng)響應(yīng)，并發(fā)現(xiàn)齒輪結(jié)構(gòu)的應(yīng)力、應(yīng)變等分布情況，獲得齒輪的應(yīng)力、應(yīng)變最大值，為行星齒輪的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)和優(yōu)化提供依據(jù)。根據(jù)減速器的工況，設(shè)定太陽輪輸入轉(zhuǎn)速為20 rad/s，行星架負(fù)載轉(zhuǎn)矩為765 N·m，建立行星齒輪動(dòng)力學(xué)仿真模型。

3.1 等效應(yīng)力應(yīng)變分析

對(duì)行星齒輪進(jìn)行瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)分析，并經(jīng)過一段時(shí)間的求解計(jì)算得到行星輪系的等效應(yīng)力應(yīng)變?cè)茍D如圖3和圖4所示。分析圖3和圖4可知，在動(dòng)力傳動(dòng)過程中齒輪的最大等效應(yīng)力為92.365 MPa，其數(shù)值遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于齒輪材料的屈服極限，符合強(qiáng)度設(shè)計(jì)的要求；最大應(yīng)變?yōu)?.39×10-3，對(duì)于齒輪的影響很小，不妨礙齒輪的正常傳動(dòng)。因此可以認(rèn)為此行星輪系在給定工況下工作時(shí)的應(yīng)力、應(yīng)變情況是安全可靠的。另外，由圖3和圖4還發(fā)現(xiàn)行星輪系的最大等效應(yīng)力應(yīng)變都發(fā)生在太陽輪的齒根處，在齒輪長時(shí)間工作后齒根處容易發(fā)生疲勞斷裂，因此在日常檢查維護(hù)過程中應(yīng)重點(diǎn)關(guān)注。

圖3 行星齒輪應(yīng)力云圖

圖4 行星齒輪應(yīng)變?cè)茍D

對(duì)一對(duì)太陽輪和行星輪進(jìn)行分析，由系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)仿真分析可得到太陽輪在0.25 s內(nèi)各個(gè)參數(shù)的應(yīng)力響應(yīng)曲線(如圖5所示)和應(yīng)變響應(yīng)曲線(如圖6所示)。由圖5和圖6中可知，太陽輪與行星輪嚙合過程中應(yīng)力、應(yīng)變曲線呈現(xiàn)周期性變化，其運(yùn)動(dòng)過程中第一個(gè)周期在0.09 s時(shí)刻太陽輪的應(yīng)力、應(yīng)變達(dá)到最大值，此時(shí)兩個(gè)齒輪的齒頂與齒面剛剛接觸，處于單齒嚙合狀態(tài)，由于接觸面積較小所以應(yīng)力、應(yīng)變?cè)诖颂幊霈F(xiàn)最大值；當(dāng)兩個(gè)齒輪的齒面與齒面接觸時(shí)，處于雙齒嚙合狀態(tài)，此時(shí)接觸面積較大,嚙合應(yīng)力、應(yīng)變較小。在齒輪嚙合過程中，由雙齒嚙合區(qū)域進(jìn)入單齒嚙合區(qū)域時(shí)間較短，所以不會(huì)產(chǎn)生往復(fù)變化的情況；而由單齒嚙合區(qū)域進(jìn)入雙齒嚙合區(qū)域時(shí)，由于齒輪間要相互傳遞力矩，此過程必然會(huì)經(jīng)歷相對(duì)較長的時(shí)間，相應(yīng)地就會(huì)出現(xiàn)嚙合應(yīng)力、應(yīng)變往復(fù)變化的情況。

圖5 太陽輪應(yīng)力響應(yīng)曲線

圖6 太陽輪應(yīng)變響應(yīng)曲線

3.2 接觸壓力分析

接觸分析可以了解系統(tǒng)在局部接觸部分的工作情況(包括接觸應(yīng)力、應(yīng)變、位移、摩擦以及接觸面積等情況)，可以探索系統(tǒng)接觸未知區(qū)域的狀況，提高系統(tǒng)的可靠性。為了得到齒輪傳動(dòng)副接觸壓力的結(jié)果，需要在Solution中添加一個(gè)Contact Tool，然后在Contact Tool 中添加Pressure(壓力)、Status(狀態(tài))、Penetration(接觸穿透情況)等參數(shù)。點(diǎn)擊Solve，等待計(jì)算完成，得到的齒輪接觸參數(shù)如圖7—圖9所示。由圖7—圖9可知：各齒輪的齒面接觸情況較好，最大接觸壓力為48.244 MPa，該接觸壓力較小，不會(huì)出現(xiàn)接觸面齒面的壓潰和點(diǎn)蝕現(xiàn)象，最大接觸穿透量為0.002 97，穿透量非常小。

圖7 接觸狀態(tài)圖

圖8 接觸壓力

圖9 接觸穿透情況

由前述分析可知，最大應(yīng)力應(yīng)變都出現(xiàn)在太陽輪上，為此沿用上述分析結(jié)果獲得了如圖10所示的太陽輪和行星輪的接觸壓力響應(yīng)曲線。通過分析圖10可以看出，太陽輪和行星輪運(yùn)行過程中接觸壓力先是逐漸趨于穩(wěn)定狀態(tài)，然后在某一時(shí)間點(diǎn)突然增大而后又趨于穩(wěn)定，這是由于太陽輪與行星齒輪的輪齒在開始嚙合的瞬間，齒輪的接觸狀態(tài)經(jīng)歷了點(diǎn)接觸到線接觸再到面接觸的過程，而在點(diǎn)接觸瞬間發(fā)生了應(yīng)力集中導(dǎo)致接觸壓力突然增大。

圖10 接觸壓力響應(yīng)曲線

4 行星齒輪減速器模態(tài)分析

4.1 模態(tài)分析理論基礎(chǔ)

模態(tài)分析也稱自由振動(dòng)分析，屬于動(dòng)力學(xué)分析領(lǐng)域，是其他類型動(dòng)力學(xué)分析的基礎(chǔ)[10]。本文通過對(duì)2K-H型行星齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)進(jìn)行模態(tài)分析，找出結(jié)構(gòu)的缺陷，避免系統(tǒng)結(jié)構(gòu)因發(fā)生共振而影響傳動(dòng)平穩(wěn)性及傳動(dòng)系統(tǒng)各部件的壽命[11]。

模態(tài)是系統(tǒng)的固有特性，系統(tǒng)結(jié)構(gòu)中不同節(jié)點(diǎn)在系統(tǒng)激勵(lì)下做出的響應(yīng)不同，其響應(yīng)可表示為不同特定固有頻率、阻尼比和振型等模態(tài)參數(shù)構(gòu)成的各階次模態(tài)振型的疊加。其動(dòng)力學(xué)基本方程為

(1)

(2)

設(shè)特解X=φejωt(自由響應(yīng)的幅值列陣),帶入上式得

(K-ω2M)φ=0，

(3)

該方程有非零解的充要條件是

|K-ω2M|=0。

(4)

φi=[φ1i，φ2i，…,φni]T(i=1,2…,n) ，

(5)

式中:φi為特征向量，描述結(jié)構(gòu)的振型；ωi為固有頻率。

4.2 行星齒輪模態(tài)分析

固有特性主要指系統(tǒng)的固有頻率和振型，固有特性直接影響系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性[11]。將在SolidWorks三維建模軟件中建好的行星輪系實(shí)體模型導(dǎo)入ANSYS Workbench有限元分析軟件中進(jìn)行模態(tài)分析。行星輪系中各齒輪間的連接接觸方式、材料屬性、單元網(wǎng)格、加載邊界等設(shè)置與前相同，然后進(jìn)入Mechanical窗口進(jìn)行模態(tài)求解。

取前6階模態(tài)頻率計(jì)算分析后，得到如表4所示齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的前6階固有頻率和如圖11—圖16所示的前6階模態(tài)振型圖。

表4 齒輪傳動(dòng)前6階固有頻率

圖11 一階振型

圖12 二階振型

圖13 三階振型

圖14 四階振型

圖15 五階振型

圖16 六階振型

從表4可以看出，行星輪系前6階固有頻率分布在370.8～5841.3 Hz之間，各階次模態(tài)沒有出現(xiàn)重疊分布現(xiàn)象，在正常運(yùn)轉(zhuǎn)過程中不會(huì)因自身結(jié)構(gòu)而產(chǎn)生共振，并且對(duì)低頻率的振動(dòng)工作環(huán)境具有良好的適應(yīng)性。從圖11—圖16所示的模態(tài)振型圖中可以看出：該齒輪副模態(tài)主要是行星輪與太陽輪的平移振動(dòng)及行星架扭轉(zhuǎn)變形，并且隨著模態(tài)階次升高，變形幅度逐漸減小，齒輪傳動(dòng)更加趨于穩(wěn)定。因此，低階模態(tài)對(duì)該行星齒輪傳動(dòng)結(jié)構(gòu)影響較大。

4.3 太陽輪齒根裂紋對(duì)于模態(tài)頻率的影響

在齒輪嚙合傳動(dòng)過程中，因?yàn)閲Ш衔恢貌粩喟l(fā)生變化，致使太陽輪齒根位置的應(yīng)力、應(yīng)變較大，長時(shí)間工作后可能發(fā)生疲勞損壞，成為裂紋萌生和擴(kuò)展的主要區(qū)域[12]；因此，本文以含太陽輪齒根裂紋輪副為對(duì)象，通過創(chuàng)建不同齒根裂紋模型，研究不同齒根裂紋深度對(duì)行星齒輪傳動(dòng)副自身模態(tài)的影響。圖17給出了行星齒輪嚙合狀態(tài)下，太陽輪齒根處出現(xiàn)應(yīng)力、應(yīng)變集中現(xiàn)象導(dǎo)致齒根裂紋的幾何模型，αA表示齒根裂紋深度，θA表示齒根圓裂紋角,默認(rèn)將裂紋角設(shè)置為60°。

圖17 齒輪副裂紋情況

基于含齒根裂紋的幾何模型，設(shè)置與前面相同的模態(tài)分析約束條件，求解獲得含齒根裂紋模型的模態(tài)計(jì)算結(jié)果。圖18所示為太陽輪齒根裂紋深度不同時(shí)減速器行星齒輪副的前6階模態(tài)頻率變化規(guī)律圖。分析圖18可以看出，雖然階次越大、結(jié)構(gòu)的頻率越高，但是從計(jì)算結(jié)果上可以看出，裂紋的存在對(duì)低階模態(tài)的影響更為顯著，4階模態(tài)之后，裂紋對(duì)結(jié)構(gòu)的頻率影響甚至可以忽略不記；因此，在太陽輪齒根裂紋模態(tài)分析中，重點(diǎn)考察前3階模態(tài)的變化即可以滿足實(shí)際需求。從圖18中也可以看出，隨著太陽輪齒根裂紋深度的增大，結(jié)構(gòu)的固有頻率降低，這是因?yàn)橛捎邶X根裂紋的存在，導(dǎo)致輪齒的剛度發(fā)生了劇烈變化。因?yàn)榭箯潉偠扰c尺寸的三次方成正比，所以一旦有裂紋產(chǎn)生，結(jié)構(gòu)的剛度會(huì)迅速減小，從而影響了整個(gè)齒輪系統(tǒng)的模態(tài)頻率。

圖18 齒根裂紋深度對(duì)模態(tài)頻率的影響

5 結(jié)論

本文選用2K-H行星齒輪減速器作為研究對(duì)象，設(shè)計(jì)齒輪參數(shù)并進(jìn)行三維建模和裝配，利用ANSYS Workbench探討了行星齒輪系多齒嚙合問題，研究結(jié)果表明：

1)該行星齒輪在工作過程中最大應(yīng)力、應(yīng)變發(fā)生在太陽輪的齒根部位，輪齒之間的動(dòng)態(tài)嚙合情況呈現(xiàn)周期性變化，且在輪齒剛剛接觸的一瞬間會(huì)發(fā)生應(yīng)力集中現(xiàn)象，導(dǎo)致齒輪嚙合部位應(yīng)力、應(yīng)變及接觸壓力突然增大，而在輪齒接觸后的時(shí)刻迅速減小并趨于穩(wěn)定。

2)對(duì)行星齒輪傳動(dòng)模型進(jìn)行了模態(tài)分析，得到行星齒輪副前6階固有頻率主要分布在370.8～5 841.3 Hz之間，而且隨著模態(tài)階次的提高，各齒輪的變形量逐漸減小，低階模態(tài)對(duì)其影響較大。

3)行星齒輪系中太陽輪齒根裂紋的出現(xiàn)使得整個(gè)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和剛度發(fā)生了變化，隨著裂紋加長，模態(tài)頻率稍有下降，并且裂紋深度對(duì)前3階模態(tài)影響較大，4階以后影響非常小可以近似忽略。