楊聰彬，郭慶旭，劉志峰*，張 濤，胡秋實(shí)，張雪洋

（1.北京工業(yè)大學(xué) 先進(jìn)制造技術(shù)北京市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京100124；2.江蘇科技大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，江蘇 鎮(zhèn)江212003）

1 引言

諧波減速器依靠中間柔性部件（柔輪）周期性彈性變形來實(shí)現(xiàn)運(yùn)動(dòng)及動(dòng)力傳遞，當(dāng)波發(fā)生器裝配進(jìn)入柔輪后，柔輪在波發(fā)生器作用下產(chǎn)生一定程度的彈性變形，使得柔輪齒與剛輪齒進(jìn)行嚙合［1-2］。但在傳動(dòng)過程中，柔輪齒圈上每個(gè)位置的變形是動(dòng)態(tài)變換，會(huì)一定程度上影響齒輪產(chǎn)生嚙合干涉或者脫離嚙合。一般為了便于計(jì)算，理論上將柔輪中性層的形變近似作為柔輪的變形，但柔輪在實(shí)際的彈性變形是十分復(fù)雜的，實(shí)際測(cè)量柔輪變形函數(shù)與理論位置存在較大差異［3-5］，因此精確測(cè)量柔輪在波發(fā)生器作用下的實(shí)際徑向變形規(guī)律成為當(dāng)前研究重點(diǎn)。

在實(shí)際應(yīng)用中，雖然測(cè)量?jī)x器的精度較高，但測(cè)量裝置機(jī)械機(jī)構(gòu)裝配誤差難以消除，導(dǎo)致柔輪徑向變形測(cè)量精度較低，柔輪變形規(guī)律的實(shí)際檢測(cè)與理論結(jié)果相差較大。目前，針對(duì)消除安裝誤差影響因素進(jìn)行了大量分析研究［6-9］，但由于波發(fā)生器并非標(biāo)準(zhǔn)圓結(jié)構(gòu)，現(xiàn)有的誤差補(bǔ)償方法難以適用，另外柔輪在波發(fā)生器作用下發(fā)生復(fù)雜變形，致使安裝誤差對(duì)柔輪的變形結(jié)果產(chǎn)生復(fù)雜影響［10-11］，因此國內(nèi)外鮮有對(duì)柔輪變形函數(shù)測(cè)量中安裝誤差的研究。本文將基于坐標(biāo)變化原理提出了柔輪變形偏心測(cè)量模型，通過理論偏心模型得到了波發(fā)生器與轉(zhuǎn)臺(tái)中心的安裝偏心量、波發(fā)生器實(shí)際參數(shù)，將偏心狀態(tài)下的柔輪徑向變形函數(shù)帶入誤差修正模型，得到消除安裝誤差下的柔輪徑向變形函數(shù)，結(jié)果表明利用該方法能夠有效的解決了柔輪變形在偏心狀態(tài)下的測(cè)量問題，降低實(shí)驗(yàn)設(shè)備的精度要求，為優(yōu)化諧波減速器的齒廓參數(shù)奠定了實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ)。

2 測(cè)量誤差分析

2.1 柔輪徑向變形理論模型

理論下的諧波減速器柔輪變形是基于三種假設(shè)理論下進(jìn)行分析計(jì)算，柔輪徑向變形量與波發(fā)生器的尺寸參數(shù)及轉(zhuǎn)動(dòng)速度具有一定的函數(shù)對(duì)應(yīng)關(guān)系，其變形原理如圖1（a）所示，柔輪中線在波發(fā)生器作用下產(chǎn)生變形，其中細(xì)虛線為柔輪變形前中性線，Q(x，y)點(diǎn)為波發(fā)生器長軸方向的象限點(diǎn)，P(x，y)為柔輪上變形任意點(diǎn)，實(shí)線為柔輪變形后中性線，Q c和Pc分別為變形后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)。

圖1 柔輪理論變形圖Fig.1 Theoretical deformation diagram of the flexspline

理論柔輪徑向變形函數(shù)w與轉(zhuǎn)角φ之間對(duì)應(yīng)函數(shù)關(guān)系：

其中：w0為柔輪的最大徑向變形量，φ為波發(fā)生器的轉(zhuǎn)角。

在波發(fā)生器長短軸的最大徑向變形量相等的情況下，可用余弦函數(shù)代替理論徑向變形函數(shù)，簡(jiǎn)化理論共軛齒廓的求解過程，柔輪徑向變形理論曲線如圖1（b）所示。

2.2 柔輪變形測(cè)量誤差模型

在理想情況下，被測(cè)波發(fā)生器按照測(cè)量的安裝要求，其軸線與精密轉(zhuǎn)臺(tái)軸線重合進(jìn)行運(yùn)動(dòng)傳遞，圓光柵精確測(cè)量被測(cè)波發(fā)生器的角位移，通過激光測(cè)距儀對(duì)柔輪徑向變形量進(jìn)行精確測(cè)量，并對(duì)信號(hào)進(jìn)行分析處理，準(zhǔn)確的得到柔輪的徑向變形函數(shù)。但在測(cè)量機(jī)的實(shí)際工作中，各個(gè)方面都可能存在著相應(yīng)的誤差，導(dǎo)致其測(cè)量結(jié)果偏差較大［12］。

為進(jìn)一步研究測(cè)量系統(tǒng)誤差分布情況，基于多體系統(tǒng)理論與測(cè)量系統(tǒng)結(jié)果模型，針對(duì)轉(zhuǎn)臺(tái)運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)進(jìn)行運(yùn)動(dòng)誤差模型的分析與建立，其結(jié)構(gòu)與運(yùn)動(dòng)誤差模型拓?fù)鋱D如圖2所示。

圖2 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)及拓?fù)鋱DFig.2 System structure and topology

基于測(cè)量系統(tǒng)拓?fù)浞治瞿Ｐ涂芍?，測(cè)量誤差主要因素在于測(cè)量過程中安裝偏心［13］，本文中安裝偏心是指波發(fā)生器中心與轉(zhuǎn)臺(tái)回轉(zhuǎn)中心存在偏差。

如圖3（a）所示，波發(fā)生器與精密轉(zhuǎn)臺(tái)回轉(zhuǎn)中心存在一定的位置偏心，波發(fā)生器以轉(zhuǎn)臺(tái)中心進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，迫使柔輪發(fā)生變形，激光測(cè)距儀光線通過波發(fā)生器中心，偏心狀態(tài)下實(shí)際測(cè)量點(diǎn)的坐標(biāo)已發(fā)生轉(zhuǎn)變，理論測(cè)量點(diǎn)（圖3中黑色曲線）與實(shí)際檢測(cè)點(diǎn)（圖3紅色曲線）發(fā)生偏移，進(jìn)而導(dǎo)致其變形結(jié)果與理論結(jié)果存在較大偏差如圖3（b）所示（彩圖見期刊電子版）。

圖3 變形函數(shù)結(jié)果對(duì)比圖Fig.3 Comparison of deformation function results

在波發(fā)生器安裝誤差作用下，測(cè)量結(jié)果會(huì)使得柔輪變形函數(shù)測(cè)量結(jié)果產(chǎn)生較大的偏差，在偏心位置方向測(cè)量結(jié)果與實(shí)際變形量偏小，反方向測(cè)量結(jié)果與實(shí)際變形量偏大，進(jìn)而導(dǎo)致變形函數(shù)測(cè)量幅值與變形規(guī)律發(fā)生較大偏差，變形量與轉(zhuǎn)角之間的對(duì)應(yīng)函數(shù)關(guān)系產(chǎn)生轉(zhuǎn)變。

為了去除偏心對(duì)柔輪變形測(cè)量造成的影響，本文采用矩陣來表示坐標(biāo)系之間的變換關(guān)系，基于坐標(biāo)變換原理可以得到安裝偏心狀態(tài)下波發(fā)生器在轉(zhuǎn)臺(tái)坐標(biāo)系下的表達(dá)公式為：

其中：X e為偏心向量的x坐標(biāo)，Y e為偏心向量的y坐標(biāo)。

在測(cè)量過程中，轉(zhuǎn)臺(tái)會(huì)帶動(dòng)波發(fā)生器轉(zhuǎn)動(dòng)，相當(dāng)于波發(fā)生器各點(diǎn)進(jìn)行了旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)變換，其旋轉(zhuǎn)變換矩陣為：

其中θ為轉(zhuǎn)臺(tái)旋轉(zhuǎn)角度（逆時(shí)針為正）。

3 柔輪徑向變形補(bǔ)償方法研究

為解決安裝偏心誤差導(dǎo)致的檢測(cè)結(jié)果偏差，本文基于坐標(biāo)變換原理建立安裝誤差修正模型對(duì)檢測(cè)結(jié)果進(jìn)行補(bǔ)償?；谄臓顟B(tài)下理論徑向變形量的原理，根據(jù)測(cè)量點(diǎn)、回轉(zhuǎn)中心與轉(zhuǎn)角之間的函數(shù)對(duì)應(yīng)關(guān)系，進(jìn)一步推導(dǎo)出該偏心狀態(tài)下理論徑向變形量表征模型。如圖4所示，本文首先建立了理論偏心表征模型，通過實(shí)際測(cè)量的變形曲線，反求安裝偏心量與波發(fā)生器的實(shí)際參數(shù)；其次通過偏心量與橢圓參數(shù)建立誤差修正模型，對(duì)柔輪變形量進(jìn)行補(bǔ)償。

圖4 測(cè)試方法原理圖Fig.4 Schematic diagram of the test method

3.1 偏心量測(cè)量模型

通過分析波發(fā)生器同軸心的標(biāo)準(zhǔn)圓偏心狀態(tài)下變形規(guī)律，建立安裝偏心狀態(tài)下的偏心測(cè)量模型，研究理論狀態(tài)下標(biāo)準(zhǔn)圓在偏心狀態(tài)下的變形函數(shù)表征方法，其變形原理如圖5所示，實(shí)際測(cè)量點(diǎn)為點(diǎn)A，轉(zhuǎn)動(dòng)后測(cè)量點(diǎn)位置定義為點(diǎn)A1，圖中紅色虛線表示偏心圓（彩圖見期刊電子版）。

圖5 偏心狀態(tài)圓徑向變形模型Fig.5 Radial deformation model of a circle with eccen?tric state

在基準(zhǔn)坐標(biāo)系O中，r為標(biāo)準(zhǔn)圓半徑，ex為測(cè)量線偏移量，r0為偏心圓半徑，d0為測(cè)量點(diǎn)距離變化量，θ為轉(zhuǎn)動(dòng)角度，其偏心狀態(tài)下的標(biāo)準(zhǔn)圓表征函數(shù)為：

其中：cosδ=。

通過公式（4），可得偏心狀態(tài)下標(biāo)準(zhǔn)圓徑向變形函數(shù)為：d0=f(θ)，將實(shí)際檢測(cè)變形曲線分別帶入公式（4）中，即可反求出安裝偏心量(ex，ey)。

3.2 波發(fā)生器參數(shù)模型

由于波發(fā)生器存在一定的加工誤差，為提高測(cè)量結(jié)果的準(zhǔn)確率，需測(cè)量實(shí)際波發(fā)生器參數(shù)。通過分析波發(fā)生器在安裝偏心狀態(tài)下的徑向跳動(dòng)函數(shù)規(guī)律，建立波發(fā)生器偏心測(cè)量模型，研究理論狀態(tài)下波發(fā)生器在偏心狀態(tài)下的變形函數(shù)表征方法。基于坐標(biāo)變換原理，以波發(fā)生器為基準(zhǔn)，測(cè)量線以偏距圓為中心進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，偏心狀態(tài)下波發(fā)生器變形原理如圖6所示（彩圖見期刊電子版），起始測(cè)量點(diǎn)為B，轉(zhuǎn)動(dòng)后測(cè)量點(diǎn)B1點(diǎn)，圖中紅色實(shí)線表示偏距圓（半徑為偏心距ex）。

圖6 波發(fā)生器偏心變形模型Fig.6 Eccentric deformation model of wave generator

以波發(fā)生器中心建立坐標(biāo)系，θ為轉(zhuǎn)動(dòng)角度，設(shè)轉(zhuǎn)動(dòng)后測(cè)量線與波發(fā)生器焦點(diǎn)為B1(x，y)，轉(zhuǎn)動(dòng)中心O1坐標(biāo)為(ex，-ey)，偏心狀態(tài)下波發(fā)生器徑向理論變形函數(shù)為：

波發(fā)生器徑向跳動(dòng)量d：

測(cè)量波發(fā)生器在偏心狀態(tài)下的徑向變形量d，帶入公式（6）中，反求波發(fā)生器參數(shù)：

3.3 變形函數(shù)誤差補(bǔ)償模型

柔輪在波發(fā)生器作用下發(fā)生彈性變形，由于安裝誤差的存在導(dǎo)致測(cè)量結(jié)果與理論相差偏大，變形函數(shù)曲線無法滿足諧波齒形設(shè)計(jì)的要求。

為解決上述問題，研究了諧波傳動(dòng)柔輪變形函數(shù)誤差補(bǔ)償模型。本文基于諧波傳動(dòng)原理，首先分析研究了安裝誤差工況下波發(fā)生器表面輪廓曲線函數(shù)，建立波發(fā)生器偏心補(bǔ)償模型，獲得柔輪在波發(fā)生器作用下的徑向變形補(bǔ)償函數(shù)；由于安裝誤差的存在導(dǎo)致柔輪壁厚對(duì)測(cè)量結(jié)果存在一定的影響，如圖7（b）所示，使得柔輪壁厚相對(duì)于測(cè)量點(diǎn)產(chǎn)生了較為復(fù)雜的徑向位移量，通過研究偏心狀態(tài)下柔輪壁厚對(duì)測(cè)量結(jié)果的影響規(guī)律，建立了柔輪壁厚誤差補(bǔ)償模型。因此安裝偏心狀態(tài)下的補(bǔ)償模型包含兩部分，即波發(fā)生器偏心補(bǔ)償模型與柔輪壁厚誤差補(bǔ)償模型R：

其中：D為波發(fā)生器偏心補(bǔ)償數(shù)組，τ為柔輪壁厚誤差補(bǔ)償模型，R1為補(bǔ)償前柔輪實(shí)際測(cè)量曲線，R為補(bǔ)償后柔輪測(cè)量曲線。

3.3.1 波發(fā)生器偏心補(bǔ)償模型

柔輪變形誤差補(bǔ)償是以波發(fā)生器為研究基準(zhǔn)，分析柔輪在波發(fā)生器作用下的徑向變形量，確定波發(fā)生器在偏心狀態(tài)下進(jìn)行變形量與理論對(duì)應(yīng)轉(zhuǎn)角下變形量之間對(duì)應(yīng)關(guān)系，得到波發(fā)生器在偏心狀態(tài)下的補(bǔ)償模型D：

3.3.2 柔輪壁厚誤差補(bǔ)償模型

柔輪壁厚誤差補(bǔ)償模型是指柔性軸承與柔輪得厚度在偏心狀態(tài)下得誤差模型，為標(biāo)準(zhǔn)值與偏心值之間得插值函數(shù)τ：

其中：β為理論狀態(tài)下得壁厚變化函數(shù)，β1為偏心狀態(tài)下得壁厚變化函數(shù)。

理論狀態(tài)下得壁厚變化函數(shù)β：

其中Δ為厚度。

偏心狀態(tài)下得壁厚變化函數(shù)β1：

4 實(shí)驗(yàn)

4.1 實(shí)驗(yàn)裝置

本次實(shí)驗(yàn)的裝置如圖8所示，該檢測(cè)裝置包括安裝于光學(xué)平板上的高精度轉(zhuǎn)臺(tái)系統(tǒng)、激光測(cè)量系統(tǒng)和柔輪固定系統(tǒng)，通過高精度轉(zhuǎn)臺(tái)系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)波發(fā)生器的安裝和360°均勻分度旋轉(zhuǎn)，柔輪通過柔輪支架固定在光學(xué)平板上，并通過上下調(diào)節(jié)實(shí)現(xiàn)柔輪與波發(fā)生器的接觸，激光位移傳感器通過傳感器支架安裝于水平滑臺(tái)上，并通過前后移動(dòng)調(diào)整實(shí)現(xiàn)激光穿過波發(fā)生器中心軸線，以此來實(shí)現(xiàn)徑向變形量的測(cè)量。

圖8 柔輪變形函數(shù)研究平臺(tái)Fig.8 Platform for flexspline deformation function re?search

本次實(shí)驗(yàn)轉(zhuǎn)臺(tái)轉(zhuǎn)速為0.3°/s勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，激光測(cè)距儀以100 Hz的采集頻率采集。首先，通過上下移動(dòng)調(diào)節(jié)柔輪實(shí)現(xiàn)波發(fā)生器與柔輪分離，前后移動(dòng)調(diào)整激光測(cè)距儀實(shí)現(xiàn)激光穿過與波發(fā)生器同軸心的標(biāo)準(zhǔn)軸中心軸線，測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)圓變形量，再向上調(diào)節(jié)激光測(cè)距儀實(shí)現(xiàn)激光穿過波發(fā)生器中心，測(cè)量波發(fā)生器變形量，最后向下調(diào)節(jié)柔輪實(shí)現(xiàn)柔輪與波發(fā)生器的完整接觸，測(cè)柔輪再波發(fā)生器作用下的變形曲線。經(jīng)調(diào)試后轉(zhuǎn)臺(tái)的定位精度為0.0008°，勻速運(yùn)動(dòng)過程中的速度波動(dòng)為0.01°附近。

表1 諧波減速器參數(shù)表Tab.1 Harmonic reducer parameters table

4.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

測(cè)量與波發(fā)生器同軸的標(biāo)準(zhǔn)圓（直徑D=30 mm）在三種偏心狀態(tài)下的徑向變形量，經(jīng)過數(shù)據(jù)濾波與擬合后，其結(jié)果如圖9所示，基于理論圓徑向變形公式（5），計(jì)算出偏心距e為0.245 mm與偏心圓半徑r0為0.3275 mm。

圖9 標(biāo)準(zhǔn)圓柱徑向變形量Fig.9 Radial deformation of standard cylinder

測(cè)量波發(fā)生器在偏心狀態(tài)下的徑向變形量，其結(jié)果如圖10中紅色曲線所示，將實(shí)際測(cè)量參數(shù)帶入公式（5）和公式（6）中，反求其實(shí)際橢圓參數(shù)，測(cè)量結(jié)果如表2所示。圖10中理論偏心曲線為實(shí)際波發(fā)生參數(shù)與偏移量(ex，ey)作用下的波發(fā)生器徑向變形曲線，試驗(yàn)結(jié)果可以看出，實(shí)際檢測(cè)波發(fā)生器曲線與理論計(jì)算偏心曲線基本一致。

圖10 波發(fā)生器偏心測(cè)量結(jié)果Fig.10 Wave generator eccentricity measurement results

表2 波發(fā)生器參數(shù)結(jié)果Tab.2 Results of wave generator parameters（mm）

如圖11所示（彩圖見期刊電子版），藍(lán)色的理論徑向變形按照余弦規(guī)律變化，但圖11中實(shí)際檢測(cè)的變形曲線（綠色曲線）已經(jīng)改變，其角度與徑向變形量對(duì)應(yīng)關(guān)系也發(fā)生轉(zhuǎn)變，兩個(gè)峰谷之間存在0.134 mm的誤差?；谥C波傳動(dòng)原理，波發(fā)生器轉(zhuǎn)動(dòng)一周，迫使柔輪測(cè)量點(diǎn)產(chǎn)生兩次相同變形，且兩次變形存在對(duì)稱關(guān)系，因此其變形函數(shù)兩個(gè)峰谷與峰頂是基本一致。由實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：波發(fā)生器轉(zhuǎn)動(dòng)一周中，柔輪上測(cè)量點(diǎn)最小變形量相差0.134 mm，與理論結(jié)果（0 mm）相差偏大。

圖11 柔輪變形函數(shù)對(duì)比Fig.11 Comparison of flexspline deformation functions

基于柔輪安裝誤差補(bǔ)償模型與偏移量修正后的柔輪徑向變形曲線如圖11所示，兩個(gè)峰谷之間存在0.012 mm的誤差，實(shí)際柔輪的變形頻率與振幅與理論模型基本一致，經(jīng)修正后柔輪徑向變形函數(shù)測(cè)量誤差明顯減少。如表3所示，在不同偏心位置下該方法測(cè)量精度結(jié)果基本一致，該誤差補(bǔ)償理論模型正確。

表3 不同位置下測(cè)量結(jié)果Tab.3 Measurement results at different locations（mm）

5 結(jié)論

針對(duì)柔輪徑向變形測(cè)量過程中安裝誤差導(dǎo)致測(cè)量結(jié)果偏差較大的技術(shù)難題，本文對(duì)諧波傳動(dòng)柔輪徑向變形測(cè)量誤差影響因素進(jìn)行了分析，并研究了安裝誤差狀態(tài)下對(duì)柔輪徑向變形函數(shù)測(cè)量結(jié)果的影響規(guī)律，構(gòu)建了安裝誤差工況下理論徑向變形量的表征模型，提出基于坐標(biāo)變換原理的柔輪徑向變形誤差修正方法，消除了柔輪安裝誤差對(duì)變形函數(shù)的影響。實(shí)驗(yàn)結(jié)果證明：安裝誤差條件下柔輪變形函數(shù)峰谷偏差達(dá)0.134 mm，與理論相差偏大；在不同偏心位置進(jìn)行測(cè)量、修正補(bǔ)償后，誤差在0.012 mm附近，且柔輪徑向變形結(jié)果與理論變化趨勢(shì)一致，基本滿足了柔輪變形函數(shù)測(cè)量的要求。