王梓彥，吳 祥 ，陸建隆

(1. 南京市第九中學(xué)，江蘇 南京 210018；2. 南京師范大學(xué) 物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，江蘇 南京 210097 ；3. 南京師范大學(xué) 教師教育學(xué)院，江蘇 南京 210097)

本文介紹了在內(nèi)壁光滑的金屬管中產(chǎn)生光環(huán)的實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)器材在生活中比較常見，實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象有趣但少有人關(guān)注到.選取一根內(nèi)壁光滑的圓柱形金屬管，將管的一端對著天空或室內(nèi)白墻，眼睛貼在另一端能夠觀察到亮度不連續(xù)分布的光環(huán)，光環(huán)的亮度由中心向外逐漸降低直到無法分辨.該現(xiàn)象的物理原理主要是光的反射，亮度的降低主要是由于光在反射過程中有能量損失而導(dǎo)致的.

1 金屬管內(nèi)光環(huán)現(xiàn)象

選取一根內(nèi)壁光滑的圓柱形不銹鋼管，將管口對著室內(nèi)白色墻壁，眼睛緊貼在另一端進(jìn)行觀察，能夠看到亮度不連續(xù)分布的光環(huán)，如圖1所示, 各光環(huán)之間有明顯的分界，單個光環(huán)亮度分布均勻，但由中心向外光環(huán)的亮度逐漸降低，直到無法分辨，我們用手機(jī)攝像頭緊貼在管口拍攝到的照片與人眼觀察到的現(xiàn)象一致.圖1中下方黑色線狀陰影是不銹鋼管焊接時留下的痕跡，后文的照片中都存在.制作一根與不銹鋼管的長度、直徑基本相同的紙管，重復(fù)以上操作，則無法觀察到光環(huán)(見圖2).

以我們選取的不銹鋼管為例(長約645 mm，直徑約23 mm)，將管口對著室內(nèi)白色墻壁得到的圖1中能清晰看到中間圓孔及5個光環(huán)，第6個較為模糊，用光打在墻壁上增加面光源亮度則能清晰看到6個光環(huán)，第7個較為模糊(見圖3).若以手機(jī)閃光燈作為點(diǎn)光源將其置于管一端的中心，能看到由中心向外亮度遞減的光環(huán)，相鄰光環(huán)間有暗環(huán)(見圖4).

圖1 金屬管中的光環(huán)

圖2 通過紙管觀察到的現(xiàn)象

圖3 增加面光源亮度的光環(huán)

圖4 點(diǎn)光源產(chǎn)生的光環(huán)

2 金屬管中產(chǎn)生光環(huán)的定性分析

我們嘗試分析產(chǎn)生這種現(xiàn)象的原因.在實(shí)驗(yàn)過程中我們將紅色的瓶蓋置于白色背景之中，管口對著瓶蓋邊緣進(jìn)行觀察，在第一個光環(huán)中可以較為清楚地看到瓶蓋的像，光環(huán)中瓶蓋的像從中心向外數(shù)量增加，清晰度降低(見圖5).

圖5 光環(huán)中的瓶蓋

結(jié)合以上所觀察到的種種現(xiàn)象，如內(nèi)壁光滑的金屬管才可以觀察到光環(huán)、光環(huán)中能看到紅色瓶蓋的像等等，我們初步推斷該現(xiàn)象背后的物理原理應(yīng)該屬于幾何光學(xué)范疇，包括光的直線傳播和光的反射，并不涉及光的全反射、干涉、衍射和偏振等.金屬管的內(nèi)壁光滑使得光線發(fā)生了鏡面反射，而光在反射的過程中有能量損失，反射次數(shù)越多能量損失的也就越多，這就導(dǎo)致了光環(huán)亮度遞減.

鑒于實(shí)際情況下光源和金屬管中的光路圖都過于復(fù)雜，我們將金屬管模型簡化成兩個長度相等且平行放置的平面鏡，光源為點(diǎn)光源，如圖6所示.平面鏡長度為L，平面鏡間的距離為2r，黑暗中的一點(diǎn)光源處于平面鏡一端的中軸P點(diǎn)上，眼睛在另一端中軸上，眼睛(相機(jī))接收光線的范圍為Δd，理想情況下將點(diǎn)光源和眼睛都視為一個點(diǎn).由幾何光學(xué)反射定律可知，理論上人眼所能看到的點(diǎn)光源的像有n個：位于P點(diǎn)不經(jīng)過反射的實(shí)像、經(jīng)過一次反射的光線形成的虛像1、經(jīng)過兩次反射的光線形成的虛像2，……，經(jīng)過n次反射的光線形成的虛像N.由幾何關(guān)系可以證明，相鄰兩個虛像之間的距離都為2r，經(jīng)過n次反射后進(jìn)入人眼的光線與中軸線的夾角為θn，點(diǎn)光源的像個數(shù)n與θn有關(guān)(見圖6，中軸線下方的對稱虛像1′、2′、…, 沒有畫出).

圖6 簡化的金屬管模型

θn增大，反射次數(shù)增加，光在反射時存在能量損失，虛像的亮度隨反射次數(shù)增加而降低.因此，該模型所能觀察到的現(xiàn)象應(yīng)該為關(guān)于光源實(shí)像對稱的一對虛像，且相鄰兩個虛像間距相等，越向外側(cè)虛像的亮度越低.假設(shè)人眼為一個點(diǎn)，由于人眼接收光線的范圍有限，進(jìn)入眼睛的光線形成光源的虛像，未進(jìn)入眼睛的光線形成視覺上的黑色區(qū)域.經(jīng)過計(jì)算能夠進(jìn)入人眼的光線滿足(其中n為反射次數(shù))

(1)

如果考慮圓柱形金屬管，那么觀察到的應(yīng)該是點(diǎn)光源虛像在空間內(nèi)的疊加，即由中心向外亮度遞減的光環(huán)，未進(jìn)入眼睛的光線形成相鄰光環(huán)間的暗環(huán)，這與圖4中的現(xiàn)象吻合.如果增大點(diǎn)光源的尺寸，使其是半徑為r的球面，那么圖6中的P、1、2, …, 就會形成連續(xù)相接的、亮度逐漸降低的像，這與圖1中的現(xiàn)象吻合.為了驗(yàn)證理論分析的正確性，我們用不透光的紙板覆蓋在管口，在其中心打孔并改變孔徑，實(shí)現(xiàn)光源從點(diǎn)到面的變化，得到了連續(xù)變化的一組圖像，與理論分析的結(jié)果一致(見圖7).

由于人眼和相機(jī)所能觀察到的光環(huán)數(shù)量有限，我們分析可能有兩方面原因：1) 因?yàn)榉瓷溥^程中的能量損失，導(dǎo)致反射次數(shù)較多后光線亮度過低無法被分辨; 2) 視場角的緣故.在光學(xué)儀器中，以光學(xué)儀器的鏡頭為頂點(diǎn)，以被測目標(biāo)的物像可通過鏡頭的最大范圍的兩條邊緣構(gòu)成的夾角，稱為視場角.視場角的大小決定了光學(xué)儀器的視野范圍，視場角越大，視野就越大，通俗地說，目標(biāo)物體超過這個角就不會被收在鏡頭里[1].通過簡單測算，我們實(shí)驗(yàn)所使用的手機(jī)后置相機(jī)在不改變焦距的條件下視場角約等于54°，圖6中在人眼處相機(jī)能夠接收到的反射光線與中軸線夾角θn應(yīng)小于等于27°.

圖7 光源從點(diǎn)到面連續(xù)變化的圖像

3 金屬管中光環(huán)現(xiàn)象的定量分析與MATLAB模擬

3.1 光環(huán)光強(qiáng)分布計(jì)算

如圖8所示，將金屬管模型簡化為一個矩形截面光路，建立平面直角坐標(biāo)系，點(diǎn)光源各個方向光強(qiáng)Ep滿足(其中I為點(diǎn)光源光強(qiáng))

Ep=Icosθ

(2)

點(diǎn)光源P向各個方向發(fā)射光線，經(jīng)由管壁反射最終抵達(dá)金屬管的另一端，在Q點(diǎn)所在的平面上形成一定的光強(qiáng)分布，可以計(jì)算得出某一點(diǎn)Q的光強(qiáng)EQ和Q點(diǎn)所在位置yQ(見圖8).在金屬管另一端觀察，觀察范圍為Δd，即經(jīng)過反射進(jìn)入觀察范圍內(nèi)的光線可以被觀測到，形成亮環(huán)，亮環(huán)的寬度由光源開孔半徑以及觀察范圍決定.而光線一次反射和兩次反射之后的能量損失不同，反射次數(shù)越多，光的強(qiáng)度呈現(xiàn)指數(shù)下降趨勢，因此觀察到的亮環(huán)亮度向外遞減.沒有進(jìn)入觀察范圍的光線在視覺上形成暗環(huán).

圖8 金屬管截面圖中光路

影響光環(huán)的因素較多，我們主要設(shè)置了以下6個重要的參數(shù)(見表1).

表1 影響光環(huán)的參數(shù)

設(shè)光源位置P(0，d)，光強(qiáng)為Ep，射出的光線與中軸線夾角為θ，記光線最終到達(dá)另一端的位置為Q點(diǎn)，坐標(biāo)為(L，yQ)，到達(dá)Q的光強(qiáng)為EQ.通過幾何數(shù)學(xué)計(jì)算，可以得出如下結(jié)果：

光路經(jīng)過總長度

(3)

光線反射次數(shù)是光路總長度的垂直分量與金屬管直徑的比值取整，同時考慮光源的位置，因此有下式：(n>0對應(yīng)出射光線在中軸線上方，floor表示向下取整；n<0對應(yīng)出射光線在中軸線下方，ceil表示向上取整.)

(4)

光線到達(dá)位置

yQ=Ltanθ-n·2r+d

(5)

考慮點(diǎn)光源各個方向光強(qiáng)滿足式(1)，經(jīng)過n次反射金屬管對光的削弱為Rn，將三者相乘得出Q點(diǎn)光強(qiáng)公式為

EQ=Icosθ·Rn

(6)

通過式(5)、(6)可以詳細(xì)計(jì)算出每一條光線從P點(diǎn)出發(fā)最終到達(dá)的位置和光強(qiáng)，并能夠記錄其反射次數(shù)與出射角度.將光強(qiáng)分布轉(zhuǎn)化為人眼的觀測情況，假設(shè)人眼看到的虛像位于金屬管光源所在的平面，則人眼所看的亮環(huán)范圍滿足如下關(guān)系:

(7)

由上式(7)可以看出，亮環(huán)的級數(shù)由反射次數(shù)n決定，而亮環(huán)的寬度由人眼的觀察范圍Δd決定.考慮到人眼看遠(yuǎn)距離物體時，會覺得物體比較小，因此對于光環(huán)寬度用視場角來描述更能反映人的視覺效果，視場角滿足

(8)

3.2 MATLAB模擬與現(xiàn)象解釋

設(shè)置參數(shù)，金屬管長度L=645 mm，內(nèi)直徑2r=23 mm，光源位于中心d=0，相機(jī)位于另一端中心，相機(jī)鏡頭可視直徑Δd=3 mm，金屬管反射系數(shù)R值取0.86，模擬結(jié)果如圖9(b)所示，9(a)為實(shí)驗(yàn)觀測圖，模擬圖與實(shí)驗(yàn)圖現(xiàn)象基本相同，這說明我們的模型能夠較好的解釋金屬管產(chǎn)生光環(huán)的物理本質(zhì).

圖9 金屬管產(chǎn)生光環(huán)的實(shí)驗(yàn)圖像與模擬圖像

如圖8所示，相機(jī)在Q端，能接收到光線的范圍為Δd，即經(jīng)過反射后最終進(jìn)入人眼(相機(jī))范圍內(nèi)的光線才能被接收到，反射次數(shù)相同的光線組成了一個完整的亮環(huán)，亮環(huán)的寬度由光源半徑以及接收光線范圍決定.光線經(jīng)過反射的次數(shù)越多，光的強(qiáng)度呈現(xiàn)指數(shù)下降趨勢并且形成的虛像離中心越遠(yuǎn)，導(dǎo)致亮環(huán)亮度向外遞減.由于實(shí)際觀察范圍小于管口直徑，有部分反射光線不能進(jìn)入觀察范圍中，導(dǎo)致形成了亮環(huán)之間的暗環(huán).如果觀察范圍大于等于管口直徑，則不會觀察到暗環(huán)，而是具有亮度梯度變化的亮環(huán).

接下來我們結(jié)合MATLAB模擬結(jié)果和實(shí)驗(yàn)結(jié)果，深入探究各參數(shù)對光環(huán)的影響.

4 影響光環(huán)現(xiàn)象的系列因素探究

4.1 金屬管尺寸對光環(huán)的影響

我們選取3根長度不同的不銹鋼管，以手機(jī)閃光燈作為點(diǎn)光源，并置于管一端的中心，相機(jī)置于另一端中心進(jìn)行拍攝，詳細(xì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)見表2，實(shí)驗(yàn)圖像如圖10所示.

實(shí)驗(yàn)中我們發(fā)現(xiàn)管1理論光環(huán)數(shù)與實(shí)際光環(huán)數(shù)一致，但管2、管3實(shí)際光環(huán)數(shù)小于理論光環(huán)數(shù)，轉(zhuǎn)動眼球或者相機(jī)鏡頭，并不能看到更多的光環(huán)，因此我們初步判斷原因在于反射過程中的能量損失，反射次數(shù)較多后光線亮度過低無法被分辨.

進(jìn)行MATLAB模擬，取金屬管內(nèi)壁反射系數(shù)R=0.86，光源偏離中心的距離d=0，接收光線范圍Δd=3 mm，以及實(shí)驗(yàn)用3根金屬管的規(guī)格作為參數(shù)進(jìn)行模擬，繪制出光環(huán)分布-視場角圖和相對光強(qiáng)-視場角圖.從觀測光環(huán)-視場角圖中可以看出，模擬結(jié)果與實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象基本吻合，除1號管，2、3號管可見的光環(huán)數(shù)量小于理論值，而相對光強(qiáng)-視場角圖可以較好的解釋其中原因：由于反射次數(shù)較多，相對光強(qiáng)較小以至于無法被分辨.因此，在接收端光學(xué)器件的視場角、金屬管內(nèi)壁反射系數(shù)、點(diǎn)光源的亮度一定的情況下，并不是金屬管的長度與半徑的比值越大，可觀察到的光環(huán)數(shù)量越多.

圖10 不同長度金屬管形成的光環(huán)圖像

為定量驗(yàn)證模型的正確性，我們用MATLAB對圖9中光環(huán)的角度和亮度進(jìn)行測量. 根據(jù)前文的理論分析，可得兩個相鄰的亮環(huán)之間的間距等于光管內(nèi)半徑，因此只需要測量照片中兩個亮環(huán)之間的像素距離，等比例縮小為實(shí)際距離，這樣便有了像素大小和實(shí)際大小的轉(zhuǎn)換標(biāo)度，然后根據(jù)每個光環(huán)在照片上的位置得出它的實(shí)際位置，即遠(yuǎn)離圓心的位置.經(jīng)測量我們發(fā)現(xiàn)照片中光環(huán)的角度與相對光強(qiáng)-視場角圖中的視場角匹配程度較高.

用MATLAB分析照片中光環(huán)的光強(qiáng)，發(fā)現(xiàn)前幾級光環(huán)的光強(qiáng)數(shù)據(jù)溢出而無法區(qū)分.經(jīng)過理論分析和實(shí)踐操作我們認(rèn)為是點(diǎn)光源亮度過高，而拍照設(shè)備對光強(qiáng)的分辨能力有限導(dǎo)致.為防止數(shù)據(jù)達(dá)到上限溢出的情況，我們降低點(diǎn)光源亮度后以管2為例拍出圖11.因光源亮度降低，導(dǎo)致所有光環(huán)亮度降低從而使得可分辨的亮環(huán)減少(原本可以明顯觀察到9個亮環(huán)，降低亮度后只能觀察到5個亮環(huán)).

圖11 點(diǎn)光源亮度降低后管2圖像

將對圖11中光環(huán)的角度和亮度分析結(jié)果與理論模型繪制于同一幅圖(見圖12)中進(jìn)行對比，可以看出，一方面照片中光環(huán)的角度與理論分析結(jié)果匹配較好，但由于不銹鋼管并非完美圓柱形，也無法保證點(diǎn)光源在管口正中心，導(dǎo)致有一定誤差.另一方面，照片中光環(huán)亮度的整體變化趨勢與理論分析結(jié)果一致，但具體變化規(guī)律前三級光環(huán)匹配較好，從第四級光環(huán)開始實(shí)驗(yàn)值衰減更快，明顯小于理論值.

圖12 圖11中光環(huán)相對光強(qiáng)-視場角圖的理論、實(shí)驗(yàn)對比

4.2 金屬管內(nèi)壁反射系數(shù)對光環(huán)的影響

實(shí)際實(shí)驗(yàn)中我們無法調(diào)節(jié)金屬管內(nèi)壁的反射系數(shù)，但通過MATLAB可以模擬.在金屬管其余參數(shù)不變的情況下，只將1號管的反射系數(shù)R改成0.86、1，如圖13(a)所示，R=0.86的光環(huán)圖像與實(shí)驗(yàn)中觀察到的圖像相似.R=1即無反射損失時的圖像如圖13(b)所示，可以看到光環(huán)分布規(guī)律與圖13(a)一致，但光環(huán)的亮度衰弱趨勢明顯減弱.

圖13 金屬管內(nèi)壁反射系數(shù)對光環(huán)的影響

根據(jù)前文的理論分析我們認(rèn)為，在R=1的情況下光環(huán)的光強(qiáng)衰弱趨勢僅取決于式(2)中的θ.由此可知，反射過程中的能量損失是光環(huán)光強(qiáng)迅速衰減的主要原因.

4.3 接收光線范圍對光環(huán)的影響

人眼(相機(jī)鏡頭)由于自身尺度的原因，能夠接收光線的范圍是有限的，經(jīng)過理論分析，若人眼(相機(jī)鏡頭)能夠?qū)⒔饘俟芰硪欢巳康墓饩€接收，則將不會觀察到兩個亮環(huán)之間的暗環(huán)，而是具有亮度梯度的一個個亮環(huán).我們在黑暗的環(huán)境中進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，同樣以手機(jī)閃光燈作為點(diǎn)光源，金屬管另一端對著光屏，使經(jīng)過金屬管內(nèi)壁反射的所有光線都打在光屏上(即接收光線范圍Δd≥金屬管內(nèi)直徑2r)，再用相機(jī)去拍攝光屏上的圖樣，實(shí)驗(yàn)觀測圖像如圖14(a)所示.在光管其余參數(shù)不變(R=0.86)的情況下，只將接收光線范圍Δd改為金屬管內(nèi)直徑2r進(jìn)行MATLAB模擬，模擬圖像如圖14(b)所示，與圖14(a)相似.同時對比14(b)和13(a)，反射光線被全部接收時無暗環(huán)出現(xiàn)，而未完全接收時出現(xiàn)明顯暗環(huán).因此，我們認(rèn)為形成暗環(huán)的原因是人眼(相機(jī)鏡頭)自身尺度較小導(dǎo)致一部分光線沒有被接收，從而形成了視覺上的暗環(huán).

圖14 接收光線范圍對光環(huán)的影響

5 結(jié)束語

金屬管現(xiàn)象產(chǎn)生的物理原理為光的反射，反射次數(shù)相同的光線形成了一個光環(huán)，由于反射次數(shù)越多，能量損失就越多，形成的虛像距離中心也越遠(yuǎn)，因此形成了由中心向外連續(xù)相接、亮度遞減的一個個光環(huán).點(diǎn)光源情況下，反射次數(shù)相同的光線形成的虛像在空間中的集合組成了亮度由中心向外遞減的一個個光環(huán)，因接收端的光學(xué)器件尺度很小，未被接收到的光線就形成了相鄰光環(huán)間的暗環(huán).

我們從簡單的反射光路圖入手，通過理論分析、實(shí)驗(yàn)和MATLAB模擬，研究了點(diǎn)光源情況下影響光環(huán)數(shù)量的因素，得出光環(huán)數(shù)量理論上與接收端光學(xué)器件的視場角、金屬管的長度與半徑的比值成正相關(guān)，但實(shí)際情況下可觀察到的光環(huán)數(shù)量還受到金屬管內(nèi)壁反射系數(shù)以及光源的亮度等因素的影響.此外，金屬管內(nèi)壁反射系數(shù)和接受光線范圍也會影響觀察到的現(xiàn)象.

致謝：感謝南京師范大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院王巍教授的指導(dǎo)！