張馨悅，張雪天，劉 娜，鄭克禮

(東北林業(yè)大學(xué))

0 引言

1933年，H.Weyl第一次用“李代數(shù)”代替了“無(wú)窮小群”，自此李代數(shù)開(kāi)始被更多的人所關(guān)注. 經(jīng)過(guò)歷代數(shù)學(xué)家們的努力，目前李超代數(shù)的相關(guān)理論問(wèn)題已經(jīng)基本解決[1-2]，然而對(duì)于李超代數(shù)的相關(guān)問(wèn)題的研究仍然不完善，還有許多問(wèn)題亟待解決. 由于李超代數(shù)在物理、數(shù)學(xué)等方面的實(shí)際應(yīng)用[3]，近年來(lái)對(duì)于李超代數(shù)的探究也越來(lái)越積極. 中心化子是一個(gè)子代數(shù)，其概念起源于抽象代數(shù)中群結(jié)構(gòu)的研究[4]. 由于中心化子對(duì)于研究李超代數(shù)結(jié)構(gòu)具有重要意義，因此對(duì)于中心化子的研究是不容忽視的. 文獻(xiàn)[5]用矩陣完全表示出了系數(shù)在模李超代數(shù)W(m,3,1)上的gl(2,F)的一維上同調(diào). 文獻(xiàn)[6]刻畫(huà)了因子von Neumann代數(shù)以及三角代數(shù)上非線性Lie中心化子. 文獻(xiàn)[7]研究了任意域上自同態(tài)的中心化子并計(jì)算了它的維數(shù)，同時(shí)得到了相應(yīng)的廣義Weyr標(biāo)準(zhǔn)形及其中心化子的結(jié)構(gòu).

該文以素特征域上一類(lèi)一般線性李超代數(shù)的子代數(shù)osp(1,4)為例，研究其在廣義Witt型李超代數(shù)上的中心化子. 該文的原始思想來(lái)源于文獻(xiàn)[8-10]，并利用廣義Witt李超代數(shù)的直和分解和求解線性方程組的方法分別計(jì)算了在素特征域上的Cw(osp(1,4))和Cω(osp(1,4)). 最后得到了osp(1,4)在廣義Witt型李超代數(shù)中的中心化子結(jié)構(gòu). 該文所涉及代數(shù)的基域都默認(rèn)為特征大于 2的代數(shù)閉域.

1 預(yù)備知識(shí)

設(shè)W為廣義Witt型模李超代數(shù)[2]，且其有如下結(jié)構(gòu)：

W=w⊕ω.

其中：

易知{X1D1,X1d1,X1d2,X1d3,X1d4,ξ1D1,ξ1d1,ξ1d2,ξ1d3,ξ1d4，ξ2D1,ξ2d1,ξ2d2,ξ2d3,ξ2d4,ξ3D1,ξ3d1,ξ3d2,ξ3d3,ξ3d4,ξ4D1,ξ4d1,ξ4d2,ξ4d3,ξ4d4} 是W中的一個(gè)子集，它同構(gòu)于gl(1,4)的一組基.

定義(2m+2n+1)×(2m+2n+1)階矩陣，

其中Im是m×m階單位矩陣，In是n×n階單位矩陣. 令δ2m|2n表示從中刪除第2m+1行與第2m+1列所得到的(2m+2n)×(2m+2n)階矩陣，那么有osp(1，4)={g∈gl(1,4)|gstδ1|4+δ1|4g=0}其中g(shù)st表示g的超轉(zhuǎn)置，則osp(1,4)可由如下矩陣表示

可以得到

{e12+e41,e13+e51,e14-e21,e15-e31,e22-e44,e23-e54,e32-e45,e33-e55,e25+e34,e43+e52,e24,e35,e42,e53}為osp(1,4) 的一組基，其中eij是(i,j)位置為1，其他位置為0的矩陣. 則顯然有{X1d1+ξ3D1,X1d2+ξ4D1,X1d3-ξ1D1,X1d4-ξ2D1,ξ1d1-ξ3d3,ξ1d2-ξ4d3,ξ2d1-ξ3d4,ξ2d2-ξ4d4,ξ1d4+ξ2d3,ξ3d2+ξ4d1,ξ1d3,ξ2d4,ξ3d1,ξ4d2}是同構(gòu)于osp(1,4)這組基的一個(gè)W的子集. 因此，為了確定素特征域上的Cw(osp(1,4))，只需對(duì)所有的i=1,2,…,n考慮Cwi(osp(1,4))和Cωi(osp(1,4))即可.

2 素特征域上的Cw(osp(1,4))

命題1Cw0(osp(1,4))=〈X(α)-〈i〉Dk|i∈{1},|α|=2,k∈Y0=1}〉⊕〈ξjDk|j∈Y1{1,2,3,4},k∈Y0{1}〉.

證明由定義有w0=〈x(α)ξuDk||α|+|u|=1,k∈Y0〉，可將其分為ξjDk和X(α)Dk，|α|=1,|u|=0. 令[osp(1,4),a]=0，

由于D1,D2,…,Dm線性無(wú)關(guān)，則由上式可得

g1k=g2k=g3k=g4k=0.又有

綜上所述，有Cw0(osp(1,4))=〈X(α)-〈i〉Dk|i∈{1},|α|=2,k∈Y0=1}〉⊕〈ξjDk|j∈Y1=1,2,3,4},k∈Y0=1}〉.

命題2

證明由于w1=〈X(α)ξuDk||α|+|u|=2,k∈Y0〉，可將其分為ξiξjDk,X(α)ξjDk和X(β)Dk三種情況，其中|α|=1,|β|=2.

(1)當(dāng)X(α)ξuDk的X(α)為X1，X(β)中含有X1時(shí)，對(duì)于ξiξjDk(i

由于D1,D2,…,Dm線性無(wú)關(guān)，則由上式知c1k=c2k=c3k=0,h1jk=h2jk=h3jk=h4jk=0.

易知hij1=0,gk=0,cjk=0，此時(shí)結(jié)果為

〈ξu-〈j〉Dk|j∈{1,2,3,4},|u|=3,k∈Y0=1}〉.

(2)當(dāng)X(α)ξjDk中X(α)不為X1，并且同時(shí)滿足X(β)中不含有X1,k∈Y0=1}時(shí)，則有[osp(1,4),a]=0，此時(shí)結(jié)果有

〈X(α)-〈i〉ξjDk|i∈{1},|α|=2,j∈Y1=1,2,3,4},k∈Y0=1}〉⊕〈X(β)-〈i〉Dk|

i∈{1},|β|=3,k∈Y0=1}〉.

綜上所述，可以得到

命題3

證明由w2=〈X(α)ξuDk||α|+|u|=3,k∈Y0〉可知，可將其分為ξiξjξlDk,X(α)ξiξjDk,X(β)ξjDk,X(γ)Dk四種情況，其中|α|=1,|β|=2,|γ|=3.

(1)若X(α),X(β),X(γ)中含有X1時(shí)，對(duì)于ξiξjξlDk,i

由[ξ3d1,a]=0,[ξ4d2,a]=0,[ξ1d3,a]=0,[ξ2d4,a]=0可知c1k=c2k=c3k=c4k=0,

mijlk=0,hijk=0，其中i=1,2,3,4. 由[X1d1-ξ3D1,a]=0可知cjk=hijk=gk=0. 此時(shí)結(jié)果有〈ξu-〈j〉Dk|j∈{1,2,3,4},{u}=4,k∈Y0=1}〉.

(2)若X(α)、X(β)、X(γ)中不含有X1，則[osp(1,4),a]=0.

此時(shí)結(jié)果為〈X(α)-〈i〉ξu-〈j〉Dk||α|=2,

i∈{1},|u|=3,j∈{1,2,3,4},k∈Y0=1}〉⊕〈X(β)-〈i〉ξu-〈j〉Dk|i∈{1},|β|=3,j∈{1,2,3,4},|u|=2,k∈Y0=1}〉⊕

〈X(γ)-〈i〉Dk|i∈{1},|γ|=4,k∈Y0value=1}〉.

綜上所述，有

推論1 對(duì)于wk(k≥1)而言，結(jié)果應(yīng)有k+2項(xiàng)直和. 即

由命題1～3以及推論1即可得到以下定理：

定理1Cw(osp(1,4))=Cw0(osp(1,4))⊕Cwk(osp(1,4))，其中1≤k≤n.

運(yùn)用以上命題的相同證法可得：

命題4Cω0(osp(1,4))=〈X(α)-〈i〉dk|

i∈{1},|α|=2,k∈Y1=1,2,3,4}〉⊕〈ξjdk|j∈Y1=1,2,3,4},k∈Y1=1,2,3,4}〉.

命題5Cω1(osp(1,4))=〈X(α)-〈i〉ξu-〈j〉×

dk|i∈{1},|α|=2,j∈{1,2,3,4},k∈Y1=1,2,3,4}〉⊕〈X(β)-〈i〉dk|i∈{1},|β|=3,k∈Y1=1,2,3,4}〉⊕〈ξu-〈j〉dk|j∈{1,2,3,4},|u|=3,k∈Y1=1,2,3,4}〉.

命題6Cω2(osp(1,4))=〈X(α)-〈i〉ξu-〈j〉×

dk||α|=2,i∈{1},|u|=3,j∈{1,2,3,4},k∈Y1=1,2,3,4}〉⊕〈X(β)-〈i〉ξu-〈j〉dk|i∈{1},|β|=3,j∈{1,2,3,4},|u|=2,k∈Y1=1,2,3,4}〉⊕〈X(γ)-〈i〉dk|i∈{1},

|γ|=4,k∈Y1=1,2,3,4}〉⊕〈ξu-〈j〉dk×

|j∈{1,2,3,4},|u|=4,k∈Y1=1,2,3,4}〉.

推論2 對(duì)于ωk(k≥1)而言，結(jié)果應(yīng)有

k+2項(xiàng)直和. 即

由命題4～6以及推論2即可得到以下定理：

定理2Cw(osp(1,4))=Cω0(osp(1,4))⊕Cωk(osp(1,4))，其中1≤k≤n.

由定理1和定理2可得以下定理：

定理3CW(osp(1,4))=Cw(osp(1,4))⊕Cwosp(1,4))=Cw0(osp(1,4))⊕Cω0(osp(1,4))⊕Cwk(osp(1,4))⊕Cωk(osp(1,4)),

其中1≤k≤n.