葛新廣 李宇翔 楊雪峰

摘? 要：工程領域中隨機振動是一類非常普遍的現(xiàn)象，構件動力響應常需要計算一類周期函數(shù)的廣義積分，目前現(xiàn)有的方法表達式復雜，計算精度和效率低下.利用周期函數(shù)的特點將廣義積分轉化為有限區(qū)間積分，獲得簡明的封閉解，然后根據(jù)高斯-切比雪夫積分具有計算精度和效率高的特點，推導出該類廣義積分的新近似解.通過算例對比分析，驗證了本文所提方法的正確性和高效性，對解決工程領域的振動響應分析具有重要的參考價值.

關鍵詞：周期函數(shù) ;廣義積分; 高斯-切比雪夫積分; 簡明近似解

中圖分類號：TU311.3;O21? ? ? ? ? DOI：10.16375/j.cnki.cn45-1395/t.2021.03.001

0? ? 引言

隨機振動存在于各類工程中，是工程設計中構件安全設計必須考慮的重要因素[1-3]，而頻域法是求解各類工程結構隨機動力響應的重要方法[4-5].李創(chuàng)第等[6]利用虛擬激勵法研究了非粘滯阻尼結構基于隨機激勵下結構響應的譜矩，需要對結構響應功率譜在[0，+∞）的積分區(qū)間進行數(shù)值積分.李暾等[7]利用二次正交化法研究了建筑結構基于近似Davenport風速譜的結構隨機風振響應的簡明封閉解，有效地提高了隨機響應分析的精度和效率.而分析非平穩(wěn)隨機激勵[2-3]或考慮行波效應的平穩(wěn)激勵[8]下的結構隨機響應時需要計算一類含有周期函數(shù)的2個積分：

[0∞sinωtp2+ω2dω]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （1）

[0∞ωcosωtp2+ω2dω]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（2）

其中：[t≥0]且為實數(shù)，p為常數(shù)且實數(shù)或者復數(shù).

目前對于上述2個積分的解法有基于留數(shù)定律[9-10]的解法，該解法異常復雜，將上述積分表示成指數(shù)積分的封閉解，且只能用于p為實常數(shù)的情況，而指數(shù)積分仍然為數(shù)值解.此外，針對上述2個積分，Newton-Cotes積分是一種直接方法[11]，其積分精度受積分步長和積分上限的影響較大，且目前未見有積分上限取值的研究文獻.高斯系列積分[11]利用帶權的正交多項式來計算積分，具有計算精度和計算效率高的優(yōu)點，有著廣泛的應用.目前利用高斯積分研究式（1）、式（2）2個函數(shù)的積分的文獻鮮有.

針對式（1）、式（2）2個函數(shù)的積分，首先利用其周期性和收斂性的特點，將廣義積分轉變?yōu)橛邢迋€[0，[2π]]的積分，然后利用三角函數(shù)的特點，將 [0，[2π]]的積分變化為高斯-切比雪夫積分，從而提出了一種計算2個積分的新簡明解.

1? ? 簡明近似解

1.1? ?式（1）的近似解

利用sin函數(shù)的周期性，作如下變換：

[0∞sinωtp2+ω2dω=x=ωtt0∞sinxt2p2+x2dx=]

[tk=0∞02πsinxt2p2+x+2πk2dx]? ? ? ? ? ? ? （3）

由式（1）可知，隨著k的增加，積分項的值收斂于0，因此，實際應用時k值取有限值.同時，從式（3）可知，積分上限由正無窮大換成[2π]，利用sin函數(shù)的特點，式（3）改寫為：

[0∞sinωtp2+ω2dω=tk=0∞Ak+Bk-tC]? ? ? （4）

式中：

[Ak=-π2π2 sinxt2p2+x+2πk2dx=y=sinx-11yt2p2+arcsiny+2πk21-y2dyBk=-π2π2 sinxt2p2+x+2πk+π2dx=y=sinx-11 yt2p2+arcsiny+2πk+π21-y2dy]（5）

[C=-π20 sinxt2p2+x2dx]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （6）

式（5）中的[Ak]及[Bk]可統(tǒng)一表示為：

[Ak（Bk）=-11 （-1）kyt2p2+arcsiny+πk21-y2dy]（7）

高斯系列數(shù)值積分[11]具有計算速度快、精度高的特點，而式（7）滿足高斯-切比雪夫積分的積分區(qū)間[-1， 1]和權值函數(shù)[1-y2-0.5]，則式（7）的高斯積分為[8]：

[Ak（Bk）=-11 （-1）kyt2p2+arcsiny+πk21-y2dy=]

[i=1n（-1）kyit2p2+arcsinyi+πk2ai]? ? ? ? ? ? ? （8）

式中：[ai]為高斯求積系數(shù)，[i]為高斯積分點數(shù).

對式（6）采用復化Simpson公式計算：

[C=-π20sinxt2p2+x2dx=]

[h3-1t2p2+π2/4+4i=1msinx2it2p2+x22i+2i=1msinx2i-1t2p2+x22i-1] （9）

式中：[h=π4m]，[xi=-π2+ih]，[m]為節(jié)點數(shù).

把式（8）、式（9）代入式（4），得出：

[0∞sinωtp2+ω2dω=tk=0∞i=1n（-1）kyit2p2+arcsinyi+πk2-th3-1t2p2+π2/4+4i=1msinx2it2p2+x22i+2i=1msinx2i-1t2p2+x22i-1] （10）

1.2? ? 式（2）的近似解

利用cos函數(shù)的周期性，作如下變換：

[0∞ωcosωtω2+p2dω=x=ωt0∞xcosxx2+tp2dx=]

[k=0∞02π（2kπ+x）cos（x+2kπ）（2kπ+x）2+tp2dx]? ? ? （11）

由式（11）可知，隨著k的增加，積分項的值收斂于0，因此，實際應用時k值取有限值.同時，從式（11）可知，積分上限可由正無窮大換成2p.利用cos函數(shù)的特點，式（11）改寫為：

[0∞ωcosωtω2+p2dω=k=0∞0π（2kπ+x）cosx（2kπ+x）2+tp2dx+]

[k=0∞π2π（2kπ+x）cosx（2kπ+x）2+tp2dx]? ? ? ?（12）

利用cos函數(shù)的特點，式（12）進一步改寫為：

[0∞ωcosωtω2+p2dω=k=0∞0π（2kπ+x）cosx（2kπ+x）2+tp2dx-]

[k=0∞0π（2kπ+x+π）cosx（2kπ+x+π）2+tp2dx] （13）

最后式（13）簡化為：

[0∞ωcosωtω2+p2dω=]

[k=0∞（-1）k+1π0（kπ+x）cosx（kπ+x）2+tp2dx]? ? ? ? ?（14）

對式（14）積分變換：

[0∞ωcosωtω2+p2dω=]

[k=0∞（-1）k+1-11-（kπ+arccosy）y（kπ+arccosy）2+tp21-y2dy]? （15）

式（15）滿足高斯-切比雪夫積分的積分區(qū)間? ? ?[-1， 1]，且權值函數(shù)為[1-y2-0.5]，則式（15）的高斯積分為[11]：

[0∞ωcosωtω2+p2dω=]

[k=0∞（-1）ki=1n（kπ+arccosyi）yiai（kπ+arccosyi）2+tp2]? ?（16）

式中：[ai]為高斯求積系數(shù)，[i]為高斯積分點數(shù).

2? ? 數(shù)值實驗

為驗證本文方法的計算精度和效率，以? ? ? ? [p=-3+4i? （i=-1）]為例，利用基于常規(guī)的數(shù)值積分方法和本文方法進行計算和說明.

[0∞sin4ω-3+4i2+ω2dω]? ? ? ? ? ? ? ?（17）

[0∞ωcos4ω-3+4i2+ω2dω]? ? ? ? ? ? ? ?（18）

對式（17）和式（18）采用梯形積分時，其表達式可表示為：

[0∞sinωtp2+ω2dω=]

[i=0n（12（sinωitp2+ω2i+sinωi+1tp2+ω2i+1）Δω）]? ? ? ? ? （19）

[0∞ωcosωtp2+ω2dω=]

[i=0n（12（ωicosωitp2+ω2i+ωi+1cosωi+1tp2+ω2i+1）Δω）]? ?（20）

式中：[ωi=iΔω]，[Δω]為積分點間距，i為整數(shù);n為積分上限值參數(shù).式（19）及式（20）的計算精度和效率受積分上限和積分間距2個因素影響，而對于本文方法則受積分上限和高斯積分點個數(shù)的影響較大.為此，就上述2個因素進行分析，具體見表1—表4.

從表1來看，式（17）利用本文方法計算時，當上限[z≥]50，節(jié)點數(shù)[≥]8，所獲得積分結果已趨于穩(wěn)定.從表2可知，傳統(tǒng)數(shù)值積分法的積分上限[k≥]500 rad/s，積分間距[≤]0.001 0 rad/s，積分結果也趨于穩(wěn)定.比較穩(wěn)定后的數(shù)值可知，本文方法與傳統(tǒng)數(shù)值積分法非常接近，但本文方法在 [z=]50，節(jié)點數(shù)=8時，耗時為0.112 s;而傳統(tǒng)積分方法耗時在[k=]500 rad/s，積分間距=0.001 0 rad/s，耗時為0.315 s，說明了本文方法的效率比傳統(tǒng)積分方法更高.此外，傳統(tǒng)積分方法的積分上限和積分間距需要在較大范圍內去試算才能確定，而本文方法節(jié)點數(shù)和k值均較小，說明本文方法計算穩(wěn)定性好.

從表3來看，式（18）利用本文方法計算時，當上限[z≥]200，節(jié)點數(shù)[≥]10所獲得積分結果已趨于穩(wěn)定.從表4可知，傳統(tǒng)數(shù)值積分法的積分上限 [k≥]50 000 rad/s，積分間距[≤]0.001 0 rad/s，積分結果也趨于穩(wěn)定.比較穩(wěn)定后的數(shù)值可知，本文方法與傳統(tǒng)數(shù)值積分法非常接近，但本文方法在[z=]200，節(jié)點數(shù)=10時，耗時為0.407 s;而傳統(tǒng)積分方法在[k=]50 000 rad/s，積分間距=0.010 0 rad/s時，耗時為3.887 s，說明了本文方法的效率比傳統(tǒng)積分方法更高.此外，傳統(tǒng)積分方法的積分上限和積分間距需要在較大范圍內去試算才能確定，而本文方法節(jié)點數(shù)和k值均較小，說明本文方法計算穩(wěn)定性好.

3? ? 結論

本文針對隨機振動中兩類廣義積分[0∞sinωtp2+ω2dω]和[0∞ωcosωtp2+ω2dω]無簡明解的問題，利用周期函數(shù)和高斯-切比雪夫積分提出了一種計算精度和效率高的簡明近似解.此外，傳統(tǒng)積分方法的積分上限和積分間距需要在較大范圍內去試算才能確定，而本文方法節(jié)點數(shù)和k值均在較小的范圍內試算就能確定，說明本文方法計算上述兩類廣義積分具有較好的穩(wěn)定性.因此，本文方法對解決工程領域的振動響應分析具有重要的參考價值.

參考文獻

[1]? ? ?CRANDALL S H，MARK W D. Random vibration in mechanical systems[M].New York：Academic Press，1963.

[2]? ? ?BARBATO M，CONTE J P. Time-variant reliability analysis of linear elastic systems subjected to fully nonstationary stochastic excitations[J].Journal of Engineering Mechanics，2015，141（S6）：1-10.

[3]? ? ?PENG B F，CONTE J P. Closed-form solutions for the response of linear systems to fully nonstationary earthquake excitation[J]. Journal of Engineering Mechanics，1998，124（6）：684-694.

[4]? ? ?鄭兆昌.隨機振動矩陣直接譜分析法[C]//第二十三屆全國振動與噪聲控制學術會議， 沈陽，2010.

[5]? ? ?林家浩，張亞輝，趙巖.虛擬激勵法在國內外工程界的應用回顧與展望[J].應用數(shù)學和力學，2017，38（1）：1-32.

[6]? ? ?李創(chuàng)第，賀王濤，葛新廣.卷積型非粘滯阻尼結構隨機地震動系列響應求解的虛擬激勵法[J].廣西科技大學學報，2021，32（1）：78-84.

[7]? ? ?李暾，張夢丹，姜琰，等.基于近似Davenport風速譜的建筑結構動力響應的新封閉解法[J].廣西科技大學學報，2020，31（4）：1-10，18.

[8]? ? ?張文首，林家浩.大跨度結構考慮行波效應時平穩(wěn)隨機地震響應的閉合解[J].固體力學學報，2004（4）：446-450.

[9]? ? ?王春.留數(shù)定理在Mellin逆變換中的應用[J].大學數(shù)學，2020，36（2）：106-110.

[10]? ?數(shù)學手冊編寫組.數(shù)學手冊[M].北京：人民教育出版社，1979.

[11]? ?朱建新，李有法. 數(shù)值計算方法[M].北京：高等教育出版社，2012.

Numerical method for generalized integral of a class of

periodic functions

GE Xinguang， LI Yuxiang， YANG Xuefeng

（School of Civil Engineering and Architecture， Guangxi University of Science and Technology，

Liuzhou 545006， China）

Abstract： Random vibration is a very common phenomenon in the engineering field. The generalized integral of a class of periodic functions is often needed to calculate the dynamic response of? ? ? ? ? ? ?components. The existing methods have complex expressions and low calculation accuracy and? ? ? ? ? ?efficiency. In this paper， the generalized integral is transformed into a finite interval integral by using the characteristics of periodic function， and a concise closed solution is obtained. Then， a new? ? ? ? ? ? ?approximate solution of this kind of integral is derived by combining the high accuracy and efficiency of Gauss-Chebyshev integral. The correctness and efficiency of the proposed method are verified through the comparative analysis of examples， which has important value for solving the vibration? ? ? response analysis in engineering field.

Key words： periodic function; generalized integral; Gauss-Chebyshev integral; concise approximate? solution

（責任編輯：羅小芬、黎? ?婭）