凡丹

【摘要】本文以“函數(shù)的概念”一課教學為例，依據(jù)數(shù)學學科核心素養(yǎng)的四個維度設計教學目標，創(chuàng)設三種不同的問題情景和環(huán)環(huán)相扣的“問題串”展示教學過程，層層遞進地引導學生發(fā)現(xiàn)和提出問題，并以學生自主探究、交流討論為主的方式尋找解決問題的方法，經(jīng)歷概念獲得的過程，讓學生數(shù)學抽象素養(yǎng)的形成在教學中落地生根.

【關鍵詞】抽象素養(yǎng);數(shù)學教學;函數(shù)概念

1引言

抽象，基于抽象過程而言，是指從眾多事物中舍棄其非本質特征，抽取出共同的本質特征的過程.數(shù)學抽象則是指得到數(shù)學中確立的各種基本概念、定義、公理、定理、模型、推理法則、證明方法等 “數(shù)學抽象物”的過程.

數(shù)學抽象是六大數(shù)學學科核心素養(yǎng)之一，學生經(jīng)歷數(shù)學抽象的活動過程可以幫助學生更好地理解數(shù)學、形成數(shù)學思維以及提升解決問題的能力.國外有研究者認為：21世紀對知識情境性的重視日益增強，素養(yǎng)的形成和發(fā)展與情境存在密不可分的關系.此外，有研究表明：學生在學習“抽象”數(shù)學知識時，通常需要降低抽象層次的思維過程，例如將新的概念與已有的知識建立關聯(lián)，或者建立具體過程來重現(xiàn)抽象的結論.因此，為了更好地在教學中落實數(shù)學抽象素養(yǎng)的培養(yǎng)目標，課標對教師教學提出了新要求，即教師在教會學生知識技能的同時，應將數(shù)學抽象活動過程貫串于數(shù)學概念教學的全過程，注重新舊知識的內在邏輯聯(lián)系，不斷創(chuàng)新教學方式，創(chuàng)設符合教學內容的情境，引導學生多動腦思考，養(yǎng)成良好的學習習慣，激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣.

函數(shù)主題知識是高中數(shù)學課程的重要內容，其中對函數(shù)概念及其本質的深入理解是學生后續(xù)學好基本初等函數(shù)及其性質的關鍵，同時，也是提升學生數(shù)學抽象素養(yǎng)的重要一課.

2教學分析

“函數(shù)”是中學數(shù)學的核心內容.在初中階段，學生已經(jīng)學習過函數(shù)概念，進入高中，學生要繼續(xù)學習更為抽象的函數(shù)概念，即“對應說”，其強調實數(shù)集與實數(shù)集間的對應關系，用集合和對應關系描述函數(shù)概念，明確函數(shù)的定義域、值域，并引入抽象符號f（x）.

初中所學函數(shù)概念主要研究變量間的相互關系，并未深入探究函數(shù)概念的本質，學生很難進一步學習函數(shù)的圖像及性質.因此，進一步擴展學習函數(shù)概念“對應說”很有必要.

3目標與方法設計

3.1教學目標

問題與情境：創(chuàng)設合適的教學情境，讓學生在函數(shù)概念的建構過程中體會由特殊到一般、從具體到抽象的思維過程.

知識與技能：能用集合與對應語言描述函數(shù)，理解函數(shù)概念的本質.

思維與表達：采用探究式課堂教學，讓學生在活動中體會類比、歸納、抽象、概括等數(shù)學思想方法，提升數(shù)學抽象素養(yǎng)水平.

交流與反思：注重知識的科學應用、文化價值，培養(yǎng)學生嚴謹?shù)膶W習態(tài)度，感受數(shù)學的抽象美、簡潔美、數(shù)與形的和諧美.

3.2教學重點與難點

重點：理解函數(shù)概念及其構成要素.

難點：函數(shù)概念構建過程，理解函數(shù)概念本質及抽象符號的意義.

4教學過程

4.1創(chuàng)設情境，聯(lián)系新舊知識

回憶：你還記得初中階段所學的函數(shù)概念是什么嗎？你已經(jīng)學過哪些具體函數(shù)呢？

問題1請同學們應用初中所學函數(shù)概念思考并回答：

（1）y=1是否表示一個函數(shù)？

（2）y=（x）2與y=x表示同一個函數(shù)嗎？

師：應用“舊”知識，難以對以上問題給出準確答案.讓我們一起學習一些“新”知識后再來解決上述問題吧！

【設計意圖】引導學生回憶初中所學的函數(shù)概念，復習“舊”知識.設計問題1中（1），此解析式中只有一個變量y，與初中概念中兩個變量產(chǎn)生矛盾，學生誤判y=1不是函數(shù);設計問題1中（2），y=（x）2化簡后與y=x在解析式形式上完全一樣，但定義域不同，由于初中概念中未涉及定義域，學生誤判這兩個函數(shù)表示同一個函數(shù).在問題引入中創(chuàng)設矛盾，啟發(fā)學生深入思考，讓學生體會初中所學函數(shù)概念的局限性，引發(fā)學生想要學習新概念的強烈愿望.

4.2探究新知，經(jīng)歷抽象過程

情境1某“和諧號”高速列車加速到300 km/h后保持勻速行駛半小時.該時間段內，列車行進的路程s（單位：km）與運行時間t（單位：h）的關系式可以表示為s=300t.

師：請問在該情境中，變量是什么？變量間存在函數(shù)關系嗎？

生：s和t是變量，且s是t的函數(shù).

師：為什么？

生：因為t的每一個確定的值都與s中的值一一對應.

師：根據(jù)s與t的關系式，當列車加速到300 km/h后，列車運行1 h就前進了300 km，這樣的說法對嗎？為什么？

生：不對.因為沒有考慮運行時間的范圍，根據(jù)題目要求0≤t≤0.5，所以0≤s≤150.

師（引導總結）：我們前面學習了集合，那對于t和s這兩個變量的范圍，我們是否可以用集合來表示？

t的變化范圍可以用集合A={t|0≤t≤0.5}表示，s的變化范圍可以用集合B={s|0≤s≤150}表示，對于集合A中的任一時刻t，按照對應關系s=300t，在數(shù)集B中都有唯一確定的路程s和它對應.

【設計意圖】通過該情境，教師以“問題串”的形式引導學生從熟悉的情境中抽象出“變量”“變量關系”“變量的取值范圍”.結合已學知識，將“變量的取值范圍”用“集合”表示，強調變量間的“對應關系”，讓學生經(jīng)歷函數(shù)概念從“變量說”到“對應說”的變化過程，用準確的數(shù)學語言描述變量間的關系，體會數(shù)學的嚴謹性.

情境2圖1為云南省昆明市某天的空氣質量指數(shù)變化圖.如何根據(jù)該圖確定這一天內任意時刻t的空氣質量指數(shù)值I？你認為這里I是t的函數(shù)嗎？

情境3表1為某市居民恩格爾系數(shù)變化情況，你認為恩格爾系數(shù)r是年份y的函數(shù)嗎？注：恩格爾系數(shù)r=食物支出金額/總支出金額.

交流討論：請同學們以4個人為一個小組交流討論，嘗試用數(shù)學語言描述情境2、情境3中變量之間的關系.

思考1情境1～3中的函數(shù)有哪些共同特征？

生：（1）都包含兩個非空數(shù)集;（2）都有一個對應關系;（3）盡管對應關系不同，但按照每個情境的對應關系，數(shù)集A中的數(shù)都與集合B中的數(shù)一一對應.

【設計意圖】該環(huán)節(jié)根據(jù)初中所學函數(shù)表示方法，分別設計以解析式法、圖像法、列表法為函數(shù)對應關系的三個不同情境，讓學生根據(jù)情境1的分析過程，以小組形式自主探究情境2、情境3，觀察圖像和表格的數(shù)據(jù)，找到變量的變化范圍及變量間的對應關系，歸納總結函數(shù)的共同特征.通過該環(huán)節(jié)，讓學生親自從具體事物中抽象概括出對應的函數(shù)，經(jīng)歷數(shù)學抽象活動過程，在合作學習中積極思考和表達自己的觀點，鍛煉交流表達的能力，感受學習數(shù)學的樂趣，提升學習數(shù)學的自信心.

4.3概念生成，形成數(shù)學抽象

思考2通過探究我們可知兩個變量間的對應關系可以用解析式、圖像、表格來表示，還有其他的方法可以表示對應關系嗎？

生：有，比如文字語言描述等.

師：數(shù)學本質表現(xiàn)為對一般事物進行高度地抽象概括，對于變量間對應關系的多種表示法，可以統(tǒng)一為同一種形式描述嗎？

生：可以，用抽象符號f表示變量間的對應關系.

師：通過探究，你能用你的語言給出函數(shù)概念嗎？ 并與教材中的概念對比.

學生獨立歸納函數(shù)概念后與教材對比.

思考3從函數(shù)的概念中，我們知道函數(shù)可以用抽象符號y=f（x），x∈A表示，那么可以用y=g（x）表示函數(shù)嗎？你知道構成一個函數(shù)的必要條件有哪些嗎？

生：可以，f或g只是表示對應關系而引入的抽象符號;函數(shù)的必要條件有定義域、對應關系和值域.

師：我們將定義域、對應關系、值域叫作函數(shù)的三要素.

【設計意圖】以三種表示函數(shù)的方法入手，引導學生理解抽象符號f表示的是對x施加的某種法則或運算，且并不是只能用f表示，還可以根據(jù)需要使用其他字母符號表示對應關系，同時根據(jù)函數(shù)概念進一步明確構成函數(shù)的三要素.通過該環(huán)節(jié)，讓學生學會用數(shù)學符號語言表達概念、規(guī)則，體會由特殊到一般的數(shù)學思想.

4.4概念理解，深入理解本質

思考4學習了新的函數(shù)概念后，請同學們再次思考課堂開始時的兩個問題，你做對了嗎？為什么？

生：沒有，因為忽視了函數(shù)解析式中的隱藏變量及函數(shù)的定義域.

師：接下來，請同學們觀察思考例1，并對比四個題之間的異同點.

例1下列函數(shù)中，哪個函數(shù)與y=x相等？

（1）y=（x）2;（2）y=x2; （3）u=3v3; （4）m=n2n

師：通過觀察例1中4個函數(shù)的圖像，你能判斷哪兩個函數(shù)相等嗎？（幾何畫板展示）

生：（3）與y=x相等.

師：我們觀察圖像得出這兩個函數(shù)相等，那這兩個函數(shù)有什么共同點呢？

生：兩函數(shù)的三要素均相同.

師：如果只有定義域和對應關系相同，兩函數(shù)相等嗎？若只有定義域和值域相同時呢？若只有對應關系和值域相同時呢？

生：①相等，當定義域和對應關系相同時，值域也就相同;②不相等，比如：y=x與y=x+1;③不相等，比如：y=x2，定義域?。?∞，0）和（0，+∞）.

師：請同學們思考兩個函數(shù)相等需要滿足什么條件.

生：對應關系和定義域相同，與解析式中的字母或抽象符號無關.

【設計意圖】該環(huán)節(jié)借助幾何畫板展示函數(shù)圖像，帶領學生分析相等函數(shù)的條件，該過程主要考查學生結合其他基礎知識化簡函數(shù)解析式及求解定義域的能力.將其他基礎知識與函數(shù)知識相結合，注重知識之間的內在聯(lián)系，幫助學生構建完整的知識體系.

思考5在具體函數(shù)中，定義域與函數(shù)概念中的集合A是什么關系？值域與函數(shù)概念中集合B呢？

生： 定義域就是函數(shù)概念中的集合A，而值域只是集合B的子集.

【設計意圖】幫助學生進一步理解函數(shù)概念中定義域和值域與其對應集合的關系.

5交流討論，學會應用數(shù)學

交流討論：對于函數(shù)y=x（10-x），你認為該函數(shù)關系可以用來解決實際生活中的問題嗎？如果可以，你能構建一個符合該函數(shù)的問題情境嗎？

【設計意圖】該環(huán)節(jié)讓學生在交流過程中，學會結合實際情境解釋相關的抽象概念.函數(shù)y=x（10-x）是高度抽象的符號表示.在實際生活中，該函數(shù)可用于計算已知周長為20的長方形的面積，也可以用來描述某物體的上拋運動等.數(shù)學教學的目的不僅是要求學生掌握知識技能、應對考試，更應該加強引導學生了解數(shù)學的學科價值和應用價值.