鄒旭東，賈志強(qiáng)，張麗霞

(青島理工大學(xué) 機(jī)械與汽車(chē)工程學(xué)院，山東 青島 266520)

路徑跟蹤是智能車(chē)輛運(yùn)動(dòng)控制的核心問(wèn)題之一，如何在跟蹤目標(biāo)路徑的同時(shí)保持車(chē)輛的行駛穩(wěn)定性也是車(chē)輛控制領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)[1]，國(guó)內(nèi)外許多專家學(xué)者都對(duì)此展開(kāi)了研究。鄒凱等[2]為了提高整車(chē)模型精度，將輪胎模型Pacejka-98在每個(gè)控制周期都進(jìn)行線性化，基于車(chē)輛的線性時(shí)變模型，設(shè)計(jì)了帶有控制量和控制增量等約束的模型預(yù)測(cè)控制器(MPC)，跟蹤精度較高，但是沒(méi)有考慮跟蹤過(guò)程中車(chē)輛的穩(wěn)定性問(wèn)題。陳特等[3]設(shè)計(jì)了一種兼顧路徑跟蹤與穩(wěn)定性控制的滑?？刂破?，并提出一種輪胎力優(yōu)化分配方案，在良好路面上實(shí)現(xiàn)了期望軌跡跟蹤，但是未對(duì)冰雪路面上的穩(wěn)定性控制進(jìn)行研究。孫躍東等[4]將汽車(chē)橫擺角速度名義值與實(shí)際值之差作為控制器的參考量，設(shè)計(jì)了以模糊比例積分微分(PID)算法為基礎(chǔ)的車(chē)身電子穩(wěn)定系統(tǒng)(ESP)控制器，對(duì)汽車(chē)高速行駛在干燥瀝青路面上的工況進(jìn)行聯(lián)合仿真分析，達(dá)到了較好的穩(wěn)定性控制效果。王藝等[5]通過(guò)對(duì)車(chē)輛三自由度模型進(jìn)行線性化，并加入控制量和控制增量約束，設(shè)計(jì)了一種MPC路徑跟蹤控制器，并考慮質(zhì)心側(cè)偏角等約束，在中低速下實(shí)現(xiàn)了較好的路徑跟蹤效果。上述研究中均未對(duì)車(chē)輛在冰雪路面上跟蹤期望路徑的工況展開(kāi)研究，這顯然與我國(guó)北方冬季經(jīng)常出現(xiàn)冰雪路面的實(shí)際情況不相符[6]。

本文中基于線性時(shí)變模型，設(shè)計(jì)充分考慮冰雪路面上車(chē)輛行駛穩(wěn)定性的MPC路徑跟蹤控制器，考慮到車(chē)輛在附著系數(shù)較小的路面上行駛時(shí)易發(fā)生側(cè)滑的情況，在控制前輪轉(zhuǎn)角進(jìn)行路徑跟蹤的同時(shí)引入附加橫擺力偶矩來(lái)矯正車(chē)身姿態(tài)，并根據(jù)一定的分配邏輯分別計(jì)算4個(gè)車(chē)輪上的制動(dòng)力矩輸出給車(chē)輛模型，以保證一定的路徑跟蹤精度，同時(shí)充分保障車(chē)輛的穩(wěn)定性和安全性。

1 車(chē)輛模型

1.1 車(chē)輛二自由度模型

根據(jù)牛頓第二定律，二自由度模型車(chē)輛動(dòng)力學(xué)方程為

(1)

(2)

xoy—車(chē)輛坐標(biāo)系；XOY—慣性坐標(biāo)系；車(chē)輛在x軸方向的速度；車(chē)輛在y軸方向的速度；車(chē)輛橫擺角速度；β—車(chē)輛質(zhì)心側(cè)偏角；Fcf、Fcr—前、后輪胎的側(cè)向力；αf、αr—前、后輪胎的側(cè)偏角；δf—前輪轉(zhuǎn)角；a、b—車(chē)輛質(zhì)心到前、后軸的距離。圖1 車(chē)輛二自由度模型

1.2 輪胎模型

輪胎作為車(chē)輛與路面接觸的唯一介質(zhì)，結(jié)構(gòu)復(fù)雜并有高度非線性動(dòng)力學(xué)性能，因此選擇準(zhǔn)確且便于應(yīng)用的輪胎模型是進(jìn)行車(chē)輛建模和動(dòng)力學(xué)仿真的關(guān)鍵。本文中選擇經(jīng)典魔術(shù)公式作為輪胎模型。

輪胎側(cè)向力Fc與輪胎側(cè)偏角α的關(guān)系如圖2所示。從圖中可以看出，在輪胎側(cè)偏角α較小時(shí)，輪胎所受側(cè)向力Fc與α呈線性關(guān)系。

圖2 輪胎側(cè)向力與側(cè)偏角的關(guān)系

前、后輪胎所受側(cè)向力Fcf、Fcr公式[8]為

(3)

(4)

式中Ccf、Ccr分別為前、后輪側(cè)偏剛度。

將上述簡(jiǎn)化后的輪胎模型式(3)、(4)代入式(1)、(2)，并將車(chē)輛坐標(biāo)系xoy轉(zhuǎn)換成慣性坐標(biāo)系XOY，在前輪轉(zhuǎn)角δf較小時(shí)，基于線性輪胎模型，得到車(chē)輛動(dòng)力學(xué)非線性模型為

(5)

(6)

(7)

(8)

2 MPC設(shè)計(jì)

2.1 MPC原理

由于MPC原理推導(dǎo)過(guò)程已有很多學(xué)者進(jìn)行了詳細(xì)介紹，因此僅給出必要的文字?jǐn)⑹黾瓣P(guān)鍵公式。車(chē)輛的非線性動(dòng)力學(xué)模型的狀態(tài)空間表達(dá)式為

(9)

車(chē)輛在高速行駛時(shí)，對(duì)控制器實(shí)時(shí)性要求更嚴(yán)格，非線性模型預(yù)測(cè)控制不能滿足需求，因此需要對(duì)式(9)即車(chē)輛非線性模型進(jìn)行近似線性化。設(shè)參考點(diǎn)為(Xr,ur)，在該點(diǎn)對(duì)式(9)進(jìn)行一階泰勒展開(kāi)。雖然無(wú)法直接將狀態(tài)變量與控制量變成線性關(guān)系，但是可以對(duì)狀態(tài)變量和控制量誤差進(jìn)行線性化。誤差的連續(xù)狀態(tài)空間方程為

(10)

線性化后的連續(xù)狀態(tài)空間方程無(wú)法進(jìn)行MPC的遞推運(yùn)算，因此采用一階差商的方法對(duì)模型進(jìn)行離散化，并作轉(zhuǎn)換

(11)

得到k時(shí)刻基于控制增量的狀態(tài)空間表達(dá)式為

(12)

為了說(shuō)明線性時(shí)變模型對(duì)車(chē)輛未來(lái)時(shí)刻輸出的預(yù)測(cè)，對(duì)所得到的基于控制增量的狀態(tài)空間表達(dá)式進(jìn)行迭代，可得預(yù)測(cè)輸出表達(dá)式。最終都可以轉(zhuǎn)化為帶有控制量極限約束和控制增量約束的二次規(guī)劃問(wèn)題[9]，即

J[ζ(t),u(t-1),ΔU(t)] ,

s.t. ΔUmin≤ΔUt≤ΔUmax,

Umin≤ΔUt+Ut≤Umax,

yhc,min≤yhc≤yhc,max,

ysc,min-εI3Np×1≤ysc≤ysc,max+εI3Np×1,

ε>0 ,

(13)

式中：J為MPC優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)；u(t-1)為上一時(shí)刻控制量；ΔUt、ΔUmax、Umin分別為t時(shí)刻的控制增量及其上、下限；Ut、Umax、Umin分別為t時(shí)刻的控制量及其上、下限；yhc、yhc,max、yhc,min分別為硬約束輸出量及其上、下限；ysc、ysc,max、ysc,min分別為軟約束輸出量及其上、下限；Np為預(yù)測(cè)時(shí)域；ε為松弛因子，防止控制周期內(nèi)無(wú)法求出最優(yōu)解。

(14)

在每個(gè)控制周期循環(huán)此過(guò)程，即可實(shí)現(xiàn)車(chē)輛對(duì)期望路徑的跟蹤。

2.2 附加橫擺力偶矩控制機(jī)理及分配邏輯

(15)

aFcf-bFcr+2cFlr=0，

(16)

式中c為輪胎到車(chē)輛縱向中軸線的距離，即輪距的1/2。

Fcf、Fcr—前、后輪胎的側(cè)向力；a、b—車(chē)輛質(zhì)心到前、后軸的距離；c—輪胎到車(chē)輛縱向中軸線的距離，即輪距的1/2；Flr—附加作用力。圖3 穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)向行駛時(shí)車(chē)輛受力平衡

從式(16)中可以看出，此時(shí)Fcf減小，F(xiàn)cr增大；相應(yīng)的前側(cè)偏角αf減小，后側(cè)偏角αr增大，車(chē)輛的不足轉(zhuǎn)向量減小。如果作用相反的橫擺力偶矩M，則車(chē)輛的過(guò)度轉(zhuǎn)向量減小，因此，作用于車(chē)輛的橫擺力偶矩M可以改變前、后車(chē)輪地面?zhèn)认蚍醋饔昧cf、Fcr的大小，并改善車(chē)輛的穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)向特性，顯著改善車(chē)輛的操縱穩(wěn)定性。

設(shè)附加橫擺力偶矩M逆時(shí)針?lè)较驗(yàn)檎撨壿嫴捎脝屋喼苿?dòng)，并且基于下列已知事實(shí)：1)左、右車(chē)輪制動(dòng)比前、后車(chē)輪制動(dòng)對(duì)車(chē)輛轉(zhuǎn)向影響更明顯；2)外側(cè)車(chē)輪制動(dòng)可有效改善轉(zhuǎn)向過(guò)度，而內(nèi)側(cè)車(chē)輪制動(dòng)可有效改善轉(zhuǎn)向不足。

3 仿真與分析

基于車(chē)輛模型的建立，結(jié)合MPC的設(shè)計(jì)思路，采用CarSim與MATLAB Simulink軟件聯(lián)合仿真，對(duì)車(chē)輛在冰雪路面(附著系數(shù)μ=0.3)和干燥瀝青路面(μ=0.85)上以不同車(chē)速(54、72 km/h)跟蹤雙移線軌跡的情況進(jìn)行分析，聯(lián)合仿真控制器結(jié)構(gòu)如圖4所示。

φr—期望橫擺角；期望橫擺角速度；Yr—期望軌跡；車(chē)輛在x、y軸方向的速度；φ—車(chē)輛橫擺角；車(chē)輛橫擺角速度；X—行駛距離；Y—實(shí)際軌跡； Tfl、Trl、Tfr、Trr—左前輪、左后輪、右前輪、右后輪制動(dòng)力矩；δf—前輪轉(zhuǎn)角；M—附加橫擺力偶矩。圖4 車(chē)輛模型的聯(lián)合仿真控制器結(jié)構(gòu)

MPC求解出最優(yōu)的前輪轉(zhuǎn)角δf和附加橫擺力偶矩M，并將附加橫擺力偶矩以上述分配邏輯分配給4個(gè)車(chē)輪制動(dòng)力矩，并輸出給車(chē)輛模型，實(shí)現(xiàn)閉環(huán)最優(yōu)控制。仿真車(chē)輛關(guān)鍵參數(shù)和模型預(yù)測(cè)控制器參數(shù)如表1、2所示。

表1 仿真車(chē)輛關(guān)鍵參數(shù)

3.1 中低速行駛工況仿真

車(chē)輛以車(chē)速54 km/h行駛，跟蹤一段雙移線軌跡，通過(guò)設(shè)置不同的路面附著系數(shù)，分析車(chē)輛在不同路面上對(duì)期望軌跡的跟蹤性能和控制穩(wěn)定性。不同路面上路徑跟蹤、各輪胎滑移率仿真結(jié)果如圖5、6所示。

表2 模型預(yù)測(cè)控制器參數(shù)

從圖5(a)、(b)、(c)中可以看出，當(dāng)車(chē)輛中低速行駛時(shí)，在2種路面條件下的跟蹤效果仍然良好，冰雪路面上的橫擺角速度較小，橫擺角速度保持在-10～10 (°)/s，有利于車(chē)輛的操縱穩(wěn)定性，干燥瀝青路面上的橫擺角速度稍大，約為冰雪路面上的1.55倍，但是車(chē)輛仍然穩(wěn)定；質(zhì)心側(cè)偏角穩(wěn)定控制在-1°～0.5°，符合質(zhì)心側(cè)偏角在冰雪路面上的極限值約束。從圖5(d)、(e)、(f)中可以看出，車(chē)輛行駛在冰雪路面上時(shí)制動(dòng)力矩較大，原因是滑移率增大，制動(dòng)力矩效率下降，干燥瀝青路面上的制動(dòng)力矩約為冰雪路面上的80%；結(jié)合圖5(a)、(d)中的轉(zhuǎn)向和制動(dòng)曲線可以看出，在0.5 s時(shí)車(chē)輛開(kāi)始左轉(zhuǎn)向，在同一時(shí)間控制器中，通過(guò)制動(dòng)左側(cè)輪胎給予車(chē)輛一個(gè)正的附加橫擺力偶矩；在2.5 s時(shí)車(chē)輛右轉(zhuǎn)向，控制器釋放左側(cè)的制動(dòng)，在右側(cè)制動(dòng)，以產(chǎn)生負(fù)的附加橫擺力偶矩；從4.5 s開(kāi)始車(chē)輛再次左轉(zhuǎn)向，車(chē)輛需要一個(gè)正的附加橫擺力偶矩，因此制動(dòng)左側(cè)輪胎。上述結(jié)果說(shuō)明，在控制器的作用下轉(zhuǎn)向和制動(dòng)實(shí)現(xiàn)了良好配合。

從圖6中可以看出，車(chē)輛在過(guò)彎道的極限工況下，2種路面上各車(chē)輪的滑移率出現(xiàn)不同程度的震蕩，干燥瀝青路面上各車(chē)輪的滑移率均為-0.3%～0.3%，冰雪路面上最大滑移率出現(xiàn)在右前輪，為1.4%，在合理范圍內(nèi)。

3.2 高速行駛工況仿真

車(chē)輛以車(chē)速72 km/h行駛，不同路面上路徑跟蹤、各輪胎滑移率的仿真結(jié)果如圖7、8所示。

從圖7(a)、(b)、(c)中可以看出，當(dāng)車(chē)輛以較大車(chē)速行駛時(shí)，在干燥瀝青路面上仍有較高的跟蹤精度，而在冰雪路面上則有一定的跟蹤誤差，但是質(zhì)心側(cè)偏角更小，約為干燥瀝青路面上的60%，有利于車(chē)輛的穩(wěn)定性控制。從圖7(d)中可以看出，車(chē)輛在冰雪路面上行駛時(shí)需要更大的附加橫擺力偶矩來(lái)矯正車(chē)身姿態(tài)。圖7(e)、(f)的不同之處不僅在于各輪制動(dòng)力矩的極值，而且體現(xiàn)在車(chē)輛2 s后開(kāi)始過(guò)第2個(gè)彎道，干燥瀝青路面上過(guò)彎道時(shí)間僅為1 s，而冰雪路面上則持續(xù)了2 s，過(guò)彎道時(shí)間更長(zhǎng)，轉(zhuǎn)彎半徑更大，這是控制器為了保證車(chē)輛穩(wěn)定性而對(duì)前輪轉(zhuǎn)角和附加橫擺力偶矩所進(jìn)行的優(yōu)化處理。

從圖8(a)中可看出，滑移率被限制在-0.4%～0.6%，制動(dòng)效率更高。從圖8(b)中可以看出，冰雪路面上最大滑移率為1.8%，出現(xiàn)在3 s時(shí)的道路曲率最大處。

4 結(jié)論

本文中根據(jù)具有2個(gè)控制輸入量的六階簡(jiǎn)化自行車(chē)模型和附加橫擺力偶矩作用原理，設(shè)計(jì)了MPC路徑跟蹤控制器，在CarSim和MATLAB Simulink軟件聯(lián)合仿真平臺(tái)上驗(yàn)證了控制器在不同車(chē)速、不同路面附著系數(shù)工況下的控制效果。

1)當(dāng)車(chē)輛以中低速行駛時(shí)，控制器在2種路面條件下都有很好的跟蹤效果以及較強(qiáng)的穩(wěn)定性，并且具有很強(qiáng)的魯棒性，橫擺角速度均被限制在-20～15 (°)/s，車(chē)輛質(zhì)心側(cè)偏角保持在-1°～0.5°。

2)當(dāng)車(chē)輛以較高車(chē)速行駛時(shí)，在干燥瀝青路面上的跟蹤效果仍然較好。在冰雪路面上雖然仍然保持了行駛穩(wěn)定性，但是犧牲了一定的跟蹤精度，原因是車(chē)輛模型不夠精確。后續(xù)將通過(guò)采用更大自由度的車(chē)輛模型以及更全面的控制算法來(lái)解決該問(wèn)題。