李翔宇，袁春華，高憲文

(1.沈陽理工大學 自動化與電氣工程學院，沈陽110159；2.東北大學 信息科學與工程學院，沈陽110819)

游梁式抽油機井有桿泵采油是目前油田礦場普遍采用的人工舉升方式[1]。目前對有桿抽油系統(tǒng)的研究主要集中在抽汲參數優(yōu)選[2-3]、動態(tài)參數預測[4]和示功圖診斷[5]等方面。抽汲參數優(yōu)選是針對待投產油井，在一個檢泵周期或更長的時間內，以系統(tǒng)效率為優(yōu)化目標，以泵徑、沖程、沖次和抽油桿柱組合等為主要決策變量的求解靜態(tài)系統(tǒng)非線性規(guī)劃問題。動態(tài)參數預測是以描述抽油桿柱縱向振動有阻尼波動方程為基礎，對光桿示功圖和井下泵功圖、曲柄扭矩、電機扭矩、電機功率等動態(tài)參數的計算機仿真。示功圖診斷則是對實測示功圖按井況進行分類。綜合考慮油藏供液、有桿泵排液(流體進泵)與環(huán)空液面變化這三個過程，動態(tài)地建立有桿泵抽油井采油過程模型的研究尚鮮見報道。

本文首先對描述油井流入動態(tài)(Inflow Performance Relationship，IPR)時廣泛采用的Vogel方程[6]的多項式形式和系數取值提出新的認識，在此基礎上提出以具數學物理意義的流體力學基本定律描述油井流入動態(tài)；鑒于流體進泵是動態(tài)過程[7-9]，以往估算產液量常用靜態(tài)方法[10]，存在較大偏差，綜合考慮有桿泵抽汲過程中泵腔內氣體可壓縮性、泵腔壓力變化、泵閥局部阻力等因素，建立描述流體進泵運動規(guī)律的方程組。在此基礎上，按物質平衡原則描述環(huán)空液面變化規(guī)律，作為油藏供液能力和井下供排關系的直接反映，建立有桿泵抽油井采油過程的動態(tài)數學模型。

1 采油過程分析

有桿抽油系統(tǒng)示意圖如圖1所示。從過程控制角度分析，變頻電機、皮帶輪、減速箱和三抽設備共同構成了執(zhí)行器，而油套管環(huán)形空間與油藏則為被控對象，抽油機沖次是唯一能在不停井的情況下調整的抽汲參數(沖程、沖次、泵徑和抽油桿柱組合)，系統(tǒng)方框圖如圖2所示。

圖1 有桿抽油系統(tǒng)示意圖

圖2 采油過程框圖

當油井處于穩(wěn)定工況時，油井的產液量與地層向井底的流入量相等，反映流入量與流出量之間平衡關系的動液面在某一位置附近波動；沖次改變打破原有平衡，動液面隨之發(fā)生變化，并穩(wěn)定在新的位置上。有桿泵采油過程建模主要是建立油氣從油藏流入油套環(huán)空、油氣進泵(油氣流出油套環(huán)空)和動液面變化這三個過程動態(tài)特性的數學描述。

2 對Vogel方程的新認識

1968年，Vogel最先提出了至今仍廣泛用于油井產能預測的無因次IPR曲線[6]，其表達式為

(1)

作為流體力學基本定律伯努利方程的推廣，流體流經小孔、閘門等存在局部阻力障礙的情況時，其基本方程式為

(2)

式中：Q為通過局部障礙的流量，m3/s；P1、P2分別為局部障礙前、后壓力，MPa；K為流量系數。進而可建立無因次曲線，表達式為

(3)

式中Qmax為通過局部障礙的最大流量，m3/s。

式(3)滿足自封閉性，在端點的數學物理意義為：當P2=P1時，通過的流量為0，無因次壓力為1；當P2=0時，通過的流量最大，無因次流量為1。綜上所述，式(2)、式(3)滿足油井流入動態(tài)關系的合理性條件，改寫可得油井流入動態(tài)新模型為

(4)

(5)

如果令Vogel方程零次、一次和二次項前面的系數分別為a、b和c，則有

(6)

由上述分析可知，油氣從油藏流向井底這一滲流過程，宏觀上類似于流體通過存在各種局部阻力的障礙；常用于描述油井流入動態(tài)關系的Vogel方程，可看作是對流體力學基本方程式的一種多項式形式的逼近。此外，Vogel方程所描述的是穩(wěn)定工況下油井產量與井底流壓的靜態(tài)關系，而基本方程式除可用于描述上述靜態(tài)關系，還可用于描述平衡關系遭到破壞時，油藏流入井底的體積流量qi(t)與井底流壓pwf(t)之間的動態(tài)關系，即有

(7)

油井生產時，考慮液面上氣體影響，井底流壓pwf(t)可表示為[10]

pwf(t)=ps(t)+γo(Lr-Lp)×10-6

(8)

式中：Lr為油層中部深度，m；Lp為泵掛深度，m；ps(t)為沉沒壓力，MPa；γo為原油重度，N/m3。

3 油套環(huán)空液面系統(tǒng)建模

3.1 采油過程的近似假定

基于以上觀點，可對有桿泵抽油井采油過程做進一步簡化，環(huán)空液面系統(tǒng)示意圖如圖3所示。為便于數學建模，現做如下假設。

圖3 環(huán)空液面系統(tǒng)示意圖

(1)油井附近“擬油藏”的液容C1遠大于油套環(huán)空的液容C2，且更遠處油藏不斷向其補液；

(3)油氣由擬油藏流入井底過程的液阻為R1，油氣從油套環(huán)空進泵過程中的液阻為R2；

(4)生產氣液比、含水率等井液物性參數不變。

3.2 液面系統(tǒng)數學模型

貯存于油套環(huán)空中的液體經過dt秒后的變化等于在同一時間間隔dt秒內油套環(huán)空中的凈流入，因此有

(9)

式中：C2為油套環(huán)空的液容，m3；qo(t)為經過固定閥進泵液體體積流量，m3/s；Hd(t)為動液面高度，m；Cg為氣體壓力梯度修正系數；Δpw為水的壓力梯度，MPa/m；do為油的相對密度。

4 流體進泵動態(tài)過程建模

有桿泵在一個完整沖程內抽汲過程示意圖如圖4所示。為便于建模，做如下假設。

圖4 有桿泵抽汲過程示意圖

(1)抽油泵的排出壓力為常數；

(2)不考慮泵閥自重，泵閥開關動作瞬間完成；

(3)氣液兩相均勻進泵，均勻排出；

(4)泵腔內無溶解氣和凝析氣產生；

(5)氣體的壓縮與膨脹按照多變過程進行。

4.1 泵腔容積變化規(guī)律

柱塞與固定閥之間的泵腔容積V(t)為

(10)

式中：Sp為柱塞沖程，m，計算詳見文獻[11]；N為沖次，min-1；Ap為柱塞橫截面積，m2；Vs為抽油泵余隙容積，m3。

4.2 泵腔壓力變化規(guī)律

4.2.1 游動閥開啟前泵腔壓力

游動閥開啟前泵腔壓力變化規(guī)律可通過統(tǒng)一的氣體多變過程描述。設t3為游動閥開啟時刻，0

(11)

式中：R為泵入口氣液比，m3/m3；Vl(t)為游動閥開啟前任意時刻t的泵腔內液體體積，m3；n為氣體多變過程指數；ps為沉沒壓力，MPa。沉沒壓力ps(t)是井口套壓、氣柱段壓差和油柱段壓差對泵口的回壓[10]，計算公式為

(12)

式中：pc(t)為井口套壓，MPa；dg為天然氣相對密度；Ld(t)為動液面深度，m；h(t)為沉沒度，m。

4.2.2 游動閥開啟后泵腔壓力

當p(t)>Pd，游動閥開啟，泵向油管內排液，泵腔內壓力為排出壓力Pd，計算詳見文獻[11]。

4.3 泵腔內液體體積變化規(guī)律

4.3.1 游動閥開啟前泵腔內液體體積

游動閥開啟前，泵腔內液體體積Vl(t)為

Vl(t)=ΔVl(t)+Vsl，0≤t≤t3

(13)

式中：Vsl為余隙內液體體積，m3；ΔVl(t)為游動閥開啟前任意時刻t泵吸入液體體積，m3。

4.3.2 進泵液體體積

設t∈[t1，t2]，有p(t)

(14)

式中：t1為液體進泵開始時刻，s；t2為液體終止進泵時刻，s。

4.3.3 游動閥開啟后泵腔內液體體積

泵向油管內排液階段，柱塞在抽汲液體中下行，泵腔內液體體積等于泵腔容積V(t)。

4.4 進泵液體流量方程

忽略進泵液體的位能損失，經過固定閥進泵液體體積流量qo(t)為

(15)

式中：As為固定閥過流面積，m2；ξv為固定閥阻力系數；C為與單位制有關的常數；ρm為井液密度。固定閥未開啟時qi(t)恒為零。

4.5 泵充滿度

泵充滿度β為每沖程吸入泵腔內的液體體積與上沖程末活塞行程容積之比[10]，計算公式為

(16)

4.6 泵效

考慮沖程損失、泵漏失和原油體積效應，泵效表達式為

η=ηλ·β·ηl·ηB

(17)

式中：ηλ為柱塞沖程與光桿沖程之比；ηl為泵漏失系數，一般取0.94～0.98[10]；ηB為吸入條件下井液體積系數的倒數，計算詳見文獻[12]。

4.7 泵載荷

取向下為載荷正方向，考慮活塞與襯套的摩擦，則作用于柱塞上的抽油泵載荷為

Wp(t)=Ap(Pd-p(t))-ArdPd±f

(18)

式中：Ard為最下部一級抽油桿的橫截面積，m2；f為活塞與襯套之間的摩擦力，N。

4.8 流體進泵動態(tài)過程數學模型及數值解

式(10)、式(11)、式(14)和式(15)與初始條件構成了描述有桿泵抽汲過程的數學模型，該模型可寫成一階微分方程組，為

由于方程組(19)所描述的有桿泵抽汲過程是非線性的，且是分段描述的，本文利用四階龍格庫塔法求出有桿泵抽汲過程中各狀態(tài)變量的數值解。求解過程是以0.01s為步長，在一個沖程周期[0，T]內，已知k時刻所有狀態(tài)變量值，采用歐拉法數值積分，計算出k+1時刻的各狀態(tài)變量值，其仿真框圖如圖5所示。

圖5 有桿泵抽汲過程仿真框圖

5 應用實例

2010年以來，課題組自主研發(fā)了旨在實現“智慧油井”建設的抽油井智能測控儀，同步采集了逾百口油井的電參數、示功圖和井口壓力等采油過程數據，實驗現場如圖6所示。由于井下實際工況難以精確獲知，本文通過對深井泵抽汲過程的動態(tài)模擬，仿真井下泵功圖，與實測示功圖進行對比分析，并對比計算泵效與實際泵效，驗證所提建模方法的有效性。

圖6 抽油井智能測控儀實驗現場

現以1#和2#油井為例分析。油井基礎數據如表1所示，抽油機型號CYJ10-3-53HB，電動機型號Y250M-6，皮帶和減速箱總傳動比150。

表1 實驗井基礎數據

圖7為1#油井的實測示功圖和新模型仿真的泵功圖。圖8為1#油井深井泵動態(tài)抽汲過程仿真。1#油井的泵況屬于典型的由于供液不足和氣體影響導致泵充滿度較低的情況，當日實際泵效為29.97%。新模型仿真的抽油泵動態(tài)抽汲過程和泵示功圖與實際工況相符，仿真計算泵效為32.77%。

圖7 1#井抽油泵工作過程仿真

圖8 1#井地面示功圖與泵示功圖

圖9為2#油井的實測示功圖和新模型仿真的泵功圖。圖10為2#油井深井泵動態(tài)抽汲過程仿真。

圖9 2#井抽油泵工作過程仿真

圖10 2#井地面示功圖與泵示功圖

與1#油井相比，2#油井供液相對較好，泵充滿度較高，當日實際泵效45.24%，仿真計算泵效49.59%。

6 結論

(1)建立了油井流入動態(tài)特性、環(huán)空液面變化規(guī)律、深井泵動態(tài)抽汲過程等有桿泵抽油井采油過程主要環(huán)節(jié)動態(tài)模型，并利用數值法求解。

(2)仿真分析與現場實驗表明，常用于描述油井流入動態(tài)關系的Vogel方程，可看作是對流體力學基本方程的多項式逼近。流體進泵是與泵的結構、井液物性和抽汲參數等因素密切相關的動態(tài)過程，積分累計進泵液體體積，可以更加準確計算泵充滿度和泵效。

本文所建模型進一步完善了有桿抽油系統(tǒng)計算機仿真方法，可應用于有桿抽油系統(tǒng)優(yōu)化設計、參數預測、故障診斷與閉環(huán)控制。