李 榮，賀興時(shí)，楊新社

1.西安工程大學(xué) 理學(xué)院，西安710048

2.密德薩斯大學(xué) 科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，倫敦NW4 4BT

電力系統(tǒng)負(fù)荷經(jīng)濟(jì)調(diào)度（Economic Dispatch，ED）是指在電力系統(tǒng)滿足各種約束條件的基礎(chǔ)上，各臺機(jī)組合理地分配負(fù)荷達(dá)到最小化發(fā)電成本[1]。經(jīng)濟(jì)調(diào)度問題是現(xiàn)代電力系統(tǒng)優(yōu)化運(yùn)行的一個(gè)重要問題，在提高電力系統(tǒng)運(yùn)行可靠性和經(jīng)濟(jì)性方面起著關(guān)鍵作用，在國家的經(jīng)濟(jì)發(fā)展中占據(jù)著極其重要的地位[2]。因此，電力系統(tǒng)負(fù)荷經(jīng)濟(jì)調(diào)度（ED）一直都是學(xué)術(shù)研究的熱點(diǎn)問題，對負(fù)荷進(jìn)行合理分配并進(jìn)行高效的發(fā)電計(jì)劃調(diào)度可以有效地減少發(fā)電成本，符合“節(jié)能環(huán)?！钡纳鷳B(tài)需求，能夠產(chǎn)生巨大的經(jīng)濟(jì)效益和生態(tài)效益。

近些年來興起的群體智能算法，許多的國內(nèi)外學(xué)者對電力系統(tǒng)負(fù)荷經(jīng)濟(jì)調(diào)度模型的求解展開了大量的研究，其中粒子群算法、差分進(jìn)化算法、人工免疫優(yōu)化算法、人工魚群算法等啟發(fā)式算法已經(jīng)成功應(yīng)用到求解ED 問題中，并取得了一定的進(jìn)展。例如，Pancholi 等人[2]利用帶收縮因子的自適應(yīng)PSO 算法成功解決了電力系統(tǒng)經(jīng)濟(jì)調(diào)度問題，雖然通過罰函數(shù)處理約束條件，但是沒有考慮發(fā)電機(jī)組本身的約束，使得求解精度并不高；Rahman等人[3]提出了一種人工免疫優(yōu)化算法，來求解電力系統(tǒng)的單時(shí)段機(jī)組經(jīng)濟(jì)分配問題；錢景輝等人[4]利用進(jìn)化狀態(tài)估計(jì)和精英學(xué)習(xí)策略，提出一種自適應(yīng)粒子群算法（APSO），并將其成功應(yīng)用于求解該ED 模型，使得該算法提高了求解精度，得到了更好的優(yōu)化性能；王昕等人[5]引入了動(dòng)態(tài)變量和t分布概率算子，提出了一種改進(jìn)的人工魚群算法對機(jī)組有功出力進(jìn)行合理分配，具有較高的使用價(jià)值；李榮雨等人[6]設(shè)計(jì)基于排序的可行解選取遞減策略，改進(jìn)現(xiàn)有變異算子，提出基于度量種群多樣性的改進(jìn)差分進(jìn)化算法，從而有效地降低了發(fā)電的成本；許悅等人[7]使用一種新穎的帕累托部落進(jìn)化算法用于解決多約束的多目標(biāo)優(yōu)化發(fā)電調(diào)度問題，提供更好的負(fù)荷經(jīng)濟(jì)調(diào)度方案；徐威等人[8]雖然在負(fù)荷經(jīng)濟(jì)調(diào)度問題上應(yīng)用飛蛾撲火算法尋優(yōu)取得了較好的結(jié)果，但求解精度仍有進(jìn)一步提高的空間。然而，隨著電力經(jīng)濟(jì)調(diào)度模型的復(fù)雜度以及電力系統(tǒng)對發(fā)電成本經(jīng)濟(jì)性的要求的不斷提高，現(xiàn)有的一些優(yōu)化方法在解決電力系統(tǒng)負(fù)荷經(jīng)濟(jì)調(diào)度問題時(shí)都存在一些缺陷和不足，比如求解精度不夠，收斂速度緩慢，容易陷入局部最優(yōu)解等。因此，設(shè)計(jì)出求解精度更高，實(shí)用性更強(qiáng)的算法來解決電力系統(tǒng)經(jīng)濟(jì)調(diào)度問題的研究具有重要的實(shí)際應(yīng)用意義。

2015年，Mirjalili[9]提出了飛蛾火焰優(yōu)化算法（Moth-Flame Optimization，MFO），其求解思路來源于飛蛾橫向定位導(dǎo)航機(jī)制，是一種新型的群智能算法。MFO 算法結(jié)構(gòu)較簡單且易于實(shí)現(xiàn)，調(diào)控參數(shù)少，時(shí)間復(fù)雜度低，逐漸引起了學(xué)術(shù)界和工程界的關(guān)注，到目前為止，MFO算法已經(jīng)成功運(yùn)用到了感知器訓(xùn)練[10]、電力系統(tǒng)有功和無功優(yōu)化調(diào)度[11]、混合經(jīng)濟(jì)排放調(diào)度[12]、承壓含水層參數(shù)反演[13]和電力系統(tǒng)最優(yōu)潮流計(jì)算[14]中，也取得了相對較好的效果，但MFO 算法針對大規(guī)模電力系統(tǒng)經(jīng)濟(jì)調(diào)度優(yōu)化問題的國內(nèi)外研究尚不多見。因此，本文嘗試將改進(jìn)后的MFO算法用于求解大規(guī)模電力系統(tǒng)負(fù)荷經(jīng)濟(jì)調(diào)度問題，以提升MFO的全局搜索能力和收斂速度。

本文通過建立一個(gè)更全面的負(fù)荷經(jīng)濟(jì)調(diào)度模型，提出一種基于差分進(jìn)化的改進(jìn)飛蛾優(yōu)化算法（DEMFO）的經(jīng)濟(jì)調(diào)度數(shù)學(xué)模型，其中優(yōu)化目標(biāo)為電力系統(tǒng)總發(fā)電成本最小值，綜合考慮電力系統(tǒng)運(yùn)行中的爬坡速率、限制禁運(yùn)區(qū)、“閥點(diǎn)效應(yīng)”、網(wǎng)絡(luò)傳輸損耗等諸多約束條件。針對目前智能優(yōu)化算法解決電力系統(tǒng)負(fù)荷經(jīng)濟(jì)調(diào)度問題所存在的不足，首先將差分進(jìn)化算法融合到MFO 算法中，飛蛾種群個(gè)體之間具有變異、交叉、選擇機(jī)制，使得DEMFO算法擁有更強(qiáng)的全局和局部搜索能力；其次在飛蛾更新的位置上引入柯西變異算子，采用柯西變異因子后的飛蛾在算法運(yùn)行過程中，不僅可以有效的增加飛蛾種群的多樣性，還能夠縮短變異后的飛蛾在鄰域附近周圍搜索的時(shí)間，幫助粒子能夠迅速跳出局部極值；再然后通過引入動(dòng)態(tài)自適應(yīng)權(quán)重因子，使飛蛾的更新方式更具有靈活性，從而使全局搜索和局部搜索得到平衡；最后將改進(jìn)后的飛蛾算法用于對140臺機(jī)組算例進(jìn)行求解電力系統(tǒng)負(fù)荷經(jīng)濟(jì)調(diào)度問題，從而驗(yàn)證DEMFO算法在求解復(fù)雜實(shí)際工程的問題中具有優(yōu)良的搜索性能和魯棒性。

1 電力系統(tǒng)經(jīng)濟(jì)調(diào)度數(shù)學(xué)模型

1.1 目標(biāo)函數(shù)

電力系統(tǒng)經(jīng)濟(jì)調(diào)度問題是在確定的時(shí)段內(nèi)（通常是1 h），滿足系統(tǒng)平衡以及機(jī)組運(yùn)行約束條件，通過決策投入各臺發(fā)電機(jī)組的輸出功率，從而使系統(tǒng)的發(fā)電總成本最小[6]。其目標(biāo)函數(shù)為：

其中，F(xiàn)i(Pi)為第i臺機(jī)組的花費(fèi)成本函數(shù)；αi、βi、γi為第i臺機(jī)組的成本系數(shù)（即分別為第i臺發(fā)電機(jī)組耗量特性的二次項(xiàng)的系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)）；Pi為第i臺機(jī)組的輸出功率；n′為投入運(yùn)行的機(jī)組總數(shù)。

在電力系統(tǒng)實(shí)際運(yùn)行中，會(huì)考慮到“閥點(diǎn)效應(yīng)”的ED目標(biāo)函數(shù)計(jì)算公式如下：

其中，ei、fi第i臺機(jī)組反映“閥點(diǎn)效應(yīng)”的系數(shù)；為第i臺機(jī)組出力下限。

1.2 約束條件

本文將綜合考慮包括爬坡速率、限制禁運(yùn)區(qū)、“閥點(diǎn)效應(yīng)”、網(wǎng)絡(luò)傳輸損耗等諸多電力系統(tǒng)運(yùn)行中實(shí)際存在的約束，建立一個(gè)更全面的負(fù)荷經(jīng)濟(jì)調(diào)度模型[8]。

（1）功率平衡約束

功率平衡約束是電力系統(tǒng)的發(fā)電總負(fù)荷與負(fù)荷需求和網(wǎng)絡(luò)傳輸損耗的總和相平衡。

式中，Pi是第i臺機(jī)組的輸出功率（MW）；Pload為電力系統(tǒng)總負(fù)荷；Ploss為電力系統(tǒng)的網(wǎng)耗損失。

電力系統(tǒng)的總網(wǎng)損是機(jī)組出力的函數(shù)，可以用系數(shù)矩陣B來近似表達(dá)，網(wǎng)損與各臺發(fā)電機(jī)有功功率的關(guān)系用公式描述為：

式中，Bij、B00、B0i為電力系統(tǒng)的網(wǎng)損系數(shù)；Pi、Pj分別為第i臺機(jī)組和第j臺機(jī)組的輸出功率。

由式（4）可知，由于總網(wǎng)損與各臺機(jī)組的出力有關(guān)，而電力系統(tǒng)的總發(fā)電量是各臺機(jī)組的出力之和，所以網(wǎng)損（網(wǎng)絡(luò)傳輸損耗）的存在讓功率平衡約束的處理變得復(fù)雜起來。

（2）發(fā)電容量約束

各臺發(fā)電機(jī)組的輸出功率須維持在電力系統(tǒng)穩(wěn)定運(yùn)行的范圍之內(nèi)，用數(shù)學(xué)表達(dá)式可描述為：

（3）禁運(yùn)區(qū)約束

在實(shí)際運(yùn)行中，各臺發(fā)電機(jī)組必須避免運(yùn)行在那些禁運(yùn)區(qū)。機(jī)組可行的工作區(qū)可表述如下：

（4）爬坡速率限制

當(dāng)出力增加時(shí)，為：

當(dāng)出力減少時(shí)，為：

1.3 約束條件的處理

針對傳統(tǒng)功率平衡約束處理方法對算法求解精度影響較大的缺點(diǎn)，提出了平衡機(jī)組法和罰函數(shù)法結(jié)合的新型約束處理方法，獲得更好的優(yōu)化性能，有效地提高了算法的收斂性和精度，提供更好的負(fù)荷經(jīng)濟(jì)調(diào)度方案，從而獲得更好的調(diào)度方案[15]。因此，電力系統(tǒng)的總費(fèi)用可以表示為：

其中，F(xiàn)cost是考慮懲罰成本的總花費(fèi)成本（總的適應(yīng)度）；Fi(Pi)是第i臺機(jī)組的發(fā)電成本函數(shù)；k為罰因子；Pi是第i臺機(jī)組的輸出功率（MW）；Pload為電力系統(tǒng)的總負(fù)荷；Ploss為電力系統(tǒng)的網(wǎng)損。

2 飛蛾優(yōu)化算法

2.1 基本飛蛾優(yōu)化算法

在MFO 算法中，飛蛾個(gè)體代表待優(yōu)化問題的候選解，火焰則是飛蛾到當(dāng)前所處迭代次數(shù)為止所找尋到的最好位置[9]。飛蛾的位置用矩陣M表示，飛蛾個(gè)體適應(yīng)度值存儲在OM矩陣中；火焰位置用矩陣F表示，其適應(yīng)度值存放在OF中。

其中，n為飛蛾的種群大小；d為優(yōu)化問題的維度。

飛蛾的作用是不斷更新位置移動(dòng)最終找到最優(yōu)位置，火焰的作用是保存當(dāng)前飛蛾找到的最優(yōu)位置[16]。

MFO算法的框架是近似于優(yōu)化問題中全局最佳的三元組，用公式描述為：

函數(shù)I是隨機(jī)生成的飛蛾種群規(guī)模和對應(yīng)的適應(yīng)度值，其系統(tǒng)模型如下：

P是使飛蛾在搜索空間里移動(dòng)的主函數(shù)，即飛蛾繞火焰飛行時(shí)的螺旋函數(shù)，它接受矩陣M，并返回更新后的M。

T是判別是否滿足終止條件的函數(shù)，如果滿足終止準(zhǔn)則，T函數(shù)則返回真；如果不滿足，T函數(shù)則返回假：

使用I、P和T函數(shù)，飛蛾火焰算法的總體框架定義如下：

函數(shù)I初始化之后，利用P函數(shù)使飛蛾在搜索空間內(nèi)的位置發(fā)生改變，輸出更新后的飛蛾矩陣；對更新后的飛蛾個(gè)體位置進(jìn)行終止條件判斷，繼續(xù)進(jìn)行迭代或者終止算法輸出結(jié)果；迭代運(yùn)行直到T函數(shù)返回真。

飛蛾位置的更新公式用對數(shù)螺旋函數(shù)表示為：

式中，Mi表示第i只飛蛾新的位置；Fj表示第j個(gè)火焰，S是螺旋形函數(shù)；Di表示第j個(gè)火焰和第i個(gè)飛蛾間的距離；b是用來確定對數(shù)螺旋函數(shù)形狀的常數(shù)系數(shù)；t是范圍在r到1 之間的隨機(jī)數(shù)，為了加速飛蛾在火的周圍進(jìn)行探索的尋優(yōu)速度；r在迭代過程中一般由?1線性地遞減到?2。

為了在算法的探索與開發(fā)能力之間達(dá)到平衡，用來更新位置的火焰的數(shù)目隨著迭代次數(shù)的增加而動(dòng)態(tài)的減少，公式為：

式中，l為當(dāng)前迭代次數(shù)；N為最大火焰數(shù)量；T為最大迭代次數(shù)。

2.2 改進(jìn)的飛蛾優(yōu)化算法

2.2.1 融合差分進(jìn)化算法的飛蛾優(yōu)化算法

針對MFO 算法存在后期收斂速度較慢的，收斂精度不高等缺點(diǎn)，考慮將差分算法融合到MFO算法中，使飛蛾種群個(gè)體之間具有變異、交叉、選擇機(jī)制[17]。該算法首先在每次迭代過程中隨機(jī)選擇一個(gè)飛蛾個(gè)體，再添加兩個(gè)飛蛾個(gè)體差值來完成變異，無論是在算法迭代前期還是后期，該策略都可以增強(qiáng)飛蛾個(gè)體跳出局部最優(yōu)的能力；然后交叉每一代種群的未變異個(gè)體和突變個(gè)體，從而增加飛蛾的種群多樣性；最后通過選擇機(jī)制，篩選出最優(yōu)的飛蛾個(gè)體賦給火焰[18]。迭代的初期的MFO算法，由于種群中飛蛾的個(gè)體差異較大，變異操作能夠避免陷入局部最優(yōu)從而得到全局最優(yōu)，當(dāng)算法進(jìn)入到了迭代的后期并趨于收斂時(shí)，飛蛾個(gè)體在種群中的差異會(huì)變小，結(jié)果也使得算法具有較強(qiáng)的全局尋優(yōu)能力和局部搜索能力[19-20]。

綜合上述，DEMFO 算法將DE 算法和MFO 算法的各自優(yōu)點(diǎn)結(jié)合在一起，使得DEMFO算法同時(shí)擁有更強(qiáng)的全局和局部搜索能力，從而克服了MFO 算法收斂速度慢、收斂精度低、易陷入局部最優(yōu)等缺點(diǎn)。

2.2.2 結(jié)合柯西變異的飛蛾位置更新策略

因?yàn)镸FO 算法在迭代后期收斂速度不快，且隨著迭代次數(shù)的遞增，飛蛾種群的多樣性會(huì)下降，算法極易陷入局部最優(yōu)，為了克服這點(diǎn)不足，在飛蛾更新的位置上引入柯西變異算子。一維的標(biāo)準(zhǔn)Cauchy分布的概率密度函數(shù)公式表示為：

柯西分布在原點(diǎn)處概率密度大，分布緊湊，而兩端分布較長且密度小，它有一條很長的尾巴，使個(gè)體擁有更大的概率跳到更好位置，逃離局部最優(yōu)，具備較高的兩翼概率特征。因而，它可以產(chǎn)生與原點(diǎn)相距較遠(yuǎn)的隨機(jī)數(shù)，比高斯變異產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)的分布范圍更廣，也就意味著采用柯西變異因子后的飛蛾在算法運(yùn)行過程中，飛蛾群體不斷進(jìn)化時(shí)，時(shí)刻對全局最優(yōu)解進(jìn)行變異，保持飛蛾的活動(dòng)性，可以有效地增加飛蛾種群的多樣性[14]。另外，Cauchy 分布的峰值比較低，這樣就能夠縮短變異后的飛蛾在鄰域附近周圍搜索的時(shí)間，幫助粒子能夠迅速跳出局部極值，使得算法得到更好的性能[15]。通過引入柯西變異因子，獲得新的飛蛾位置的更新公式表示如下：

式中，cauchy表示標(biāo)準(zhǔn)柯西分布隨機(jī)數(shù)，它的值為tan(π(rand-0.5))。

2.2.3 動(dòng)態(tài)自適應(yīng)權(quán)重因子

MFO 算法采用螺旋函數(shù)作為飛蛾的更新函數(shù)，但在解決大規(guī)模高維復(fù)雜優(yōu)化問題時(shí)，算法不能保證收斂速度，針對這一問題，采用動(dòng)態(tài)自適應(yīng)權(quán)重因子，飛蛾在靠近火焰尋找最優(yōu)解時(shí)，用動(dòng)態(tài)自適應(yīng)權(quán)重因子對飛蛾算法進(jìn)行改進(jìn)[14]，動(dòng)態(tài)自適應(yīng)權(quán)重因子w的表達(dá)式為：

其中，t代表當(dāng)前迭代次數(shù)；T代表最大迭代次數(shù)。

通過引入動(dòng)態(tài)自適應(yīng)權(quán)重因子使飛蛾的更新方式更具靈活性，改變了火焰更新系數(shù)恒為1的狀態(tài)；最后，再加上1使飛蛾速度總體提升；又因?yàn)檎液瘮?shù)的最大值為1 不致使飛蛾飛向火焰的飛行速度過于太快。這樣，基本飛蛾算法的速度更新系數(shù)就由恒定的值1變成了在[0，2]之間動(dòng)態(tài)變化的值，從而使全局搜索和局部搜索得到平衡[14]。將其應(yīng)用到更新飛蛾位置的對數(shù)螺旋線函數(shù)中表達(dá)式為：

通過動(dòng)態(tài)自適應(yīng)權(quán)重的優(yōu)化策略，使得算法朝著正確的搜索方向進(jìn)行，從而有效地提高了算法的收斂性和精度[21]。

2.2.4 DEMFO算法流程

步驟1 參數(shù)初始化：設(shè)置飛蛾種群大小n，優(yōu)化變量的維數(shù)d，最大迭代次數(shù)T以及最大火焰數(shù)量N。

步驟2 飛蛾位置初始化：飛蛾在上下邊界之間隨機(jī)初始化自己的位置。

步驟3 計(jì)算每只飛蛾的適應(yīng)度值，將飛蛾位置按適應(yīng)度值從小到大進(jìn)行排序，找出最優(yōu)飛蛾個(gè)體賦給火焰。

步驟4 利用式（21）～（23）更新每只飛蛾與火焰的位置。

步驟5 記錄當(dāng)前最優(yōu)火焰適應(yīng)度值。

步驟6 根據(jù)式（6）減少火焰數(shù)量，迭代次數(shù)l=l+1。

步驟7 判斷是否滿足終止條件，若不滿足，則返回步驟3 繼續(xù)進(jìn)行；否則，輸出整個(gè)迭代過程中最優(yōu)火焰位置以及對應(yīng)的適應(yīng)度值，算法結(jié)束。

算法流程如圖1所示。

圖1 DEMFO算法流程圖

3 仿真實(shí)驗(yàn)

為了體現(xiàn)改進(jìn)算法的效果，本文選取8個(gè)測試函數(shù)進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，表1 給出了標(biāo)準(zhǔn)測試函數(shù)的表達(dá)式、維度、搜索范圍和最優(yōu)值，其中F1～F5為單峰函數(shù)；F6～F8為多峰函數(shù)[9]。因?yàn)閱畏搴瘮?shù)只有一個(gè)全局最優(yōu)值，因此它們適宜探測算法的開采能力；多峰函數(shù)與單峰函數(shù)不同，有大量的局部最優(yōu)值，它們對測試檢查和避免算法局部最優(yōu)是十分重要的。實(shí)驗(yàn)中用到的8 個(gè)測試函數(shù)如表1所示。

表1 測試函數(shù)

為了說明DEMFO 算法的有效性，將DEMFO 與NMFO算法[22]、MFO算法[9]、PSO算法和DE算法分別進(jìn)行對比分析。為了減少隨機(jī)因素對算法求解結(jié)果的影響，把每個(gè)函數(shù)分別獨(dú)立運(yùn)行50 次，分別計(jì)算8 個(gè)測試函數(shù)獨(dú)立運(yùn)行50 次的最優(yōu)解（best）、平均值（avg）和標(biāo)準(zhǔn)差（std），其中最優(yōu)值反映算法尋優(yōu)結(jié)果的質(zhì)量，平均值反映算法收斂速度，標(biāo)準(zhǔn)差反映算法穩(wěn)定性和魯棒性，并把求解精度最高的解進(jìn)行加粗，對比結(jié)果如表2所示。

表2 函數(shù)尋優(yōu)精度的對比結(jié)果

從表2 中可以看出，不管是單峰還是多峰函數(shù)，DEMFO算法都比MFO算法具有更好的搜索能力。

對于單峰函數(shù)，函數(shù)F1～F5雖然經(jīng)過1 000次迭代沒有收斂到最到理論最優(yōu)值，但是與NMFO 算法[22]、MFO 算法[9]、PSO 算法和DE 算法相比，DEMFO 算法搜索的精度依然很高，具有很大的優(yōu)勢，顯示了優(yōu)良的求解性能；相較其他4種算法，DEMFO算法所求解的平均值最小，說明具有更高的收斂精度；且DEMFO 算法求解的標(biāo)準(zhǔn)差更小，說明DEMFO算法的魯棒性要優(yōu)于其他4 種算法，算法的整體性能更優(yōu)。對于函數(shù)F1，DEMFO 算法在最優(yōu)解的精度上提高了120 個(gè)數(shù)量級，函數(shù)F2提高了53個(gè)數(shù)量級，函數(shù)F3提高了114個(gè)數(shù)量級，函數(shù)F4提高了49個(gè)數(shù)量級，對于函數(shù)F5，5種算法進(jìn)行求解的性能均較差，雖然DEMFO 算法相比其他4種算法，其求解的精度略有提高，但相比其他函數(shù)，對本函數(shù)的優(yōu)化效果不明顯。

對于多峰函數(shù)，函數(shù)F6、F8直接收斂到了最小值，其他4 種算法容易都陷入局部最優(yōu)值，收斂速度慢，尤其是PSO、DE 算法在函數(shù)尋優(yōu)精度方面效果表現(xiàn)不佳，而DEMFO 算法可以跳出局部最優(yōu)陷阱，直接收斂到了最優(yōu)解。在求解高維問題時(shí)，PSO 算法和DE算法都容易陷入局部極值，但DEMFO算法依舊能收斂到全局最優(yōu)；函數(shù)F6、F8所求解的均值和方差都為0，表明改進(jìn)后的算法具有更高的收斂精度和更好的搜索能力，同時(shí)穩(wěn)定性更強(qiáng)。對于函數(shù)F7來說，雖未尋到理論值，但從平均值和標(biāo)準(zhǔn)差知DEMFO算法具有更高的尋優(yōu)精度且尋優(yōu)結(jié)果穩(wěn)定?？傮w來看，改進(jìn)后的飛蛾優(yōu)化算法在精度、收斂速度和穩(wěn)定度上都有一定的提高。

為了直觀比較4 種算法的性能，圖2～圖9 給出5 種算法在8個(gè)測試函數(shù)的收斂曲線。

圖2 函數(shù)F1的收斂曲線

圖3 函數(shù)F2的收斂曲線

圖4 函數(shù)F3的收斂曲線

觀察圖2～圖5的收斂曲線可以看出，PSO、DE算法性能一般，MFO、NMFO算法性能良好，DEMFO算法最優(yōu)。在圖2～圖5中，當(dāng)求解函數(shù)F1～F4時(shí)，PSO算法的收斂曲線幾乎與DE 算法相重合，NMFO 算法和MFO算法的尋優(yōu)精度明顯不如DEMFO 算法，而DEMFO 的收斂曲線光滑且向圖的右下角迅速下降，與其他4種算法對比分析，DEMFO 算法具有更高的收斂精度和更好的搜索能力，顯示了很強(qiáng)的魯棒性。觀察圖6可發(fā)現(xiàn)，5種算法在收斂過程中出現(xiàn)了不同程度的階梯狀，在迭代前期出現(xiàn)了劇烈震蕩，在迭代后期其他算法出現(xiàn)停滯的情況下，和其他算法相比，DEMFO 算法的收斂速度、收斂精度以及穩(wěn)定度都有明顯提升。在求解函數(shù)F7～F9時(shí)，DEMFO 的收斂曲線向圖的左下角迅速下降，尤其是圖7、圖9 的收斂曲線幾乎接近垂直下降，收斂非常快，在很短時(shí)間之內(nèi)搜索到了全局最優(yōu)解，說明DEMFO 算法能以較快的收斂速度獲得高質(zhì)量的優(yōu)化解，從有效避免了算法進(jìn)入局部收斂和算法早熟等問題，搜索性能更為穩(wěn)定，遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于其余算法。再觀察圖8 可發(fā)現(xiàn)，MFO、PSO、DE 算法的收斂曲線呈現(xiàn)重合趨勢，在迭代前期，DEMFO 與NMFO 算法的收斂曲線向圖的左下角迅速下降，但是在迭代后期DEMFO算法收斂速度變得緩慢，最后收斂曲線一直保持水平不再收斂，未獲得全局最優(yōu)解。

圖5 函數(shù)F4的收斂曲線

圖6 函數(shù)F5的收斂曲線

圖7 函數(shù)F6的收斂曲線

圖8 函數(shù)F7的收斂曲線

圖9 函數(shù)F8的收斂曲線

綜上可知，DEMFO算法在高維復(fù)雜環(huán)境下單峰、多峰函數(shù)的尋優(yōu)過程中具有較好的收斂速度與收斂精度，而且穩(wěn)定性也很高。

4 基于DEMFO算法的經(jīng)濟(jì)調(diào)度求解

將DEMFO 算法應(yīng)用于求解ED 問題時(shí)，首先需要將各臺機(jī)組的出力大小將作為優(yōu)化問題的優(yōu)化變量，然后需要對各種約束進(jìn)行處理，以確保利用算法所求的解是可行解。下面將論述DEMFO 算法對各約束條件的處理。

4.1 優(yōu)化變量

ED 問題的優(yōu)化變量是各臺機(jī)組的輸出功率，每個(gè)飛蛾代表著電力系統(tǒng)負(fù)荷經(jīng)濟(jì)調(diào)度問題的一個(gè)候選解[8]，而各臺機(jī)組的輸出功率是由每個(gè)飛蛾的位置表示，維數(shù)等于機(jī)組的總數(shù)。

式中，P為發(fā)電機(jī)組輸出功率矩陣，矩陣P的行向量代表具體的每個(gè)飛蛾位置；pn′代表第i臺機(jī)組的有功出力；n′是機(jī)組的總數(shù)；n是飛蛾的數(shù)目。

4.2 機(jī)組運(yùn)行約束處理方法

（1）出力容量約束

受到機(jī)組容量和爬坡速率的限制，機(jī)組的出力容量存在上下界限。

出力下界：

出力上界：

飛蛾在更新位置的過程中，因?yàn)楦乱?guī)則本身與約束無關(guān)，導(dǎo)致飛蛾可能會(huì)越過由出力容量約束形成的可行邊界，經(jīng)過修正后的機(jī)組出力數(shù)學(xué)表達(dá)式如下：

式中，Pi是當(dāng)前的機(jī)組出力；lbi和ubi分別代表第i臺機(jī)組的有功出力的上下界限；rand 是0 到1 之間由均勻分布產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)。

（2）禁運(yùn)區(qū)約束

飛蛾在更新位置的過程中，需要對禁運(yùn)區(qū)處理。當(dāng)存在某臺機(jī)組出力落在禁運(yùn)區(qū)中，則在上下邊界之間重新隨機(jī)初始化該臺機(jī)組出力，直到機(jī)組出力不再落到禁運(yùn)區(qū)中為止。

4.3 平衡機(jī)組法

功率平衡約束是一個(gè)等式約束，在解決涉及網(wǎng)絡(luò)傳輸損耗的負(fù)荷經(jīng)濟(jì)調(diào)度問題時(shí)，使用一種平衡機(jī)組法和罰函數(shù)法結(jié)合的混合約束處理方法，通過多次往復(fù)迭代來讓不平衡差值降至一個(gè)可以接受的范圍以下（如0.01 MW），可以很好地保證優(yōu)化解的可行性，并加快收斂速度，從而獲得更好的調(diào)度方案[8]。

使用平衡機(jī)組法具體流程如下：

步驟1 根據(jù)系統(tǒng)機(jī)組相關(guān)參數(shù)設(shè)置最大迭代次數(shù)T以及可接受的不平衡功率值P0，循環(huán)計(jì)數(shù)count=1。

步驟2totaln為可能存在某個(gè)機(jī)組為平衡機(jī)組的機(jī)組數(shù)目，初始值等于機(jī)組總數(shù)n′，并生成一個(gè)由有序序列{1,2,…,n′}產(chǎn)生的隨機(jī)序列pool。

步驟3index代表用作平衡機(jī)組的機(jī)組序號。

步驟4 計(jì)算網(wǎng)絡(luò)傳輸損B，再近似確定平衡機(jī)組的出力：

步驟5（1）如果平衡機(jī)組的出力在機(jī)組出力上下界限之內(nèi)，則看是否落在禁運(yùn)區(qū)中，若是落在禁運(yùn)區(qū)中，則平衡機(jī)組的出力設(shè)定為最接近的禁運(yùn)區(qū)邊界值；如若沒有落在禁運(yùn)區(qū)中，則直接將temp的值設(shè)定為平衡機(jī)組的輸出功率值。

（2）假如平衡機(jī)組的出力超過機(jī)組出力邊界，則重新開始尋找平衡機(jī)組。totaln=totaln-1，若是totaln>0，則返回步驟3重新進(jìn)入內(nèi)部循環(huán)；否則說明本次循環(huán)已遍歷完所有機(jī)組，未找到平衡機(jī)組。

步驟6 重新計(jì)算網(wǎng)絡(luò)傳輸損耗Ploss，再計(jì)算不平衡功率的大小delta；

假設(shè)count≤T且delta不滿足精度的要求，則計(jì)數(shù)值count加1，并返回步驟2 重新進(jìn)入外部循環(huán)迭代；否則約束處理結(jié)束。

4.4 DEMFO算法求解ED模型流程

（1）初始化飛蛾位置：在各機(jī)組可行的出力范圍內(nèi)根據(jù)式（27）隨機(jī)產(chǎn)生初始飛蛾個(gè)體。

（2）機(jī)組運(yùn)行約束處理：如若某個(gè)飛蛾存在機(jī)組出力落在禁運(yùn)區(qū)中的情形，則重新隨機(jī)初始化該飛蛾落在禁運(yùn)區(qū)的機(jī)組的出力，直到滿足禁運(yùn)區(qū)約束為止。如果某個(gè)飛蛾有部分機(jī)組出力超過上下界限，按照公式（27）重新給機(jī)組出力賦值。

（3）功率平衡約束處理：按照平衡機(jī)組法的具體步驟處理功率平衡約束。

（4）適應(yīng)度評估：使用公式（1）或（2）評價(jià)每個(gè)粒子的適應(yīng)度，若是無法找到能使功率相平衡的平衡機(jī)組，則使用公式（9）評價(jià)每個(gè)飛蛾的適應(yīng)度。

（5）更新火焰的位置和適應(yīng)度：記錄和選擇飛蛾在迭代過程中的最優(yōu)位置，并保存為火焰；每代火焰更新后，會(huì)根據(jù)其適應(yīng)度值，按照從大到小的順序排列，所以第一只飛蛾總是會(huì)根據(jù)適應(yīng)度最好的值更新。

（6）飛蛾位置更新：飛蛾利用公式（21）～（23）更新位置，火焰的數(shù)目按照公式（19）來參照動(dòng)態(tài)的減少。

（7）終止條件判斷：如若達(dá)到最大迭代次數(shù)，則迭代停止，輸出經(jīng)濟(jì)調(diào)度問題的最優(yōu)調(diào)度方案（最好的火焰位置）及最優(yōu)發(fā)電成本（最好的火焰的適應(yīng)度）后算法結(jié)束；否則，則跳到步驟（2）重復(fù)迭代過程，直至滿足終止條件。

4.5 實(shí)例應(yīng)用

為了驗(yàn)證所提方法的可行性和有效性，采用IEEE 140機(jī)組系統(tǒng)，其中140機(jī)組系統(tǒng)的總需求是49 342 MW，節(jié)點(diǎn)特性參考文獻(xiàn)[23-24]。在一個(gè)更全面的、符合實(shí)際運(yùn)行的負(fù)荷經(jīng)濟(jì)調(diào)度模型中，本文將考慮“閥點(diǎn)效應(yīng)”、網(wǎng)絡(luò)傳輸損耗的計(jì)算、爬坡速率限制和禁運(yùn)區(qū)約束等多種約束條件，從而使得各臺機(jī)組合理地分配負(fù)荷達(dá)到最小化發(fā)電成本的目的。

DEMFO算法的參數(shù)根據(jù)參考文獻(xiàn)[8]設(shè)定如下：飛蛾種群數(shù)為40，最大迭代次數(shù)為2 000；t是范圍在r～1之間的隨機(jī)數(shù)；r在迭代過程中，由?1 線性地減少到?2；罰因子在前一半迭代次數(shù)時(shí)取50，后一半迭代次數(shù)時(shí)取500。約束處理方法的最大循環(huán)迭代次數(shù)取5，不平衡功率偏差允許值取0.01 MW。經(jīng)過50次的反復(fù)測試實(shí)驗(yàn)后，本算例的各機(jī)組負(fù)荷分配優(yōu)化結(jié)果如表3所示。

表3 140個(gè)機(jī)組負(fù)荷分配優(yōu)化結(jié)果

系統(tǒng)發(fā)電的成本費(fèi)用與基本MFO 算法比較如表4所示。

表4 算法尋優(yōu)結(jié)果對比表

從表4 的結(jié)果可知，用DEMFO 算法尋優(yōu)得出的總成本為1 719 016.540 3 元/h，用MFO算法求解得到的結(jié)果則為1 752 461.395 1 元/h，DEMFO 算法所得最優(yōu)解的總出力、總損耗及總成本等指標(biāo)均優(yōu)于MFO 算法所求解的結(jié)果，表明本文提出的DEMFO 算法在解決ED問題時(shí)有更好的經(jīng)濟(jì)價(jià)值。

從圖10 看出，在迭代初期，無論DEMFO 算法還是MFO 算法在尋優(yōu)精度上差別較??；在迭代后期用DEMO算法在求解精度上顯著優(yōu)于MFO算法。在迭代400 次以后，MFO 算法的發(fā)電成本保持不再減小，而DEMFO算法的發(fā)電成本隨著迭代次數(shù)的增加一直在降低。由此說明，基于DEMFO算法實(shí)現(xiàn)的經(jīng)濟(jì)調(diào)度優(yōu)化方法有效地提高了搜索精度，降低了總成本。

圖10 DEMFO與MFO算法求解對比圖

5 結(jié)束語

本文研究了一種基于差分進(jìn)化策略的改進(jìn)飛蛾優(yōu)化算法，該算法首先將差分算法融合到MFO算法中，使飛蛾種群個(gè)體之間具有變異、交叉、選擇機(jī)制。再通過使用柯西變異和動(dòng)態(tài)自適應(yīng)權(quán)重的方法，對于保持飛蛾的多樣性有了很好的修正，有效避免了局部最優(yōu)的產(chǎn)生，從而有效地提高了算法的收斂性和精度，還對該算法使用了8 個(gè)函數(shù)進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，從實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看出改進(jìn)后的飛蛾優(yōu)化算法在收斂速度和收斂精度上有了顯著提高。最后將其成功應(yīng)用于求解該ED 模型，相比基本MFO 算法，本文提出的DEMFO 算法能夠獲得更高質(zhì)量的優(yōu)化解，提供更經(jīng)濟(jì)的、合理的負(fù)荷經(jīng)濟(jì)調(diào)度方案，從而有效地降低發(fā)電成本，產(chǎn)生巨大的經(jīng)濟(jì)效益。

然而本文研究工作還僅僅是開始，電力系統(tǒng)中還有許多優(yōu)化問題，除了經(jīng)濟(jì)、環(huán)境因素外，電力系統(tǒng)問題從成本、環(huán)境的雙目標(biāo)優(yōu)化發(fā)展為包含功率損失、風(fēng)險(xiǎn)以及穩(wěn)定性等提高供電質(zhì)量的多目標(biāo)優(yōu)化問題，在不斷加入符合現(xiàn)實(shí)條件的約束同時(shí)，引入了新能源，這些使得電力系統(tǒng)調(diào)度問題變得愈加復(fù)雜，使得電網(wǎng)運(yùn)行時(shí)的優(yōu)化題也亟待解決[25]。因此，未來可以進(jìn)一步探究飛蛾撲火算法在解決更復(fù)雜的負(fù)荷經(jīng)濟(jì)問題時(shí)的尋優(yōu)能力，獲得更科學(xué)、合理的調(diào)度方案。