晉家奎

摘要： 數(shù)學(xué)思維是指通過(guò)大腦而實(shí)現(xiàn)對(duì)于現(xiàn)實(shí)存在物體及其他空間屬性對(duì)象間的一種數(shù)量關(guān)系和本質(zhì)特征的理論反映。筆者認(rèn)為，數(shù)學(xué)課堂應(yīng)該是美麗且合乎理性的。初等階段的數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)尤其重要，其作為建立在數(shù)學(xué)大廈底層的基石，決定著未來(lái)各類學(xué)科取得巨大成就的上限。然而，許多初中生在研究和學(xué)習(xí)語(yǔ)文數(shù)學(xué)這一一門理論性極強(qiáng)的綜合型學(xué)科時(shí)，往往都存在著兩個(gè)重要問(wèn)題：一就是其認(rèn)知能力水平的限制，使其認(rèn)知思維過(guò)程中形成了一個(gè)邏輯閉環(huán); 二是其心智的不成熟使其易受到情緒影響。因此，亟待從理論層面論述公理演繹體系和良好的心態(tài)對(duì)初中生進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的啟發(fā)式作用，從而對(duì)其學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)起到極大的幫助。

關(guān)鍵詞：初中生 公理演繹體系 鄧寧-克魯格心理效應(yīng) 中學(xué)數(shù)學(xué)

如何學(xué)好中學(xué)數(shù)學(xué)？我想這是許多家長(zhǎng)和學(xué)生都在思考的一個(gè)問(wèn)題。對(duì)于成績(jī)的提高，和絕大多數(shù)事情一樣，老師只是外因，但最重要的是學(xué)生自己（內(nèi)因）。有兩種孩子我是不太愿意在他們身上浪費(fèi)時(shí)間的：1. 懶惰，自己不想學(xué)習(xí)的孩子。有一句話叫做“天助自助者”，如果一個(gè)人自己不愿意改變，沒(méi)有人能夠幫得了他。2. 自以為是。有些孩子掃一眼別人的中肯建議，然后不加以嘗試和實(shí)踐，便說(shuō)“這個(gè)方法不適合我”。不好意思，你沒(méi)有那么特別。人的共性遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于個(gè)性，這是教育有存在必要的邏輯基石。我不相信“適合你的方法”，只相信科學(xué)的方法。以升學(xué)考試為例，數(shù)學(xué)是其中最容易拉開差距的一門課程?；A(chǔ)扎實(shí)，認(rèn)真踏實(shí)的學(xué)生往往能考到近乎滿分;而普通學(xué)生可能被其甩開二三十分。因此有言：得數(shù)學(xué)者得中考。筆者認(rèn)為，學(xué)好數(shù)學(xué)的兩大關(guān)鍵在于：1.扎實(shí)的理論基礎(chǔ)、清晰的邏輯體系;2.正確的心態(tài)?；谏鲜?，以公理演繹體系為主進(jìn)行理論知識(shí)的學(xué)習(xí)與思維框架的搭建;輔之以鄧寧的心理效應(yīng)積極調(diào)節(jié)心態(tài)，自信面對(duì)困難，對(duì)初中生數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)將會(huì)有著極大的幫助與啟發(fā)。受之認(rèn)知水平的局限性，初中生在思維上常常陷入邏輯閉環(huán)，對(duì)某個(gè)知識(shí)往往只停留在表面的理解層面，認(rèn)為自身已經(jīng)真正掌握了這個(gè)知識(shí)點(diǎn)。這種假象使自己進(jìn)一步陷入盲目自信之中，即鄧寧-克魯格心理效應(yīng)中所描繪的“自信之巔“。然而，這種缺乏邏輯思維體系和盲目自信的心態(tài)不利于中學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)。因此，亟待從理論層面論述公理演繹體系和良好的心態(tài)對(duì)初中生進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的啟發(fā)式作用。

談方法論：公理化演繹法及其體系

演繹方法是指從對(duì)于事物進(jìn)行概括的一般性前提中推論得出具有個(gè)別性的結(jié)論[1]。其主要特點(diǎn)之一就是滿足下列條件：1）若經(jīng)過(guò)的為正確的推理過(guò)程2）如果所得到的結(jié)論也都是正確的。演繹法的基本格式為三段論：若 s （集合）具有 p 的性質(zhì)（集合共性），且 s （ x ）為 s 的子集，則 s （ x ）具有 p 的性質(zhì)。簡(jiǎn)化為，若大的前提成立，且小的前提也成立的話，得出的結(jié)論可以作為正命題。在科學(xué)中，最直接使用公理化的演繹方式就是對(duì)這種公理化的演繹。公理化的演繹主要是從一個(gè)或少數(shù)幾個(gè)人的基本概念，公理，公設(shè)角度出發(fā)，通過(guò)邏輯的演繹推理，得出一系列的結(jié)論，建立起一套理論體系的方法。這些基本概念，公理，公式具有兩個(gè)特點(diǎn)：1）最基礎(chǔ)，不能被推導(dǎo)出 2）無(wú)需證明自證為真，為真命題。同時(shí)，由于演繹法的特點(diǎn)，在建立公理化理論的時(shí)候，需要盡可能的要求前提的正確性，既公理體系內(nèi)部的無(wú)矛盾性與完備性。同時(shí)也需要要求推理過(guò)程的正確性。但是，公理并非真理，不能用靜止的眼光去看待公理，科學(xué)往往是在公理體系理論內(nèi)部的矛盾中突破而發(fā)展出新的理論。例如愛因斯坦根據(jù)伽利略相對(duì)性原理與經(jīng)典電磁學(xué)的矛盾，提出新的公設(shè)，演繹推導(dǎo)，建立起狹義相對(duì)論。另一方面，隨著人的認(rèn)識(shí)不斷進(jìn)步，認(rèn)識(shí)到更深一步的客觀規(guī)律，舊的公理也可能不再是最基礎(chǔ)不證自明的存在，例如由否定歐式幾何的第五公設(shè)，而建立起的非歐集合。

人的共性往往大于個(gè)性，這是教育存在必要的邏輯基石?？茖W(xué)的學(xué)習(xí)方法，將對(duì)初中生進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)起到正向促進(jìn)作用。然而很多學(xué)生基礎(chǔ)不扎實(shí)，不會(huì)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)學(xué)習(xí)概念，定理。正如我們上面所述，數(shù)學(xué)是一門十分嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)問(wèn)。數(shù)學(xué)家們認(rèn)為日常生活語(yǔ)言（如中文、英文）往往存在歧義，不利于理性思考。他們致力于從理論層面解決這一問(wèn)題，于是從歐幾里得的幾何原本開始，就引入了幾何語(yǔ)言（數(shù)形結(jié)合等）。而從笛卡爾開始，我們用字母抽象地代表數(shù)，從而誕生了代數(shù)語(yǔ)言（代數(shù)式、方程、不等式和函數(shù)自然隨之誕生）。對(duì)于數(shù)學(xué)上的每一個(gè)概念，我們都應(yīng)利用數(shù)學(xué)語(yǔ)言對(duì)其一絲不茍地理解，這樣才能真正學(xué)好數(shù)學(xué)。例如：

什么叫做有理數(shù)？

許多學(xué)生往往支支吾吾，回答缺乏清晰的邏輯，這就是基礎(chǔ)不扎實(shí)的標(biāo)志。我們應(yīng)當(dāng)從公理演繹體系出發(fā)，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言將其表達(dá)出來(lái)：

若一個(gè)數(shù)Q可以表示為 ，其中m，n均為整數(shù)，且m，n互質(zhì)，則就稱數(shù)Q為有理數(shù)

有了這個(gè)嚴(yán)格的數(shù)學(xué)語(yǔ)言的定義，并結(jié)合公理演繹體系，我們才能證明以下定理：（1）若p是無(wú)理數(shù)，q是有理數(shù)且q不等于0，那么pq是無(wú)理數(shù)。（2）若p是無(wú)理數(shù)，q是有理數(shù)，那么p與q進(jìn)行加減運(yùn)算后是無(wú)理數(shù)。請(qǐng)讀者自證。在建立公理演繹體系的基礎(chǔ)上，我們應(yīng)盯住目標(biāo)，將其和已知相結(jié)合，聯(lián)想相關(guān)的定理，定義、方法，大膽猜測(cè)，小心求證！綜上，構(gòu)建公理演繹體系并將其融合到中學(xué)生日常學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程中，將會(huì)增強(qiáng)其思維邏輯性，從而更好地提升學(xué)生的數(shù)學(xué)能力。

鄧寧心理效應(yīng)在初中生學(xué)習(xí)心態(tài)上的體現(xiàn)

現(xiàn)階段初中生心智的不成熟，認(rèn)知能力的局限性[2]，使其往往容易受到情緒波動(dòng)，從而影響自己的日常學(xué)習(xí)。受之認(rèn)知水平的局限性和心智的不成熟，初中生在思維上常常陷入邏輯閉環(huán)，對(duì)某個(gè)知識(shí)往往只停留在表面的理解層面，認(rèn)為自身已經(jīng)真正掌握了這個(gè)知識(shí)點(diǎn)。這種假象使自己進(jìn)一步陷入盲目自信之中。然而，這種缺乏邏輯思維體系和盲目自信的心態(tài)，將會(huì)對(duì)日后數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)產(chǎn)生極大的消極作用。從愚昧之巔到絕望低谷，上面這條曲線被稱之為達(dá)克效應(yīng)。這幾乎是每個(gè)人認(rèn)知前進(jìn)的必經(jīng)之路。簡(jiǎn)單點(diǎn)概括這個(gè)過(guò)程，當(dāng)我們對(duì)某個(gè)事物完全不了解的時(shí)候，處于坐標(biāo)系的零點(diǎn)位置，這時(shí)候的我們，知道自己不知道。但我們逐漸深入一點(diǎn)時(shí)，很快有一個(gè)開悟的過(guò)程，這種開悟會(huì)讓我們覺得自己“都懂了”，“那玩意也不過(guò)如此”。這時(shí)的我們，就處于愚昧之巔。但打擊就接踵而至，很快會(huì)陷入低谷，覺得太難了，這就是絕望低谷。在絕望低谷之后，是緩慢的回升，上圖中叫開悟之坡。為什么會(huì)產(chǎn)生這個(gè)現(xiàn)象？因?yàn)檫@是認(rèn)識(shí)事物從整體到細(xì)節(jié)的過(guò)程！整體是宏觀的，簡(jiǎn)單的，概念化的，而細(xì)節(jié)是繁瑣的，雜亂的，甚至無(wú)規(guī)律的。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程亦是如此。

總結(jié)與展望

思維能力的培養(yǎng)和學(xué)生健康的學(xué)習(xí)心態(tài)往往被現(xiàn)階段的中學(xué)老師所忽略，取而代之地是一味刷題、補(bǔ)課。殊不知，唯有將大廈的框架構(gòu)建好、基石打牢，如此才能在數(shù)學(xué)這一美妙的道路上一直走下去。這對(duì)于學(xué)生后續(xù)在高中和大學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)十分重要。因此我們?cè)跀?shù)學(xué)學(xué)習(xí)和解題中必須十分重視嚴(yán)謹(jǐn)性這一點(diǎn)，具體就是要做到每一步都要有理有據(jù)[3]。數(shù)學(xué)大多數(shù)的推理需要符合假言推理這種演繹推理模式。我經(jīng)常對(duì)學(xué)生說(shuō)： 學(xué)數(shù)學(xué)不能靠感覺，不允許說(shuō)“我覺得…”，“我以為…”，每一步都要有理有據(jù)。同時(shí)，在知識(shí)的學(xué)習(xí)過(guò)程中，應(yīng)認(rèn)真踏實(shí)，保持良好、正確的心態(tài)。希望每位同學(xué)都能做到“一日三省”，以公理演繹體系為主進(jìn)行理論知識(shí)的學(xué)習(xí)與思維框架的搭建;輔之以鄧寧的心理效應(yīng)積極調(diào)節(jié)心態(tài)，自信、勇敢地面對(duì)困難！在追尋真理的道路上越走越遠(yuǎn)！

參考文獻(xiàn)

[1] 數(shù)學(xué)問(wèn)題解決認(rèn)知模式及教學(xué)理論研究[D].南京師范大學(xué)

[2] 徐速.《國(guó)內(nèi)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心理研究的綜述》[J]心理科學(xué)

[3] 史寧中《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)若干思考》[J]數(shù)學(xué)通報(bào)1-5