周茂定 ，藺鵬臻 ，張元海 ，冀 偉

（1.蘭州交通大學(xué)土木工程學(xué)院，甘肅 蘭州 730070；2.甘肅農(nóng)業(yè)大學(xué)水利水電學(xué)院，甘肅 蘭州 730070）

薄壁箱梁因其具有較好的力學(xué)特性而被廣泛應(yīng)用.隨著我國橋梁建設(shè)步伐的加快，有關(guān)在役箱梁橋出現(xiàn)不同程度開裂下?lián)系膱蟮繹1-2]也逐漸增多.對此學(xué)者從設(shè)計、施工等方面進行了深入研究，結(jié)果表明剪切和徐變變形是造成箱梁持續(xù)下?lián)系闹匾騕3]，因此剪切變形對薄壁箱梁撓度的影響將不容忽視.同時，隨著新型輕質(zhì)高強混凝土的逐步應(yīng)用，現(xiàn)代箱形梁截面不斷向著薄壁輕型化方向發(fā)展[4]，剪切變形對箱梁撓度的影響將更加凸顯.近年來，研究發(fā)現(xiàn)箱梁翼板面內(nèi)剪切變形（即箱梁剪力滯效應(yīng)）對箱梁撓度有重要影響[5-6].我國現(xiàn)行公路橋梁規(guī)范[7]給出了剪力滯的簡單計算方法，卻未給出撓度對應(yīng)的計算方法.對此，藺鵬臻等[8]利用規(guī)范剪力滯的方式修正計算翼板剪切引起的箱梁撓度.目前，在求解箱梁剪力滯效應(yīng)產(chǎn)生的附加撓度時必須進行剪力滯效應(yīng)分析[5-6，8]，因而導(dǎo)致分析復(fù)雜.對箱梁腹板剪切變形的分析，文獻[9-11]通過給腹板引入不同的撓曲轉(zhuǎn)角函數(shù)分析其對箱梁撓度的影響.當采用能量變分法求解時，由于涉及多個未知撓曲轉(zhuǎn)角函數(shù)，使得求解分析過程十分復(fù)雜.綜上所述，以上求解箱梁撓度的方法均需分析薄壁箱梁的剪力滯效應(yīng)，同時所涉及的未知函數(shù)較多，分析過程相對復(fù)雜.文獻[12]雖將翼板與腹板剪切變形綜合為一個未知函數(shù)來分析，但截面參數(shù)等求解復(fù)雜，不便于實際工程應(yīng)用.因此，尋求一種簡便適用的薄壁箱梁撓度計算方法就很有必要.

本文將利用材料力學(xué)中的單位力法及虛功原理對考慮全截面剪切影響的薄壁箱梁撓度展開研究，并基于Timshenko梁理論提出薄壁箱梁撓度求解的簡化方法.

1 簡單箱梁結(jié)構(gòu)的撓度分析

以承受任意分布荷載p(z) 的懸臂箱梁為分析對象，采用正交笛卡爾坐標系O-xyz，如圖1所示.圖中：ht、hb分別為形心軸x與頂板、底板中心處的垂直距離；h為梁高；b1、b2和b3分別為箱梁頂板、底板的一半寬度和單側(cè)懸臂板寬度；P0為梁端的單位荷載.

材料力學(xué)中常采用單位力法求解上述懸臂梁的撓度[13].對于圖1 所示箱梁，假設(shè)P0=1，單位荷載產(chǎn)生的總外功為[13]

圖1 懸臂箱梁示意Fig.1 Schematic of cantilever box girder

式中：Δ為廣義位移，在此可認為是懸臂梁的撓度.

懸臂梁的內(nèi)虛功是當箱梁的應(yīng)力（由單位荷載引起）在實際荷載產(chǎn)生的變形上所做的功.單位荷載作用于上述箱梁結(jié)構(gòu)引起的內(nèi)力為彎矩M0和剪力Q0.設(shè)s為沿箱壁中心周線的流動坐標，從箱梁截面中取出任意 ds× dz的微元板，如圖2 所示.圖中：t為壁厚；σ為在此微元上產(chǎn)生的正應(yīng)力；τ為剪應(yīng)力；ε和γ分別為正應(yīng)變和剪應(yīng)變.應(yīng)力、應(yīng)變?nèi)缡剑?）～（5）所示.

圖2 微元板虛功分析Fig.2 Virtual work analysis of micro-element

式（2）～（5）中：Ix為箱梁截面關(guān)于x軸的慣性矩；Sy為微元板的靜距；Ma、Qa分別為實際荷載p(z)在微元截面產(chǎn)生的彎矩、剪力；E、G分別為箱梁材料的彈性和剪切模量.

由式（2）～（4）可知，撓曲應(yīng)力σ和τ在微元板上做的內(nèi)虛功dWin表示為

可求得箱梁的總內(nèi)功為

式中：A為箱梁截面面積；l為梁長.

為了形式統(tǒng)一且表示方便，引入截面剪切影響系數(shù)k如式（8）所示.

將式（8）代入式（7），并根據(jù)虛功原理Wex=Win，由式（7）與式（1）的關(guān)系，可求得

顯然，式（9）等號右端第1項表示箱梁彎曲引起的撓度，第2項表示剪切引起的附加撓度.若能求解出適合于箱形截面的k，則通過式（9）很容易分析出圖1所示的懸臂箱梁撓度.同樣，若已知k時，對于考慮剪切變形影響的簡單靜定等截面箱梁結(jié)構(gòu)撓度求解，可采用文獻[14]的計算式，在此不再贅述.

2 箱梁剪切影響系數(shù)分析

由式（8）可知，欲求箱梁的剪切影響系數(shù)，需分析箱梁截面各個微元面積與箱壁厚的比值函數(shù).對圖1所示的箱梁截面，當其發(fā)生豎向撓曲時，根據(jù)薄壁箱梁的彎曲理論和截面的對稱性[15]可知，箱梁任意點的彎曲剪力流（在箱梁頂板對稱中心處虛設(shè)開口，且逆時針為正）如式（10）所示.

式中：Q(z) 為箱梁截面承受的剪力.

由式（10）可得箱梁任意點的彎曲剪應(yīng)力為

觀察式（11）與式（8）可知，箱梁微元的面積靜矩與壁厚的比值與彎曲剪應(yīng)力成正比關(guān)系.由此可給出箱梁任意斷面的剪應(yīng)力分布如圖3所示，圖中：α為斜腹板與豎軸的交角.

通過圖3分析可得箱梁頂板處S y與t的比值ξd可表示為

圖3 箱梁彎曲剪應(yīng)力分布示意Fig.3 Bending shear stress distribution of box girder

同樣，對應(yīng)箱梁懸臂板與底板處S y與t的比值分別為ξc和ξb，如式（13）、（14）所示.

將式（12）～（14）代入式（8），化簡后求得箱梁翼板剪切影響系數(shù)kf為

式中：At、Ac和Ab分別為箱梁頂板、兩側(cè)懸臂板和底板的面積.

分析剪應(yīng)力分布可知，S y與t的比值沿箱梁腹板高度為二次函數(shù).于是S y與t在腹板剪應(yīng)力最大處（y=0）和任一點的比值分別為ξ0和ξw，表示為式（16）、（17）.

式中：Au為箱梁上半翼板的面積；tw為腹板厚度.

將式（17）代入式（8）后，可導(dǎo)出箱梁腹板的剪切影響系數(shù)kw為

式中：Aw為箱梁腹板面積.

由式（15）和式（18）可求得

與文獻[9-11]中求解薄壁箱梁撓度的方法不同，利用式（19）求得的剪切影響系數(shù)，再結(jié)合Timoshenko梁理論，可以在不分析箱梁剪力滯效應(yīng)時求得較為精確的箱梁撓度，求解過程也相對簡單.

3 梁段單元的剛度矩陣

利用剪切影響系數(shù)和文獻[14]方法可方便求解等截面箱梁撓度，然而對于變截面復(fù)雜連續(xù)箱梁撓度的求解則需采用梁段數(shù)值方法.為此，取長度為L的有限梁段單元e如圖4所示.圖中：i、j為單元的兩端節(jié)點；θi、θj分別為梁段的i、j端撓曲轉(zhuǎn)角，與之對應(yīng)的彎矩分別為Mi、Mj；wi、wj分別為梁段i、j端的豎向撓度，與之對應(yīng)的剪力分別為Qi、Qj.

圖4 有限梁段分析圖示Fig.4 Beam segment analysis

對于懸臂箱梁，相當于梁段左端完全固定，即θi和wi均為0，于是梁段內(nèi)任意點的剪力Q和彎矩M分別為

對于小變形的線彈性箱梁結(jié)構(gòu)，其應(yīng)變能為[16]

將式（20）～（21）代入式（22）可得

根據(jù)卡氏第二定律可知[16]

式中：Ak=A/k為箱梁的有效抗剪面積.

將式（24）和式（25）寫成矩陣形式為

式中：φ=6EIx/(GAkL2).

對式（26）求逆矩陣可得

式（27）用矩陣符號表示為

式中：Fj為j端荷載列向量；Kjj為j端的近端剛度矩陣；δj為j端位移列向量.

根據(jù)節(jié)點力與節(jié)點位移的關(guān)系，建立圖4梁段單元的節(jié)點力向量與節(jié)點位移向量的關(guān)系為

式中：Fi為i端荷載列向量；Kii為i端近端剛度矩陣；Kij與Kji分別為梁段單元e的i端和j端的遠端剛度矩陣；δi為i端位移列向量.

當梁段δi=0 時，根據(jù)靜力平衡條件可得

式中：H為平衡矩陣.

由于δj為任意值，將式（28）代入式（30）中，并根據(jù)式（29）與式（30）關(guān)系可得

當梁段δj=0 時，根據(jù)式（29）及式（32）可得

利用靜力平衡條件式（30）及式（33）～（34），可得

將式（28）、式（31）～（35）代入式（29），求得考慮剪切影響的箱梁梁段單元剛度矩陣為

4 數(shù)值算例分析

4.1 等截面箱梁

模型箱梁截面如圖5所示[5]，結(jié)構(gòu)形式分別為單跨簡支和兩跨連續(xù)梁，跨長為80 cm，跨中承受集中荷載 1.6 kN.其材料特性為E=2.9 GPa，泊松比為0.4.

圖5 模型梁截面Fig.5 Section of box girder model

為對比分析，分別按初等梁理論、本文方法、文獻[5]方法和采用SHELL63殼單元建立ANSYS空間有限元計算上述箱梁的撓度曲線，如圖6所示.

圖6 等截面箱梁的撓度曲線Fig.6 Deflection curves of box girder with constant section

由圖6可知，按照本文方法計算的箱梁撓度與SHELL63殼單元的空間有限元計算結(jié)果吻合良好，與初等梁理論和僅考慮剪力滯影響（文獻[5]的方式）相比，撓度計算精度有較大提高.為了定量分析僅考慮剪力滯效應(yīng)和考慮全截面剪切變形對等截面箱梁撓度的影響，表1分別給出了僅考慮剪力滯影響以及考慮腹板剪切影響（采用本文及文獻[9]方式）時上述箱梁的計算撓度值.

由表1可知：考慮箱梁的全截面剪切影響時，計算箱梁撓度與實測值及空間有限元吻合較好；僅考慮剪力滯影響的箱梁撓度與空間有限元結(jié)果相差也達10%～20%，說明針對此箱梁，腹板的剪切對撓度影響較大.

表1 箱梁跨中撓度對比Tab.1 Comparison of mid-span deflection of box girders

4.2 變截面箱梁

以如圖7所示的有機玻璃變截面連續(xù)箱梁[17]為例，變截面箱梁邊跨端部和中跨跨中處各有6 cm長的等截面直線梁段.箱梁中支點梁高8 cm，邊支點梁高4 cm，梁高按二次拋物線變化.有機玻璃的彈性模量為2.6 GPa，泊松比為0.4.施加于模型梁的荷載工況為：1）均布荷載施加于全梁，荷載值為5 N/cm；2）在中跨跨中截面施加集中荷載為137.33 N.

圖7 變截面連續(xù)箱梁模型Fig.7 Continuous box girder model with variable section

基于前文的單元剛度矩陣，利用Fortran編制了箱梁梁段計算程序DBOX，分析上述變截面連續(xù)箱梁撓度.程序分析時，梁段單元長度選為10 mm，沿箱梁長度方向共劃分為178個單元，單元的截面參數(shù)取為每個梁段的中心截面.為更加清楚了解箱梁的翼板和腹板剪切變形影響，分別以kf和k計算上述變截面箱梁模型撓度.為對比分析，分別采用文獻[6]的分析方法和利用SHELL63殼單元建立的ANSYS空間有限元模型計算所得該箱梁撓度曲線，如圖8所示.

由圖8可知：僅考慮翼板剪力滯效應(yīng)時，本文方法與文獻[6]吻合良好；綜合考慮截面剪切影響時，本文梁段程序計算的箱梁撓度與空間有限元結(jié)果吻合良好，說明本文方法求得的撓度精度較高；不同荷載作用下，剪切變形均使得中跨箱梁撓度有顯著提高.為更準確分析翼板和腹板剪切變形對該變截面箱梁中跨撓度的影響，若以vf和vw分別表示翼板和腹板剪切變形引起的附加變形，vc表示初等梁理論的撓度，表2給出上述變形在箱梁跨中部位的撓度值.

圖8 荷載作用下箱梁撓度曲線Fig.8 Deflection curves of box girder under load

表2 跨中截面處撓度分析Tab.2 Mid-span deflection analysis

由表2可得，該變截面箱梁翼板和腹板剪切變形產(chǎn)生的撓度已達忽略剪切變形計算撓度的25%～38%.

4.3 參數(shù)分析

在文獻[9-11]中，薄壁箱梁腹板的剪切影響系數(shù)ks為A/Aw.為分析該系數(shù)與本文給出的剪切影響系數(shù)之間的差異，圖9以算例1所示截面為基礎(chǔ)，給出了剪切影響系數(shù)與寬高比2b1/h的關(guān)系曲線.

由圖9可得：寬高比對剪切影響系數(shù)影響較大，寬高比較小時兩種腹板剪切影響系數(shù)值接近，但當寬高比較大時，采用文獻[9]方式計算的腹板剪切影響系數(shù)值可能會過大，因此會過高估計腹板的剪切變形的影響.

圖9 剪切影響系數(shù)Fig.9 Shear influence coefficient

為分析腹板和翼板剪切變形對箱梁撓度影響的大小，圖10給出kf和kw與k的剪切影響系數(shù)占比隨寬高比的變化.

圖10 各板的剪切影響系數(shù)占比Fig.10 Proportion of shear influence coefficient of each board

由圖10可得：隨著寬高比的增大，翼板剪切影響系數(shù)占比會增大，而腹板占比減小，說明隨著寬高比的增大，翼板產(chǎn)生剪切撓度會增大而腹板則與之相反.

5 結(jié) 論

1）通過單位荷載法，結(jié)合箱梁彎曲剪應(yīng)力的分布特點，分析出適合于箱形梁的剪切影響系數(shù).在該剪切影響系數(shù)的基礎(chǔ)上，利用卡氏第二定律及梁段剛度矩陣特性，導(dǎo)出考慮截面剪切影響的箱梁梁段單元剛度矩陣，并編制了相應(yīng)的箱梁撓度計算程序.

2）分別以等截面和變截面箱梁為數(shù)值算例，采用本文方法計算的撓度與空間有限元結(jié)果及實測值吻合良好.與已有文獻方法相比，本文計算方法在不損失撓度計算精度時，可略去分析箱梁剪力滯效應(yīng)的復(fù)雜過程，從而大大簡化分析過程，提高計算效率，是一種十分簡便的分析方法.

3）本文的變截面算例結(jié)果表明：翼板剪切變形致使撓度增加約38%，而腹板剪切變形使撓度增加約25%以上；參數(shù)分析表明，隨著寬高比的增大，翼板剪切產(chǎn)生的附加撓度會增大，而腹板則與之相反.

致謝：甘肅農(nóng)業(yè)大學(xué)公招博士科研啟動基金（GAUKYQD-30）與水利水電學(xué)院創(chuàng)新基金（SLXY-QN-2020-05）的資助.