李浩隆 馮維明

(山東大學(xué)土建與水利學(xué)院，濟(jì)南250061)

經(jīng)典力學(xué)中常見(jiàn)關(guān)于剛性直桿自由傾倒的問(wèn)題(圖1)，可利用動(dòng)量定理、動(dòng)量矩定理和動(dòng)能定理來(lái)分析桿件在傾倒過(guò)程的運(yùn)動(dòng)。但教材中此問(wèn)題多見(jiàn)于理想狀態(tài)下(考慮地面為光滑的)運(yùn)動(dòng)學(xué)分析和動(dòng)力學(xué)分析[1-2]。如果考慮一般情況下即地面有摩擦?xí)r剛性直桿傾倒過(guò)程，問(wèn)題立刻就復(fù)雜了許多，2017年《力學(xué)與實(shí)踐》曾就此問(wèn)題公開(kāi)征集解答[3]，這也引起了許多任課教師和在校學(xué)生的興趣，近年來(lái)不少學(xué)者對(duì)此問(wèn)題展開(kāi)討論，表達(dá)了自己的見(jiàn)解。在早期的文獻(xiàn)中，王曉云[4]計(jì)算了剛性桿完全倒地的時(shí)間，假設(shè)桿始終做定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，把桿觸地端理想地看作鉸鏈；2000年，高桂林等[5]討論了剛性桿在有摩擦的水平面上傾倒過(guò)程的力學(xué)分析，文章注意到了摩擦力在桿件傾倒過(guò)程會(huì)改變方向，研究了在特定摩擦因數(shù)下桿件觸地端約束力分析和運(yùn)動(dòng)分析，但缺乏一般情形下的相關(guān)分析，所以對(duì)可能出現(xiàn)的一些現(xiàn)象沒(méi)有進(jìn)一步解釋；2018年，唐有綺等[6]再一次對(duì)剛性直桿傾倒過(guò)程進(jìn)行了動(dòng)態(tài)分析，通過(guò)數(shù)值解分析了直桿角位移、角速度、觸地端摩擦力等隨時(shí)間變化的規(guī)律，雖比前者分析更深入，但仍然欠缺全面分析，且其桿件觸地端摩擦力“始終向右”和摩擦力較大時(shí)桿件傾倒過(guò)程一直做定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的結(jié)論都是不正確的；同一時(shí)間，蘇振超等[7]研究了直桿傾倒時(shí)開(kāi)始打滑的打滑角與摩擦因數(shù)的關(guān)系，通過(guò)對(duì)一道習(xí)題的分析，設(shè)計(jì)了已知打滑角求摩擦因數(shù)和已知摩擦因數(shù)求打滑角正反兩個(gè)問(wèn)題，并得出了摩擦因數(shù)與打滑角關(guān)系的曲線圖，但圖中有一段曲線無(wú)意義，沒(méi)有得到打滑角與摩擦因數(shù)的完整關(guān)系，對(duì)桿觸地端滑動(dòng)后的運(yùn)動(dòng)方向的判斷缺乏完整性；同年胡開(kāi)鑫等[8]就此問(wèn)題給出了兩點(diǎn)結(jié)論，均質(zhì)桿傾倒過(guò)程中觸地端不會(huì)脫離地面且可在兩相反方向滑動(dòng)，否定了文獻(xiàn)[6]的結(jié)論，并為此給出簡(jiǎn)單的證明，但其桿觸地端左右滑動(dòng)的判定條件值得商榷。2019年，張九鑄[9]討論了均質(zhì)直桿無(wú)滑動(dòng)傾倒時(shí)觸地端脫離水平面的條件，認(rèn)為在某一角度“一定能實(shí)現(xiàn)無(wú)滑動(dòng)脫離水平面”，該文的結(jié)論與文獻(xiàn)[5，8]是矛盾的。綜上所述，此前的研究主要是建立動(dòng)力學(xué)方程并進(jìn)行數(shù)值求解，沒(méi)有求得解析解，對(duì)于摩擦因數(shù)與打滑角關(guān)系的認(rèn)識(shí)不夠深入，對(duì)不同摩擦因數(shù)下桿運(yùn)動(dòng)的求解不夠完整，甚至有些錯(cuò)誤的結(jié)論。本文將盡可能對(duì)均質(zhì)直桿傾倒過(guò)程進(jìn)行完整的分析，對(duì)各種可能出現(xiàn)的現(xiàn)象進(jìn)行分析，并對(duì)某些結(jié)論進(jìn)行具有可信度的驗(yàn)證，彌補(bǔ)以往研究中的缺陷，提出對(duì)前期研究不同的思考以供大家討論。

圖1 直桿傾倒示意圖

1 動(dòng)力學(xué)建模與分析

一質(zhì)量為m，長(zhǎng)為l的均質(zhì)直桿豎直立在地面上，桿與地面的摩擦因數(shù)為f，隨后受到微擾開(kāi)始自由傾倒，如圖2，剛開(kāi)始運(yùn)動(dòng)時(shí)θ較小，桿先做定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，隨后桿觸地端開(kāi)始打滑，設(shè)打滑角度為θ1，之后桿做平面運(yùn)動(dòng)，那么自然有這樣的問(wèn)題：打滑角θ1如何確定？桿做平面運(yùn)動(dòng)狀態(tài)是怎樣的？如何求解桿觸地端的位移？

圖2 桿做定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的受力分析圖

1.1 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程

設(shè)桿角速度為ω，由動(dòng)能定理

得

則質(zhì)心C的水平速度為

式(2)再次對(duì)t求導(dǎo)得

設(shè)a Cx和a Cy為桿質(zhì)心C的加速度沿x和y軸的分量，如圖3，由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理

圖3 桿做定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)質(zhì)心加速度的兩種分解圖

將a Cx和a Cy用切向加速度at和法向加速度an分別表示

又at=αl/2，an=ω2/2。

同時(shí)將式(7)、式(8)分別代入式(5)、式(6)求得

顯然FN≥0，當(dāng)且僅當(dāng)θ=arccos1/3≈70.5°時(shí)取等號(hào)，故桿在定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)不會(huì)跳起。對(duì)于Fs，在定軸轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)θ≤2arccos1/3≈48.2°時(shí)，F(xiàn)s≥0，也就是摩擦力向x軸正向，此時(shí)桿觸地端不打滑所要求的最小f滿足Fs=f FN；當(dāng)θ≥48.2°時(shí)，F(xiàn)s≤0，也就是摩擦力向x軸負(fù)向，此時(shí)最小f應(yīng)滿足Fs=?f FN，故統(tǒng)一地有

圖4 f關(guān)于θ的函數(shù)曲線圖

由f′(θ)=0，得，代入式(11)可得曲線極大值

設(shè)此極值點(diǎn)為p，過(guò)p做平行于x軸的線交曲線于點(diǎn)q，q點(diǎn)橫坐標(biāo)為0.894，約等于51.2°。需要注意，圖4是在定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的情形(即式(11))下畫(huà)出的，一旦觸地端開(kāi)始滑動(dòng)，桿就進(jìn)入平面運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，動(dòng)力學(xué)方程將在后文給出。在f

1.2 平面運(yùn)動(dòng)過(guò)程

由上面討論可知，直桿傾倒過(guò)程中首先發(fā)生定軸轉(zhuǎn)動(dòng)(除f=0外)，其次是平面運(yùn)動(dòng)，桿件觸地端運(yùn)動(dòng)過(guò)程以摩擦因數(shù)fm為界而不同。因此，需分別討論。

1.2.1f

此時(shí)桿打滑的θ1滿足

由剛體質(zhì)心平面運(yùn)動(dòng)微分方程

由滑動(dòng)摩擦(見(jiàn)圖2)

聯(lián)立式(13)和式(14)可得

如圖5，以C為基點(diǎn)，B為動(dòng)點(diǎn)，B點(diǎn)加速度表示為

圖5 桿做平面運(yùn)動(dòng)時(shí)的加速度分析圖

向y軸正向投影得

聯(lián)立式(15)和式(17)，注意到α=d2θ/dt2，ω=dθ/dt，可以得到關(guān)于θ(t)的二階非線性非齊次微分方程

式(18)沒(méi)有解析解，利用變換d2θ/dt2=ωdω/dθ，并定義無(wú)量綱角速度化簡(jiǎn)得

進(jìn)一步整理得

它為n=?1的Bernoulli微分方程[10]，其中

所以方程通解為

對(duì)于f=0的情況，式(20)可以積出

但f0時(shí)，無(wú)法全部積出。

在初步的分析中，往往認(rèn)為觸地端的運(yùn)動(dòng)是單向的，但實(shí)際上不然。

以C為基點(diǎn)，B為動(dòng)點(diǎn)，則B點(diǎn)速度為

質(zhì)心任意時(shí)刻的水平速度表示為

其中a Cx為質(zhì)心水平加速度式(15)，v Cx0為觸地端開(kāi)始滑動(dòng)時(shí)質(zhì)心的速度，由式(3)知

將式(23)代入式(22)，整理可得

圖6 不同摩擦因數(shù)下v B/隨θ變化的曲線

當(dāng)觸地端速度為零時(shí)，桿要么定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，要么轉(zhuǎn)而正向滑動(dòng)，可以先判斷桿能否定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。

設(shè)桿從θ=θ2開(kāi)始定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，此時(shí)桿角速度為ω2。

由動(dòng)能定理

得

加速度仍為式(4)，由式(5)～式(8)得

將式(4)、式(27)代入式(28)、式(29)得無(wú)量綱力

取f為0.31，0.32，0.34，0.37，如圖7，虛線代表±f，實(shí)線代表fre，隨著桿的傾倒，角度不斷增大，桿定軸轉(zhuǎn)動(dòng)所需的最小摩擦因數(shù)也在變化，fre為正代表摩擦力也是正向，注意到f大于一定值時(shí)，實(shí)線有一段落在虛線范圍內(nèi)，桿可以定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，后數(shù)值求解得到此值約為0.317。當(dāng)實(shí)線與虛線相交時(shí)，桿開(kāi)始打滑，設(shè)為θ3，由圖可知當(dāng)f∈(0.317,0.370)，打滑時(shí)fre<0，則摩擦力方向?yàn)閤軸負(fù)向，桿只能正向打滑。

圖7 不同摩擦因數(shù)下桿所需的最小摩擦因數(shù)圖(續(xù))

式(11)中以θ為自變量，但實(shí)際上桿的運(yùn)動(dòng)特性由摩擦因數(shù)f決定，結(jié)合對(duì)圖4的討論，把f作為自變量，并略去沒(méi)有物理意義的多解分支，數(shù)值求解得到桿第一次打滑角θ1與f的關(guān)系，通過(guò)數(shù)值求解式(25)的零點(diǎn)，得到桿觸地端減速為零時(shí)桿的傾斜角θ2，通過(guò)求解|fre|=f，得到第二次桿定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的打滑角θ3，將θ1，θ2和θ3畫(huà)在一個(gè)圖里，如圖8。

圖8 θ1，θ2，θ3與f的關(guān)系曲線

f軸可以分成三段：(0,0.317)、(0.317,0.370)、(0.370,+∞)，分別對(duì)應(yīng)三種情況。第一段內(nèi)，桿從豎直開(kāi)始傾倒，先定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，然后觸地端打滑開(kāi)始負(fù)向運(yùn)動(dòng)，減速為0后開(kāi)始正向運(yùn)動(dòng)，直至落地；第二段內(nèi)，桿從豎直開(kāi)始傾倒，先定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，然后觸地端打滑開(kāi)始負(fù)向運(yùn)動(dòng)，減速為0后開(kāi)始定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，之后打滑開(kāi)始正向滑動(dòng)直至落地；第三段內(nèi)，桿從豎直開(kāi)始傾倒，先定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，然后觸地端打滑開(kāi)始正向運(yùn)動(dòng)，直至落地。

當(dāng)桿正向滑動(dòng)后(圖9)，摩擦力反向，需將式(14)改為Fs=?f FN，可以看做是將摩擦因數(shù)變?yōu)橄喾磾?shù)，故運(yùn)動(dòng)方程應(yīng)為

圖9 桿正向滑動(dòng)時(shí)的受力分析

當(dāng)f∈(0,0.317)時(shí)，此方程初值由式(19)得到，當(dāng)f∈(0.317,0.370)時(shí)，方程初值由式(27)得到。

1.2.2f>fm時(shí)的桿件平面運(yùn)動(dòng)

此時(shí)桿打滑的θ1滿足

運(yùn)動(dòng)方程同式(33)，通解同式(20)，其中

代入初值條件，求得

還要指出對(duì)任意的摩擦因數(shù)桿均不能跳起。設(shè)桿定軸轉(zhuǎn)動(dòng)最后一刻的動(dòng)能為E0，此后桿將發(fā)生平面運(yùn)動(dòng)，觸地端將會(huì)向x軸正向滑動(dòng)，角速度和角度的關(guān)系難以精確求出，故利用放縮的辦法，假設(shè)此時(shí)桿繼續(xù)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，此后角速度為ω1，由動(dòng)能定理可知

其中WG為桿轉(zhuǎn)到θ時(shí)重力做的功。

但實(shí)際上，桿為平面運(yùn)動(dòng)，角速度為ω2，質(zhì)心速度大小為v2，由動(dòng)能定理可知

其中Wf為摩擦力做功的大小，利用速度疊加求得

式(36)減去式(37)得

由于式(12)右端大于零，則

而ω1是定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度，可見(jiàn)打滑時(shí)的角速度比定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的更小，利用式(13)和式(17)與補(bǔ)充條件Fs=?f FN，求得無(wú)量綱反力

放縮得

代入式(2)得

這樣，證明了支反力恒正。其他摩擦因數(shù)下的證明思路一致，這里不再贅述。

2 觸地端位移分析

當(dāng)f

當(dāng)θ1<θ<θ2時(shí)，利用式(22)知負(fù)向位移為

其中t1為桿觸地端開(kāi)始滑動(dòng)的時(shí)刻，t2為停止滑動(dòng)(或開(kāi)始反向滑動(dòng))的時(shí)刻

將式(23)代入式(42)，經(jīng)部分積分后可得

其中第三項(xiàng)利用換元法把積分變量換為θ

由于位移與桿的長(zhǎng)度有關(guān)，式(42)兩端同除桿長(zhǎng)l，得到無(wú)量綱位移x B1/l

同理可推得，當(dāng)θi<θ<π/2時(shí)，無(wú)量綱正向位移為

當(dāng)f∈(0,0.317)時(shí)，θi取θ2，當(dāng)f∈(0.317,0.370)時(shí)，θi取θ3，故觸地端總位移x B/l=x B1/l+x B2/l。

當(dāng)f≥fm時(shí)，觸地端只有正向位移，同樣可導(dǎo)出觸地端位移表達(dá)式為

得到觸地端最終位移與摩擦因數(shù)的關(guān)系曲線，如圖10。

圖10 x B/l與f的關(guān)系曲線

圖10中的曲線在f=0.233附近有零點(diǎn)，也就是此時(shí)觸地端會(huì)回到初始位置，曲線在f=0.364附近有極大值點(diǎn)，極大值約為0.049，此時(shí)觸地端離初始位置最遠(yuǎn)。

3 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

考慮到滑動(dòng)摩擦因數(shù)測(cè)試較為困難，本實(shí)驗(yàn)主要通過(guò)測(cè)得靜摩擦因數(shù)后，測(cè)試從定軸轉(zhuǎn)動(dòng)到初始滑動(dòng)的臨界角度，即圖4中所示初始滑動(dòng)臨界曲線。同時(shí)驗(yàn)證對(duì)應(yīng)不同摩擦因數(shù)桿觸地端的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。首先需要取不同的介質(zhì)獲得不同的摩擦因數(shù)，然后對(duì)應(yīng)在不同介質(zhì)表面進(jìn)行直桿傾倒實(shí)驗(yàn)。

3.1 摩擦因數(shù)的測(cè)量

實(shí)驗(yàn)選用均質(zhì)的細(xì)長(zhǎng)不銹鋼桿，長(zhǎng)300 mm，直徑2 mm，兩端打磨成弧形，并均勻地裹上一層硬脂酸，以保證在滑動(dòng)過(guò)程中摩擦因數(shù)的均勻性。

靜摩擦因數(shù)的直接測(cè)量較難，可以通過(guò)圖11的方法進(jìn)行間接測(cè)量：將桿靠在直角墻面上，設(shè)桿與鉛錘方向夾角為θ，釋放后，如果桿打滑，就減小角度再重新擺放，如果不打滑則小心增大角度再重新擺放，精細(xì)調(diào)整至臨界狀態(tài)。

圖11 桿受力分析圖

設(shè)A和B段支反力和摩擦力分別為FNA，F(xiàn)SA，F(xiàn)NB，F(xiàn)SB，摩擦因數(shù)分別為f A和f B，當(dāng)桿達(dá)到臨界平衡時(shí)，由平衡方程得

由于上、下端均達(dá)到最大靜摩擦力，則補(bǔ)充方程為

式(49)和式(50)共五個(gè)方程，卻有六個(gè)未知量，故可以認(rèn)為一端摩擦因數(shù)已知，來(lái)測(cè)量另一端摩擦因數(shù)，如f B已知，可求得

B端的摩擦因數(shù)可以這樣求得，將水平面與垂直面用同一種材質(zhì)，此時(shí)A和B端摩擦因數(shù)相同，可設(shè)為f，從式(51)可解出

選定水平面和垂直面材質(zhì)均為A4紙，測(cè)得臨界角為39°，則f B=f=0.354。下面的實(shí)驗(yàn)中，垂直面的材質(zhì)保持不變(A4紙)，更換水平面的材質(zhì)重復(fù)上述實(shí)驗(yàn)過(guò)程獲得相應(yīng)的臨界角，通過(guò)式(39)確定A處相應(yīng)的摩擦因數(shù)，所得結(jié)果如表1所示。

表1 不同材料下的摩擦因數(shù)

3.2 觸地端初次滑動(dòng)臨界角測(cè)試

為了控制直桿倒下的方向，直桿的頂部靠在一根光滑的細(xì)鋼桿上，直桿后面有角度表，用高速攝像錄制直桿傾倒的過(guò)程，通過(guò)回放可以讀出桿觸地端滑動(dòng)時(shí)的臨界角，準(zhǔn)備就緒的裝置如圖12。

圖12 傾倒裝置示意圖

實(shí)驗(yàn)得到的不同摩擦因數(shù)下初次滑動(dòng)臨界角如圖13所示，圖中曲線為理論值(見(jiàn)圖4)，各點(diǎn)為實(shí)驗(yàn)值。整體趨勢(shì)較為符合理論解。這里必須正視兩個(gè)偏差：(1)靜摩擦因數(shù)是在盡可能保持桿件不受其他因素影響下(如保持絕對(duì)靜止)測(cè)得的最大靜摩擦因數(shù)。但桿件傾倒過(guò)程測(cè)試時(shí)，從定軸轉(zhuǎn)動(dòng)到觸地端開(kāi)始滑動(dòng)前難以符合靜摩擦因數(shù)的測(cè)試環(huán)境，因此實(shí)際摩擦因數(shù)降低了(介于靜、動(dòng)摩擦因數(shù)之間)；(2)慢鏡頭實(shí)際觀察滑動(dòng)臨界角時(shí)仍有延遲，測(cè)量結(jié)果整體偏大(即圖中各點(diǎn)偏右)。

圖13 實(shí)驗(yàn)值與理論曲線對(duì)比圖

3.3 觸地端運(yùn)動(dòng)狀態(tài)驗(yàn)證

圖14為摩擦因數(shù)f=0.29時(shí)桿的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。圖14(a)為初始位置，桿觸地端在刻度5的位置；圖14(b)為定軸轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程，桿觸地端仍在刻度5的位置；圖14(c)為桿觸地端反向滑動(dòng)過(guò)程中，桿觸地端位于刻度5的左邊；圖14(d)為桿觸地端正向滑動(dòng)過(guò)程中，桿觸地端位于刻度5的右邊，定性驗(yàn)證了當(dāng)f<0.317時(shí)，桿傾倒過(guò)程的運(yùn)動(dòng)分析。

圖14 f=0.29時(shí)，直桿傾倒過(guò)程截圖

圖15為摩擦因數(shù)f=0.519時(shí)桿的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。圖15(a)為初始位置，桿觸地端在刻度5的位置；圖15(b)為定軸轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程，桿觸地端仍在刻度5的位置；圖15(c)為桿觸地端正向滑動(dòng)過(guò)程中，桿觸地端位于刻度5的右邊；桿傾倒過(guò)程中無(wú)反向滑動(dòng)。定性驗(yàn)證了當(dāng)f>fm(0.370)時(shí)，桿傾倒過(guò)程的運(yùn)動(dòng)分析。

圖15 f=0.519時(shí)，直桿傾倒過(guò)程截圖

f∈(0.317,0.370)時(shí)，桿雖然存在第二次定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，但時(shí)間極短，并且前述分析并未考慮動(dòng)靜摩擦因數(shù)的不同，在實(shí)際實(shí)驗(yàn)時(shí)，難以準(zhǔn)確地觀測(cè)到第二次定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。

另外無(wú)論在何種摩擦因數(shù)下，桿觸地端均無(wú)跳離地面的現(xiàn)象。

4 結(jié)論與展望

本文利用理論力學(xué)、常微分方程等相關(guān)知識(shí)，分析了考慮摩擦的剛性直桿傾倒的全過(guò)程，建立了完善的動(dòng)力學(xué)模型，得到了直桿打滑角和反向角與摩擦因數(shù)的關(guān)系，同時(shí)利用直桿觸地端位移的表達(dá)式，得到了觸地端最終位移與摩擦因數(shù)的關(guān)系曲線，通過(guò)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了部分現(xiàn)象，對(duì)以往的部分錯(cuò)誤進(jìn)行了糾正，并得到如下結(jié)論：

(1)剛性直桿在自由傾倒過(guò)程中，無(wú)論桿與地面的摩擦因數(shù)為何值，桿觸地端在某一個(gè)傾角都會(huì)滑動(dòng)；

(2)當(dāng)摩擦因數(shù)f∈(0,0.317)時(shí)，桿觸地端有靜止(即定軸轉(zhuǎn)動(dòng))、反向滑動(dòng)和正向滑動(dòng)三個(gè)階段；當(dāng)摩擦因數(shù)f∈(0.317,0.370)時(shí)，桿觸地端有靜止(即定軸轉(zhuǎn)動(dòng))、反向滑動(dòng)、靜止(即第二次定軸轉(zhuǎn)動(dòng))和正向滑動(dòng)四個(gè)階段；當(dāng)摩擦因數(shù)f∈(0.370,+∞)時(shí)，桿觸地端有靜止(即定軸轉(zhuǎn)動(dòng))和正向滑動(dòng)兩個(gè)階段；

(3)均質(zhì)剛性直桿在自由傾倒過(guò)程中，無(wú)論桿與地面的摩擦因數(shù)為何值，桿觸地端都不會(huì)跳離地面。

由于篇幅所限，本文沒(méi)有再考慮動(dòng)靜摩擦因數(shù)不等的情況，如果考慮，思路基本不變，只需對(duì)各運(yùn)動(dòng)模型中的摩擦因數(shù)作區(qū)分，可以得到新的結(jié)論，并且更接近真實(shí)的運(yùn)動(dòng)情況，但同時(shí)也會(huì)帶來(lái)求解與表述上的困難，此外本文的實(shí)驗(yàn)也以定性驗(yàn)證為主，還可以在更好的實(shí)驗(yàn)條件下對(duì)更多的結(jié)論進(jìn)行驗(yàn)證。