【摘? ?要】“大道理”的提煉既應(yīng)重視視角的廣度，也應(yīng)關(guān)注分析的深度，由此才能對全部內(nèi)容的教學(xué)起到“以大馭小”的作用。具體地說，小學(xué)“數(shù)的認(rèn)識與運算”與幾何內(nèi)容的教學(xué)不僅應(yīng)當(dāng)分別突出“比較”與“度量”這兩個關(guān)鍵詞，也應(yīng)指明進一步努力的方向，即對于“數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)”的整體性認(rèn)識，以及對于“度量幾何”與“直觀幾何”的必要超越。

【關(guān)鍵詞】“大道理”;廣度與深度;高觀點指導(dǎo)下的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)

筆者在《研究背景與基本立場》[1]一文中曾提到過這樣一個觀點：數(shù)學(xué)教學(xué)“應(yīng)當(dāng)突出‘大道理，真正做到‘以大馭小”。但究竟什么是這里所說的“大道理”的具體含義與主要作用？我們又應(yīng)如何去理解文中所提及的關(guān)于小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的幾個“大道理”？以下就對此做出具體分析。

一、關(guān)于“大道理”的道理

“大道理”是近年來教育領(lǐng)域中經(jīng)常用到的一個詞語，國際上圍繞“big ideas”所開展的研究則可被看成為此提供了重要的背景，盡管現(xiàn)實中人們在這一方面所使用的字眼并不完全相同，包括“大思想”“大觀念”“大概念”等。

筆者認(rèn)為在這一概念的理解上仍有不少問題需要深入思考和剖析。如對于“大道理”的過泛解讀，即將“核心概念”“核心問題”等也包括在內(nèi)，或是將“big ideas”譯為“大概念”，從而犯了將“概念”與“命題”混淆在一起的基本邏輯錯誤。

更重要的是，什么又應(yīng)被看成“大道理”的主要含義？就國內(nèi)而言，這是一個常見的做法，即將此與“單元教學(xué)”聯(lián)系在一起;但如果局限于這一認(rèn)識，對于“大道理”的提倡就沒有任何新意，特別是對此很難與強調(diào)“整體性觀念”做出明確的區(qū)分。筆者的看法是在此應(yīng)當(dāng)更加突出“大”這樣一個關(guān)鍵字，這也就是指，我們所考察的對象未必是“單元教學(xué)”，也可以是更大的范圍，如小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的全部內(nèi)容，或是分別聚焦于小學(xué)“數(shù)的認(rèn)識與運算”和幾何內(nèi)容的教學(xué)。另外還應(yīng)高度重視結(jié)論的凝聚性，也即應(yīng)當(dāng)將所說的“大道理”歸結(jié)為幾個能夠真正起到“以大馭小”作用的普遍性結(jié)論?？傊汀按蟮览怼钡奶釤挾?，既應(yīng)重視視角的廣度，也應(yīng)關(guān)注分析的深度，由此才能引出真正的“大道理”。

例如，就小學(xué)“數(shù)的認(rèn)識與運算”的教學(xué)而言，筆者曾有過這樣一個總結(jié)：“應(yīng)當(dāng)很好地突出‘比較這樣一個核心概念，并幫助學(xué)生實現(xiàn)這一方面認(rèn)識的不斷深化，包括對于‘大小‘倍數(shù)‘分?jǐn)?shù)‘比等概念的理解，并逐步學(xué)會從上述角度從事數(shù)量關(guān)系的分析?！钡@顯然只是對于相關(guān)教學(xué)目標(biāo)的一個概述，而未能真正起到“以大馭小”的作用，從而就不能被看成是真正的“大道理”。

以下再聯(lián)系張奠宙先生等人的《小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的大道理——核心概念的理解與呈現(xiàn)》一書對此做出進一步的分析。正如其名稱所表明的，這也體現(xiàn)了關(guān)于“大道理”的一種理解，盡管其主要是就小學(xué)數(shù)學(xué)教材進行分析的。

按照張奠宙先生所說的，“大道理”主要是指“從數(shù)學(xué)的視角進行分析思考”的結(jié)果，特別是教材應(yīng)當(dāng)“正確反映數(shù)學(xué)的本質(zhì)”，而不應(yīng)在一些重要概念的理解與呈現(xiàn)上出現(xiàn)明顯的錯誤。

相關(guān)著作共涉及28個論題。相關(guān)分析應(yīng)該說都十分重要。但在筆者看來，這些還不能被看成是真正的“大道理”。因為，即使我們不去考慮“28個‘大道理是否太多了一點”，其也應(yīng)當(dāng)滿足這樣一個條件，即超出各個具體內(nèi)容采用了更加廣泛的視角，并應(yīng)達到更大的分析深度，從而才可能具有普遍性的指導(dǎo)意義。

例如，在筆者看來，這或許才能被看成是一個真正的“大道理”：“數(shù)學(xué)教學(xué)中有不少概念不宜過分強調(diào)，而應(yīng)當(dāng)適當(dāng)?shù)亍！迸c此相對照，以下一些論述則只是這一思想的具體運用或相關(guān)實例。

“乘數(shù)、被乘數(shù)概念的過分強調(diào)，對日后的學(xué)習(xí)并無益處，反而與乘法交換律相沖突?！薄按髷?shù)的讀法，只要把數(shù)字和它的數(shù)位讀出來，別人能明白、不會誤讀就可以了，不要過多地拘泥于‘零的讀法問題?！薄拔乙恢辈毁澇捎脙蓷l射線來定義角……我們可以先用兩條線段定義一個角，然后發(fā)現(xiàn)線段長一點或短一點仍舊是這個角，于是提出一個角的相等性質(zhì)……這樣一來，就不必麻煩射線來幫忙了?！盵2]17，11，139

應(yīng)當(dāng)再次強調(diào)的是，上述分析不是指相關(guān)論述不重要，而是指它們不能被看成真正的“大道理”，因為，它們未能達到這樣兩條標(biāo)準(zhǔn)：第一，具有更大的普遍性;第二，達到了更大的分析深度。

當(dāng)然，對于這方面的具體工作，我們又不應(yīng)停留于“數(shù)學(xué)中有些概念應(yīng)當(dāng)適當(dāng)?shù)亍边@樣一個論述，而應(yīng)進一步指明相關(guān)教學(xué)所應(yīng)注意的問題，包括幫助廣大教師更好地認(rèn)識到做好這方面工作的重要性。因為，這正是當(dāng)前十分普遍的一個現(xiàn)象，即不少教師要求學(xué)生無一遺漏地去背誦所遇到的各個概念，乃至通過專門的習(xí)題設(shè)計，特別是考試，強迫學(xué)生牢牢地加以記憶。但是，這種面面俱到、死記硬背的做法，最終一定不可能取得很好的結(jié)果。

以下就是這方面工作應(yīng)當(dāng)特別重視的一些問題。

1.對數(shù)學(xué)概念的重要性做出辨識。人們往往只注意了哪些概念特別重要，乃至將其看成所謂的“核心概念”，卻沒有認(rèn)真地去思考哪些概念不那么重要;當(dāng)然，“胡子眉毛一把抓”，未能切實做好“分清主次”，這又是更加錯誤的一種做法。進而，相對于簡單的列舉而言，我們又應(yīng)更加重視自身在這一方面能力的培養(yǎng)，因為，“重要”與“不重要”事實上只是一個相對的概念。例如，即使就一堂課的教學(xué)而言，也同樣存在“分清主次”的問題。另外，這顯然也是我們應(yīng)當(dāng)特別重視“整體性觀念”指導(dǎo)的主要原因。

以下就是這方面的一個可能標(biāo)準(zhǔn)：相關(guān)概念的掌握對于學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是否有重要影響？例如，我們或許可從這一角度去理解張奠宙先生的以下論述：“在教學(xué)上，背誦‘含有未知數(shù)的等式叫方程的定義沒有必要。事實上，沒有人會因為沒有記住這一定義就不會做數(shù)學(xué)題?！盵2]41類似地，突出強調(diào)“角的邊是射線”也無必要，因為，這里真正重要的是這樣一個事實——“角的大小與邊的長短無關(guān)”。

2.要“淡化”，不應(yīng)丟棄。這事實上也可被看成美國新一輪課程改革給予我們的一個重要啟示或教訓(xùn)：實踐中人們常?！皩ⅰ墩n程標(biāo)準(zhǔn)》中所列舉的應(yīng)當(dāng)?shù)恼擃}（topics to receive decreased attention）不恰當(dāng)?shù)亟忉尦蓱?yīng)把這些論題從學(xué)校數(shù)學(xué)課程中完全舍去”，這當(dāng)然是一個嚴(yán)重的錯誤。[3]

在筆者看來，我們可從同一角度去理解張奠宙先生多次強調(diào)的這樣一個思想：小學(xué)生對于數(shù)學(xué)概念的理解“可以混，但不能錯”。例如，盡管不應(yīng)過分強調(diào)乘數(shù)與被乘數(shù)的區(qū)分，但如果將“乘法交換律”歸結(jié)為表述方式的不同，即只是在學(xué)習(xí)乘法的過程中簡單地去提及“2×7=14”也可寫成“7×2=14”，就不能不說是一個嚴(yán)重的錯誤。因為，“乘法交換律只是說交換次序相乘之后其結(jié)果相同，沒有說這兩個過程相同”。[2]15

進而，這或許就可被看成對于所說的“混”的一個具體解釋：學(xué)生對于一些數(shù)學(xué)概念的理解在學(xué)習(xí)時可能不那么清楚，但在大多數(shù)情況下所說的情況又會隨著學(xué)習(xí)的深入自然而然地得到解決。

3.淡化形式，注重實質(zhì)。相對于上述分析，我國已故著名數(shù)學(xué)家陳重穆先生的以下主張應(yīng)當(dāng)說具有更大的重要性：“淡化形式，注重實質(zhì)?！币驗?，這不僅清楚地表明了教學(xué)中“不應(yīng)做什么”，也包括“應(yīng)當(dāng)做什么”，如教學(xué)中我們“不要把概念放在最前”“不要把概念看成百分之百的不可變動、神圣不可侵犯”“不要單純在概念本身上下功夫”，而應(yīng)把重點放在對實質(zhì)的領(lǐng)悟上，等等。[4]進而，無論相關(guān)的概念是否重要，這一思想應(yīng)當(dāng)說都是同樣適用的，包括更高層次的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，從而就是一個真正的“大道理”。

例如，就“方程”概念的教學(xué)而言，相對于要求學(xué)生簡單地去背誦“含有未知數(shù)的等式叫方程”這樣一個定義，我們在教學(xué)中就應(yīng)更加突出這樣兩點：第一，引入“方程”是為了尋求未知數(shù)，這是方程的“核心價值”;第二，為了實現(xiàn)所說的目標(biāo)，我們應(yīng)注意分析未知數(shù)與已知數(shù)之間的等量關(guān)系，也即應(yīng)當(dāng)用“等式”將兩者聯(lián)系起來。另外，正如前面所提及的，就“角”的認(rèn)識而言，我們也不應(yīng)過多地糾纏于“角的邊究竟是射線還是線段”，因為，“一條直線相對于另一條直線的傾斜度，才是角的本質(zhì)”。再則，這也可被看成這方面的又一典型例子：“假分?jǐn)?shù)假在哪里？”[2] 41，140-141

最后，如果說先前的論述已清楚地表明數(shù)學(xué)概念的教學(xué)應(yīng)當(dāng)突出“辨”這樣一個關(guān)鍵字，即很好地弄清什么是真正重要的，什么是不那么重要的，那么，對此我們還應(yīng)賦予其另一重要的含義，即應(yīng)當(dāng)弄清概念的本質(zhì)，什么則是不那么重要的“形式”。

另外，正如筆者在《研究背景與基本立場》一文中所指出的，除去“辨”以外，“帶”也是概念教學(xué)十分重要的一個關(guān)鍵詞，即我們應(yīng)當(dāng)用重要（核心）概念的教學(xué)帶動不那么重要（非核心）概念的教學(xué)。例如，在筆者看來，我們就可從后一角度更好地去理解俞正強老師的這樣一個經(jīng)驗——“以發(fā)展代替重復(fù)”。希望廣大一線教師也能通過自己的教學(xué)實踐與認(rèn)真的總結(jié)和研究，在這方面做出自己的貢獻。

二、小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的“大道理”（1）

以下針對小學(xué)“數(shù)的認(rèn)識與運算”的教學(xué)指明相應(yīng)的“大道理”，我們?nèi)匀灰浴缎W(xué)數(shù)學(xué)教材中的大道理——核心概念的理解與呈現(xiàn)》一書作為分析的直接背景。

具體地說，這一著作中有很多內(nèi)容都可被歸屬于“數(shù)的認(rèn)識與運算”這樣一個范圍，如“用溫度計引入負(fù)數(shù)，并不理想”“分?jǐn)?shù)是一個數(shù)”“‘文字代表數(shù)的教學(xué)”“忽視‘包含除后患無窮”“‘比和‘除不可混為一談”等。這些論述顯然都很重要，但是，按照先前關(guān)于“大道理”的解讀，在此仍然有這樣一個問題，即我們?nèi)绾文軌虺鲞@些內(nèi)容，并從更高的層面揭示出具有更大普遍性的思想或原則，也即關(guān)于“數(shù)的認(rèn)識與運算”教學(xué)真正的“大道理”？

這一工作有重要的現(xiàn)實意義：眾所周知，中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)之間存在一定的差異或間隔，這使不少小學(xué)畢業(yè)生未能很快適應(yīng)中學(xué)這樣一個新的環(huán)境，從而在學(xué)習(xí)上出現(xiàn)了一定的退步。但是，究竟什么是所說的差異或間隔的主要含義，我們又應(yīng)如何去解決其對學(xué)生造成的消極影響？筆者提出這樣一個想法：小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中有不少優(yōu)點值得中學(xué)教師認(rèn)真學(xué)習(xí)和借鑒。需要強調(diào)的是：小學(xué)教師也應(yīng)為消除所說的差距做出積極努力，即應(yīng)當(dāng)通過自己的教學(xué)為學(xué)生的進一步學(xué)習(xí)打下良好的基礎(chǔ)。

但這是否指小學(xué)應(yīng)當(dāng)盡早引入中學(xué)數(shù)學(xué)的一些內(nèi)容，如負(fù)數(shù)、方程、字母代表數(shù)等？正如張奠宙先生指出的，與簡單的“提前”相比，我們應(yīng)當(dāng)更加重視“把更高的想法、思維滲透進去”。[2]168這也就直接關(guān)系到“大道理”的提煉。

以下仍以“方程”的學(xué)習(xí)為例來進行分析。方程方法與小學(xué)生熟悉的算術(shù)方法相比在思維層面上究竟有什么不同？以下就是張先生的相關(guān)論述：

“用方程或算術(shù)方法解題的思維路線往往是相反的。打一個比方：如果將要求的答案比喻為河對岸的一塊寶石，那么算術(shù)方法好像摸著石頭過河，從我們知道的岸邊開始，一步一步摸索著接近對岸的未知目標(biāo);而代數(shù)方法卻不同，好像是將一根帶鉤的繩子拋過河，拴住對岸的未知數(shù)（建立一種關(guān)系），然后利用這根繩子（關(guān)系）慢慢地拉過來，最終獲得這塊寶石。兩者的思維方向相反，但是結(jié)果相同。”[2]43

但是，與單純強調(diào)思維的方向相比，筆者以為，以下的區(qū)別更加重要：算術(shù)方法主要體現(xiàn)的是“程序（操作）性觀念”，也即集中于如何能夠按照一定步驟去求得未知數(shù);而方程方法則主要體現(xiàn)了“結(jié)構(gòu)（關(guān)系）性觀念”，也即關(guān)注未知數(shù)與已知數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系（特別是等量關(guān)系），包括如何通過用文字代表未知數(shù)將所說的關(guān)系清楚地表示出來，然后通過純形式的操作去求得未知數(shù)。

由此可見，文字的引入，即用字母表示數(shù)也是中小學(xué)數(shù)學(xué)的又一重要區(qū)別。但在筆者看來，如果我們因此就認(rèn)定應(yīng)當(dāng)“用方程思想統(tǒng)領(lǐng)文字表示數(shù)”并不恰當(dāng)，因為，代數(shù)與算術(shù)的主要區(qū)別并不在于有沒有用到字母，而是僅僅將此看成未知數(shù)的代表且體現(xiàn)了更高層次的抽象，以及研究領(lǐng)域的極大擴展：按照代數(shù)的觀念，由字母與數(shù)組成的“式”也應(yīng)被看成真正的數(shù)學(xué)對象，也即我們可以按照一定的法則對此進行組合和操作（運算）。

總之，無論單純強調(diào)思維方向的不同，或是將“代數(shù)思想”歸結(jié)為“方程思想”，應(yīng)當(dāng)說都是不恰當(dāng)?shù)?。與此相對照，以下的論述則應(yīng)引起我們更大的重視：“小學(xué)里學(xué)的數(shù)學(xué)大都是從生活到數(shù)學(xué)的，即實踐型的;而學(xué)生今后學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)多半是從數(shù)學(xué)到生活的，即智力型的。”[2] 78對此我們還應(yīng)做出一定的改進：如果說小學(xué)數(shù)學(xué)特別重視與實際生活的聯(lián)系，那么，中學(xué)數(shù)學(xué)就表現(xiàn)出了與實際生活的明確分離，也即更大的相對獨立性。也正因為此，為了幫助學(xué)生更好地適應(yīng)中學(xué)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，我們就應(yīng)在后一方面為學(xué)生做好必要的準(zhǔn)備，如隨著學(xué)生年齡的增長，我們應(yīng)更加重視按照“思維的合理發(fā)展”對于數(shù)學(xué)的發(fā)展做出說明，包括清楚地指明數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)事實上即是一個“重新建構(gòu)”的過程，等等。

當(dāng)然，為了提煉出相應(yīng)的“大道理”，我們又應(yīng)注意必要的聚焦。以下就是筆者在這方面的具體認(rèn)識：小學(xué)關(guān)于“數(shù)的認(rèn)識與運算”的教學(xué)不僅應(yīng)當(dāng)突出“比較”這一核心概念，從而幫助學(xué)生很好地掌握“大小”“倍數(shù)”“分?jǐn)?shù)”“比”等概念，也應(yīng)幫助學(xué)生逐步建立關(guān)于“數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)”的整體性認(rèn)識，特別是清楚地認(rèn)識它的豐富性與層次性、開放性與統(tǒng)一性等，并能真正做好“化多為少”“化復(fù)雜為簡單”，包括更好地認(rèn)識數(shù)學(xué)與現(xiàn)實世界之間的關(guān)系。

以下就依據(jù)這一觀點對諸多相關(guān)問題做出具體分析，從而很好地體現(xiàn)“大道理”所應(yīng)滿足的這樣一個條件，從更高層面為各個具體問題提供重要指導(dǎo)。

具體地說，對于“結(jié)構(gòu)性認(rèn)識”的強調(diào)即可被看成這一論述的核心，包括“數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)”的豐富性和開放性這樣兩個特征。

1.所謂“數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)”的豐富性，首先是指數(shù)學(xué)對象之間存在多種聯(lián)系，并具有“雙向”的性質(zhì)，或者說，我們應(yīng)很好地認(rèn)識“逆向思維”的重要性。

例如，從后一角度進行分析，我們就可有效地避免在“除法”問題的理解上所容易出現(xiàn)的“忽視‘包含除”這樣一個錯誤：“所謂除法，是指‘已知兩個因數(shù)的積和其中一個因數(shù)，求另一個因數(shù)的運算。這兩個因數(shù)地位平等。例如，在分餅干的情境中，餅干總數(shù)=人數(shù)×份額。參與平均分的人數(shù)和每人分得的數(shù)量，是構(gòu)成餅干這一乘積的兩個地位平等的因數(shù)。這樣一來，從除法的意義進行分析，等分除與包含除乃是同一情境里的兩類互相依存的除法問題，可以說二者是一對‘孿生兄弟，彼此密切相關(guān)。”[2] 82

其次，“多元性”也是“數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)”豐富性的又一重要含義，而這又不僅是指對象的多樣性，也包括表征的多樣性。例如，后者就是分?jǐn)?shù)十分重要的一個特點;另外，以上關(guān)于“除法”不同意義的分析顯然表明，所說的多樣性在運算上也有直接的表現(xiàn)，我們可從同一角度對加減法等運算做出自己的分析。

更一般地說，筆者以為，這就是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)當(dāng)特別重視的一個問題，即應(yīng)很好地處理“多”與“一”之間的辯證關(guān)系，這更直接關(guān)系到了“抽象性”這一數(shù)學(xué)的基本特征。

最后，正如筆者在《研究背景與基本立場》一文中指出的，這就是人們何以使用“結(jié)構(gòu)”這一詞語的主要原因，即無論就各種數(shù)學(xué)對象或是它們之間的關(guān)系，我們都可做出一定的層次區(qū)分。如“加減法”與“乘除法”顯然就應(yīng)歸結(jié)為兩個不同的層次;由數(shù)向字母（式）的過渡則清楚地表明了研究對象的不同層次。

2.教學(xué)中我們還應(yīng)幫助學(xué)生很好地認(rèn)識“數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)”的發(fā)展性與開放性。例如，我們顯然就應(yīng)從這一角度更好地認(rèn)識引入“分?jǐn)?shù)”與“小數(shù)”的意義，包括“分?jǐn)?shù)是一個數(shù)”這樣一個結(jié)論，我們在教學(xué)中應(yīng)清楚地指明相關(guān)發(fā)展的合理性和必要性，如有理數(shù)的引入主要是為了“表示意義相反的量”。[2] 127，66

在此我們還應(yīng)清楚地認(rèn)識負(fù)數(shù)相對于分?jǐn)?shù)和小數(shù)的特殊性：除去現(xiàn)實的需要，負(fù)數(shù)的引入也清楚地表明了從純形式的角度進行分析研究的重要性，因為，“負(fù)數(shù)不是測量出來的。凡是能夠量出來的都是正數(shù)”。進而，又如以下論述所清楚地表明的，如果相關(guān)教學(xué)未能很好地體現(xiàn)出這樣一個思想，我們就會因此喪失促進學(xué)生思維發(fā)展的一個重要契機：“負(fù)數(shù)是由具體數(shù)學(xué)向形式數(shù)學(xué)的第一次轉(zhuǎn)折。要完全掌握這種轉(zhuǎn)折中出現(xiàn)的問題，需要有高度的抽象能力?！薄拔艺J(rèn)為超越直觀而運用推理方法的首先是負(fù)數(shù)?！?[2] 75，78

最后，這或許也可被看成“數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)”發(fā)展性的又一重要表現(xiàn)，即隨著學(xué)習(xí)的深入，“變”與“不變”的關(guān)系表現(xiàn)出了越來越大的重要性。

例如，從后一角度我們可更好地理解數(shù)學(xué)中為什么要專門引入“比”這樣一個概念，包括為什么不將此與“除法”簡單地等同起來。因為，在此我們所關(guān)注的主要是兩個量之間的關(guān)系，特別是變化中的不變因素，而不是如何通過具體計算去求得相應(yīng)的“比值”。當(dāng)然，這事實上也可被看成由“程序性觀念”轉(zhuǎn)向“結(jié)構(gòu)性觀念”的又一實例。

3.這是現(xiàn)實中經(jīng)?？梢月牭降囊粋€觀點：結(jié)構(gòu)性認(rèn)識主要應(yīng)被歸屬于靜態(tài)的研究，生成性分析則代表了動態(tài)的研究。但由上述分析可以看出，結(jié)構(gòu)分析也包括動態(tài)的研究，或者說，它更好地體現(xiàn)了動態(tài)研究與靜態(tài)分析的辯證統(tǒng)一。

依據(jù)“數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)”的層次性質(zhì)，我們可更好地認(rèn)識數(shù)學(xué)發(fā)展的這樣一個特征：數(shù)學(xué)發(fā)展主要的不是指量的積累，特別是“數(shù)”的領(lǐng)域的不斷擴展，而是包含有重要的質(zhì)的變化，特別是不斷達到新的、更高的抽象層次。

顯然，從認(rèn)識的角度看，這也清楚地表明了思維的不斷優(yōu)化對于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的特殊重要性，包括觀念的必要更新等。在筆者看來，我們應(yīng)當(dāng)將此看成數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的本質(zhì)。當(dāng)然，對此我們也不應(yīng)理解成“由具體到抽象”的單向運動，因為，認(rèn)識的深化也是一個“再認(rèn)識”的過程。特別是，如果說“由少到多”“由簡單到復(fù)雜”即可被看成數(shù)學(xué)發(fā)展的基本形式，那么，這就是數(shù)學(xué)認(rèn)識發(fā)展應(yīng)當(dāng)努力實現(xiàn)的一個目標(biāo)——“化多為少”“化復(fù)雜為簡單”。

例如，現(xiàn)代研究表明，大多數(shù)復(fù)雜的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)都可歸結(jié)為這樣三種重要的基本結(jié)構(gòu)（“母結(jié)構(gòu)”）：代數(shù)結(jié)構(gòu)、序結(jié)構(gòu)與拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。

最后，從思維形式的角度看，這顯然也就十分清楚地表明了“總結(jié)、反思與再認(rèn)識”對于數(shù)學(xué)認(rèn)識發(fā)展的特殊重要性。

4.結(jié)構(gòu)性認(rèn)識具有超出“數(shù)的認(rèn)識與運算”的普遍意義。首先，這也是小學(xué)幾何教學(xué)應(yīng)當(dāng)特別重視的一個問題（詳見下一節(jié)的論述），是對于“度量幾何”與“直觀幾何”局限性的必要超越，也即應(yīng)當(dāng)對于圖形的特征性質(zhì)及其相互關(guān)系的邏輯分析予以足夠的重視——顯然，這也可被看成“結(jié)構(gòu)性觀念”的一個具體體現(xiàn)。

其次，從同一角度進行分析，我們在教學(xué)中就不應(yīng)唯一強調(diào)概念的生成，而應(yīng)當(dāng)高度重視概念的分析與組織。

再者，相關(guān)分析可被看成為更高層次的概括提供了直接基礎(chǔ)。特別是，我們應(yīng)努力提升學(xué)生的思維品質(zhì)，切實做好這樣四個方面的工作：聯(lián)系的觀點與思維的深刻性，變化的思想與思維的靈活性，整體的觀念與思維的綜合性，總結(jié)、反思和再認(rèn)識與思維的自覺性——正如筆者在《研究背景與基本立場》一文中所指出的。這即可被看成更高層次上的一個“大道理”。

依據(jù)先前的分析，我們還可對于上述結(jié)論做出如下補充：教學(xué)中應(yīng)十分重視幫助學(xué)生逐步養(yǎng)成這樣一種思維品質(zhì)，即思維的開放性與反思性，也即樂于接受各種新的事物和觀點，包括對已有認(rèn)識的自覺反思，從而不斷優(yōu)化思維，而不會因為不恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)造成“片面的思維定式”或思維的僵化。

由于上述分析直接涉及數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的本質(zhì)，由此我們還可引出這樣一個結(jié)論：強調(diào)“結(jié)構(gòu)性認(rèn)識”特別是“數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)”的發(fā)展性質(zhì)也十分有益于學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí)，包括很好地適應(yīng)新環(huán)境中的進一步學(xué)習(xí)。

最后，由以下論述可以看出，即使是小學(xué)低年級也可在上述方面做出切實努力，關(guān)鍵就在于我們在這一方面是否具有足夠的自覺性。

“小學(xué)低年級的教學(xué)中需要特別強調(diào)對等式的理解……在小學(xué)一年級時經(jīng)常會讓學(xué)生口算，比如3+4，這里值得注意的是我們要強調(diào)3+4‘等于7，而不要說‘得到7。因為這里的等號有兩個層面的意義：一是計算結(jié)果，就是我們經(jīng)常說的‘得到;二是表示‘相等關(guān)系。我們在學(xué)生剛接觸等號時就要幫助他們建立起對等號的這種相等關(guān)系的理解。因此，讓一年級的學(xué)生接觸7=3+4這樣的算式是有必要的，因為在這樣的算式中，你就沒法將等號說成‘得到。當(dāng)然，這里也要嘗試讓學(xué)生理解7同樣也等于4+3，3+4=4+3……在這之后，可以讓學(xué)生嘗試觀察兩邊都不止一個數(shù)的等式，如17+29=16+30……此外，還可以給學(xué)生提供利用相等關(guān)系判斷正誤的式子，比如，199+59=200+58，148+68=148+70-2，149+68=150+70-3?！盵5]

當(dāng)然，相對于唯一強調(diào)“代數(shù)思維”的滲透而言，這是更加適當(dāng)?shù)囊粋€主張，即很好地發(fā)揮“大道理”的指導(dǎo)作用。

三、小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的“大道理”（2）

以下再轉(zhuǎn)向小學(xué)幾何內(nèi)容的教學(xué)。由于我們在先前已對“數(shù)的認(rèn)識與運算”教學(xué)的“大道理”進行了分析，在此不妨首先思考這樣一個問題：這兩者之間有哪些共同點，又有什么不同之處？這可被看成這樣一個立場的具體體現(xiàn)，即無論就專業(yè)的學(xué)習(xí)或是教學(xué)研究而言，我們都應(yīng)具有較強的問題意識，也即應(yīng)當(dāng)帶著問題學(xué)，帶著問題進行研究。[6]

進而，前一節(jié)中所總結(jié)出的幾個“大道理”在此顯然也是基本適用的，如幾何概念的教學(xué)同樣也應(yīng)做到“淡化形式，注重實質(zhì)”，包括很好地弄清相關(guān)概念中哪些是特別重要的，哪些則不那么重要？例如，以下一些論述就可被看成是與這一論題密切相關(guān)的：“并非任何定義都是重要的。有些對象可以基于直覺的感知，不必追求嚴(yán)格的定義……小學(xué)數(shù)學(xué)里面積的定義就是其中之一?！庇秩?，“小學(xué)里用一對數(shù)確定一個對應(yīng)點沒有什么用處……如果一點用處也沒有，就不太好了。”[2] 240，228

再則，正如前面已提及的，在幾何內(nèi)容的教學(xué)中也應(yīng)幫助學(xué)生很好地建立整體性、結(jié)構(gòu)性的認(rèn)識。例如，我們應(yīng)從這一角度更好地去理解這樣一個論述：“一旦有了線段和線段度量以及角與角的度量，以后的小學(xué)幾何學(xué)內(nèi)容就有了可靠的度量基礎(chǔ)?！盵2] 294另外，我們顯然也應(yīng)將“角的度量”的教學(xué)與學(xué)生已學(xué)過的“線段的度量”很好地聯(lián)系起來，從而更好地發(fā)揮“種子課”的作用，包括切實做好“以發(fā)展代替重復(fù)”。[7]

當(dāng)然，在小學(xué)幾何內(nèi)容與“數(shù)的認(rèn)識與運算”教學(xué)之間也存在重要的區(qū)別，例如由“核心概念”的分析就可清楚地看出：如果說“數(shù)的認(rèn)識與運算”的教學(xué)可被看成是圍繞“比較”這一概念展開的，那么，“度量”的概念就在小學(xué)幾何的教學(xué)中占據(jù)了特別重要的位置，也即小學(xué)幾何在很大程度上就可被看成一種“度量幾何”。

顯然，后一分析也清楚地表明了針對小學(xué)幾何具體內(nèi)容做出深入分析的重要性。從宏觀的角度看，我們應(yīng)特別強調(diào)這樣幾點：

1.小學(xué)幾何中的大多數(shù)概念都具有明顯的現(xiàn)實意義和原型，有很多詞語就是從日常語言中直接借用過來的，但由于數(shù)學(xué)概念在大多數(shù)情況下又不同于它們在日常生活或工作中的意義，因此，小學(xué)幾何教學(xué)就應(yīng)特別重視這樣一個問題，即幫助學(xué)生對數(shù)學(xué)概念與相應(yīng)的日常概念做出清楚的區(qū)分。

例如，正如人們所熟知的，數(shù)學(xué)中所說的“角”未必是“尖尖的”，而是主要表明了兩條線段（直線）之間的位置關(guān)系。進而，兩條線段（直線）是否相互垂直也與它們是否處于垂直或水平的位置無關(guān)，盡管相關(guān)概念的日常應(yīng)用往往具有這樣一個含義。

顯然，上述分析也清楚地表明了對數(shù)學(xué)概念做出明確定義的重要性，后者就是由“初等數(shù)學(xué)思維”走向“高層次數(shù)學(xué)思維”的一個重要標(biāo)志。也正因為此，盡管我們在小學(xué)階段尚不應(yīng)明確提出這樣一個要求，但仍然應(yīng)當(dāng)在這一方面對學(xué)生做出必要的引導(dǎo)，包括幫助學(xué)生很好地認(rèn)識數(shù)學(xué)在這一方面的重要作用，特別是這十分有益于日常語言的擴展與改進（精確化）。

例如，“籃球是圓的嗎？”[2] 230就可被看成這樣一個實例。更重要的是，盡管學(xué)生在生活中早已接觸到了各種度量活動，甚至還可說已在這方面積累了一定的經(jīng)驗，但只有通過數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，我們才能幫助他們更好地掌握“度量”的本質(zhì)，包括明確從事各種度量活動必須首先解決的這樣兩個問題，即度量單位的確定以及找出合適的度量工具和方法。

進而，依據(jù)上述分析我們顯然也可引出這樣一個結(jié)論：相關(guān)教學(xué)不應(yīng)局限于幫助學(xué)生學(xué)會進行各種度量，還應(yīng)要求學(xué)生在不具有適當(dāng)度量工具的情況下盡可能地想出辦法去度量課桌的長度或教室的面積等。

2.這是小學(xué)幾何教學(xué)中的又一重要特點，即在很大程度上也可被看成一種“直觀幾何”。由于這是由小學(xué)生的認(rèn)知水平直接決定的，因此，我們就應(yīng)肯定以下一些做法的合理性，如教學(xué)中要求學(xué)生認(rèn)真地用眼睛去看，用手去摸，直接動手去量……但這也是小學(xué)幾何教學(xué)應(yīng)當(dāng)特別重視的又一問題，即在充分肯定其重要性的同時，還應(yīng)幫助學(xué)生很好地實現(xiàn)對于直觀認(rèn)識的必要超越。

后者事實上也可被看成上述關(guān)于如何從事“度量問題”教學(xué)的一個直接結(jié)論，即教學(xué)中我們不應(yīng)唯一地強調(diào)讓學(xué)生直接動手去量，而應(yīng)更加重視如何通過動手促進學(xué)生積極地動腦。另外，我們顯然也可從同一角度更好地認(rèn)識這樣一個建議：“不要把時間花在一些平庸的活動上?！盵2] 254

以下的事實則可被看成更為清楚地表明了超越直觀認(rèn)知的重要性：由于小學(xué)幾何中有不少內(nèi)容與無限直接相關(guān)，因此就必須依靠想象才能把握?！爸本€”的概念就是這樣的一個例子。另外，這顯然也可被看成我們?nèi)绾螏椭鷮W(xué)生很好地掌握“平行”這一概念的關(guān)鍵。

更為一般地說，我們應(yīng)明確提出這樣一個要求：相對于直觀的認(rèn)知而言，在教學(xué)中應(yīng)當(dāng)更加重視對各種對象特征性質(zhì)的分析——正如人們普遍了解的，這也意味著由馮·希爾所說的“水平一”向“水平二”的重要過渡。

3.前面已經(jīng)提及，這也是小學(xué)幾何教學(xué)應(yīng)當(dāng)特別重視的一個問題，即應(yīng)從整體的角度特別是按照“結(jié)構(gòu)性觀念”對諸多相關(guān)概念與結(jié)論之間的聯(lián)系做出深入分析，包括從這一角度更好地認(rèn)識各種平面圖形的特征性質(zhì)。特別是我們應(yīng)當(dāng)鼓勵學(xué)生依據(jù)圖形間的關(guān)系對相關(guān)結(jié)論的真理性進行說明，而這就意味著由幾何認(rèn)知的“水平二”進一步過渡到“水平三”。

還應(yīng)強調(diào)的是，如果說“數(shù)的認(rèn)識與運算”的教學(xué)應(yīng)當(dāng)集中于幫助學(xué)生很好地認(rèn)識“數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)”的豐富性和發(fā)展性，那么，從幾何教學(xué)的角度看，這就是“結(jié)構(gòu)性認(rèn)識”最重要的一個含義，即邏輯思維的滲透與學(xué)習(xí)。

就這方面的具體教學(xué)工作而言，我們還應(yīng)特別強調(diào)這樣兩點：

第一，相對于日常的認(rèn)知順序，我們應(yīng)當(dāng)更加重視幫助學(xué)生較好地掌握“維度”這樣一個概念，包括什么是按照“由點到線、再到面、直至體”這樣一個順序去理解幾何認(rèn)識的主要優(yōu)點。

事實上，正如筆者已多次指出的，這正是數(shù)學(xué)思維的一個重要特征：“數(shù)學(xué)家有這樣的傾向，一旦依賴邏輯的聯(lián)系能取得更快的進展，他就置實際于不顧?！盵8]另外，以下事實顯然為我們更好地認(rèn)識超越日常生活的必要性提供了又一重要論據(jù)：正是局限于數(shù)學(xué)的實際應(yīng)用導(dǎo)致了中國古代數(shù)學(xué)發(fā)展的這樣一個特征，即除去“直角”的概念未能提出一般性的“角”的概念，從而也就在很大程度上限制了幾何研究在中國的發(fā)展。[2]292

另外，也只有從邏輯的角度進行分析，我們才能更好地理解這樣一個論述：“先有平行，才有平移。小學(xué)數(shù)學(xué)盡管需要深入淺出，卻不宜違背這一邏輯順序?！盵2] 208

第二，就圖形特別是平面圖形之間相互關(guān)系的認(rèn)識而言，我們又應(yīng)特別重視從“特殊與一般”這一角度去進行分析。后者不僅對于進一步的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)（和研究）具有十分重要的作用，更具有超出數(shù)學(xué)的普遍性方法論意義，因此，這就應(yīng)被看成充分發(fā)揮數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)對于提升學(xué)生思維品質(zhì)的一個重要方面。

進而，從同一角度進行分析，我們也就可以看出，像“平行四邊形是否應(yīng)當(dāng)被看成梯形”這樣的問題并不重要，我們更不應(yīng)通過考試等手段強迫學(xué)生牢牢地去記住相關(guān)的定義。恰恰相反，在教學(xué)中應(yīng)當(dāng)更加重視幫助學(xué)生逐步學(xué)會圍繞“特殊與一般”這樣一對范疇去進行分析思考。

4.以下再對這樣一個問題做出簡要分析，即我們應(yīng)當(dāng)如何看待小學(xué)幾何教學(xué)中引入“運動”的必要性與恰當(dāng)性？

這一做法應(yīng)當(dāng)說有一些明顯的優(yōu)點，如有益于我們從“生成的角度”更好地認(rèn)識各種平面圖形的性質(zhì)以及平面圖形與空間圖形之間的關(guān)系。但是，由于小學(xué)幾何主要是一種“直觀幾何”，研究的對象又主要局限于平面圖形，從運動的角度進行分析很容易出現(xiàn)將“平面圖形的運動”混同于“立體圖形的運動”這樣的錯誤，“平移、旋轉(zhuǎn)、對稱”等概念似乎也很難在數(shù)學(xué)以外找到真正的用處[2] 277-278。因此，在筆者看來，對于“運動的觀點”在小學(xué)幾何教學(xué)中就不應(yīng)過分地強調(diào)。

與此相對照，如果說小學(xué)“數(shù)的認(rèn)識與運算”的教學(xué)應(yīng)當(dāng)特別重視很好地處理“一”與“多”、“變”與“不變”之間的關(guān)系，那么，對于小學(xué)幾何教學(xué)我們就可做出如下概括，即應(yīng)當(dāng)很好地處理直觀與想象、度量（動手）與抽象分析（動腦）之間的關(guān)系，并應(yīng)很好地發(fā)揮幾何學(xué)習(xí)對于學(xué)生學(xué)會邏輯思維的特殊作用。

進而，依據(jù)上述分析相信讀者也就可以更好地理解筆者關(guān)于“小學(xué)幾何教學(xué)大道理”的以下概括：小學(xué)幾何教學(xué)不僅應(yīng)當(dāng)突出“度量”這一核心概念，發(fā)揮其在直觀認(rèn)知方面的作用，也應(yīng)努力實現(xiàn)對于“度量幾何”與“直觀幾何”的必要超越，即對于圖形的特征性質(zhì)及其相互關(guān)系的邏輯分析予以足夠的重視。

[結(jié)語] 筆者并愿借助這一機會表達對已故著名數(shù)學(xué)教育家張奠宙先生的深深敬意：盡管張先生當(dāng)時已年逾80，身體情況也不是很好，但仍然花費大量的時間與精力認(rèn)真閱讀了多個版本的小學(xué)數(shù)學(xué)教材，更通過深入的思考分析提出了很多重要的意見和建議，這確實值得我們認(rèn)真學(xué)習(xí)。事實上，盡管我們平時也常常提及認(rèn)真研讀教材，但又有幾

個人真正做到了這樣一點！進而，什么又是我們與張先生的主要差距，這主要是否指數(shù)學(xué)水平的高低？相信每一個數(shù)學(xué)教育工作者，包括廣大一線教師都可通過這方面的認(rèn)真思考在專業(yè)成長上獲得更大的啟示和收獲！

本文也可被看成是上述方向的一個具體努力！

參考文獻：

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（南京大學(xué)哲學(xué)系? ?210093）