閔 莉，徐冬冬，賈宏博

(沈陽(yáng)建筑大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，遼寧 沈陽(yáng) 110168)

五軸數(shù)控加工相對(duì)于三軸數(shù)控加工多了兩個(gè)旋轉(zhuǎn)軸，這意味著刀具有了更多的自由度，在工件加工中能很大地提升加工精度和加工效率，但隨著刀具自由度的增加，數(shù)控編程的難度也隨之大大增加。刀具軌跡規(guī)劃作為數(shù)控編程的核心環(huán)節(jié)，目前常用的規(guī)劃方法有等參數(shù)線(xiàn)法[1-2]、截面法[3-5]、等殘留高度法[6-9]。等參數(shù)線(xiàn)法是讓曲面的一個(gè)參數(shù)保持不變，另一個(gè)參數(shù)等距離增加產(chǎn)生的曲線(xiàn)作為軌跡線(xiàn)的方法，參數(shù)增加的距離通常選擇待加工曲面上的最小行距，等參數(shù)線(xiàn)法的優(yōu)點(diǎn)是計(jì)算十分簡(jiǎn)便，實(shí)用性非常高，在實(shí)際加工中得到普遍應(yīng)用，缺點(diǎn)是行距選擇過(guò)于保守，會(huì)增加軌跡線(xiàn)的長(zhǎng)度，降低加工效率。截面法與等參數(shù)線(xiàn)法類(lèi)似，不同之處在于截面法是用距離相等的一組平面去截待加工曲面，得到的交線(xiàn)就是刀具軌跡線(xiàn)。而等殘留高度法是由K.SURESH等提出的，主要思想是讓對(duì)應(yīng)刀觸點(diǎn)之間的殘留高度等于設(shè)定值，以此求得加工行距，加工中能提高加工效率、適于曲率變化較大的曲面，是當(dāng)今運(yùn)用最廣泛的刀具規(guī)劃方法。

在用等殘留高度法對(duì)刀具運(yùn)行軌跡規(guī)劃時(shí)，由于相鄰軌跡線(xiàn)對(duì)應(yīng)刀觸點(diǎn)之間具有依賴(lài)性，容易出現(xiàn)拐點(diǎn)、突變點(diǎn)或造成過(guò)切、欠切，針對(duì)這些問(wèn)題，眾多科研人員進(jìn)行了相關(guān)研究：趙世田[10]提出一種通過(guò)計(jì)算殘余高度線(xiàn)，進(jìn)一步增大行距的算法，有效減小了刀具軌跡的總長(zhǎng)度；張瑩等[11]通過(guò)建立機(jī)床模型，計(jì)算出了刀具的最大走刀步長(zhǎng)；王太勇等[12]在傳統(tǒng)等殘留高度法基礎(chǔ)之上提出了一種高精度刀軌誤差補(bǔ)償算法，該算法能提高相鄰刀具軌跡上刀位點(diǎn)參數(shù)值的計(jì)算精度；S.G.LEE等[13]用等殘留高度法規(guī)劃出了軌跡線(xiàn)，并提出了行距計(jì)算方法；A.CAN等[14]充分考慮了曲面的幾何特征，對(duì)曲率不同的區(qū)域選擇不同的刀具半徑，以減小走刀走長(zhǎng)度和避免過(guò)切。此外，很多依據(jù)其他不同原理的刀具軌跡規(guī)劃方法也被提出，C.J.CHIOU[15]等由零件幾何形狀和刀具幾何形狀相結(jié)合，構(gòu)造出加工能量場(chǎng)，進(jìn)一步找到最大加工帶寬方向，并作為走刀方向，生成刀具路徑，與等參數(shù)線(xiàn)法與等截面法相比能顯著提高加工效率和工件的表面光潔度；S.DING等[16-17]在截面法的基礎(chǔ)上，提出一種自適應(yīng)算法，在不同的加工區(qū)域選擇合適的截面間距。

在上述研究基礎(chǔ)上，筆者針對(duì)等殘留高度法中走刀步長(zhǎng)在偏置軌跡線(xiàn)上不受約束的問(wèn)題進(jìn)行研究，由等殘留高等法計(jì)算規(guī)則設(shè)計(jì)出偏置軌跡線(xiàn)上走刀步長(zhǎng)的計(jì)算方法，并提出步長(zhǎng)誤差變化率這一概念，用以直觀(guān)地觀(guān)察步長(zhǎng)的變化情況，最后根據(jù)步長(zhǎng)誤差變化率的變化規(guī)律，設(shè)計(jì)出步長(zhǎng)累積誤差的消除方法；經(jīng)試驗(yàn)驗(yàn)證，該方法消除了等殘留高度法偏置過(guò)程中產(chǎn)生的累積誤差，有效地保證了加工精度。

1 曲面構(gòu)造理論

非均勻有理B樣條(NURBS)[18-19]是由B樣條、有理B樣條逐漸優(yōu)化發(fā)展而來(lái)，能精確地表示空間中的點(diǎn)、線(xiàn)和曲面，并具有較強(qiáng)的靈活性和功能性，在曲面建模中得到廣泛應(yīng)用。設(shè)構(gòu)造的曲面為S(u,v)，如式(1)所示：

(1)

式中：di,j為控制頂點(diǎn)；wi,j為權(quán)因子；Ni,j(u)為沿u方向的第i個(gè)j次規(guī)范B樣條基函數(shù)；Nj,i(v)為沿v方向的第j個(gè)i次規(guī)范B樣條基函數(shù)。

(2)

式中：Ⅰ、Ⅱ分別是曲面的第一、第二基本量函數(shù)。

(3)

(4)

式中：E、F、G、L、M、N等參數(shù)可由式(3)、(4)中的函數(shù)關(guān)系來(lái)表示。

在NURBS曲面中，通常用定義k1、k2為X方向和Y方向的主曲率。其中，k1為最小主曲率，k2為最大主曲率。平均曲率H和高斯曲率K可以用k1、k2來(lái)表示：

(5)

(6)

平均曲率和高斯曲率主要用來(lái)判斷曲面的凹凸。

2 刀觸點(diǎn)之間相關(guān)參數(shù)的計(jì)算

2.1 刀具走刀步長(zhǎng)的計(jì)算

圖1為曲面S(u,v)的截面示意圖。其中，P0、P1為兩個(gè)相鄰的刀觸點(diǎn)，ε為允許的弓高誤差。

圖1 走刀步長(zhǎng)示意圖Fig.1 Schematic diagram of cutting step length

由此可算出走刀步長(zhǎng)：

(7)

式中：Rn為刀具在P0處的法曲率半徑，可由下式計(jì)算得到：

(8)

式中：ρ為P0處沿走刀方向的法曲率。

2.2 加工行距的計(jì)算

計(jì)算加工行距時(shí)，首先判斷曲面的凹凸性，然后分別在平面、凹面和凸面上計(jì)算行距。當(dāng)曲面為雙曲面時(shí)，根據(jù)刀具走刀方向上的曲率來(lái)判斷曲面凹凸性。

設(shè)球頭刀刀頭半徑為r、加工后殘留高度為h、刀觸點(diǎn)短程線(xiàn)方向曲率半徑為Rn，據(jù)下圖所示的幾何關(guān)系,可算出加工行距L。

圖2 加工行距的確定Fig.2 Determination of path interval

當(dāng)加工曲面為平面時(shí)：

(9)

當(dāng)加工曲面為凹面時(shí)：

(10)

當(dāng)加工曲面為凸面時(shí)：

(11)

3 步長(zhǎng)誤差的形成與消除

3.1 步長(zhǎng)誤差的形成

圖3 曲面上的刀具軌跡Fig.3 Tool-path on surface

(12)

由式(12)[6]可知，等殘留高等法在偏置過(guò)程中走刀步長(zhǎng)的主要受行距大小、加工曲面起伏、短程線(xiàn)方向等因素影響。

(13)

實(shí)際加工時(shí)，為保證工件的表面質(zhì)量，在規(guī)劃軌跡線(xiàn)過(guò)程中對(duì)軌跡線(xiàn)的光順度有要求[20]，在保證刀具軌跡光順的前提下，根據(jù)短程線(xiàn)定義[21]可得θ≈0o，所以：

g′≈

(14)

由式(13)、(14)可知g′≥g，并且只有β=0、Li=Li+1時(shí)，g′=g。

由此可知，等殘留高度法規(guī)劃出的軌跡線(xiàn)，走刀步長(zhǎng)會(huì)在上一條刀軌增加的基礎(chǔ)上繼續(xù)增加，形成累積誤差。

3.2 步長(zhǎng)誤差的消除

為減小或消除步長(zhǎng)誤差，需對(duì)傳統(tǒng)等殘留高度法加以改進(jìn)。設(shè)刀軌上刀觸點(diǎn)間實(shí)際走刀步長(zhǎng)為g2,理論走刀步長(zhǎng)為g1,步長(zhǎng)的誤差變化率用α表示，α的計(jì)算方法如式(15)所示:

(15)

其中，g1可由式(7)計(jì)算得到。

設(shè)定閾值ψ，當(dāng)相鄰兩個(gè)刀觸點(diǎn)同時(shí)滿(mǎn)足α>ψ時(shí)，移動(dòng)刀觸點(diǎn)的位置，可以減小走刀步長(zhǎng)。

為提高效率，從初始刀觸點(diǎn)開(kāi)始，每隔若干點(diǎn)提取一個(gè)采樣點(diǎn)，并計(jì)算該采樣點(diǎn)的α值，直到該軌跡最后一個(gè)刀觸點(diǎn)。其中，兩相鄰采樣點(diǎn)間刀觸點(diǎn)的數(shù)量可根據(jù)曲面實(shí)際曲率適當(dāng)調(diào)整。

設(shè)Pi、Pj為軌跡線(xiàn)上相鄰的兩個(gè)采樣點(diǎn)，且α值同時(shí)滿(mǎn)足α>ψ，為消除兩個(gè)采樣點(diǎn)間步長(zhǎng)的誤差，現(xiàn)使用加權(quán)平均法均勻減小采樣點(diǎn)間的走刀步長(zhǎng)。計(jì)算方法如下：

(16)

圖4為一段刀具軌跡線(xiàn)，P0、P1、P2、P3、P4、P5為相鄰的刀觸點(diǎn)，P0、P5為刀軌上兩個(gè)相鄰的采樣點(diǎn)。

圖4 原始刀具軌跡Fig.4 Original tool-path

圖5 改進(jìn)后的刀具軌跡Fig.5 Improved tool-path

3.3 步長(zhǎng)累積誤差消除算法

步長(zhǎng)累積誤差消除算法中，閾值參數(shù)的大小依據(jù)工件加工精度要求來(lái)選擇，采樣點(diǎn)依據(jù)相鄰刀觸點(diǎn)間步長(zhǎng)誤差變化率的大小來(lái)選擇。

Step1：選取待加工曲面邊長(zhǎng)較長(zhǎng)的一個(gè)邊作為初始的軌跡線(xiàn)，按要求的加工精度，選擇步長(zhǎng)規(guī)劃算法對(duì)初始軌跡線(xiàn)進(jìn)行離散，得到一系列刀觸點(diǎn)。

Step2：因初始軌跡線(xiàn)上刀觸點(diǎn)是由步長(zhǎng)規(guī)劃算法確定的，肯定滿(mǎn)足加工精度，可直接進(jìn)行偏置，規(guī)劃下一條刀具軌跡。

Step3：在第二條軌跡線(xiàn)上，把第一個(gè)刀觸點(diǎn)設(shè)為采樣點(diǎn)，隔若干點(diǎn)再選一個(gè)采樣點(diǎn)，并計(jì)算采樣點(diǎn)間的α值。

Step4：當(dāng)相鄰兩個(gè)采樣點(diǎn)誤差變化率都比閾值大，則執(zhí)行步長(zhǎng)累積誤差消除算法，若兩采樣點(diǎn)不同時(shí)大于閾值，則在后續(xù)軌跡線(xiàn)段上繼續(xù)選取采樣點(diǎn)，直至覆蓋最后一個(gè)刀觸點(diǎn)。

Step5：繼續(xù)偏置下一條軌跡線(xiàn)，直至軌跡線(xiàn)覆蓋整個(gè)曲面。

算法的具體流程如圖6所示。

圖6 算法流程圖Fig.6 Algorithm flowchart

4 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

取圖7所示的曲面做仿真實(shí)驗(yàn)，選取的刀具類(lèi)型為球頭刀，刀頭半徑為5 mm，殘留弓高ε=0.02 mm，等殘留高度h=0.5 mm，閾值參數(shù)ψ設(shè)定為0.05。

圖7 加工曲面Fig.7 Machining surface

傳統(tǒng)的等殘留高度法生成的軌跡線(xiàn)如圖8所示。在圖8所示的軌跡線(xiàn)基礎(chǔ)上，用步長(zhǎng)累積誤差消除算法進(jìn)行優(yōu)化，為對(duì)比優(yōu)化后的效果，取優(yōu)化前后的刀具軌跡在XOY平面投影圖，取圖區(qū)域?yàn)閄×Y=70 mm×100 mm，軌跡線(xiàn)如圖9所示。

圖8 傳統(tǒng)刀具軌跡Fig.8 Traditional tool path

通過(guò)對(duì)比可以發(fā)現(xiàn)，圖9(b)比圖9(a)的刀觸點(diǎn)由左至右逐漸增加，這是因?yàn)殡S著不斷的偏置，步長(zhǎng)誤差不斷累積增加，有相鄰采樣點(diǎn)步長(zhǎng)誤差變化率超過(guò)了設(shè)定的閾值參數(shù)，通過(guò)執(zhí)行步長(zhǎng)誤差累積消除根據(jù)筆者所提算法設(shè)置，此時(shí)會(huì)根據(jù)式(16)移動(dòng)相應(yīng)刀觸點(diǎn)，并對(duì)空缺位置補(bǔ)充刀觸點(diǎn)，以縮短走刀步長(zhǎng)，由此控制了偏置中步長(zhǎng)累積增加。

圖9 刀軌細(xì)節(jié)圖Fig.9 Details of tool path

為進(jìn)一步驗(yàn)證實(shí)際優(yōu)化效果，分別選取圖9(a)、(b)中的后三條完整軌跡線(xiàn)α值對(duì)比，如圖10所示。

圖10 優(yōu)化前后α值的變化Fig.10 The change of α before and after optimization

把圖10(a)和表1中的數(shù)據(jù)對(duì)照分析，可以清楚地看出第10、第11條傳統(tǒng)軌跡線(xiàn)的步長(zhǎng)誤差變化率都在前一條軌跡線(xiàn)的基礎(chǔ)上繼續(xù)增加，最大已接近0.3，走刀步長(zhǎng)嚴(yán)重失控。

對(duì)圖10(b)進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)優(yōu)化后軌跡線(xiàn)的α值多分布在-0.05～0.05；再結(jié)合表1中優(yōu)化前后的|α|值數(shù)據(jù)，可以發(fā)現(xiàn)優(yōu)化后三條刀具軌跡的|α|值之和比傳統(tǒng)的刀具軌跡分別降低了91.3%、90.84%、89.97%，這說(shuō)明步長(zhǎng)累積誤差的消除取得了良好效果。

表1 每條軌跡|α|值之和Table 1 Summation of|α|for each tool-path

5 結(jié) 論

(1)在用傳統(tǒng)等殘留高度法對(duì)曲率變化較小的曲面進(jìn)行刀具軌跡規(guī)劃時(shí)，走刀步長(zhǎng)誤差變化率會(huì)在相鄰軌跡線(xiàn)間不斷積累。

(2)通過(guò)執(zhí)行步長(zhǎng)累積誤差消除算法，把步長(zhǎng)誤差變化率約束在一個(gè)區(qū)間內(nèi)，從而控制了走刀步長(zhǎng)。

(3)按照筆者所提方法調(diào)整軌跡線(xiàn)上刀觸點(diǎn)的數(shù)量和位置，消除了相鄰軌跡線(xiàn)間刀觸點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，減小了軌跡線(xiàn)間的依賴(lài)性。

(4)經(jīng)過(guò)執(zhí)行走刀步長(zhǎng)累積誤差消除算法，刀觸點(diǎn)還是分布在原來(lái)的刀具軌跡上，優(yōu)化后刀具軌跡方向、總長(zhǎng)度基本沒(méi)有改變，進(jìn)一步保證了在提高加工精度的同時(shí)加工效率與之前保持一致。